資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　×　)
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　×　)
(3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(　×　)
(4)原點是實軸與虛軸的交點．(　√　)
(5)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　√　)
無
題型一　復數的概念
例1　(1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數單位)，則a，b的值分別等于(　　)
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
(3)i是虛數單位，復數z滿足(1＋i)z＝2，則z的實部為________．
答案　(1)A　(2)A　(3)1
解析　(1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，
∴a＝3，b＝－2，故選A.
(2)由解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件．
(3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝1－i，∴其實部為1.
引申探究
1．若將本例(1)中方程左邊改為(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．
解　(1＋i)(2－3i)
＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，
所以a＝5，b＝－1.
2．若將本例(3)中的條件“(1＋i)z＝2”改為“(1＋i)3z＝2”，求z的實部．
解　z＝＝
＝－－i，
∴z的實部為－.
思維升華　解決復數概念問題的方法及注意事項
(1)復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
　(1)已知a∈R，復數z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數，則復數的虛部為(　　)
A．1 B．i C. D．0
(2)已知復數z滿足z2＝－4，若z的虛部大于0，則z＝________.
答案　(1)A　(2)2i
解析　(1)由＝＝＝＋i是純虛數，得a＝1，此時＝i，其虛部為1.
(2)設z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，
則z2＝a2－b2＋2abi＝－4，
因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，
又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.
題型二　復數的運算
命題點1　復數的乘法運算
例2　(1)設i為虛數單位，則復數(1＋i)2等于(　　)
A．0 B．2 C．2i D．2＋2i
(2)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|等于(　　)
A．1 B. C. D．2
(3)若a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　(1)C　(2)B　(3)B
解析　(1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.
(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi 所以|x＋yi|＝＝，故選B.
(3)因為a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故選B.
命題點2　復數的除法運算
例3　(1)若z＝1＋2i，則等于(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)復數等于(　　)
A．i B．1＋i C．－i D．1－i
(3)()6＋＝________.
答案　(1)C　(2)A　(3)－1＋i
解析　(1)z＝1＋2i，z＝5，＝i.
(2)＝＝＝i.
(3)原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
命題點3　復數的綜合運算
例4　(1)若復數z滿足2z＋＝3－2i，其中i為虛數單位，則z等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(2)若z＝4＋3i，則等于(　　)
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
(3)若復數z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為(　　)
A．－4 B．－ C．4 D.
答案　(1)B　(2)D　(3)D
解析　(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，
∴解得∴z＝1－2i，故選B.
(2)z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.
(3)設z＝a＋bi，
故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以解得b＝.
思維升華　復數代數形式運算問題的常見類型及解題策略
(1)復數的乘法．復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復數的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.
(3)復數的運算與復數概念的綜合題．先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合相關定義解答．
(4)復數的運算與復數幾何意義的綜合題．先利用復數的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結合復數的幾何意義解答．
(5)復數的綜合運算．分別運用復數的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的．
　(1)若復數z滿足＝i，其中i為虛數單位，則z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
(2)2 017＝________.
(3)＋2 017＝________.
答案　(1)A　(2)i　(3)＋(＋1)i
解析　(1)＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，故選A.
(2)()2 017＝[]2 017＝i2 017＝i.
(3)＋()2 017
＝＋()[()2]1 008
＝i＋i1 008·(1＋i)＝＋(＋1)i.
題型三　復數的幾何意義
例5　(1)△ABC的三個頂點對應的復數分別為z1，z2，z3，若復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的(　　)
A．內心 B．垂心
C．重心 D．外心
答案　D
解析　由幾何意義知，復數z對應的點到△ABC三個頂點距離都相等，z對應的點是△ABC的外心．
(2) 如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①，所表示的復數；
②對角線所表示的復數；
③B點對應的復數．
解　①＝－，∴所表示的復數為－3－2i.
∵＝，∴所表示的復數為－3－2i.
②＝－，∴所表示的復數為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋＝＋，
∴所表示的復數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B點對應的復數為1＋6i.
思維升華　因為復平面內的點、向量及向量對應的復數是一一對應的，要求某個向量對應的復數時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可．
　已知z是復數，z＋2i，均為實數(i為虛數單位)，且復數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．
解　設z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由題意得x＝4，∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根據條件，可知
解得2∴實數a的取值范圍是(2,6)．
1．復數的有關概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．(i為虛數單位)
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．
3．復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
典例　已知x，y為共軛復數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
思想方法指導　(1)復數問題要把握一點，即復數問題實數化，這是解決復數問題最基本的思想方法．
(2)本題求解的關鍵是先把x、y用復數的基本形式表示出來，再用待定系數法求解，這是常用的數學方法．
(3)本題的易錯原因為想不到利用待定系數法，或不能將復數問題轉化為實數方程求解．
規范解答
解　設x＝a＋bi (a，b∈R)，
則y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， [4分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， [6分]
根據復數相等得 [8分]
解得或或或 [10分]
故所求復數為
或或或 [14分]
1．設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　A
解析　∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，
∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故選A.
2．已知復數z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
答案　C
解析　由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
3．設i是虛數單位，若z＝cos θ＋isin θ，且其對應的點位于復平面內的第二象限，則θ位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　∵z＝cos θ＋isin θ對應的點的坐標為(cos θ，sin θ)，且點(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴
∴θ為第二象限角，故選B.
4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.
答案　1
解析　原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.
1．已知a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虛數單位)，則a＋b等于(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　D
解析　由題意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，
則又a>0，b>0，所以a＝b＝2，則a＋b＝4.
2．已知i為虛數單位，a∈R，如果復數2i－是實數，則a的值為(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．4
答案　D
解析　∵2i－＝2i－
＝2i－－i＝(2－)i－，a∈R，
∴2－＝0，∴a＝4.
3．若i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z，則表示復數的點是(　　)
A．E B．F C．G D．H
答案　D
解析　由題圖知復數z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示復數的點為H.
4．是z的共軛復數，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數單位)，則z等于(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
答案　D
解析　方法一　設z＝a＋bi，a，b為實數，則＝a－bi.
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二　∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.
又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
5．設f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．無數個
答案　C
解析　f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合中共有3個元素．
6．集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i為虛數單位)，N＝{－9,3}，若M∩N≠ ，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．－3
C．3或－3 D．3
答案　D
解析　由題意可知－3m＋(m－3)i必為實數，則m＝3，經檢驗符合題意．
*7.若i為虛數單位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，則點(a，b)與圓x2＋y2＝2的位置關系為(　　)
A．在圓外 B．在圓上
C．在圓內 D．不能確定
答案　A
解析　∵a＋bi＝＝＝＋i，
∴則a2＋b2＝>2，
∴點(a，b)在圓x2＋y2＝2外．
8．已知i是虛數單位，則滿足z－i＝|3＋4i|的復數z在復平面上對應點所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　∵z－i＝|3＋4i|＝5，∴z＝5＋i，
∴復數z在復平面上對應點在第一象限．
9．復數(3＋i)m－(2＋i)對應的點在第三象限內，則實數m的取值范圍是________．
答案　(－∞，)
解析　z＝(3m－2)＋(m－1)i，其對應點(3m－2，m－1)在第三象限內，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
10．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數m的值為________．
答案　3或6
解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1 M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，經檢驗符合題意．
11．已知i是虛數單位，m和n都是實數，且m(1＋i)＝1＋ni，則()2 017＝________.
答案　i
解析　由m(1＋i)＝1＋ni，得m＝n＝1，
所以()2 017＝()2 017＝i2 017＝i.
12．已知i為虛數單位，則＝________.
答案　2－3i
解析　＝＝＝2－3i.
13．設a∈R，若復數z＝(i為虛數單位)的實部和虛部相等，則a＝________，||＝________.
答案　0　
解析　＝＝＋i，
由＝，可得a＝0，
∴z＝＋i，＝－i，
∴||＝.
14．已知復數z＝1－i(其中i是虛數單位)，滿足2＋az＝0，則實數a＝________，|z＋a|＝________.
答案　2　2
解析　＝1＋i，由2＋az＝0，得(1＋i)2＋a(1－i)＝0，
∴－2＋a＋(2－a)i＝0，∴a＝2，
∴z＋2＝3－i，∴|z＋a|＝2.
*15.若1＋i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則b＝________，c＝________.
答案　－2　3
解析　∵實系數一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一個虛根為1＋i，∴其共軛復數1－i也是方程的根．
由根與系數的關系知，
∴b＝－2，c＝3.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(　 　)
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　 　)
(3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(　 　)
(4)原點是實軸與虛軸的交點．(　 　)
(5)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　 　)
無
題型一　復數的概念
例1　(1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數單位)，則a，b的值分別等于(　　)
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
(3)i是虛數單位，復數z滿足(1＋i)z＝2，則z的實部為________．
引申探究
1．若將本例(1)中方程左邊改為(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．
2．若將本例(3)中的條件“(1＋i)z＝2”改為“(1＋i)3z＝2”，求z的實部．
　(1)已知a∈R，復數z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數，則復數的虛部為(　　)
A．1 B．i C. D．0
(2)已知復數z滿足z2＝－4，若z的虛部大于0，則z＝________.
題型二　復數的運算
命題點1　復數的乘法運算
例2　(1)設i為虛數單位，則復數(1＋i)2等于(　　)
A．0 B．2 C．2i D．2＋2i
(2)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|等于(　　)
A．1 B. C. D．2
(3)若a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
命題點2　復數的除法運算
例3　(1)若z＝1＋2i，則等于(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)復數等于(　　)
A．i B．1＋i C．－i D．1－i
(3)()6＋＝________.
命題點3　復數的綜合運算
例4　(1)若復數z滿足2z＋＝3－2i，其中i為虛數單位，則z等于(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(2)若z＝4＋3i，則等于(　　)
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
(3)若復數z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為(　　)
A．－4 B．－ C．4 D.
　(1)若復數z滿足＝i，其中i為虛數單位，則z等于(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
(2)2 017＝________.
(3)＋2 017＝________.
題型三　復數的幾何意義
例5　(1)△ABC的三個頂點對應的復數分別為z1，z2，z3，若復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點為△ABC的(　　)
A．內心 B．垂心
C．重心 D．外心
(2) 如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①，所表示的復數；
②對角線所表示的復數；
③B點對應的復數．
　已知z是復數，z＋2i，均為實數(i為虛數單位)，且復數(z＋ai)2在復平面內對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．
1．復數的有關概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部．(i為虛數單位)
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．
3．復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)幾何意義：復數加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
典例　已知x，y為共軛復數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
1．設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．已知復數z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
3．設i是虛數單位，若z＝cos θ＋isin θ，且其對應的點位于復平面內的第二象限，則θ位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.
1．已知a>0，b>0，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虛數單位)，則a＋b等于(　　)
A. B．2 C．2 D．4
2．已知i為虛數單位，a∈R，如果復數2i－是實數，則a的值為(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．4
3．若i為虛數單位，圖中復平面內點Z表示復數z，則表示復數的點是(　　)
A．E B．F C．G D．H
4．是z的共軛復數，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數單位)，則z等于(　　)
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
5．設f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．無數個
6．集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i為虛數單位)，N＝{－9,3}，若M∩N≠ ，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．－3
C．3或－3 D．3
*7.若i為虛數單位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，則點(a，b)與圓x2＋y2＝2的位置關系為(　　)
A．在圓外 B．在圓上
C．在圓內 D．不能確定
8．已知i是虛數單位，則滿足z－i＝|3＋4i|的復數z在復平面上對應點所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．復數(3＋i)m－(2＋i)對應的點在第三象限內，則實數m的取值范圍是________．
10．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數m的值為________．
11．已知i是虛數單位，m和n都是實數，且m(1＋i)＝1＋ni，則()2 017＝________.
12．已知i為虛數單位，則＝________.
13．設a∈R，若復數z＝(i為虛數單位)的實部和虛部相等，則a＝________，||＝________.
14．已知復數z＝1－i(其中i是虛數單位)，滿足2＋az＝0，則實數a＝________，|z＋a|＝________.
*15.若1＋i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則b＝________，c＝________.

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