資源簡介

1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線．(　√　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　)
(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　×　)
(4)在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形．(　×　)
(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點(diǎn)A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點(diǎn)P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0.(　√　)
2、已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，則該三角形為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
答案　B
解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝＝2，||＝＝4，
||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC為直角三角形．
3、已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D為邊BC的中點(diǎn)，則||等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案　D
解析　在△ABC中，由余弦定理可得AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D為邊BC的中點(diǎn)，所以＋＝2，兩邊平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故選D.
4、若向量a，b滿足|a|＝|2a＋b|＝2，則a在b方向上投影的最大值是(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　由題意得|2a＋b|2＝4|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝16＋8|b|cos〈a，b〉＋|b|2＝4，則cos〈a，b〉＝＝－(＋)≤－2 ＝－，當(dāng)且僅當(dāng)|b|＝2時等號成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cos〈a，b〉＝－.
5、平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動點(diǎn)P(x，y)滿足·＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是____________．
答案　x＋2y－4＝0
解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
無
題型一　向量在平面幾何中的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　向量和平面幾何知識的綜合
例1　(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝1，則AB＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則|＋3|的最小值為________．
答案　(1)　(2)5
解析　(1)在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，則＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng).
則D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
＝(2，－y)，＝(1，a－y)，
則＋3＝(5,3a－4y)，
即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，
由點(diǎn)P是腰DC上的動點(diǎn)，知0≤y≤a.
因此當(dāng)y＝a時，|＋3|2取最小值25.
故|＋3|的最小值為5.
命題點(diǎn)2　三角形的“四心”
例2　已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的(　　)
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
答案　C
解析　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心．
引申探究
1．在本例中，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則如何選擇？
答案　A
解析　由條件，得－＝λ，即＝λ，而和分別表示平行于，的單位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心．
2．在本例中，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則如何選擇？
答案　D
解析　由條件，得＝λ(＋)，從而·＝λ(＋)
＝λ·＋λ·＝0，
所以 ⊥，
則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心．
命題點(diǎn)3　平面向量數(shù)量積與余弦定理
例3　在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，若·＝6，則BC等于(　　)
A．2 B．10
C．2 D．14
答案　A
解析　由題意，知DE＝AE，DF＝AF，
∵·＝||·||·cos∠EDF
＝||·||·
＝＝＝6，
∴||＝，∴BC＝2.
【同步練習(xí)】
(1)在△ABC中，已知向量與滿足(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為(　　)
A．等邊三角形
B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形
D．三邊均不相等的三角形
(2)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，則△ABC的面積為________．
答案　(1)A　(2)1－
解析　(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知＋為∠BAC的角平分線．因?yàn)?＋)·＝0，所以∠BAC的角平分線垂直于BC，所以AB＝AC.
又·＝··cos∠BAC＝，
所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，
故∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形．
(2)cos∠BAC＝＝，
∴sin∠BAC＝，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝1－.
題型二　向量在解析幾何中的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　向量與解析幾何知識的綜合
例4　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(diǎn)(2，－1)的直線方程為________________．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x，y)滿足·＝0，則＝___________.
答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)±
解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，且∥，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，則過點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
命題點(diǎn)2　軌跡問題
例5　已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任意一條直徑，求·的最值．
解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化簡得＋＝1.
∴點(diǎn)P在橢圓上，其方程為＋＝1.
(2)∵＝＋，＝＋，
又＋＝0.
∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1
＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
∵－2≤y≤2.
∴當(dāng)y＝－3時，·的最大值為19，
當(dāng)y＝2時，·的最小值為12－4.
綜上，·的最大值為19；
·的最小值為12－4.
【同步練習(xí)】
(1)如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn)，則(＋)·的最小值為________．
(2)如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，且滿足||＝a，(＋)·＝0，線段PF2與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若＝5，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　(1)－　(2)B
解析　(1)∵圓心O是直徑AB的中點(diǎn)，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵與共線且方向相反，
∴當(dāng)大小相等時，·最小．由條件知，當(dāng)PO＝PC＝時，最小值為－2××＝－.
(2)由(＋)·＝0，可得||＝||＝2c，
則點(diǎn)P(x，y)(x>0，y>0)滿足
解得
又＝5，解得Q(c－，)，
又Q在雙曲線C上，代入雙曲線方程化簡得80c4－168a2c2＋85a4＝0，則(4c2－5a2)(20c2－17a2)＝0，又c>a，所以4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，則a＝2b，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選B.
題型四 函數(shù)與方程思想在向量中的應(yīng)用
例6 (1)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
解析　(1)因?yàn)閎≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0或y≠0.
當(dāng)x＝0，y≠0時，＝0；
當(dāng)x≠0時，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，
＝＝，
不妨設(shè)＝t，則＝，
當(dāng)t＝－時，t2＋t＋1取得最小值，
此時取得最大值4，
所以的最大值為2.
綜上，的最大值為2.
(2)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得(－1)＋＋(＋)＝0，得(－1)＋＋(＋)(＋)＝0，得(λ＋μ－1)＋(λ＋)＝0.
又因?yàn)椋还簿€，
所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案　(1)2　(2)
1．向量在平面幾何中的應(yīng)用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
問題類型 所用知識 公式表示
線平行、點(diǎn)共線等問題 共線向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量
夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量
長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a為非零向量
(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：
平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題．
2．平面向量在物理中的應(yīng)用
(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決．
(2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)．
3．向量與相關(guān)知識的交匯
平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題．
【知識拓展】
1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0.
2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行．
題型五　平面向量與三角函數(shù)
命題點(diǎn)1　向量與三角恒等變換的結(jié)合
例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，則α＝________，β＝________.
答案　　
解析　因?yàn)閍＋b＝(0,1)，
所以
由此得cos α＝cos(π－β)．
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.
代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝.
又α>β，所以α＝，β＝.
命題點(diǎn)2　向量與三角函數(shù)的結(jié)合
例2　已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．
(1)當(dāng)a∥b時，求tan 2x的值；
(2)求函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
解　(1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，tan x＝－，
∴tan 2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sin xcos x－＋cos2x＋1
＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1
＝sin(2x＋)．
∵－≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤，
∴f(x)在[－，0]上的值域?yàn)閇－，]．
命題點(diǎn)3　向量與解三角形的結(jié)合
例3　已知函數(shù)f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，求邊長b與c的值．
解　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos(2x＋)，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1，
∴cos(2A＋)＝－1，
又<2A＋<，
∴2A＋＝π，即A＝.
∵a＝，
∴由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①
∵向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，
∴2sin B＝3sin C，
由正弦定理得2b＝3c， ②
由①②得b＝3，c＝2.
【同步練習(xí)】(1)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是
最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c＝6，sin A－sin C＝sin(A－B)，若1≤a≤6，則sin C的取值范圍是________．
答案　(1)3　(2)[，1]
解析　(1)由圖象可知，M(，1)，N(xN，－1)，
所以·＝(，1)·(xN，－1)＝xN－1＝0，
解得xN＝2，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×＝3.
(2)由sin A－sin C＝sin(A－B)，得
sin A＝sin C＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B，
又sin A≠0，所以cos B＝.
當(dāng)a＝6cos B＝3∈[1,6]時，sin C＝1；
當(dāng)a＝1時，b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋36－2×1×6×＝31，
所以b＝，于是＝，
得sin C＝；
當(dāng)a＝6時，△ABC為等邊三角形，
則sin C＝，>，
從而得到sin C的取值范圍是[，1]．
題型六　向量與學(xué)科知識的交匯
命題點(diǎn)1　向量與不等式相結(jié)合
例4　(1)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知x，y滿足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是________．
答案　(1)B　(2)
解析　(1)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，
所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2.
因?yàn)閍>0，b>0，所以＋＝·(＋)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝1時取等號)．
(2) 因?yàn)椋?x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)C(1,1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點(diǎn)F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.
命題點(diǎn)2　向量與數(shù)列結(jié)合
例5　設(shè)數(shù)列{xn}的各項(xiàng)都為正數(shù)且x1＝1.如圖，△ABC所在平面上的點(diǎn)Pn (n∈N*)均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為3∶1，若(2xn＋1)＋＝xn＋1，則x5的值為(　　)
A．31 B．33
C．61 D．63
答案　A
解析　在(2xn＋1)＋＝xn＋1中，令＝(2xn＋1)，作出圖形如圖所示，則(2xn＋1)＋＝
＝xn＋1，所以＝xn＋1，
＝xn＋1.又＝＝，
所以＝＝，則＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，xn＋1＋1＝2(xn＋1)，故{xn＋1}構(gòu)成以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，所以x5＋1＝2×24＝32，則x5＝31，故選A.
【同步練習(xí)】(1)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z＝·的最大值為(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
(2)角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，向量m滿足|m|＝，且m＝(sin，cos )，當(dāng)角A最大時，動點(diǎn)P使得||，||，||成等差數(shù)列，則的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由線性約束條件
畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，目標(biāo)函數(shù)z＝·＝x＋y，將其化為y＝－x＋z，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線z＝x＋y過點(diǎn)(，2)時，z最大，將點(diǎn)(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值為4.
(2)設(shè)BC＝2a，BC的中點(diǎn)為D.
由題意得|m|2＝(sin )2＋(cos )2
＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]
＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝，
則cos Bcos C＝sin Bsin C，化簡得tan Btan C＝，則tan A＝－tan(B＋C)＝－＝－(tan B＋tan C)≤－×2＝－，當(dāng)且僅當(dāng)tan B＝tan C＝時，等號成立，所以當(dāng)角A最大時，A＝，B＝C＝，則易得AD＝.因?yàn)閨|，||，||成等差數(shù)列，所以2||＝||＋||，則點(diǎn)P在以B，C為焦點(diǎn)，以2||＝4a為長軸的橢圓上，由圖(圖略)易得當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的與點(diǎn)A在直線BC的異側(cè)的頂點(diǎn)時，||取得最大值，此時||＝＝a，則||＝||＋||＝，所以＝＝，故選A.
題型六　和向量有關(guān)的創(chuàng)新題
例6　稱d(a，b)＝|a－b|為兩個向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿足：①|(zhì)b|＝1；②a≠b；③對任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則(　　)
A．a(chǎn)⊥b B．b⊥(a－b)
C．a(chǎn)⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
答案　B
解析　由于d(a，b)＝|a－b|，
因此對任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，
即|a－tb|≥|a－b|，
即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0對任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，
即(a·b－1)2≤0，
得a·b－1＝0，
故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，
故b⊥(a－b)．
思維升華　解答創(chuàng)新型問題，首先需要分析新定義(新運(yùn)算)的特點(diǎn)，把新定義(新運(yùn)算)所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，然后應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義(新運(yùn)算)信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．
【同步練習(xí)】定義一種向量運(yùn)算“ ”：a b＝(a，b是任意的兩個向量)．對于同一平面內(nèi)向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論：
①a b＝b a；
②λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)；
③(a＋b) c＝a c＋b c；
④若e是單位向量，則|a e|≤|a|＋1.
以上結(jié)論一定正確的是________．(填上所有正確結(jié)論的序號)
答案　①④
解析　當(dāng)a，b共線時，a b＝|a－b|＝|b－a|＝b a，當(dāng)a，b不共線時，a b＝a·b＝b·a＝b a，故①是正確的；
當(dāng)λ＝0，b≠0時，λ(a b)＝0，(λa) b＝|0－b|≠0，故②是錯誤的；
當(dāng)a＋b與c共線時，存在a，b與c不共線，(a＋b) c＝|a＋b－c|，a c＋b c＝a·c＋b·c，顯然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是錯誤的；
當(dāng)e與a不共線時，|a e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，當(dāng)e與a共線時，設(shè)a＝ue，u∈R，|a e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正確的．
綜上，結(jié)論一定正確的是①④.
例7 已知A，B，C，D是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點(diǎn)，如圖所示，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
―→―→
―→
解析　由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點(diǎn)C的對稱點(diǎn)M，作MF⊥x軸，垂足為F，如圖．B與D關(guān)于點(diǎn)E對稱，在x軸上的投影為，知OF＝.
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同時函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象可以看作是由y＝sin ωx的圖象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.
答案　A
一、向量與平面幾何綜合問題的解法
(1)坐標(biāo)法
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．
(2)基向量法
適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．
二、向量在解析幾何中的“兩個”作用
(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法．
三、向量最值
求向量模的最值或范圍問題往往將模表示成某一變量的函數(shù)，采用求函數(shù)值域的方法確定最值或范圍；在向量分解問題中，經(jīng)常需要用已知向量來表示其他向量，此時可通過三點(diǎn)共線建立向量之間的關(guān)系，比較基向量的系數(shù)建立方程組求解．
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2·＝a2－(b＋c)2，acos B＋bcos A＝2csin C，b＝2，則△ABC的面積為(　　)
A. B. C．3 D．6
答案　C
解析　由已知得2bc·cos A＝a2－(b＋c)2，
又a2＝b2＋c2－2bc·cos A，∴cos A＝－，
∵0又sin Acos B＋cos Asin B＝2sin2C,0可得C＝，∴B＝C＝，b＝c＝2，
∴S△ABC＝bcsin A＝3.
2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵20a＋15b＋12c＝0，
∴20a(－)＋15b＋12c＝0，
∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，
∵與不共線，
∴
∴△ABC最小角為角A，
∴cos A＝
＝＝，
又0∴sin A＝，故選C.
3. 函數(shù)y＝tan(－)(0A．－8 B．－4
C．4 D．8
答案　D
解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝tan(－)(0所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0)．
因?yàn)辄c(diǎn)A是對稱中心，所以點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，
所以＋＝2，
所以(＋)·＝2·＝2()2＝2×4＝8.故選D.
4．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種運(yùn)算：a b＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝(，4)，n＝(，0)．點(diǎn)P在y＝cos x的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動，且滿足＝m ＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y＝f(x)在區(qū)間[，]上的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
答案　A
解析　設(shè)＝(x0，y0)，＝(x，y)，由題意可得y0＝cos x0，＝(x，y)＝m ＋n＝(，4) (x0，y0)＋(，0)＝(x0,4y0)＋(，0)＝(x0＋，4y0)，即x＝x0＋，y＝4y0，即x0＝2x－，y0＝y(tǒng)，所以y＝cos(2x－)，即y＝4cos(2x－)．因?yàn)辄c(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動，所以f(x)＝4cos(2x－)，當(dāng)≤x≤時，0≤2x－≤，所以當(dāng)2x－＝0時，f(x)取得最大值4.
5．記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則(　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
答案　D
解析　由于|a＋b|，|a－b|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故A，B錯．當(dāng)a，b夾角為銳角時，|a＋b|>|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.
6．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C為弧AB上與A，B不重合的一個動點(diǎn)，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，則λ的取值范圍為(　　)
A．(1,3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
答案　D
解析　設(shè)∠BOC＝α，則∠AOC＝－α，
因?yàn)椋絰＋y，
所以
即
解得x＝－cos α＋cos(－α)＝sin α，
y＝cos α－sin α，
所以u＝sin α＋λ(cos α－sin α)＝(－λ)sin α＋λcos α＝ sin(α＋β)，
其中tan β＝，
因?yàn)?<α<，要使u存在最大值，只需滿足β>，
所以>，
整理得>0，解得<λ<2，故選D.
7. 若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由題意知M(，A)，N(，－A)，
又∵·＝×－A2＝0，
∴A＝.
8．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC＝________.
答案　150°
解析　∵·<0，∴∠BAC為鈍角，
又∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，
∴sin∠BAC＝，
又0°≤∠BAC<180°，
又0°≤9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，動點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，則z＝·的最大值為________．
答案　3
解析　∵＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，＝(2,3)，
∴·＝x＋y，·＝y(tǒng)，·＝2x＋3y，
即在條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識，得當(dāng)x＝0，y＝1時，zmax＝3.
10．(2016·溫州一模)已知△ABC中，||＝1，·＝2，點(diǎn)P為線段BC上的動點(diǎn)，動點(diǎn)Q滿足＝＋＋，則·的最小值為________．
答案　－
解析　設(shè)＝λ，λ∈[0,1]，則＝－＝－λ，＝－λ，＝(1－λ)，所以＝(－λ)－λ＋(1－λ)＝＋(1－3λ)，所以·＝[＋(1－3λ)]·(－λ)＝－λ·－λ(1－3λ)2＝3λ2－3λ，當(dāng)λ＝時，·取得最小值－.
11．設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________．
答案　
解析　由e1·e2＝，
可得 cos〈e1，e2〉＝＝，
又〈e1，e2〉∈[0，π]，
故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.
f(e1，e2)＝e1cos －e2sin
＝e1－e2，
f(e2，－e1)＝e2cos －(－e1)·sin ＝e1－e2.
f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0.
所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)，
故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為.
12．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，且m與n的夾角為.
(1)求角C；
(2)已知c＝，S△ABC＝，求a＋b的值．
解　(1)∵m·n＝cos2－sin2＝cos C，
又m·n＝|m|·|n|·cos＝，0∴C＝.
(2)∵S△ABC＝absin C＝absin＝ab，
∴ab＝，
∴ab＝6，
由余弦定理得cos C＝，
即＝＝，解得a＋b＝.
13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知·＝·，sin A＝.
(1)求sin C的值；
(2)設(shè)D為AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積為8，求BD的長．
解　(1)由·＝·得·(＋)＝0，
即(－)·(＋)＝||2－||2＝0，
∴||＝||，
∴A＝B，A與B都是銳角，
∴cos A＝＝，
∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin 2A
＝2sin Acos A＝.
(2)由S＝absin C＝a2＝8，
得a＝b＝6，
∴CD＝3，BC＝6，
又cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A
＝－(1－2sin2A)＝，
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos C＝32＋62－2·3·6·＝41，
∴BD＝.1、判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線．(　　)
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　　)
(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　　)
(4)在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形．(　　)
(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點(diǎn)A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點(diǎn)P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0.(　　)
2、已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，則該三角形為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
3、已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D為邊BC的中點(diǎn)，則||等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
4、若向量a，b滿足|a|＝|2a＋b|＝2，則a在b方向上投影的最大值是(　　)
A. B．－
C. D．－
5、平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動點(diǎn)P(x，y)滿足·＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是____________．
無
題型一　向量在平面幾何中的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　向量和平面幾何知識的綜合
例1　(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝1，則AB＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則
|＋3|的最小值為________．
命題點(diǎn)2　三角形的“四心”
例2　已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的(　　)
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
引申探究
1．在本例中，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則如何選擇？
2．在本例中，若動點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則如何選擇？
命題點(diǎn)3　平面向量數(shù)量積與余弦定理
例3　在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，若·＝6，則BC等于(　　)
A．2 B．10
C．2 D．14
【同步練習(xí)】
(1)在△ABC中，已知向量與滿足(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為(　　)
A．等邊三角形
B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形
D．三邊均不相等的三角形
(2)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，則△ABC的面積為________．
題型二　向量在解析幾何中的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　向量與解析幾何知識的綜合
例4　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(diǎn)(2，－1)的直線方程為________________．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點(diǎn)M(x，y)滿足·＝0，則＝___________.
命題點(diǎn)2　軌跡問題
例5　已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任意一條直徑，求·的最值．
【同步練習(xí)】
(1)如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動點(diǎn)，則(＋)·的最小值為________．
(2)如圖，已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，且滿足||＝a，(＋)·＝0，線段PF2與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若＝5，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
題型四 函數(shù)與方程思想在向量中的應(yīng)用
例6 (1)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
1．向量在平面幾何中的應(yīng)用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
問題類型 所用知識 公式表示
線平行、點(diǎn)共線等問題 共線向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量
夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量
長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a為非零向量
(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：
平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題．
2．平面向量在物理中的應(yīng)用
(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決．
(2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)．
3．向量與相關(guān)知識的交匯
平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題．
【知識拓展】
1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0.
2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行．
題型五　平面向量與三角函數(shù)
命題點(diǎn)1　向量與三角恒等變換的結(jié)合
例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，則α＝________，β＝________.
命題點(diǎn)2　向量與三角函數(shù)的結(jié)合
例2　已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．
(1)當(dāng)a∥b時，求tan 2x的值；
(2)求函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．
命題點(diǎn)3　向量與解三角形的結(jié)合
例3　已知函數(shù)f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
(1)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)與n＝(2，sin C)共線，求邊長b與c的值．
【同步練習(xí)】(1)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是
最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c＝6，sin A－sin C＝sin(A－B)，若1≤a≤6，則sin C的取值范圍是________．
題型六　向量與學(xué)科知識的交匯
命題點(diǎn)1　向量與不等式相結(jié)合
例4　(1)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知x，y滿足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實(shí)數(shù)a的值是________．
命題點(diǎn)2　向量與數(shù)列結(jié)合
例5　設(shè)數(shù)列{xn}的各項(xiàng)都為正數(shù)且x1＝1.如圖，△ABC所在平面上的點(diǎn)Pn (n∈N*)均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為3∶1，若(2xn＋1)＋＝xn＋1，則x5的值為(　　)
A．31 B．33
C．61 D．63
【同步練習(xí)】(1)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z＝·的最大值為(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
(2)角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，向量m滿足|m|＝，且m＝(sin，cos )，當(dāng)角A最大時，動點(diǎn)P使得||，||，||成等差數(shù)列，則的最大值是(　　)
A. B. C. D.
題型六　和向量有關(guān)的創(chuàng)新題
例6　稱d(a，b)＝|a－b|為兩個向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿足：①|(zhì)b|＝1；②a≠b；③對任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則(　　)
A．a(chǎn)⊥b B．b⊥(a－b)
C．a(chǎn)⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
【同步練習(xí)】定義一種向量運(yùn)算“ ”：a b＝(a，b是任意的兩個向量)．對于同一平面內(nèi)向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論：
①a b＝b a；
②λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)；
③(a＋b) c＝a c＋b c；
④若e是單位向量，則|a e|≤|a|＋1.
以上結(jié)論一定正確的是________．(填上所有正確結(jié)論的序號)
例7 已知A，B，C，D是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點(diǎn)，如圖所示，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
一、向量與平面幾何綜合問題的解法
(1)坐標(biāo)法
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．
(2)基向量法
適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．
二、向量在解析幾何中的“兩個”作用
(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法．
三、向量最值
求向量模的最值或范圍問題往往將模表示成某一變量的函數(shù)，采用求函數(shù)值域的方法確定最值或范圍；在向量分解問題中，經(jīng)常需要用已知向量來表示其他向量，此時可通過三點(diǎn)共線建立向量之間的關(guān)系，比較基向量的系數(shù)建立方程組求解．
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2·＝a2－(b＋c)2，acos B＋bcos A＝2csin C，b＝2，則△ABC的面積為(　　)
A. B. C．3 D．6
2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　)
A. B. C. D.
3. 函數(shù)y＝tan(－)(0A．－8 B．－4
C．4 D．8
4．設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種運(yùn)算：a b＝(a1，a2) (b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝(，4)，n＝(，0)．點(diǎn)P在y＝cos x的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在y＝f(x)的圖象上運(yùn)動，且滿足＝m ＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y＝f(x)在區(qū)間[，]上的最大值是(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
5．記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則(　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
6．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C為弧AB上與A，B不重合的一個動點(diǎn)，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，則λ的取值范圍為(　　)
A．(1,3) B．(，3)
C．(，1) D．(，2)
7. 若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　)
A. B.
C. D.
8．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC＝________.
9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，動點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，則z＝·的最大值為________．
10．已知△ABC中，||＝1，·＝2，點(diǎn)P為線段BC上的動點(diǎn)，動點(diǎn)Q滿足＝＋＋，則·的最小值為________．
11．設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均為單位向量，且e1·e2＝，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________．
12．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，且m與n的夾角為.
(1)求角C；
(2)已知c＝，S△ABC＝，求a＋b的值．
13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知·＝·，sin A＝.
(1)求sin C的值；
(2)設(shè)D為AC的中點(diǎn)，若△ABC的面積為8，求BD的長．

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