資源簡介

第3節　兩個三角形的關系
第1講　全等三角形
(6年8考,2~6分)
　　全等三角形主要考查全等三角形的性質、判定以及相關的計算,其中全等三角形的判定方法是河北省中考的必考內容.河北省中考很少單獨考查這個知識點,多出現在解答題的某一小問中,或者在解題過程中需要應用全等知識.預計2025年仍將延續這一特點,是必須且重點需要掌握的內容.
回歸教材·過基礎——河北中考核心考點梳理
【知識體系】
【考點清單】
考點1全等三角形的概念及性質　(?？键c)
概念 能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形
全等三角形的性質 1.全等三角形的對應邊①　　　　,對應角②　　　　. 2.全等三角形的周長相等,面積相等. 3.全等三角形對應的角平分線、中線、高都③　　　　
考點2全等三角形的判定　(?？键c)
一般三角形全等SSS(三邊對應相等) ④　　　　(兩邊和它們的夾角對應相等) ASA(兩角和它們的夾邊對應相等) ⑤　　　　(兩角和其中一個角的對邊對應相等)
直角三角形全等 (1)斜邊和一條直角邊對應相等(HL). (2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用SSS,SAS,ASA和AAS
【溫馨提示】判定一般三角形全等,無論用哪種方法,都要有三組元素對應相等,且其中最少要有一組對應邊相等
【基礎演練】
1.(北師七下P83第1題變式)如圖,∠A=∠D=90°,AC=DB,則△ABC≌△DCB的依據是 (　　)
A.HL B.ASA
C.AAS D.SAS
2.如圖,AC⊥BE,DE⊥BE,若△ABC≌△BDE,AC=5,DE=2,則CE的長為 (　　)
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
3.(人教八上P35第5題變式)如圖,已知AB=AD,AC=AE,要得到△ABC≌△ADE,不能添加的條件是 (　　)
A.BC=DE
B.∠BAC=∠DAE
C.∠BAD=∠CAE
D.∠B=∠D
真題精粹·重變式——河北6年真題精選及拓展
考向全等三角形的性質和判定　(6年8考)
1.(2023·河北13題2分)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,已知∠C=n°,則∠C'= (　　)
A.30°
B.n°
C.n°或180°-n°
D.30°或150°
2.如圖,D是△ABC外一點,連接BD,AD,AD與BC交于點O.有下列三個等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD.請從這三個等式中,任選兩個作為已知條件,剩下的一個作為結論,組成一個真命題,將你選擇的等式或等式的序號填在下面對應的橫線上,然后對該真命題進行證明.
已知:　　　　　　　　 ,　　　　　　　. 求證:　　　　　　　　 .
核心突破·拓思維——學科核心素養提升
題型　全等三角形的性質和判定
(2020·河北26題改編)如圖1和圖2,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8.點P從點A出發沿AB→BC勻速移動,到達點C時停止;而點Q在AC邊上隨點P移動,且始終保持∠APQ=∠ABC,設點P移動的路程為x.
(1)若點P在BC邊上,當x=　　　　時,點P與點A的距離最短.
(2)如圖3,點P在AB邊上時,若PQ經過△ABC的兩條角平分線BM與CM的交點M,求四邊形PQCB的周長(用含x的式子表示).
(3)點P在BC邊上時,在點P的運動過程中,能否使得△ABP≌△PCQ 如果能,直接寫出x的值,并給予證明;如果不能,請說明理由.
圖1
圖2
圖3
　　河北省適當控制幾何證明題的難度,證明全等三角形往往作為幾何綜合解答題的第一小題,后面的1~2個小題以推理計算為主,解題過程中用到全等三角形的性質.作為起步問題,較為簡單,容易上手,但分值與后面的每個小題相當,是很好的得分題.
一線三等角全等模型
模型分析
1.兩個三角形在直線同側,點P在線段AB上.
　 已知:∠1=∠2=∠3,AP=BD.結論.△CAP≌△PBD.
　　2.兩個三角形在直線異側,點P在AB(或BA)的延長線上.
　 已知:∠1=∠2=∠3,CP=PD.結論.△CAP≌△PBD.
　　　　判定兩個三角形全等的解題思路
如圖1,在△ABC和△DBE中,BC=BE=6,∠A=∠BDE=60°,DE邊交BC邊于點F,且∠ABD=∠CBE.
(1)求證:△ABC≌△DBE.
(2)如圖2,當點D恰好落在AC邊上時,若∠DBF=15°,求CD的長.
　　(1)由題目中的條件能夠看出,△DBE可以看作由△ABC繞點B旋轉得到.初中階段所學的平移、旋轉(包括中心對稱)、軸對稱都是全等變換.
(2)在解決與三角形有關的計算題時,常添加高線,利用高的性質解題,或者由此把一個三角形分割為兩個直角三角形解題.所添加的高,應盡量不要破壞原題中的條件,使條件的特征和價值更加明顯.
參考答案
考點清單
①相等?、谙嗟取、巯嗟取、躍AS?、軦AS
基礎演練
1.A　2.B　3.D
真題精粹·重變式
1.C　
2.答案不唯一.已知①,②,求證③.
證明:∵BC=AD,∠ABC=∠BAD.
又∵AB=BA,
∴△ABC≌△BAD,
∴AC=BD.
核心突破·拓思維
例
(1)10.
提示:若點P在BC上,當AP⊥BC時,點P與點A的距離最短,如圖所示.
∵AB=AC,
∴BP=BC=4,
∴x=AB+BP=6+4=10.
(2)∵∠APQ=∠ABC,
∴PQ∥BC,
∴∠PMB=∠MBC,∠AQP=∠ACB.
∵∠PBM=∠MBC,
∴∠PMB=∠PBM,
∴PM=PB=6-x.
同理,QC=QM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ.
∴AB-AP=AC-AQ,
即PB=QC=QM=6-x.
∴四邊形PQCB的周長=4PB+BC=4(6-x)+8=-4x+32.
(3)能.
當x=8時,△ABP≌△PCQ.
證明:∵AB=6,
∴BP=x-AB=8-6=2,PC=BC-BP=8-2=6,
∴AB=PC.
∵∠APC=∠ABC+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠ABC,
∴∠BAP=∠CPQ.
又∵∠ABC=∠ACB,
∴△ABP≌△PCQ(ASA).
變式訓練
(1)證明:∵∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
即∠ABC=∠DBE.
∵∠A=∠BDE=60°,BC=BE=6,
在△ABC與△DBE中,
∴△ABC≌△DBE(AAS).
(2)∵△ABC≌△DBE,
∴AB=DB.
∵∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,AB=AD.
∵∠DBF=15°,∠ADB=∠DCB+∠DBF,
∴∠DCB=45°.
如圖,過點B作BM⊥AC于點M,
∴∠CBM=∠MCB=45°.
∵BC=6,
∴MB=MC=6.
∵∠A=60°,
∴AM=2,AB=4,
∴CD=AC-AD=AM+CM-AD=2+6-4=6-2.

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