資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量在另一個向量方向上的投影為數量，而不是向量．(　√　)
(2)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的運算結果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)兩個向量的夾角的范圍是[0，]．(　×　)
無
題型一　平面向量數量積的運算
例1　(1)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　)
A．－ B.
C. D.
(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________．
答案　(1)B　(2)1　1
解析　(1) 如圖，由條件可知＝－，
＝＋＝＋
＝＋，
所以·
＝(－)·(＋)
＝2－·－2.
因為△ABC是邊長為1的等邊三角形，
所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝.
(2)方法一　以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
設E(t,0)，t∈[0,1]，則＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因為＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值為1.
方法二　由圖知，
無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
當E運動到B點時，在方向上的投影最大，即為DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
思維升華　平面向量數量積的三種運算方法
(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數量積的幾何意義求解．
　(1)已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵||＝1，||＝1，
cos∠ABC＝＝，
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝.
題型二　平面向量數量積的應用
命題點1　求向量的模
例2　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點，則||＝________.
(2)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________．
答案　(1)2　(2)＋1
解析　(1)因為＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)
＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)
＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，
所以||＝2.
(2)設D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓．
又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
問題轉化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－)間距離的最大值．
∵圓心C(3,0)與點P(1，－)之間的距離為＝，
故的最大值為＋1.
即|＋＋|的最大值是＋1.
命題點2　求向量的夾角
例3　(1)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________________．
答案　(1)　(2)∪
解析　(1)因為a2＝(3e1－2e2)2
＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
因為b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
又a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
(2)∵2a－3b與c的夾角為鈍角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，則2k－3＝－12，即k＝－.
當k＝－時，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b與c反向．
綜上，k的取值范圍為∪.
思維升華　平面向量數量積求解問題的策略
(1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用數量積求解長度問題的處理方法有
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，則|a|＝.
　(1)已知向量⊥，||＝3，則·＝________.
(2)已知單位向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
(3)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，則||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)9　(2)C　(3)C
解析　(1)因為⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.
(2)由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，
得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，
即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝.
(3)∵·＝－1，
∴||·||·cos 120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
題型三　平面向量與三角函數
例4　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
解　(1)因為m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因為|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因為0所以x－＝，即x＝.
思維升華　平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路
(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解．
(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等．
　(1)已知O為坐標原點，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，則tan α的值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)已知向量a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積為________．
答案　(1)A　(2)1
解析　(1)由題意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式兩邊同時除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，
則tan α＜0，解得tan α＝－，故選A.
(2)由題意得，|a|＝1，又△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，
由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.
所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，
所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.
1．向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．
2．平面向量的數量積
定義 設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數量|a||b|·cos θ叫做a與b的數量積，記作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何 意義 數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積
3.平面向量數量積的性質
設a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；
當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量數量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數量積有關性質的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離AB＝||＝.
(3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cos θ＝＝.
【知識拓展】
1．兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；
兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線．
2．平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
典例　已知直線y＝2x上一點P的橫坐標為a，直線外有兩個點A(－1,1)，B(3,3)．求使向量與夾角為鈍角的充要條件．
錯解展示
現場糾錯
解　錯解中，cos θ<0包含了θ＝π，
即，反向的情況，此時a＝1，
故，夾角為鈍角的充要條件是0糾錯心得　利用數量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況．
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k等于(　　)
A．－12 B．6
C．－6 D．12
答案　D
解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，則|b|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故選C.
3．若平面四邊形ABCD滿足＋＝0，(－)·＝0，則該四邊形一定是(　　)
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案　C
解析　由＋＝0得平面四邊形ABCD是平行四邊形，
由(－)·＝0得·＝0，
故平行四邊形的對角線垂直，
所以該四邊形一定是菱形，故選C.
4．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為________．
答案　
解析　設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝＝，
又因為θ∈[0，π]，所以θ＝.
1．知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
答案　D
2．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a＋b|等于(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
答案　B
解析　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°
＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
3．已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
∴cos〈a，b〉＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴sin〈a，b〉＝＝.
4. 在△ABC中，如圖，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F為BC邊的三等分點，則·等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　若|＋|＝|－|，
則2＋2＋2·＝2＋2－2·，
即有·＝0.
又E，F為BC邊的三等分點，
則·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝2＋2＋·
＝×(1＋4)＋0＝.故選B.
5．若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　因為(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，因為－＝，
所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形，故選C.
*6.若△ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，＋2＋2＝0，則在方向上的投影為(　　)
A．4 B.
C. D．1
答案　C
解析　如圖所示，取BC的中點D，連接AD，OD，
則由平面向量的加法的幾何意義得
＋＝2.
又由條件得，
＋＝－＝，
所以2＝，即4＝，所以A，O，D共線．
所以OA⊥BC，所以CD為在方向上的投影．
因為||＝||＝4，所以||＝3，
所以||＝ ＝.
7．已知平行四邊形ABCD中，AC＝3，BD＝2，則·＝________.
答案　
解析　 ABCD中，＝＋，＝－，
∴|＋|＝3，|－|＝2，
∴(＋)2－(－)2＝5，
∴·＝.
8．在△ABC中，·＝3，△ABC的面積S∈[，]，則與夾角的取值范圍是________．
答案　[，]
解析　由三角形面積公式及已知條件知
≤S△ABC＝AB·BCsin B≤，
所以≤AB·BCsin B≤3， ①
由·＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，
所以AB·BC＝－，
代入①得，≤－≤3，
所以－1≤tan B≤－，所以≤B≤，
而與的夾角為π－B，其取值范圍為[，]．
9．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P是斜邊AB上的中點，則·＋·＝________.
答案　4
解析　由題意可建立如圖所示的坐標系，可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，則·＋·＝·(＋)＝22＝4.
10．已知⊥，||＝，||＝t，若點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋，則·的最大值等于________．
答案　13
解析　建立如圖所示坐標系，則
B，C(0，t)，＝，
＝(0，t)，
＝＋
＝t＋(0，t)＝(1,4)，
∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13.
11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.
因為0＜A＜π，
所以sin A＝＝ ＝.
(2)由正弦定理，得＝，
則sin B＝＝＝，
因為a＞b，所以A＞B，則B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，
故向量在方向上的投影為
||cos B＝ccos B＝1×＝.
12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c.若A＝，(1＋)c＝2b.
(1)求C；
(2)若·＝1＋，求a，b，c.
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得(1＋)sin C＝2sin B，
又因為2sin B＝2sin(－C)＝cos C＋sin C，
所以sin C＝cos C，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因為·＝ab，所以ab＝(1＋)．
由正弦定理得a＝c，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得c2＝a2＋b2－ab
＝c2＋c2－2(1＋)
＝c2－2(1＋)，
解得c＝2，所以a＝，b＝1＋.
*13.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a＝(－1,2)，又點A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsin θ取最大值4時，求·.
解　(1)由題設知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
當t＝8時，n＝24；當t＝－8時，n＝－8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)由題設知＝(ksin θ－8，t)，
∵與a共線，∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k(sin θ－)2＋.
∵k>4，∴0<<1，
∴當sin θ＝時，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，
此時θ＝，＝(4,8)，
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量在另一個向量方向上的投影為數量，而不是向量．(　 　)
(2)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加、減、數乘運算的運算結果是向量．(　 　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　 　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　 　)
(5)兩個向量的夾角的范圍是[0，]．(　 　)
無
題型一　平面向量數量積的運算
例1　(1)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　)
A．－ B.
C. D.
(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________．
　(1)已知向量＝，＝，則∠ABC等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________．
題型二　平面向量數量積的應用
命題點1　求向量的模
例2　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC的中點，則||＝________.
(2)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________．
命題點2　求向量的夾角
例3　(1)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________________．
　(1)已知向量⊥，||＝3，則·＝________.
(2)已知單位向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
(3)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，則||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
題型三　平面向量與三角函數
例4　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
　(1)已知O為坐標原點，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，則tan α的值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)已知向量a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積為________．
1．向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．
2．平面向量的數量積
定義 設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數量|a||b|·cos θ叫做a與b的數量積，記作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何 意義 數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積
3.平面向量數量積的性質
設a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；
當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量數量積滿足的運算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量數量積有關性質的坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離AB＝||＝.
(3)設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cos θ＝＝.
【知識拓展】
1．兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；
兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線．
2．平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
典例　已知直線y＝2x上一點P的橫坐標為a，直線外有兩個點A(－1,1)，B(3,3)．求使向量與夾角為鈍角的充要條件．
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k等于(　　)
A．－12 B．6
C．－6 D．12
2．已知向量a與b的夾角為30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，則|b|等于(　　)
A. B. C. D.
3．若平面四邊形ABCD滿足＋＝0，(－)·＝0，則該四邊形一定是(　　)
A．直角梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
4．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為________．
1．知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
2．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a＋b|等于(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
3．已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為(　　)
A．－ B．－ C. D.
4. 在△ABC中，如圖，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F為BC邊的三等分點，則·等于(　　)
A. B. C. D.
5．若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
*6.若△ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，＋2＋2＝0，則在方向上的投影為(　　)
A．4 B.
C. D．1
7．已知平行四邊形ABCD中，AC＝3，BD＝2，則·＝________.
8．在△ABC中，·＝3，△ABC的面積S∈[，]，則與夾角的取值范圍是________．
9．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P是斜邊AB上的中點，則·＋·＝________.
10．已知⊥，||＝，||＝t，若點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋，則·的最大值等于________．
11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c.若A＝，(1＋)c＝2b.
(1)求C；
(2)若·＝1＋，求a，b，c.
*13.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a＝(－1,2)，又點A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsin θ取最大值4時，求·.

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