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第1節　平面直角坐標系與函數
(6年3考,2~4分)
　　河北中考試卷中,會單獨考查坐標平面內點的特征或規律,以及實際問題中函數圖象的意義;也常把平面直角坐標系、函數概念與自變量取值范圍、函數圖象的知識,融入到一次函數、二次函數或反比例函數中,通過具體類型的函數進行考查,預計2025年對本節知識的考查,在選擇題中以“獨立式”為主,在解答題中以“融入式”為主.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1平面直角坐標系
相關概念1.定義:在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸構成平面直角坐標系. 2.幾何意義:坐標平面內任意一點M與有序實數對(x,y)的關系是一一對應
點的坐標特征1.各象限內點的坐標的符號特征(如圖所示): (1)點P(x,y)在第一象限 x①　　　　0,y②　　　　0, (2)點P(x,y)在第二象限 x③　　　　0,y④　　　　0, (3)點P(x,y)在第三象限 x⑤　　　　0,y⑥　　　　0, (4)點P(x,y)在第四象限 x⑦　　　　0,y⑧　　　　0. 【溫馨提示】坐標軸上的點不屬于任何象限. 2.坐標軸上點的坐標特征: (1)在橫軸上 y=0. (2)在縱軸上 x=0. (3)原點 x=0,y=0
點的坐標 特征3.各象限角平分線上點的坐標: (1)第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標⑨　　　　. (2)第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標⑩　　　　. 4.點P(a,b)的對稱點的坐標特征: (1)關于x軸對稱的點P1的坐標為(a,-b). (2)關于y軸對稱的點P2的坐標為(-a,b). (3)關于原點對稱的點P3的坐標為(-a,-b). 5.點M(x,y)平移的坐標特征: M(x,y)M1(　　　　,　　　　)M2(　　　　,　　　　)
點的坐標 距離問題1.點M(a,b)到x軸,y軸的距離:到x軸的距離為　　　　;到y軸的距離為　　　　;到原點的距離為. 2.坐標軸上兩點間的距離與平行于x軸,y軸直線上的兩點間的距離: (1)點M1(x1,0),M2(x2,0)之間的距離為|x1-x2|. (2)點M1(x1,y),M2(x2,y)間的距離為|x1-x2|. (3)點M1(0,y1),M2(0,y2)間的距離為|y1-y2|. (4)點M1(x,y1),M2(x,y2)間的距離為|y1-y2|. 3.任意兩點間的距離:點A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離為
考點2函數
函數的相關概念1.常量、變量:在一個變化過程中,數值始終不變的量叫作常量,數值發生變化的量叫作變量. 2.函數:在一個變化過程中,有兩個變量x和y,對于x的每一個值,y都有唯一確定的值與其對應,那么就稱x是自變量,y是x的函數.函數的表示方法:列表法、圖象法、解析式法. 3.函數自變量的取值范圍:一般原則,整式為全體實數;分式的分母不為　　　　;二次根式的被開方數為　　　　數;使實際問題有意義
函數的圖象1.分析實際問題判斷函數圖象的方法: (1)找起點:結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍,對應到圖象中找對應點. (2)找特殊點:即交點或轉折點,說明圖象在此點處將發生變化. (3)判斷圖象趨勢:判斷出函數的增減性,圖象的傾斜方向. 2.畫函數圖象的步驟:列表、描點、連線
【基礎演練】
1.(人教七下P84第1題變式)在平面直角坐標系中,第二象限內的點可能是 (　　)
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(-1,-2)
2.(人教七下P70第8題(2)變式)在平面直角坐標系中,直線AB平行于y軸,點A的坐標為(-3,2),點B的坐標可能為 (　　)
A.(4,2) B.(-3,4)
C.(3,-4) D.(-4,2)
3.(冀教八下P40練習第2題變式)在平面直角坐標系中,點(3,2)關于x軸對稱的點的坐標為 (　　)
A.(-3,2) B.(-2,3)
C.(2,-3) D.(3,-2)
4.在平面直角坐標系中,點M(m-1,2m)在x軸上,則點M的坐標是 (　　)
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(0,2) D.(0,-1)
5.(冀教八下P39第1題變式)在平面直角坐標系中,點P(2,-3)到x軸的距離是　　　　.
6.(冀教八下P67做一做第1題變式)函數y=的自變量x的取值范圍是　　　　.
7.全世界大約有19 000種蝴蝶,大部分分布在美洲,尤其在亞馬孫河流域品種最多,在世界其他地區除了南北極寒冷地帶以外都有分布.如圖,這是一個蝴蝶標本,將其放在適當的平面直角坐標系中,若翅膀兩端B,C兩點的坐標分別為(-1,3),(3,0),則蝴蝶尾部點A的坐標為　　　　.
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向1平面直角坐標系　(6年2考)
1.(2024·河北12題2分)在平面直角坐標系中,我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”.如圖,矩形ABCD位于第一象限,其四條邊分別與坐標軸平行,則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是 (　　)
A.點A B.點B
C.點C D.點D
2.(2024·河北16題2分)在平面直角坐標系中,我們把橫、縱坐標都是整數,且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”.將某“和點”平移,每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(當余數為0時,向右平移;當余數為1時,向上平移;當余數為2時,向左平移),每次平移1個單位長度.
例:“和點”P(2,1)按上述規則連續平移3次后,到達點P3(2,2),其平移過程如下:P1P2P3(2,2).
若“和點”Q按上述規則連續平移16次后,到達點Q16(-1,9),則點Q的坐標為 (　　)
A.(6,1)或(7,1)
B.(15,-7)或(8,0)
C.(6,0)或(8,0)
D.(5,1)或(7,1)
考向2動點問題的函數圖象　(6年1考)
3.(2023·河北14題2分)如圖,這是一種軌道示意圖,其中和均為半圓,點M,A,C,N依次在同一直線上,且AM=CN.現有兩個機器人(看成點)分別從M,N兩點同時出發,沿著軌道以大小相同的速度勻速移動,其路線分別為M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移動時間為x,兩個機器人之間的距離為y,則y與x之間的函數關系的圖象大致是 (　　)
A　　　　　B
C D
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型1　平面直角坐標系
(原創)如圖,這是某臺階的一部分,點A與點B的水平距離以及每級臺階的水平、豎直距離都等于2,地面與x軸平行,點D的坐標為(2,2).
(1)請你在圖中建立適當的平面直角坐標系.
(2)直接寫出點A,E,F的坐標.
(3)如果臺階有10級(第11個點用M表示),請你求出該臺階到地面的距離和線段AM的長度.
　　由已知點求其他點的坐標的步驟
已知點的坐標確定原
點位置畫出x軸和y軸,建
立平面直角坐標系得到其他
點的坐標
　　在平面直角坐標系中,臺階可以看作弱化的網格,從中可以得到各個點的坐標,為進一步解題做好鋪墊.
題型2　函數圖象的實際意義
(2024·河北模擬)如圖,李大爺在運動場上晨練,一段時間內沿著一扇形的周邊(如圖中箭頭所示)的路徑勻速小跑,能近似刻畫李大爺離出發點A的距離y與時間x之間關系的函數圖象是 (　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
　　考查函數圖象的實際意義,如果單獨考查,通常會出現在選擇題中,如果結合函數性質考查,通常會出現在解答題中.關于運動變化速度的圖象,是研究圖象實際意義的基礎.河北省在這個考點上的創新主要體現在三個方面:一是圖象形式以散點方式呈現;二是問題情境力求新穎,不固守模式;三是與新的知識點綜合.
　　一定要看清坐標軸所表示的意義,如果縱軸表示的是速度,那么與表示路程或距離的意義截然不同.
參考答案
考點清單
①>　②>　③<　④>　⑤<　⑥<　⑦>　⑧<
⑨相等　⑩互為相反數　x+a　y　x+a
y+b　|b|　|a|　零　非負
基礎演練
1.C　2.B　3.D　4.B
5.3　6.x≥且x≠3　7.(0,-2)
真題精粹·重變式
1.B
2.D　提示:根據已知,點P3(2,2)橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,繼而向上平移1個單位長度得到P4(2,3),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2,繼而向左平移1個單位長度得到P5(1,3),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,又向上平移1個單位長度……因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時,先向右平移1個單位長度,再按照向上、向左,向上、向左不斷重復的規律平移.
若“和點”Q按上述規則連續平移16次后,到達點Q16(-1,9),則按照“和點”Q16反向運動16次即可,可以分為兩種情況:
①Q16(-1,9)先向右平移1個單位長度得到Q15(0,9),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0,應該是Q15向右平移1個單位長度得到Q16,故矛盾,不成立;②Q16先向下平移1個單位長度得到Q15(-1,8),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,則應該向上平移1個單位得到Q16,故符合題意.
因此,點Q16先向下平移,再向右平移,當平移到第15次時,共計向下平移了8次,向右平移了7次,此時坐標為(-1+7,9-8),即(6,1),
∴最后一次若向右平移則為(7,1),若向左平移則為(5,1),
故選D.
3.D
核心突破·拓思維
例1
(1)建立平面直角坐標系如圖所示.
(2)A(-4,-4),E(4,4),F(6,6).
(3)從點A開始,10級臺階水平方向的總長度=2×(10+1)=22,
到地面的距離=2×10=20.
根據勾股定理得到AM==2.
例2　C
提示:如圖,當李大爺在半徑AB上運動時,離出發點A的距離越來越遠,即y隨x的增大而增大;在上運動時,離點A的距離不變;在CA上運動時,離點A的距離越來越近,即y隨x的增大而減小,故選C.

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