資源簡介

1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B.(　√　)
(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(　×　)
(4)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．(　×　)
(5)在△ABC中，＝.(　√　)
(6)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(　√　)
2、在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，則AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化簡得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A.
3、在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，則△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　D
解析　sin B·sin C＝，
∴2sin B·sin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，
∴cos(B－C)＝1，
∵B、C為三角形的內角，∴B＝C，
又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，
綜上，△ABC為等腰直角三角形．
4、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(b－a)sin A＝(b－c)·(sin B＋sin C)，則C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知，得(b－a)·a＝(b－c)(b＋c)，
∴ba－a2＝b2－c2，
∴cos A＝＝，
又05、在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________．
答案　4
解析　∵cos C＝，0∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C
＝×3×2×＝4.
無
題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝.
(1)證明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)證明　根據正弦定理，可設
＝＝＝k(k>0)，
則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，
代入＋＝中，有
＋＝，變形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C.
(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B.
故tan B＝＝4.
【同步練習】
(1)△ABC的三個內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則等于(　　)
A．2 B．2
C. D.
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，則b等于(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)(邊化角)
由asin Asin B＋bcos2A＝a及正弦定理，得
sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B＝sin A，所以＝＝.故選D.
(2)(角化邊)
由題意，得sin Acos C－cos Asin C＝2cos Asin C，
即sin Acos C＝3cos Asin C，
由正弦、余弦定理，得
a·＝3c·，
整理得2(a2－c2)＝b2，①
又a2－c2＝b，②
聯立①②得b＝2，故選C.
題型二　和三角形面積有關的問題
例2　在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)證明：A＝2B；
(2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小．
(1)證明　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)解　由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
當B＋C＝時，A＝；
當C－B＝時，A＝.
綜上，A＝或A＝.
思維升華　(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．
(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．
【同步練習】
1、在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　)
A．3 B.
C. D．3
答案　C
解析　∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C
變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin Ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
【知識拓展】
1．三角形內角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
變形：＝－.
2．三角形中的三角函數關系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
題型三　正弦定理、余弦定理的簡單應用
命題點1　判斷三角形的形狀
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．等邊三角形
(2)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由所以sin C即sin(A＋B)所以sin Acos B<0，
因為在三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC為直角三角形．
引申探究
1．例3(2)中，若將條件變為2sin Acos B＝sin C，判斷△ABC的形狀．
解　2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Bsin A，
∴sin(A－B)＝0，
又A，B為△ABC的內角，
∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形．
2．例3(2)中，若將條件變為a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判斷△ABC的形狀．
解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC為等邊三角形．
命題點2　求解幾何計算問題
例4　如圖，在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．
解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.
命題點3　解三角形的實際應用
例5　(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高AD是60 m，則河流的寬度BC等于(　　)
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
(2)在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高是______ m.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)如圖，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．
(2)如圖，在Rt△CDB中，
CD＝200 m，
∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝＝(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，
∠ACB＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝(m)．
【同步練習】(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
(2)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
答案　(1)D　(2)(－，＋)
解析　(1)∵c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC為等腰或直角三角形．
(2)如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F，則BF在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－題型五 二審結論會轉換
典例　(15分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a－c＝b，sin B＝sin C.
(1)求cos A的值；
(2)求cos的值．
(1)
(2)―→―→
規范解答
解　(1)在△ABC中，由＝及sin B＝sin C，
可得b＝c， [3分]
又由a－c＝b，有a＝2c， [5分]
所以cos A＝＝＝. [8分]
(2)在△ABC中，由cos A＝，
可得sin A＝. [10分]
于是，cos 2A＝2cos2A－1＝－， [12分]
sin 2A＝2sin A·cos A＝. [13分]
所以，cos＝cos 2Acos ＋sin 2Asin
＝×＋×＝. [15分]
一、應用正弦、余弦定理的解題技巧
(1)求邊：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相應變形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相應變形公式求解．
(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解．
(4)靈活利用式子的特點轉化：如出現a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理．
二、(1)判斷三角形形狀的方法
①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．
(2)求解幾何計算問題要注意
①根據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；
②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)
A．135° B．105°
C．45° D．75°
答案　C
解析　由正弦定理知＝，即＝，
所以sin A＝，又由題知，BC2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，則b等于(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　D
解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故選D.
3．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　D
解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，
得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，
∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
綜上可知，△ABC為等腰直角三角形．
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是(　　)
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．有解但解的個數不確定
答案　C
解析　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在．
5．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝，則B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根據正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac，
得cos B＝＝，
故B＝，故選C.
6．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　)
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
答案　B
解析　∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－(＋)＝π，
∴sin A＝sin(＋)＝sin cos ＋cos sin
＝.
則S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
7．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
答案　
解析　在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝，由正弦定理得b＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為________．
答案　或
解析　由余弦定理，得＝cos B，
結合已知等式得cos B·tan B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
9.如圖，一艘船上午9∶30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10∶00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8 n mile.此船的航速是______ n mile/h.
答案　32
解析　設航速為v n mile/h，
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，∴v＝32.
*10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A．若a＝4，則△ABC周長的最大值為________．
答案　12
解析　由正弦定理＝，
可將asin B＝bcos A轉化為sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3()2，
則(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(當且僅當b＝c＝4時等號成立)，
∴△ABC周長＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值為12.
11．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知cos C＝，a2＝b2＋c2.
(1)求sin(A－B)的值；
(2)若c＝，求a和b.
解　(1)△ABC中，∵a2＝b2＋c2，
∴sin2A＝sin2B＋sin2C，
即sin2A－sin2B＝，
從而－＝，
即cos 2B－cos 2A＝.
∴cos[(A＋B)－(A－B)]－cos[(A＋B)＋(A－B)]＝，
∴2sin(A＋B)sin(A－B)＝，
∵sin(A＋B)＝sin C＝，
∴sin(A－B)＝.
(2)由已知得
將①代入②，得a＝4b－， ③
將③代入①，得3b2＋＝17，b2＝4或b2＝(b＝代入③得a<0舍去)，故a＝3，b＝2.
12．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，滿足bcos C＋bsin C－a－c＝0.
(1)求角B的值；
(2)若a＝2，且AC邊上的中線BD長為，求△ABC的面積．
解　(1)由已知條件得
sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0，
∴sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0，
即sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0，
由sin C>0，得sin B－cos B＝1，
∴sin(B－)＝，
又B－∈(0，)，∴B－＝，∴B＝.
(2)由已知可得＋＝2，
平方得2＋2＋2·＝42，
即c2＋a2＋2ca·cos＝84，
又a＝2，∴c2＋2c－80＝0，解得c＝8或c＝－10(舍去)，
S△ABC＝acsin B＝×2×8×sin＝4.
*13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC邊上的中線AM的長為.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面積．
解　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，
∴cos A＝＝，
又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2 ，得sin B＝，
即sin B＝1＋cos C，
則cos C＜0，即C為鈍角，
∴B為銳角，且B＋C＝，
則sin(－C)＝1＋cos C，化簡得cos(C＋)＝－1，
解得C＝，∴B＝.
(2)由(1)知，a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋()2－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，
故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝.1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(　　)
(4)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形．(　　)
(5)在△ABC中，＝.(　　)
(6)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(　　)
2、在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，則AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3、在△ABC中，若sin B·sin C＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，則△ABC是(　　)
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(b－a)sin A＝(b－c)·(sin B＋sin C)，則C等于(　　)
A. B.
C. D.
5、在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________．
無
題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且＋＝.
(1)證明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
【同步練習】
(1)△ABC的三個內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則等于(　　)
A．2 B．2
C. D.
(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cos Asin C，則b等于(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
題型二　和三角形面積有關的問題
例2　在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)證明：A＝2B；
(2)若△ABC的面積S＝，求角A的大小．
【同步練習】
1、在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　)
A．3 B.
C. D．3
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C
變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin Ab
解的個數 一解 兩解 一解 一解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．
【知識拓展】
1．三角形內角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
變形：＝－.
2．三角形中的三角函數關系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
題型三　正弦定理、余弦定理的簡單應用
命題點1　判斷三角形的形狀
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．等邊三角形
(2)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
引申探究
1．例3(2)中，若將條件變為2sin Acos B＝sin C，判斷△ABC的形狀．
2．例3(2)中，若將條件變為a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判斷△ABC的形狀．
命題點2　求解幾何計算問題
例4　如圖，在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．
命題點3　解三角形的實際應用
例5　(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高AD是60 m，則河流的寬度BC等于(　　)
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
(2)在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高是______ m.
【同步練習】(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
(2)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
題型五 二審結論會轉換
典例　(15分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a－c＝b，
sin B＝sin C.
(1)求cos A的值；
(2)求cos的值．
一、應用正弦、余弦定理的解題技巧
(1)求邊：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相應變形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相應變形公式求解．
(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解．
(4)靈活利用式子的特點轉化：如出現a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理．
二、(1)判斷三角形形狀的方法
①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．
(2)求解幾何計算問題要注意
①根據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；
②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)
A．135° B．105°
C．45° D．75°
2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，則b等于(　　)
A. B. C．2 D．3
3．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是(　　)
A．有一解 B．有兩解
C．無解 D．有解但解的個數不確定
5．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝，則B等于(　　)
A. B. C. D.
6．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　)
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
7．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為________．
9.如圖，一艘船上午9∶30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續沿正北方向
勻速航行，上午10∶00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距
8 n mile.此船的航速是______ n mile/h.
10.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin B＝bcos A．若a＝4，則△ABC周長的最大值為________．
11．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知cos C＝，a2＝b2＋c2.
(1)求sin(A－B)的值；(2)若c＝，求a和b.
12．已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，滿足bcos C＋bsin C－a－c＝0.
(1)求角B的值；
(2)若a＝2，且AC邊上的中線BD長為，求△ABC的面積．
13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC邊上的中線AM的長為.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的面積．

展開更多......

收起↑