資源簡介

第1節　圓的基本性質
(6年3考,2分)
　　圓的基本性質的考查多以圓周角定理,垂徑定理和弧、弦、圓心角之間的關系為主,一般以選擇題和填空題的形式出現,也有一些簡單的解答題,復習時一是要熟練掌握圓的相關定理和性質,二是要強化訓練常考題型,舉一反三.但隨著新課程標準將垂徑定理作為必學內容這一變化的出現,2023年和2024年在解答題中進行了重點考查,預測2025年的中考試題會更多體現新課標的理念.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1圓的有關概念　(輪考點)
定義 幾何定義:圓是平面上到定點(圓心)的距離等于定長(半徑)的點的集合,如圖所示的圓記為☉O
旋轉定義:圓也可以看作是一條線段繞其固定的一端點(圓心)旋轉一周,其另一端點所描繪出的軌跡
弦與直徑 連接圓上任意兩點的線段(線段AD)叫作弦,過圓心的弦叫作直徑(線段AB),直徑是圓內①　　　　的弦
弧 圓上任意兩點間的部分叫作弧,小于半圓的弧叫②　　　　(如),大于半圓的弧叫③　　　　(如)
等弧 同圓或等圓中,能夠互相重合的弧
圓心角 頂點在圓心的角(如∠AOC)
圓周角 頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角(如∠ADC)
弦心距 圓心到弦的距離(線段OE的長)
考點2垂徑定理及其推論　(輪考點)
定理 垂直于弦的直徑④　　　　,并且平分弦所對的兩條弧
推論 1.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧 2.弦的⑤　　　　經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧
延伸 如圖,根據圓的對稱性,在以下五條結論中: 1.=. 2.=. 3.CE=⑥　　　　. 4.AB⊥⑦　　　　. 5.AB是直徑. 只要滿足其中兩個,另外三個結論一定成立,即知二推三
考點3圓心角、弧、弦及弦心距的關系　(輪考點)
定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的⑧　　　　相等,所對的⑨　　　　相等,所對弦的弦心距也相等
推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦及弦心距中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等
【溫馨提示】圓心角、弧、弦和弦心距之間的等量關系必須在同圓或等圓中才成立
考點4圓周角定理及其推論　(輪考點)
定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的⑩　　　　,如圖1,∠A=∠BOD
示例圖 圖1 圖2 圖3
推論 1.同弧或等弧所對的圓周角相等,如圖2,∠A=∠C 2.半圓或直徑所對的圓周角是直角,如圖3,∠C=90°
圓內接四邊形 圓內接四邊形的對角互補,如圖1,∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°
【基礎演練】
1.下列說法中,正確的是 (　　)
A.過圓心的直線是圓的直徑
B.直徑是圓中最長的弦
C.相等長度的兩條弧是等弧
D.頂點在圓上的角是圓周角
2.(北師九下P80隨堂練習第1題變式)如圖,AB是☉O的直徑,
∠D=32°,則∠AOC等于 (　　)
A.158°
B.58°
C.64°
D.116°
3.如圖,OA,OB,OC都是☉O的半徑,AC,OB交于點D.若AD=CD=8,OD=6,則BD的長為 (　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
4.如圖,將一個縱截面為半圓的容器水平放置,然后向其中倒入部分液體,測得數據如圖所示(單位:cm),則液面寬度AB的長為 (　　)
A.8 cm
B.4 cm
C.4 cm
D.8 cm
5.如圖,點A,B,C,D均在直線l上,點P在直線l外,則經過其中任意三個點,最多可畫出圓的個數為 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(冀教九上P158習題第2題變式)如圖,在☉O中,AB為直徑,C為圓上一點,∠BAC的平分線與☉O交于點D,若∠ADC=20°,則∠BAD=　　　　°.
7.如圖,在☉O中,四邊形OABC為菱形,點D在上,則∠ADC的度數是　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1圓周角定理及垂徑定理　(6年6考)
1.(2021·河北16題2分)如圖,在等腰△AOB中,頂角∠AOB=40°,用尺規按①到④的步驟操作:
①以O為圓心,OA為半徑畫圓;
②在☉O上任取一點P(不與點A,B重合),連接AP;
③作AB的垂直平分線與☉O交于M,N兩點;
④作AP的垂直平分線與☉O交于E,F兩點.
結論Ⅰ:順次連接M,E,N,F四點必能得到矩形.
結論Ⅱ:☉O上只有唯一的點P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
對于結論Ⅰ和Ⅱ,下列判斷正確的是 (　　)
A.Ⅰ和Ⅱ都對
B.Ⅰ和Ⅱ都不對
C.Ⅰ不對Ⅱ對
D.Ⅰ對Ⅱ不對
考向2垂徑定理的實際應用　(6年2考)
2.石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶(如圖1),隋代建造的趙州橋距今約有1 400年歷史,是我國古代石拱橋的代表.圖2是根據某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形,橋的主橋拱是圓弧形,表示為.橋的跨度(弧所對的弦長)AB=26 m,設所在圓的圓心為O,半徑OC⊥AB,垂足為D.拱高(弧的中點到弦的距離)CD=5 m.連接OB.
(1)直接判斷AD與BD的數量關系. (2)求這座石拱橋主橋拱的半徑(精確到1 m).
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　垂徑定理及其推論
(2024·石家莊一模)“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何 ”用現在的幾何語言表達為如圖,CD為☉O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,CE=1寸,AB=10寸,則直徑CD的長度是 (　　)
A.12寸 B.24寸 C.13寸 D.26寸
　　垂徑定理及其推論是基于圓的軸對稱性質得到的一系列結論,在近年來的河北省中考中有時會與圓的其他知識綜合考查,主要涉及計算類問題.除了常規問題外,幾何計算類問題也常放置到實際問題的情境中,或結合中華優秀傳統文化進行考查.
　　圓中常用輔助線口訣
圓的證明不算難,常把半徑或弦連;有弦要想弦心距,它定垂直平分弦;
弧有中點圓心連,等弧對角要找全;作個直徑再連弦,直角三角形定現.
題型2　與圓有關的角度計算
如圖,量角器的直徑與直角三角板ABC(∠BAC=30°)的斜邊AB重合,其中量角器0刻度線的端點N與點A重合,射線CP從CA處出發沿順時針方向以每秒2度的速度旋轉,CP與量角器的半圓弧交于點E,第8秒時,點E在量角器上對應的讀數是　　　　.
　　圓的很多基本性質與角度有關,比如圓周角與圓心角,圓內接四邊形對角,直徑所對的圓周角等,以及角與弧、弦的關系等,這些都能成為命題要素,既可以在選擇題中單獨考查,也可以放到圓的綜合題中進行考查.
參考答案
考點清單
①最長　②劣弧　③優弧　④平分這條弦
⑤垂直平分線　⑥DE　⑦CD　⑧弧　⑨弦　⑩一半
基礎演練
1.B　2.D　3.B　4.D　5.D
6.35　7.60°
真題精粹·重變式
1.D　提示:如圖,連接EM,EN,MF,NF.
∵OM=ON,OE=OF,
∴四邊形MENF是平行四邊形.
∵EF=MN,∴四邊形MENF是矩形,故Ⅰ正確.
觀察圖象可知,當∠MOF=∠AOB時,S扇形FOM=S扇形AOB,
觀察圖象可知,這樣的點P不唯一,故Ⅱ錯誤,
故選D.
2.(1)∵OC⊥AB,∴AD=BD.
(2)設主橋拱的半徑為R,由題意可知AB=26,CD=5,
∴BD=AB=13,
∴OD=OC-CD=R-5.
∵∠ODB=90°,∴OD2+BD2=OB2,
∴(R-5)2+132=R2,
解得R=19.4≈19.
答:這座石拱橋主橋拱的半徑約為19 m.
核心突破·拓思維
例1D　提示:如圖,連接OA.
∵AB⊥CD,且AB=10寸,由垂徑定理,得AE=BE=5寸.
設圓O的半徑OA的長為x,則OC=OD=x.
∵CE=1,∴OE=x-1.
在Rt△AOE中,根據勾股定理,得x2-(x-1)2=52,
化簡,得x2-x2+2x-1=25,即2x=26,∴CD=26(寸),故選D.
例2
32°　提示:如圖,連接OE.
∵∠ACB=90°,
∴點C在以AB為直徑的圓上,即點C在☉O上,
∴∠EOA=2∠ECA.
∵∠ECA=2°×8=16°,
∴∠AOE=2∠ECA=2×16°=32°.
∵量角器0刻度線的端點N與點A重合,
∴點E在量角器上對應的讀數是32°.

展開更多......

收起↑