資源簡介

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　×　)
(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．(　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　×　)
(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(　√　)
無
題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用
例1　(1)在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，則＝________.(用e1，e2表示)
(2) 如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為(　　)
A. B.
C. D．2
答案　(1)－e1＋e2　(2)C
解析　(1)如圖，＝－
＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)
＝－e1＋e2.
(2)因?yàn)椋?，所以＝＋＝＋.又∥，可設(shè)＝m，所以＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.因?yàn)椋剑耍裕剑耍?＋＝.
思維升華　平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因?yàn)椋剑剑剑?＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝.
題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，則2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．
所以c＝.
(2)因?yàn)橄蛄縜＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，
所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，
所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．
思維升華　向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．
　(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________.
(2)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
答案　(1)4　(2)A
解析　(1)以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，
則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
(2)設(shè)D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴∴故選A.
題型三　平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
例3　已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．
方法二　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(x，y)，因?yàn)椋?4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng).
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．
命題點(diǎn)2　利用向量共線求參數(shù)
例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，則銳角θ＝________.
(2)設(shè)＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為________．
答案　(1)45°　(2)
解析　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，
又θ為銳角，∴θ＝45°.
(2)由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2 )＝(當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)，等號成立)．
思維升華　平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
命題點(diǎn)3　利用平面向量的坐標(biāo)求最值
例5　在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為________．
答案　1
解析　以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以＝(1,0)，＝(，)．設(shè)，的夾角為θ(0<θ<)，則P(cos θ，sin θ)，
所以＝(cos θ，sin θ)，
則由題意有(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ(，)，
所以
所以
所以λ＋μ＝－sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ
＝sin(θ＋)．
因?yàn)?<θ<，所以<θ＋<，
所以sin(θ＋)的最大值為1，即λ＋μ的最大值為1.
　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
(2)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足＋＝1，若＝x＋y，則x＋y的最小值為________．
答案　(1)(2,4)　(2)
解析　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，
∴＝2.
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)．
(2)設(shè)CN＝n，CM＝m，則＋＝1，
設(shè)＝sin α，＝cos α(α∈(0，))．
因?yàn)椋絰＋y＝x(＋)＋y(＋)
＝x(＋)＋y(＋)
＝[x＋y(1－)]＋[x(1－)＋y]，
又＝＋，所以
所以
所以x＋y＝＝1－
＝1－＝1－
＝1－，其中(cos φ＝，sin φ＝)，
所以(x＋y)min＝1－＝.
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共線 x1y2－x2y1＝0.
【知識拓展】
1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
2．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b ＝.
典例　給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
思想方法指導(dǎo)　建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題更加凸顯向量的代數(shù)特征．
規(guī)范解答
解　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(1,0)，B(－，)． [6分]
設(shè)∠AOC＝α(α∈[0，])，則C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， [10分]
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)， [12分]
又α∈[0，]，
所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. [14分]
1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么(　　)
A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0
B．空間內(nèi)任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))
C．對實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內(nèi)
D．對平面內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對
答案　A
2．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案　A
解析　＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________.
答案　－
解析　由已知條件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb與a－2b共線，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.
4．已知 ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
答案　(1,5)
解析　設(shè)D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
1．在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝2，則等于(　　)
A．b－a B．b－a
C．b－a D．b＋a
答案　C
解析　因?yàn)椋剑?，
所以＝＋＝＋＝－
＝－－＝－＝b－a，
故選C.
2．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
答案　A
解析　設(shè)N(x，y)，則(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
∴x＝2，y＝0.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，
且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝，故選B.
4．已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為(　　)
A．(－，5) B．(，5)
C．(，－5) D．(－，－5)
答案　D
解析　∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
∴＝＝(，5)，
∴＝(－，－5)．
5．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s等于(　　)
A. B. C．－3 D．0
答案　D
解析　因?yàn)椋?，所以＝＝(－)＝－，則r＋s＝＋＝0，故選D.
6．已知||＝1，||＝，·＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，則的值為(　　)
A．2 B.
C．3 D．4
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，
＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3，故選C.
7．在 ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為__________．
答案　(－3，－5)
解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝－＝(－3，－5)．
8．設(shè)0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝________.
答案　
解析　∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，
∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，
∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，
∴tan θ＝.
9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.
答案　
解析　選擇，作為平面向量的一組基底，
則＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，
于是得解得
所以λ＋μ＝.
*10.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________．
答案　(－1,0)
解析　由題意得，＝k(k＜0)，
又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.
又∵B，A，D三點(diǎn)共線，
∴＝λ＋(1－λ)，
∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，從而m＋n∈(－1,0)．
11．正△ABC的邊長為1，向量＝x＋y，且x≥0，y≤1，≤x＋y≤，則動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為________．
答案　
解析　如圖所示，
{(x，y)|＝x＋y，x≥0，y≤1}表示的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蜛BDC，因?yàn)楫?dāng)x＋y＝1時(shí)，＝x＋y，此時(shí)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)x＋y＝時(shí)，＝x＋y，此時(shí)點(diǎn)P在B1C1上運(yùn)動(dòng)，且B1，C1分別為AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)x＋y＝時(shí)，＝x＋y，此時(shí)點(diǎn)P在B2C2上運(yùn)動(dòng)，且AB2＝AC2＝，所以{(x，y)|≤x＋y≤}表示平行四邊形ABDC中夾在B1C1和B2C2之間的部分，其面積為×××3＝.
12．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；
(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．
*13. 如圖所示，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．
(1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示；
(2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值．
(1)解　＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)證明　一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy； ①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)
＝＋. ②
由①②得
∴＋＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?
(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．(　 　)
(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　 　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．(　 　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　 　)
(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(　 　)
無
題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用
例1　(1)在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，則＝________.(用e1，e2表示)
(2) 如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為(　　)
A. B.
C. D．2
　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
題型二　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，則2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
　(1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________.
(2)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
題型三　平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)
例3　已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
命題點(diǎn)2　利用向量共線求參數(shù)
例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，則銳角θ＝________.
(2)設(shè)＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值為________．
命題點(diǎn)3　利用平面向量的坐標(biāo)求最值
例5　在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為________．
　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
(2)(2016·溫州二模) 如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足＋＝1，若＝x＋y，則x＋y的最小值為________．
1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標(biāo)的求法
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共線 x1y2－x2y1＝0.
【知識拓展】
1．若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
2．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b ＝.
典例　給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么(　　)
A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0
B．空間內(nèi)任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))
C．對實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在該平面內(nèi)
D．對平面內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對
2．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________.
4．已知 ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．
1．在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝2，則等于(　　)
A．b－a B．b－a
C．b－a D．b＋a
2．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于(　　)
A. B. C．1 D．2
4．已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為(　　)
A．(－，5) B．(，5)
C．(，－5) D．(－，－5)
5．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s等于(　　)
A. B. C．－3 D．0
6．已知||＝1，||＝，·＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，則的值為(　　)
A．2 B.
C．3 D．4
7．在 ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為__________．
8．設(shè)0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan θ＝________.
9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.
*10.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________．
11．正△ABC的邊長為1，向量＝x＋y，且x≥0，y≤1，≤x＋y≤，則動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為________．
答案　
12．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；
(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
*13. 如圖所示，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．
(1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示；
(2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值．

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