資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　×　)
(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關．(　√　)
(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　×　)
(4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　×　)
(5)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)
無
題型一　平面向量的概念
例1　給出下列四個命題：
①若|a|＝|b|，則a＝b；
②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；
③若a＝b，b＝c，則a＝c；
④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正確命題的序號是(　　)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
答案　A
解析　①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．
②正確．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共線的四點，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，
則∥且||＝||，∴＝.
③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，
∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.
④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．
綜上所述，正確命題的序號是②③.故選A.
思維升華　向量有關概念的關鍵點
(1)向量定義的關鍵是方向和長度．
(2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．
(3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等．
(4)單位向量的關鍵是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度．
(5)零向量的關鍵是方向沒有限制，長度是0，規定零向量與任何向量共線．
　設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.
題型二　平面向量的線性運算
命題點1　向量的線性運算
例2　(1)在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是(　　)
A.＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝
(2)設D為△ABC所在平面內一點，若＝3，則(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)＝，＋＝，
＋＝正確．
而－＝，故C錯誤．故選C.
(2)∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
命題點2　根據向量線性運算求參數
例3　(1)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________．
(2)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)　(2)D
解析　(1)＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
(2)設＝y，
∵＝＋
＝＋y＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y).
∵＝3，點O 在線段CD上(與點C，D不重合)，
∴y∈，
∵＝x＋(1－x)，
∴x＝－y，∴x∈.
思維升華　平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略
(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．
(2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．
(3)求參數問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較求參數的值．
　如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F兩點，且交對角線AC于點K，其中，＝，＝，＝λ，則λ的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵＝，＝，
∴＝，＝2.
由向量加法的平行四邊形法則可知，
＝＋，
∴＝λ＝λ(＋)
＝λ
＝λ＋2λ，
由E，F，K三點共線，可得λ＝，
故選A.
題型三　共線定理的應用
例4　設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
(1)證明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴，共線．
又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．
(2)解　假設ka＋b與a＋kb共線，
則存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩個不共線的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.
思維升華　(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系．當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．
(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a、b不共線．
　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　)
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
(2)如圖所示，設O是△ABC內部一點，且＋＝－2，則△ABC與△AOC的面積之比為________．
答案　(1)B　(2)2
解析　(1)∵＝＋
＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴，共線，又有公共點B，
∴A，B，D三點共線．故選B.
(2)取AC的中點D，連接OD，
則＋＝2，
∴＝－，
∴O是AC邊上的中線BD的中點，
∴S△ABC＝2S△OAC，
∴△ABC與△AOC面積之比為2.
1．向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量
零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線
共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0
2.向量的線性運算
向量 運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律：a＋b＝b＋a; (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.
【知識拓展】
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋)．
3.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
典例　下列敘述錯誤的是________．
①若a∥b，b∥c，則a∥c.
②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．
③|a|＋|b|＝|a＋b| a與b方向相同．
④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.
⑤＋＝0.
⑥若λa＝λb，則a＝b.
錯解展示
解析　⑤中兩個向量的和仍是一個向量，∴＋＝0.
答案　⑤
現場糾錯
解析　對于①，當b＝0時，a不一定與c平行．
對于②，當a＋b＝0時，其方向任意，它與a，b的方向都 不相同．
對于③，當a，b之一為零向量時結論不成立．
對于④，當a＝0且b＝0時，λ有無數個值；當a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時，λ不存在．
對于⑤，由于兩個向量之和仍是一個向量，
所以＋＝0.
對于⑥，當λ＝0時，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不一定有a＝b.
故①②③④⑤⑥均錯．
答案　①②③④⑤⑥
糾錯心得　在考慮向量共線問題時，要注意考慮零向量.
1．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等．則所有正確命題的序號是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
答案　A
解析　根據零向量的定義可知①正確；根據單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤；向量與互為相反向量，故③錯誤．
2．(教材改編)D是△ABC的邊AB上的中點，則向量等于(　　)
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
答案　A
解析　如圖，
＝＋＝＋＝－＋.
3．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點共線的充要條件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案　D
解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三點共線得＝t，
所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，
即可得所以λμ＝1，故選D.
4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________.
答案　2
解析　由向量加法的平行四邊形法則，
得＋＝.
又O是AC的中點，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.又＋＝λ，
∴λ＝2.
1．設O是正方形ABCD的中心，則向量，，，是(　　)
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起點的向量 D．模相等的向量
答案　D
解析　這四個向量的模相等．
2．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點，則等于(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
答案　A
解析　因為＝＋＋＝－＋，
所以＝＋＝＋＝＋
＝＋.
3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則下列一定共線的三點是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
答案　B
解析　因為＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共點A，所以A，B，D三點共線．
4．已知平面內一點P及△ABC，若＋＋＝，則點P與△ABC的位置關系是(　　)
A．點P在線段AB上 B．點P在線段BC上
C．點P在線段AC上 D．點P在△ABC外部
答案　C
解析　由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以點P在線段AC上．
5. 如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　∵O為BC的中點，
∴＝(＋)
＝(m＋n)＝＋，
∵M，O，N三點共線，∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
6．設P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，則k等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　取BC的中點D，連接PD，AD，
則PD⊥BC，＋＝2，
∵＝k(＋)(k∈R)，
∴＝2k，∴A，P，D三點共線，
∴AB＝AC，
∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝，
∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝，故選A.
7.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.
答案　
解析　如圖，取單位向量i，j，則
a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.
∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，
∴　∴
∴x＋y＝.
8．設a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數p的值是________．
答案　－1
解析　∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三點共線，∴，共線．
設＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∵a，b不共線，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
*9.設G為△ABC的重心，且sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，則角B的大小為________．
答案　60°
解析　∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，將其代入sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，得(sin B－sin A)＋(sin C－sin A)＝0.又，不共線，
∴sin B－sin A＝0，sin C－sin A＝0，
則sin B＝sin A＝sin C．根據正弦定理知b＝a＝c，
∴△ABC是等邊三角形，則角B＝60°.
*10.已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數m，使得＋＝m成立，則m＝________.
答案　3
解析　∵＋＋＝0，
∴M為△ABC的重心．
如圖所示，連接AM并延長交BC于點D，則D為BC的中點．
∴＝.
又＝(＋)，
∴＝(＋)，
即＋＝3，∴m＝3.
11．已知O為△ABC內一點，且滿足＋λ＋(λ－1)＝0，若△OAB的面積與△OAC的面積的比值為，則λ的值為________．
答案　
解析　因為＋λ(＋)－＝0，所以＝λ(＋)，設G為BC的中點，所以＝2λ，所以點O在過點G且與AC平行的直線上，分別過點B，C作BF⊥OA，CE⊥OA，因為＝，
所以＝＝，所以＝＝3，
所以2λ＝＝3，得λ＝.
12. 在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設＝a，＝b，試用a，b表示，.
解　＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
*13. 如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，若＝m＋，求實數m的值．
解　由N是OD的中點得＝＋
＝＋(＋)＝＋，
又因為A，N，E三點共線，
故＝λ，
即m＋＝λ(＋)，
所以解得故實數m＝.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　 　)
(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關．(　 　)
(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　 　)
(4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　 　)
(5)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．(　 　)
無
題型一　平面向量的概念
例1　給出下列四個命題：
①若|a|＝|b|，則a＝b；
②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；
③若a＝b，b＝c，則a＝c；
④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正確命題的序號是(　　)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
題型二　平面向量的線性運算
命題點1　向量的線性運算
例2　(1)在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是(　　)
A.＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝
(2)設D為△ABC所在平面內一點，若＝3，則(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝＋ D.＝－
命題點2　根據向量線性運算求參數
例3　(1)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________．
(2)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
　如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F兩點，且交對角線AC于點K，其中，＝，＝，＝λ，則λ的值為(　　)
A. B.
C. D.
題型三　共線定理的應用
例4　設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求證：A，B，D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　)
A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線
C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線
(2)如圖所示，設O是△ABC內部一點，且＋＝－2，則△ABC與△AOC的面積之比為________．
1．向量的有關概念
名稱 定義 備注
向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量
零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 非零向量a的單位向量為±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線
共線向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0
2.向量的線性運算
向量 運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律：a＋b＝b＋a; (2)結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.
【知識拓展】
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋)．
3.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
典例　下列敘述錯誤的是________．
①若a∥b，b∥c，則a∥c.
②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．
③|a|＋|b|＝|a＋b| a與b方向相同．
④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.
⑤＋＝0.
⑥若λa＝λb，則a＝b.
1．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等．則所有正確命題的序號是(　　)
A．① B．③
C．①③ D．①②
2．D是△ABC的邊AB上的中點，則向量等于(　　)
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
3．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點共線的充要條件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________.
1．設O是正方形ABCD的中心，則向量，，，是(　　)
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起點的向量 D．模相等的向量
2．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點，則等于(　　)
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則下列一定共線的三點是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
4．已知平面內一點P及△ABC，若＋＋＝，則點P與△ABC的位置關系是(　　)
A．點P在線段AB上 B．點P在線段BC上
C．點P在線段AC上 D．點P在△ABC外部
5. 如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．設P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，則k等于(　　)
A. B. C. D.
7.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，若起點和終點均在格點的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.
8．設a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數p的值是________．
*9.設G為△ABC的重心，且sin A·＋sin B·＋sin C·＝0，則角B的大小為________．
*10.已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數m，使得＋＝m成立，則m＝________.
11．已知O為△ABC內一點，且滿足＋λ＋(λ－1)＝0，若△OAB的面積與△OAC的面積的比值為，則λ的值為________．
12. 在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設＝a，＝b，試用a，b表示，.
*13. 如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，若＝m＋，求實數m的值．

展開更多......

收起↑