資源簡介

第2節　代數式與整式
(每年3~5題,7~19分)
　　整式是河北省中考的必考內容,在各種題型中均有體現,難度通常較小,屬于“送分題”.最近幾年整式的分值呈總體上升態勢.考查的重點是靈活運用冪的運算性質、多項式的運算法則與乘法公式進行計算、求值或探索算式規律,強調基本算理算法和各種運算之間的關系.預測2025年中考對整式的考查:在選擇填空題中,知識點相對單一;在解答題中,則有可能與幾何圖形、方程、概率等不同領域知識綜合,特別是利用整式運算進行代數推理的問題.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1代數式　(常考點)
定義用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數或表示數的①　　　　連接而成的式子,單獨的一個數或一個字母也是代數式
求代數式的值用具體數值代替代數式中的字母,計算得出的結果,叫作求代數式的值
代數式的書寫1.若數字因式是帶分數,要化成假分數. 2.式子中出現除法時,要寫成分數的形式. 3.列出的代數式若含有加號、減號且有單位時,必須將代數式用括號括起來再加單位
考點2整式的有關概念
單項式表示數字與字母積的代數式,單獨的一個數或一個字母也叫單項式.其中的數字因數叫作單項式的系數,所有字母的指數②　　　　叫作單項式的次數
多項式幾個單項式的和.多項式中的每一項叫作多項式的項,次數最高的項的次數叫作多項式的次數
整式單項式和多項式統稱為整式
同類項所含字母相同并且相同字母的③　　　　也相同的項叫作同類項,所有的常數項都是同類項
考點3整式的運算　(常考點)
整式的加減運算1.合并同類項法則:同類項的系數相加,所得的結果作為系數,字母和字母的指數不變. 2.去括號法則:若括號外是“+”,則括號里的各項都不變號;若括號外是“-”,則括號里的各項都④　　　　. 3.整式的加減運算法則:先去括號,再合并同類項
冪運算法則 1.同底數冪的乘法:am·an=⑤　　　　. 2.同底數冪的除法:am÷an=⑥　　　　(a≠0). 3.冪的乘方:(am)n=⑦　　　　. 4.積的乘方:(ab)n=⑧　　　　 m,n都是整數
整式的乘除運算 1.單項式×單項式:把它們的系數、同底數冪分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因式. 2.單項式×多項式:m(a+b+c)=⑨　　　　. 3.多項式×多項式:(m+n)(a+b)=⑩　　　　. 4.單項式÷單項式:把系數與同底數冪分別相除作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數作為商的一個因式. 5.多項式÷單項式:(am+bm+cm)÷m=　　　　
6.乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=　　　　
完全平方公式:(a±b)2=　　　　
混合運算 應先算乘除,后算加減,若為化簡求值,一般步驟為化簡、代入替換、計算
考點4因式分解
定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式
常用方法1.提公因式法:　　　　=m(a+b+c). 2.公式法:a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. 3.十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
常用變形公式a2+b2 =　　　　. a2+b2=　　　　
一般步驟1.若有公因式,必先提公因式. 2.提公因式后,看是否能用公式法分解. 3.檢查各因式能否繼續分解
【基礎演練】
1.(冀教七上P111第2題變式)已知a=-2,b=1,c=-1,下列各式最小的是 (　　)
A.a+b+c B.a+b-c
C.a-b+c D.a-b-c
2.下列說法中正確的是 (　　)
A.2不是單項式
B.-的系數是-
C.3πr2的次數是3
D.多項式5a2-6ab+12的次數是4
3.計算(-am)n得a6,則m與n的值可以是 (　　)
A.m=2,n=3 B.m=2,n=4
C.m=3,n=2 D.m=3,n=3
4.下列計算正確的是 (　　)
A.m+m=m2
B.(-3x)2=6x2
C.(m+2n)2=m2+4n2
D.(m+3)(m-3)=m2-9
5.(冀教七下P149習題第3題(3)變式)因式分解:3x2-12=　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1代數式　(6年5考)
1.(2023·河北1題3分)代數式-7x的意義可以是 (　　)
A.-7與x的和 B.-7與x的差
C.-7與x的積 D.-7與x的商
2.(2024·河北9題3分)若x和y互為倒數,則x+2y-的值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·河北18題4分)如圖,約定:上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數.
示例:,即4+3=7.
則(1)用含x的式子表示m=　　　　.
(2)當y=-2時,n的值為　　　　.
4.(2023·河北18題4分)根據表中的數據,寫出a的值為　　　　,b的值為　　　　.
x結果代數式 2 n
3x+1 7 b
a 1
5.(2023·河北20題8分)某書店新進了一批圖書,甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本.現購進m本甲種書和n本乙種書,共付款Q元.
(1)用含m,n的代數式表示Q.
(2)若共購進5×104本甲種書及3×103本乙種書,用科學記數法表示Q的值.
考向2整式的運算　(6年13考)
6.(2024·河北1題3分)計算a3÷a得a ,則“ ”是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(2024·河北2題3分)下列運算正確的是 (　　)
A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2
C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a
8.(2023·河北2題3分)不一定相等的一組是 (　　)
A.a+b與b+a B.3a與a+a+a
C.a3與a·a·a D.3(a+b)與3a+b
9.(2023·河北2題3分)墨跡覆蓋了等式“x3x=x2(x≠0)”中的運算符號,則被覆蓋的是 (　　)
A.+ B.- C.× D.÷
10.(2024·河北6題3分)小明總結了以下結論:
①a(b+c)=ab+ac;
②a(b-c)=ab-ac;
③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);
④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).
其中一定成立的個數是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·河北8題2分)若a,b是正整數,且滿足=,則a與b的關系正確的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
12.(2023·河北9題3分)若=8×10×12,則k= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
13.變設問——求最大值 若=n2 ,m,n都為正整數,則n的最大值為 (　　) A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8
14.(2023·河北11題2分)若k為正整數,則()k= (　　)
A.k2k B.k2k+1
C.2kk D.k2+k
15.變考法——融入同類項求和 若a為正整數,則()2+()2=(　　) A.a2a B.2aa C.a2+a D.2a2a
16.變設問——求最小值 若=3m (k>1,k,m都為正整數),則m的最小值為 (　　) A.3 B.4 C.6 D.9
17.(2024·河北17題3分)若7-2×7-1×70=7p,則p的值為　　　　.
18.(2023·河北21題9分)現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張,卡片的邊長如圖1所示(a>1).某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙),如圖2和圖3所示,其面積分別為S1,S2.
圖1
圖2
圖3
(1)請用含a的式子分別表示S1,S2,當a=2時,求S1+S2的值.
(2)比較S1與S2的大小,并說明理由.
19.(2023·河北21題8分)有一電腦程序:每按一次按鍵,屏幕的A區就會自動加上a2,同時B區就會自動減去3a,且均顯示化簡后的結果.已知A,B兩區初始顯示的分別是25和-16,如圖所示.
如,第一次按鍵后,A,B兩區分別顯示如下:
(1)從初始狀態按2次后,分別求A,B兩區顯示的結果.
(2)從初始狀態按4次后,計算A,B兩區代數式的和,請判斷這個和能為負數嗎 說明理由.
20.(2024·河北21題9分)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
嘗試:化簡整式A.
發現:A=B2,求整式B.
聯想:由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,當n>1時,n2-1,2n,B為直角三角形的三邊長如圖所示.填寫下表中B的值:
直角三角形的三邊n2-12nB
勾股數組Ⅰ8　　　　
勾股數組Ⅱ35　　　　
考向3因式分解　(6年2考)
21.(2023·河北3題3分)對于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)·(x-1)=x2+2x-3,從左到右的變形,表述正確的是 (　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法運算
C.①是因式分解,②是乘法運算
D.①是乘法運算,②是因式分解
22.(2023·河北6題3分)若k為任意整數,則(2k+3)2-4k2的值總能 (　　)
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
考向4乘法公式的幾何意義　(6年1考)
23.(2023·河北17題4分)現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片(邊長如圖所示).
(1)取甲、乙紙片各1塊,其面積和為　　　　.
(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形,先取甲紙片1塊,再取乙紙片4塊,還需取丙紙片　　　　塊.
考向5代數推理　(6年2考)
24.(2024·河北15題2分)“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法,可將多位數乘法運算轉化為一位數乘法和簡單的加法運算.淇淇受其啟發,設計了如圖1所示的“表格算法”,圖1表示132×23,運算結果為3 036.圖2表示一個三位數與一個兩位數相乘,表格中部分數據被墨跡覆蓋,根據圖2中現有數據進行推斷,下列選項正確的是 (　　)
A.“20”左邊的數是16
B.“20”右邊的“□”表示5
C.運算結果小于6 000
D.運算結果可以表示為4 100a+1 025
25.(2024·河北22題9分)發現　兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
驗證　如(2+1)2+(2-1)2=10為偶數,請把10的一半表示為兩個正整數的平方和.
探究　設“發現”中的兩個已知正整數為m,n,請論證“發現”中的結論是正確的.
26.改變兩數間的探究關系 發現　兩個連續偶數的平方差,一定是偶數,且這個偶數等于這兩個偶數之間的奇數的四倍,例如:42-22=12,則42-22可以表示為哪一個奇數的四倍 驗證　若兩個連續偶數的平方差剛好是9的四倍,求這兩個偶數. 探究　n表示兩個連續偶數中較小的數,用含n的等式表示“發現”中的結論,并證明.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　代數推理問題
(2024·邯鄲模擬)發現　任意兩個連續偶數的平方和是4的奇數倍.
驗證　(1)22+42的結果是4的幾倍
(2)設兩個連續偶數較小的一個為2n(n為整數),請論證“發現”中的結論.
拓展　任意三個連續偶數的平方和是4的倍數嗎 　　　　(填“是”或“不是”).
(2024·石家莊一模)【發現】兩個正整數之和與這兩個正整數之差的平方差一定是4的倍數.
【驗證】(2+1)2-(2-1)2=　　　　.
【證明】設兩個正整數為m,n,請驗證“【發現】”中的結論正確.
【拓展】已知(x+y)2=100,xy=24,求(x-y)2的值.
　　不同于其他省市中考試題從多個算式或圖形中總結規律的命題思路,河北省中考試卷上會直接給出結論,然后通過特例驗證和推理證明確認結論的正確性,是落實《義務教育數學課程標準(2024年版)》中加強代數推理要求的具體表現.
審題:分析題設和結論及關系
↓
驗證:代入具體數值進行運算
↓
證明:借助整式運算完成推理
↓
拓展:把所得結論進行遷移、延伸、推廣
【驗證】三種方法
↓
(1)按照有理數混合運算順序,直接計算
↓
(2)利用乘法公式中的完全平方公式計算
↓
(3)利用因式分解中的平方差公式計算
【證明】
↓
類比【驗證】的后兩種方法證明
【拓展】三個步驟
↓
(1)把x與y分別看作【證明】中的m,n
↓
(2)利用所得結論寫出(x+y)2,xy,(x-y)2之間的關系式
↓
(3)直接代入求解
題型2　圖形中的整式問題
嘉嘉和琪琪玩紙片拼圖游戲,他們利用圖1中的三種類型的紙片可以拼出一些圖形來解釋某些等式.例如:由圖2,我們可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
(1)用1張邊長為a的正方形卡片,6張邊長分別為a,b的長方形卡片,9張邊長為b的正方形卡片,拼成一個正方形,則這個正方形的邊長為　　　　.
(2)琪琪用5個長為b,寬為a的長方形按照如圖3所示的方式不重疊地放在大長方形ABCD內;大長方形中未被覆蓋的兩個部分,設左上角的面積為S1,右下角的面積為S2,當BC的長變化時,S2-S1的值始終保持不變,求a與b的數量關系.
　　通過規則幾何圖形(常見的是正方形或矩形)的面積,形象直觀地反映整式乘法運算的結果,體現了數形結合思想.河北省從這個角度命題,通常要求根據圖形結構,利用含有邊長字母的代數式表示面積,然后對代數式進行運算或比較大小.
參考答案
考點清單
①字母　②和　③指數　④變號　⑤am+n　⑥am-n
⑦amn　⑧anbn　⑨ma+mb+mc　⑩ma+mb+na+nb
a+b+c　a2-b2　a2±2ab+b2　ma+mb+mc
(a+b)2 -2ab　(a-b)2+2ab
基礎演練
1.C　2.B　3.C　4.D
5.3(x+2)(x-2)
真題精粹·重變式
1.C　2.B
3.(1)3x　(2)1　4.　-2
5.(1)由題意可得Q=4m+10n.
(2)將m=5×104,n=3×103代入(1)式得
Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105.
6.C　7.C　8.D　9.D　10.C　11.A
12.B　提示:∵
=
=,
∴=8×10×12,解得k=10,
經檢驗,k=10是該方程的根.故選B.
13.C　14.A　15.D　16.B
17.-3
18.(1)由圖可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,
當a=2時,S1+S2=4+6+2+10+1=23.
(2)S1>S2.
理由:∵S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2,且a>1,∴(a-1)2>0,∴S1>S2.
19.(1)A區:25+a2+a2=25+2a2.
B區:-16-3a-3a=-16-6a.
(2)(25+4a2)+(-16-4×3a)=25+4a2-16-12a=4a2-12a+9.
這個和不能為負數,理由如下:
∵4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,
∴這個和不能為負數.
20.嘗試:A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.
發現:A=n4+2n2+1=(n2+1)2.
∵A=B2,B>0,∴B=n2+1.
聯想:17;37.
提示:當2n=8時,n=4,∴n2+1=42+1=17;
當n2-1=35時,n2+1=37.
21.C　22.B
23.(1)a2+b2　(2)4
提示:(1)由圖可知,一塊甲紙片的面積為a2,一塊乙紙片的面積為b2,一塊丙紙片的面積為ab,∴取甲、乙紙片各1塊,其面積和為a2+b2.
(2)設取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個新的正方形,∴a2+4b2+xab是一個完全平方式,∴x為4.
24.D　提示:如圖1,設一個三位數與一個兩位數分別為100x+10y+z和10m+n,
則由題意得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,
∴=4,即m=4n,
∴當n=2,y=1時,z=2.5不是正整數,不符合題意,故舍去;
當n=1,y=2時,m=4,z=5,x=a,如圖2所示:
∴對于選項A,“20”左邊的數是2×4=8,故本選項不符合題意;
對于選項B,“20”右邊的“□”表示4,故本選項不符合題意;
∴a上面的數應為4a,如圖3所示:
∴運算結果可以表示為1 000(4a+1)+100a+25=4 100a+1 025,
故D選項符合題意;
當a=2時,計算的結果大于6 000,
故C選項不符合題意.
故選D.
25.驗證　10的一半是5,5=22+12.
探究　結論正確.理由如下:
(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數,且該偶數的一半也可以表示為兩個正整數的平方和.
26.發現　42-22=12=4×3,
∴42-22可以表示為3的四倍.
驗證　設a為較小的偶數,
∵9的四倍是36,∴(a+2)2-a2=36,
解得a=8,∴a+2=10,
∴這兩個連續偶數為8和10.
探究　(n+2)2-n2=4(n+1).
證明:左邊=(n+2)2-n2=n2+4n+4-n2=4n+4=4(n+1)=右邊,∴(n+2)2-n2=4(n+1).
核心突破·拓思維
例1
驗證　(1)∵22+42=4+16=20,
20÷4=5,
∴22+42的結果是4的5倍.
(2)設兩個連續偶數較小的一個為2n(n為整數),則較大的偶數為2n+2,則它們的平方和為(2n)2+(2n+2)2
=4n2+4n2+8n+4
=8n2+8n+4,
(8n2+8n+4)÷4=2(n2+n)+1.
∵n為整數,
∴2(n2+n)為偶數,
∴2(n2+n)+1為奇數,
即任意兩個連續偶數的平方和是4的奇數倍.
拓展　設三個連續偶數較小的一個為2n(n為整數),則中間的偶數為2n+2,最大的偶數為2n+4,則它們的平方和為(2n)2+(2n+2)2+(2n+4)2
=4n2+4n2+8n+4+4n2+16n+16
=12n2+24n+20
=4(3n2+6n+5),
∴任意三個連續偶數的平方和是4的倍數.
故答案為是.
變式訓練
【驗證】(2+1)2-(2-1)2
=32-12
=8
=4×2.
故答案為4×2.
【證明】∵(m+n)2-(m-n)2
=[(m+n)+(m-n)]·[(m+n)-(m-n)]
=2m×2n
=4mn.
∵m,n是正整數,
∴(m+n)2-(m-n)2是4的倍數,
即兩個正整數之和與這兩個正整數之差的平方差一定是4的倍數.
【拓展】根據【證明】得(x+y)2-(x-y)2=4xy.
又∵(x+y)2=100,xy=24,
∴100-(x-y)2=4×24,
∴(x-y)2=100-4×24=4.
例2
(1)1張邊長為a的正方形卡片,6張邊長分別為a,b的長方形卡片,9張邊長為b的正方形卡片,用這16張卡片拼成一個正方形,
∴正方形的面積為a2+6ab+9b2=(a+3b)2,
∴這個正方形的邊長為a+3b.
故答案為a+3b.
(2)設BC=x,∴S1=b(x-3a),S2=2a(x-b),∴S2-S1=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab,當2a-b=0時,無論BC的長怎樣變化,S2-S1的值都不變,即2a=b.

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