資源簡介

第2講　等腰三角形與直角三角形
(6年15考,2~7分)
　　等腰三角形和直角三角形主要考查等腰、等邊和直角三角形的性質與判定,常見輔助線的作法以及分類討論思想的應用.從難易度上分為兩類,第一類以簡單的計算或證明為主,第二類以等腰三角形或直角三角形為圖形背景考查幾何證明與計算.河北省中考一般作為背景考查,預計2025年仍將延續.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1等腰三角形的性質與判定　(常考點)
性質 1.等邊對等角:兩腰相等,兩①　　　　相等. 2.“三線合一”:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合. 3.對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,有②　　　　條對稱軸
判定 1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形. 2.有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)
考點2等邊三角形的性質與判定　
性質1.邊角關系:三邊相等,三個內角相等且都等于③　　　　. 2.“三線合一”:任意一邊上的高、中線及其對角的平分線互相重合. 3.對稱性:等邊三角形是軸對稱圖形,三條高(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸
判定1.定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形. 2.三個角都相等(均為60°)的三角形是等邊三角形. 3.有一個角為60°的④　　　　三角形是等邊三角形
考點3直角三角形的性質與判定　(?？键c)
性質1.兩銳角互余. 2.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半. 3.斜邊上的中線等于斜邊的⑤　　　　. 4.勾股定理:兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即⑥　　　　. 5.在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于⑦　　　　
判定1.有一個角為90°的三角形是直角三角形. 2.兩個銳角互為⑧　　　　的三角形是直角三角形. 3.勾股定理逆定理:已知三角形的邊長分別為a,b,c,若a2+b2=c2,則這個三角形是直角三角形
【基礎演練】
1.(人教八上P77第2題變式)如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底邊BC上的高,下面結論不一定成立的是 (　　)
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
2.(冀教八上P143習題A組第1題(1)變式)如圖,圖中共有等腰三角形 (　　)
A.4個 B.5個 C.3個 D.2個
3.已知等邊△ABC的邊長AB=8,則△ABC的面積為 (　　)
A.16 B.24 C.32 D.64
4.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,D為AB的中點,則CD為　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1等腰三角形的性質與判定　(6年5考)
1.(2023·河北5題3分)四邊形ABCD的邊長如圖所示,對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當△ABC為等腰三角形時,對角線AC的長為 (　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
考向2勾股定理　(6年10考)
2.(2020·河北16題2分)如圖,這是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案.現有五種正方形紙片,面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊(可重復選取)按圖中所示的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三塊紙片的面積分別是 (　　)
A.1,4,5 B.2,3,5
C.3,4,5 D.2,2,4
3.變圖形——作直角三角形 如圖,以Rt△ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=,則圖中陰影部分的面積為 (　　) A.3　　　　　　B. C.3 D.3
4.(2019·河北19題4分)勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系,并標示了A,B,C三地的坐標,數據(單位:km)如圖所示.筆直的鐵路經過A,B兩地.
(1)A,B間的距離為　　　　km.
(2)計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個維修站D,使D到A,C的距離相等,則C,D間的距離為　　　　km.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　等腰三角形的性質與判定
(2024·邯鄲二模)如圖,M,N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM8;乙答:a=4.下列說法正確的是 (　　)
A.只有甲對　　　　　　　　　　 B.只有乙對
C.甲、乙答案合一起才完整 D.甲、乙答案合一起也不對
　　等腰三角形以及特殊的等腰三角形——等邊三角形,經常出現在河北省中考試卷的各種題型中,作為重要的構圖要素,結合其他幾何圖形進行考查.在解題時,符合題意的圖形如果有多種情況,一定要分類討論,不能遺漏.
1.(2024·石家莊一模)對于題目:“在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,分別以點A,B為圓心,AB的長為半徑畫弧,兩條弧相交于點P,求∠APC的度數”.嘉嘉求解的結果是∠APC=80°,淇淇說:“嘉嘉的解答正確但不全面,∠APC還有另一個不同的值.”則下列判斷中,正確的是 (　　)
A.淇淇說得對,∠APC的另一個值是40°
B.淇淇說得不對,∠APC只能等于80°
C.嘉嘉求的結果不對,∠APC應等于85°
D.兩人都不對,∠APC應有3個不同的值
2.有一題目:“如圖,∠ABC=40°,BD平分∠ABC,過點D作DE∥AB交BC于點E,若點F在AB上,且滿足DF=DE,求∠DFB的度數.”小賢的解答:以D為圓心,DE的長為半徑畫圓交AB于點F,連接DF,則DE=DF,由圖形的對稱性可得∠DFB=∠DEB.結合平行線的性質可求得∠DFB=140°.而小軍說:“小賢考慮得不周全,∠DFB還應有另一個不同的值.”下列判斷正確的是 (　　)
A.小軍說得對,且∠DFB的另一個值是40°
B.小軍說得不對,∠DFB只能等于140°
C.小賢求的結果不對,∠DFB應該是20°
D.兩人都不對,∠DFB應有3個不同的值
題型2　勾股定理
發現:如果兩個連續的正整數的和可以表示成某一個正整數的平方,那么以這三個正整數為邊長的三角形是直角三角形.
驗證:如12+13=25=52,請判斷以12,13和5為邊長的三角形是否為直角三角形.
探究:設兩個連續的正整數m和m+1的和可以表示成正整數n2,請論證“發現”中的結論正確.
求出∠BAC的度數
↓
依題意畫出圖形,兩弧相交于點P,P',連接PB,P'B
↓
根據作圖可知△APB,△AP'B均為等邊三角形
↓
根據等腰三角形性質與三角形的內角和分別求出∠APC與∠AP'C的度數
↓
判斷兩人說法是否正確
　　小賢解答的可取之處在于通過構造輔助圓來確定點F的位置,但輔助圓與AB有兩個交點,它們都符合條件,所以要分類討論.在得到一種情況后,解答另外一種情況時,經常轉化為第一種情況,或者利用第一種情況的結果.
　　勾股定理是關于直角三角形的著名定理,其中承載著中華優秀傳統文化,是中考試卷的必考內容,既可以單獨考查,也可以在幾何綜合題中作為重要工具使用,還能利用其數形結合的特點,與整式等代數知識相結合.
應用:尋找一組含正整數9,且滿足“發現”中的結論的數字.
　　　　勾股定理使用策略
直角三角形
勾股定理↓↑逆定理
兩條較小邊的平方和等于最大邊的平方
變↓式
最大邊與另一邊的平方差等于第三邊的平方
1.如圖,在4×4的正方形網格中,O為格點,點A,B都在網格線上,已知線段OA和線段OB的長都是整數,則=　　　　.
2.如圖1,將長為3a+1、寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形,再拼成“趙爽弦圖”(如圖2),得到兩個正方形.
(1)圖2中小正方形的邊長為　　　　(用含a的代數式表示).
(2)當a=1時,該大正方形的面積是　　　　.
正方形(或長方形)網格中的網格線縱橫交錯形成直角,可以形成多個直角三角形,為利用勾股定理解題奠定了基礎,所以,在網格圖中求線段的長度,通常要借助網格線構造直角三角形,再利用勾股定理求解.熟記常見的勾股數能提高解題效率.
參考答案
考點清單
①底角?、谝弧、?0°?、艿妊、菀话?br/>⑥a2+b2=c2　⑦30°?、嘤嘟?br/>基礎演練
1.B　2.B　3.A
4.4
真題精粹·重變式
1.B　2.B　3.A
4.(1)20　(2)13
核心突破·拓思維
例1　C　
提示:如圖,作線段MN的垂直平分線交OB于點P,連接PM,PN.
則PM=PN,此時△PMN是等腰三角形.
①過點M作MH⊥OB于點H,
當MH>MN,滿足條件的點P恰好只有一個.
∵MN=4,∠AOB=30°,
當MH=4時,OM=2MH=8,
∴當a>8時,滿足條件的點P恰好只有一個;
②當△PMN是等邊三角形時,滿足條件的點P恰好只有一個,
此時MN=MP,∠NMP=60°.
∵∠AOB=30°,∴∠MPO=30°,
∴OM=MP=MN=4,∴a=4.
綜上所述,a的取值范圍是a=4或a>8,故選C.
變式訓練
1.A　提示:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(70°+70°)=40°,依題意分別以點A,B為圓心,AB的長為半徑畫弧,兩條弧相交于點P,P',連接PB,P'B,如圖所示,
根據作圖可知:AB=AP=BP=AC=AP'=BP',
∴△APB,△AP'B均為等邊三角形,
∴∠BAP=60°,∠BAP'=60°.
在△ACP中,AC=AP,∠CAP=∠BAP-∠BAC=20°,
∴∠APC=(180°-∠CAP)=(180°-20°)=80°.
在△AP'C中,AP'=AC,∠CAP'=∠BAP'+∠BAC=100°,
∴∠AP'C=(180°-∠CAP')=×(180°-100°)=40°,
∴淇淇說得對,∠APC的另一個值是40°.故選A.
2.A　提示:如圖,以D為圓心,DE的長為半徑畫圓交AB于點F,F',連接DF,DF',則DE=DF=DF',∴∠DFF'=∠DF'F.
∵BD平分∠ABC,由圖形的對稱性可知∠DFB=∠DEB.
∵DE∥AB,∠ABC=40°,
∴∠DEB=180°-40°=140°,∴∠DFB=140°.
當點F位于點F'處時,
∵DF=DF',∴∠DF'B=∠DFF'=40°,故選A.
例2
驗證:
52+122=169,132=169,
∴52+122=132,
∴以12,13和5為邊長的三角形是直角三角形.
探究:
由“發現”得m+m+1=n2,
∴n2=2m+1,
∴n2+m2=m2+2m+1=(m+1)2,
∴以n,m,m+1為邊長的三角形是直角三角形,
∴“發現”中的結論正確.
應用:
∵40+41=92,
∴92+402=1681,412=1681,
∴92+402=412,
∴以9,40,41為邊長的三角形是直角三角形.
變式訓練
1.5　提示:如圖,由題意可得OD=2,OE=2,2由勾股定理,得OA2=OD2+AD2=4+AD2,
OB2=OE2+BE2=4+BE2,
∴8∵線段OA、線段OB的長都是整數,
∴OA2=9,OB2=16,
∴==5.
2.(1)2a+1　(2)17
提示:(1)∵直角三角形較短的直角邊=×2a=a,
較長的直角邊=3a+1,
∴小正方形的邊長=3a+1-a=2a+1.
(2)由(1)得,當a=1時,直角三角形兩條直角邊的長分別為1,4,
∴大正方形的面積=()2=17.

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