資源簡介

第1節　實數(含二次根式)
(每年2~6題,6~23分)
　　實數是河北中考必考知識,重點是有理數及其相關概念、科學記數法與有理數的運算,主要出現在選擇題與解答題的第一題,以基礎性問題為主,突出考查基本概念與算理算法.簡單的無理數或二次根式運算偶爾出現,更多情況下,將其作為重要的解題工具,參與到實數的運算、解一元二次方程、勾股定理、三角函數等內容中.預測2025年河北省中考試卷仍將保持這一特點,重點關注數軸與有理數的運算,計算題會以新穎的形式呈現,不會出現繁雜的大計算量問題.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1實數的分類　(輪考點)
按定義分 小數
續表
按正、負性分 實數
考點2實數的相關概念　(常考點)
數軸1.三要素:原點、正方向、單位長度. 2.特征:實數與數軸上的點一一對應,通常規定直線上從原點向右(或上)為正方向,從原點向左(或下)為負方向
相反數1.概念:只有符號不同的兩個數互為相反數. 2.代數意義:a,b互為相反數 a+b=0. 3.幾何意義:在數軸上位于原點兩側,與原點距離相等的兩個點所表示的數互為相反數
絕對值1.幾何意義:一個數在數軸上所對應點到原點的距離. 2.運算性質:|a|= |a-b|= 3.非負性:|a|≥0,若|a|+b2=0,則a=b=⑥　　　　
倒數1.概念:乘積為1的兩個數互為倒數,a的倒數為⑦　　　　(a≠0). 2.代數意義:ab=1 a,b互為倒數. 【溫馨提示】0沒有倒數,倒數等于本身的數是±1
考點3科學記數法　(常考點)
定義把一個數表示成a×10n的形式(1≤|a|<10,n為整數)
確定n的方法當原數的絕對值≥10時,n為正整數,它等于原數的整數位數減1;當0<原數的絕對值<1時,n為負整數,n的絕對值等于原數左起第一個非零數字前所有零的個數(含小數點前的零)
考點4實數的大小比較　
數軸比較法通常規定正方向向右時,右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大
性質比較法正數>0>負數,兩個負數比較大小,絕對值大的反而⑧　　　　
作差比較法a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a平方法a2>b2 a>b(a>0,b>0)
考點5實數的運算　(常考點)
運算法則 加法法則 同號相加:取相同的符號,并把絕對值相加
異號相加:絕對值相等時,和為0;絕對值不等時,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值
減法法則 減去一個數等于加上這個數的相反數:a-b=a+(-b)
乘除法則 兩數相乘(除),同號得正,異號得負,并把絕對值相乘(除);任何數同0相乘后得0;0除以任何非零數,仍得0. 【溫馨提示】幾個不為0的數相乘,積的符號由負因數的個數決定.當負因數有奇數個時,積為負;當負因數有偶數個時,積為正
運算律 加法 交換律:a+b=b+a. 結合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
乘法 交換律:ab=ba. 結合律:(ab)c=a(bc). 分配律:a(b+c)=ab+ac
常見運算 乘方 幾個相同因數的積;負數的偶(奇)次方為正(負)
零次冪 a0=⑨　　　　(a≠0)
平方根、算術平方根 若x2=a(a≥0),則x=　　　　　　　　,其中　　　　　　　　是算術平方根
立方根 若x3=a,則x=　　　　　　　　
混合運算 先乘方、開方,再乘除,最后加減;同級運算,從左向右進行;如有括號,先做括號內的運算,按小括號、中括號、大括號依次進行.計算時,可以結合運算律,使問題簡單化
考點6二次根式　(常考點)
概念一般地,我們把形如(a　　　　0)的式子叫作二次根式
最簡二次根式同時滿足下列兩個條件的二次根式:1.被開方數不含分母. 2.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式,如,都不是最簡二次根式
二次根式的性質1.≥0,a≥0(雙重非負性). 2.()2=　　　　(a≥0). 3.=|a|= 4.=·(a≥0,b≥0). 5.=(a≥0,b>0)
二次根式的運算1.加減運算:先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數相同的二次根式進行合并. 2.乘除運算:·=(a≥0,b≥0); =(a≥0,b>0). 3.分母有理化
【基礎演練】
1.(北師八上P25第1題變式)若-□是正無理數,則“□”可以是 (　　)
A.(-) B.-
C.0 D.3.14
2.(人教八下P2例1變式)若y=有意義,則x的取值范圍是 (　　)
A.x>0 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2
3.-3表示的意義是 (　　)
A.-×-×-
B.-+-+-
C.
D.
4.下列二次根式中,能與合并的是 (　　)
A. B. C. D.
5.(人教八上P147第8題變式)數0.000 000 12用科學記數法表示為1.2×10-n,當n增大1時,相當于原數 (　　)
A.乘10 B.除以10
C.增加10 D.減少10
6.關于,下列說法不正確的是 (　　)
A.是最簡二次根式
B.是無理數
C.整數部分是2
D.一定能夠在數軸上找到表示的點
7.如圖,在數軸上注明了四段范圍,若某段上有兩個整數,則這段是 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
8.有甲、乙兩個算式:
甲:=2.乙:2+3=5.
下列說法正確的是 (　　)
A.甲對
B.乙對
C.甲、乙均對
D.甲、乙均不對
9.下列運算或化簡正確的是 (　　)
A.= B.2+=2
C.×=2 D.+3=4
10.(北師八上P50第6題變式)已知a,b為兩個連續的整數,a<11.如圖,這是洪濤同學的小測卷,他的得分應是　　　　分.
姓名:　洪濤　　　　　　得分:　 　
填空(每小題25分,共100分)
①2的相反數是　-2　;
②倒數等于它本身的數是　1和-1　;
③-1的絕對值是　1　;
④8的立方根是　2　.
12.算式:在-8□2中,“□”表示“+、-、×、÷”中的一個.
(1)若“□”表示“-”,其結果為　　　　.
(2)若結果為-4,則“□”表示　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
　　①將河北近6年真題按考向進行分類;
②部分近6年河北未考查的重要考向,設置“考向拓展”;
③針對河北高頻考向下的典型試題設置“真題變式”進行強化.
考向1實數的分類　(6年1考)
1.(2023·河北2題3分)規定:(→2)表示向右移動2,記作+2,則(←3)表示向左移動3,記作 (　　)
A.+3 B.-3
C.- D.+
考向2實數的相關概念　(6年3考)
2.(2024·河北5題3分)能與--相加得0的是 (　　)
A.-- B.+
C.-+ D.-+
考向3科學記數法　(6年6考)
3.(2022·河北6題3分)某正方形廣場的邊長為4×102 m,其面積用科學記數法表示為 (　　)
A.4×104 m2 B.16×104 m2
C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
4.(2023·河北8題3分)一次抽獎活動特等獎的中獎率為,把用科學記數法表示為 (　　)
A.5×10-4 B.5×10-5
C.2×10-4 D.2×10-5
5.(2023·河北10題2分)光年是天文學上的一種距離單位,一光年是指光在一年內走過的路程,約等于9.46×1012 km,下列正確的是 (　　)
A.9.46×1012-10=9.46×1011
B.9.46×1012-0.46=9×1012
C.9.46×1012是一個12位數
D.9.46×1012是一個13位數
6.(2024·河北13題2分)已知光速為300 000千米/秒,光經過t(1≤t≤10)秒傳播的距離用科學記數法表示為a×10n千米,則n可能為 (　　)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
考向4實數的大小比較　(6年1考)
7.(2024·河北1題3分)如圖,這是某地連續5天的日最低氣溫,則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是 (　　)
考向5平方根、算術平方根、立方根　(6年2考)
8.(2024·河北4題3分)與結果相同的是 (　　)
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
9.(2022·河北4題3分)下列計算正確的是 (　　)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
考向6無理數的估值　(6年1考)
10.(2024·河北18題4分)已知a,b,n均為正整數.
(1)若n<(2)若n-1<考向7數軸　(6年6考)
11.(2024·河北11題2分)如圖,將數軸上-6與6兩點間的線段六等分,這五個等分點所對應的數依次為a1,a2,a3,a4,a5,則下列說法正確的是 (　　)
A.a3>0
B.|a1|=|a4|
C.a1+a2+a3+a4+a5=0
D.a2+a5<0
12.(2024·河北20題9分)如圖,有甲、乙兩條數軸.甲數軸上的三點A,B,C所對應的數依次為-4,2,32,乙數軸上的三點D,E,F所對應的數依次為0,x,12.
(1)計算A,B,C三點所對應的數的和,并求的值.
(2)當點A與點D上下對齊時,點B,C恰好分別與點E,F上下對齊,求x的值.
考向8二次根式的運算　(6年2考)
13.(2023·河北7題2分)若a=,b=,則= (　　)
A.2 B.4 C. D.
14.(2024·河北17題3分)已知-=a-=b,則ab=　　　　.
15.變運算——減法變乘法 若×==a,則a-b=　　　　.
考向9實數的運算　(6年5考)
16.(2022·河北3題3分)與-3相等的是 (　　)
A.-3- B.3-
C.-3+ D.3+
17.(2024·河北9題3分)若取1.442,計算-3-98的結果是 (　　)
A.-100 B.-144.2
C.144.2 D.-0.014 42
18.變考法——融入加法結合律 嘉琪同學在計算4-2++3時,運算過程正確且比較簡便的是 (　　) A.4-3-2- B.4+3-2-
C.4-2++3 D.4+-2-3
19.(2023·河北20題8分)有個填寫運算符號的游戲:在“1□2□6□9”中的每個□內,填入“+”“-”“×”“÷”中的某一個(可重復使用),然后計算結果.
(1)計算:1+2-6-9.
(2)若1÷2×6□9=-6,請推算□內的符號.
(3)在“1□2□6-9”的□內填入符號后,使計算所得數最小,直接寫出這個最小數.
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　數軸上的點與實數的關系
用直尺畫數軸時,數軸上的點A,B,C分別代表數字a,b,c,已知AB=6,BC=2,如圖所示.設p=a+b+c,該數軸的原點為O.
(1)若點A所表示的數是-1,則點C所表示的數是　　　　.
(2)若點A,B所表示的數互為相反數,則點C所表示的數是　　　　,此時p的值為　　　　.
(3)若數軸上點C表示的數為4,求p的值.
　　數軸的三要素是原點、正方向和單位長度,它們都是“規定”的.
河北中考重點考查的是原點,數軸上原點的位置改變時,同一個點表示的數也有所不同,確定點所表示的數是解題關鍵.有時也考查單位長度,通過單位長度的縮放改變點所表示的數.
本題中數軸的正方向和單位長度都是確定的,同一個點所表示的數不同,是原點的位置變化造成的.
　　“數軸上的點與實數的關系”題型解法的一般步驟
分析點的數據和位置特征確定原點位置得到其他點所表示的數代入數值進行計算
題型2　有理數的運算
佳佳在“+”“-”“×”“÷”四個符號中選了一個符號,填入22+2×1□的□中,計算的結果是8.
(1)佳佳選取的運算符號是　　　　.
(2)佳佳認為:把題目中的“2”(指數除外)換成“a”(a≠0)后,在□中填入“×”一定比在□中填入“÷”的值大,請通過計算說明佳佳的說法是否正確.
　　運算符號殘缺型算式解法“三字訣”
序號口訣做法依據
1算能計算的部分先進行計算實數的運算法則和運算律
2猜根據結果和已知信息逆推,猜想缺少的運算符號有哪幾種可能,排除明顯不合題意的運算符號逆運算之間的關系和運算法則
3驗對猜想的符號進行逐一驗證,確定最終答案實數的運算法則和運算律
　　利用缺少數字或運算符號等不完整的算式,考查逆向思維和算理算法.有時會與最大值、最小值或取值范圍相結合.
參考答案
考點清單
①0　②分數　③無理　④-a　⑤b-a　⑥0　⑦
⑧小　⑨1　⑩±　　　≥　a　a　-a
基礎演練
1.A　2.B　3.A　4.C　5.B　6.A
7.B　8.D　9.D
10.9　11.100
12.-10　÷
真題精粹·重變式
1.B　2.C　3.C　4.D　5.D
6.C　提示:當t=1時,光傳播的距離為1×300 000=300 000=3×105(千米),則n=5;
當t=10時,光傳播的距離為10×300 000=3 000 000=3×106(千米),則n=6.
∵1≤t≤10,∴n可能為5或6.故選C.
7.A　8.A　9.B
10.(1)3　(2)2
11.C
12.(1)∵點A,B,C所對應的數依次為-4,2,32,
∴A,B,C三點所對應的數的和為-4+2+32=30.
∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,
∴==.
(2)由數軸得DE=x-0=x,DF=12-0=12,
由題意得=,
∴=,
∴x=2.
13.A　14.6　15.-2　16.A　17.B　18.B
19.(1)原式=-12.
(2)∵1÷2×6□9=-6,∴1××6□9=-6,
∴3□9=-6,∴□內的符號是“-”.
(3)這個最小數是-20.
提示:在“1□2□6-9”的□內填入符號后,使計算所得數最小,則1□2□6的結果最小.
第一個□內排除“+”“×”,第二個□內排除“+”.
經過試算,可知1□2□6的最小值是1-2×6=-11,
∴1□2□6-9的最小值是-11-9=-20,
∴這個最小數是-20.
核心突破·拓思維
例1
(1)7.
提示:∵AB=6,BC=2,
∴AC=AB+BC=6+2=8.
∵點A所表示的數是-1,
∴點C所表示的數是-1+8=7.
(2)5;5.
提示:∵點A,B所表示的數互為相反數,
∴原點O是線段AB的中點.
∵AB=6,
∴OA=OB=3,
∴a=-3,b=3.
∵BC=2,
∴c=3+2=5,
∴p=a+b+c=-3+3+5=5.
(3)∵點C表示的數為4,AB=6,BC=2,
∴c=4,b=4-2=2,a=2-6=-4,
∴p=a+b+c=-4+2+4=2.
例2
(1)÷.
提示:根據題意,得22+2×1÷=4+2×2=4+4=8.
(2)把題目中的“2”(指數除外)換成“a”后,
當在□填入“×”時,a2+a1×=a2+1,
當在□填入“÷”時,a2+a1÷=a2+a a=a2+a2=2a2,
若a2+1>2a2,整理得a2<1,
所以,只有當a2<1,且a≠0時,在□中填入“×”才比在□填入“÷”值大,
則佳佳的說法錯誤.