資源簡(jiǎn)介

第2講　相似三角形(含位似)
(6年8考,1~12分)
　　圖形的相似主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定,從難易程度上來(lái)說(shuō),一類以簡(jiǎn)單相似圖形的識(shí)別或計(jì)算為主,一類以在具體情境中考查相似三角形的證明與應(yīng)用為主.河北中考圖形的相似有時(shí)單獨(dú)考查,有時(shí)與其他知識(shí)結(jié)合,預(yù)測(cè)2025年河北省中考試題仍將延續(xù)這一命題特點(diǎn),并會(huì)在壓軸題中考查A字型、8字型、一線三等角等典型的相似圖形.
回歸教材·過(guò)基礎(chǔ)——河北中考核心考點(diǎn)梳理
【知識(shí)體系】
【考點(diǎn)清單】
考點(diǎn)1比例線段的相關(guān)概念及性質(zhì)　
比例線段 在四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即=,那么這四條線段a,b,c,d叫作成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段
比例的基本性質(zhì) 1.基本性質(zhì):= ad=①　　　　(b,d≠0). 2.合比性質(zhì):= =(b,d≠0). 3.分比性質(zhì):= =②　　　　.(b,d≠0) 4.等比性質(zhì):如果==…==k(b+d+…+n≠0),那么=③　　　　. 【溫馨提示】更比定理:= =
黃金分割 如圖,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果==≈0.618,那么這個(gè)比值叫作黃金比,線段AB被點(diǎn)C黃金分割.其中C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)
考點(diǎn)2平行線分線段成比例　(輪考點(diǎn))
基本事實(shí) 兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段④　　　　.如圖,兩條直線 l1和l2被三條互相平行的直線AD,BE,CF所截,則=,=, =
推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖1和圖2,若DE∥BC,則=或=⑤　　　　或=⑥　　　　,圖1也可以說(shuō)=或=或⑦　　　　=
考點(diǎn)3相似三角形的判定與性質(zhì)　(?？键c(diǎn))
相似三角形的判定1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似; 2.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形⑧　　　　; 3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且⑨　　　　相等的兩個(gè)三角形相似; 4.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
相似三角形的性質(zhì)1.對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例; 2.周長(zhǎng)之比等于⑩　　　　,面積之比等于　　　　; 3.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比
考點(diǎn)4圖形的位似　
概念如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)線段相互平行(或在一條直線上),像這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形,這個(gè)交點(diǎn)叫作位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比
位似圖形的性質(zhì)1.位似圖形是相似圖形,具備相似圖形的所有性質(zhì); 2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn); 3.位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比; 4.位似圖形中的對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)
【基礎(chǔ)演練】
1.(北師九上P79隨堂練習(xí)第2題變式)若3a=4b(b≠0),則的值為 (　　)
A. B.
C. D.
2.(北師九上P84第1題(1)變式)如圖,已知AB∥CD∥EF,BD∶DF=1∶2,那么下列結(jié)論中,正確的是 (　　)
A.AC∶AE=1∶3
B.CE∶EA=1∶3
C.CD∶EF=1∶2
D.AB∶EF=1∶2
3.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,點(diǎn)O為位似中心,已知BO∶OE=2∶1,則△ABC與△DEF的面積之比是 (　　)
A.1∶2
B.1∶4
C.2∶1
D.4∶1
4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AC邊上,連接BD,若∠ABC=∠ADB,AD=2,AC=6,則AB的長(zhǎng)為 (　　)
A.3
B.4
C.
D.2
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1相似三角形的判定與性質(zhì)　(6年8考)
1.(2021·河北8題3分)圖1是裝了液體的高腳杯示意圖(數(shù)據(jù)如圖),用去一部分液體后如圖2所示,此時(shí)液面AB的長(zhǎng)度為 (　　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.(2022·河北18題3分)如圖,這是釘板示意圖,每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形頂點(diǎn),釘點(diǎn)A,B的連線與釘點(diǎn)C,D的連線交于點(diǎn)E,則
(1)AB與CD是否垂直 　　　　(填“是”或“否”).
(2)AE=　　　　.
3.(2024·河北19題4分)如圖,△ABC的面積為2,AD為BC邊上的中線,A,C1,C2,C3是線段CC4的五等分點(diǎn),A,D1,D2是線段DD3的四等分點(diǎn),A是線段BB1的中點(diǎn).
(1)△AC1D1的面積為　　　　.
(2)△B1C4D3的面積為　　　　.
考向2位似　(6年3考)
4.(2020·河北8題3分)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是 (　　)
A.四邊形NPMQ
B.四邊形NPMR
C.四邊形NHMQ
D.四邊形NHMR
核心突破·拓思維——學(xué)科核心素養(yǎng)提升
題型　相似三角形的判定與性質(zhì)
如圖,在等邊△ABC中,直尺(單位:cm)的一邊與BC重合,另一邊分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)B,C,D,E處的讀數(shù)分別為18,14,1,3.
(1)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為　　　　cm.
(2)直尺的寬為　　　　　　　　cm.
　　(1)觀察圖中數(shù)據(jù),可以得到BC的長(zhǎng)度,即等邊△ABC的邊長(zhǎng).
(2)作△ABC中BC邊上的高,依據(jù)“相似三角形的高的比等于相似比”,列比例式求解.
(原創(chuàng)·一圖多變)在△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)DE∥BC時(shí):
①請(qǐng)寫出圖中的相似三角形:　　　　;
②若=,DE=6,則BC=　　　　;
③連接DC,BE交于點(diǎn)O,若D為AB的中點(diǎn),四邊形DECB的面積等于9,則△ADE的面積為　　　　,△DOE的面積為　　　　.
(2)如圖2,當(dāng)DE與BC不平行時(shí):
①請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件　　　　(寫一個(gè)即可),使得△ADE∽△ACB;
②若△ADE∽△ACB,且=,DE=10,則BC=　　　　.
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),若∠ADC=∠ACB, AD=3,BD=2,則△ACD與△ABC的相似比為　　　　.
(4)如圖4,當(dāng)∠C=90°,且ED⊥AB 時(shí):
①寫出圖中的相似三角形:　　　　.
②如圖5,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,寫出圖中的相似三角形:　　　　; 若AD=9,BD=4,則CD=　　　　,AC=　　　　.
　　相似三角形的常見(jiàn)圖形之間存在著密切關(guān)系.我們還可以將DE向上平移與AB,AC的反向延長(zhǎng)線相交,得到如下圖形.若帶有標(biāo)記的兩個(gè)角相等,則圖中的兩個(gè)三角形仍然相似.
參考答案
考點(diǎn)清單
①bc?、凇、踜　④成比例?、荨、蕖、?br/>⑧相似　⑨夾角?、庀嗨票取∠嗨票鹊钠椒健?br/>基礎(chǔ)演練
1.C　2.A　3.D　4.D
真題精粹·重變式
1.C
2.(1)是　(2)
3.(1)1　(2)7
提示:(1)如圖,連接B1D1,B1D2,B1C2,B1C3,C3D3.
∵△ABC的面積為2,AD為BC邊上的中線,
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1.
∵A,C1,C2,C3是線段CC4的五等分點(diǎn),
∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4.
∵A,D1,D2是線段DD3的四等分點(diǎn),
∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3.
∵A是線段BB1的中點(diǎn),
∴AB=AB1=BB1.
在△AC1D1和△ACD中,
∴△AC1D1≌△ACD(SAS),
∴=S△ACD=1,∠C1D1A=∠CDA,
∴△AC1D1的面積為1,
故答案為1.
(2)在△AB1D1和△ABD中,
∴△AB1D1≌△ABD(SAS),
∴=S△ABD=1,∠B1D1A=∠BDA.
∵∠BDA+∠CDA=180°,
∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,
∴C1,D1,B1三點(diǎn)共線,
∴=+=1+1=2.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴=4=4×2=8.
∵AD1=D1D2=D2D3,=1,
∴=3=3×1=3.
在△C3AD3和△CAD中,
=3=,∠C3AD3=∠CAD,
∴△C3AD3∽△CAD,
∴=2=32=9,
∴=9S△CAD=9×1=9.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴==×9=12,
∴=+-=12+3-8=7,
∴△B1C4D3的面積為7,
故答案為7.
4.A
核心突破·拓思維
例1(1)4　(2)
提示:(1)由題意,得BC=18-14=4(cm).
∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC=4(cm),
∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4 cm.
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE,垂足為F,延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)G.
∵△ABC是等邊三角形,DE∥BC,
∴AG⊥BC,∴BG=BC=2(cm).
∵AB=4 cm,∴AG===2(cm).
由題意得DE=3-1=2(cm),DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC,∴=,∴=,
∴AF= cm,∴FG=AG-AF=(cm),∴直尺的寬為 cm.
變式訓(xùn)練
(1)①△ADE∽△ABC?、?5?、?　1
(2)①∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或AD∶AC=AE∶AB?、?5
(3)
(4)①△ADE∽△ACB?、凇鰽DC∽△ACB∽△CDB
6　3

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