資源簡介

1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的圖象是由y＝sin的圖象向右平移個單位得到的．(　√　)
(2)將函數y＝sin ωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數y＝sin(ωx－φ)的圖象．(　×　)
(3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．(　×　)
(4)函數y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為T＝.(　×　)
(5)把y＝sin x的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，所得圖象對應的函數解析式為y＝sin x.(　×　)
(6)若函數y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，則函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　√　)
2、y＝2sin(x－)的振幅，頻率和初相分別為(　　)
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
答案　C
解析　由題意知A＝2，f＝＝＝，初相為－.
3、將函數y＝sin x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
答案　C
解析　y＝sin x＝y＝sin(x－)y＝sin(x－)．
4、函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________.
答案　2　
解析　根據圖象知T＝π，∴ω＝2，
又f(x)圖象過點(0,1)，且點(0,1)位于函數圖象的遞增部分，
∴由2sin φ＝1得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又∵|φ|<，∴φ＝.
5、若將函數f(x)＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是________．
答案　
解析　∵函數f(x)＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，
又∵g(x)是偶函數，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)．
當k＝－1時，φ取得最小正值.
無
題型一　函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例1　某同學用“五點法”畫函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1) 請將上表數據補充完整，并直接寫出函數f(x)的解析式；
(2) 將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值．
解　(1)根據表中已知數據，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.數據補全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x π
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函數解析式為f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因為函數y＝sin x圖象的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函數y＝g(x)的圖象關于點成中心對稱，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，當k＝1時，θ取得最小值.
引申探究
在本例(2)中，將f(x)圖象上所有點向左平移個單位長度，得到g(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)圖象的對稱中心．
解　由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]
＝5sin(2x＋)．
因為y＝sin x的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
即y＝g(x)圖象的對稱中心為(－，0)，k∈Z.
思維升華　(1)五點法作簡圖：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．
(2)圖象變換：由函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．
【同步練習】
1、將函數y＝sin 2x的圖象向右平移φ個單位長度后所得圖象的解析式為y＝sin(2x－)，則φ＝________(0<φ<)，再將函數y＝sin(2x－)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得到的圖象的解析式為________．
答案　　y＝sin(x－)
解析　將y＝sin 2x中的x替換為x－后得到
y＝sin(2x－)，
故向右平移個單位長度；
將y＝sin(2x－)圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，則將x替換為得到y＝sin(x－)．
題型二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的圖象的一部分如圖所示．
(1)求f(x)的表達式；
(2)試寫出f(x)的對稱軸方程．
解　(1)觀察圖象可知A＝2且點(0,1)在圖象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.
∵|φ|<，∴φ＝，
又∵是函數的一個零點且是圖象遞增穿過x軸形成的零點，
∴ω＋＝2π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)設2x＋＝B，則函數y＝2sin B的對稱軸方程為B＝＋kπ，k∈Z，
即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得x＝＋ (k∈Z)，
∴f(x)＝2sin(2x＋)的對稱軸方程為
x＝＋(k∈Z)．
【同步練習】
1、已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則y＝f(x＋)取得最小值時x的集合為(　　)
A．{x|x＝kπ－，k∈Z}
B．{x|x＝kπ－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
答案　B
解析　根據所給圖象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外圖象經過點(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，當2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)時，y＝f(x＋)取得最小值．
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函數y＝sin x的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：
【知識拓展】
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度．
2．函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．
題型三　三角函數圖象性質的應用
命題點1　三角函數模型的應用
例3　如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y＝3sin＋k，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由題干圖易得ymin＝k－3＝2，則k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
命題點2　函數零點(方程根)問題
例4　已知關于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個不同的實數根，則m的取值范圍是________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可轉化為
m＝1－2sin2x＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
設2x＋＝t，則t∈，
∴題目條件可轉化為＝sin t，t∈有兩個不同的實數根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的圖象有兩個不同交點，如圖：
由圖象觀察知，的范圍為(－1，－)，
故m的取值范圍是(－2，－1)．
引申探究
例4中，若將“有兩個不同的實數根”改成“有實根”，則m的取值范圍是__________．
答案　[－2,1)
解析　由例4知，的范圍是，
∴－2≤m<1，
∴m的取值范圍是[－2,1)．
命題點3　圖象與性質的綜合應用
例5　已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ<)的圖象關于直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求ω和φ的值；
(2)當x∈[0，]時，求函數y＝f(x)的最大值和最小值．
解　(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，所以f(x)的最小正周期T＝π，從而ω＝＝2.
又因為f(x)的圖象關于直線x＝對稱，
所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
綜上，ω＝2，φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，
當x∈[0，]時，－≤2x－≤，
∴當2x－＝，即x＝時，f(x)最大值＝；
當2x－＝－，即x＝0時，f(x)最小值＝－.
【同步練習】
1、已知函數f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，則m的取值范圍是__________．
答案　[，]
解析　畫出函數的圖象．
由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，
因為f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－]，只要≤m≤，即m∈[，]．
題型五 三角函數圖象與性質的綜合問題
例6 已知函數f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區間[0,π]上的最大值和最小值．
思維點撥　(1)先將f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)將f(x)解析式中的x換成x－，得g(x)，然后利用整體思想求最值．
規范解答
解　(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[
＝2sin(x＋)，
于是T＝＝2π.[6分]
(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分]
∵x∈[0,π]，∴x＋∈[，]，
∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分]
∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[12分]
故函數g(x)在區間[0,π]上的最大值為2，最小值為－1.
一、求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步驟
(1)求A，B，確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，B＝.
(2)求ω，確定函數的周期T，則ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝；“第五點”為ωx＋φ＝2π.
二、解決三角函數圖象與性質的綜合問題的一般步驟
第一步：(化簡)將f(x)化為asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用輔助角公式)構造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；
第三步：(求性質)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數的性質；
第四步：(反思)反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題規范.
1．函數y＝cos的部分圖象可能是(　　)
答案　D
解析　∵y＝cos，∴當2x－＝0，
即x＝時，函數取得最大值1，結合圖象看，可使函數在x＝時取得最大值的只有D.
2．已知函數f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
答案　D
解析　由f(x)的周期為π得ω＝2，f(x)＝cos(2x＋)向右平移個單位長度后得到g(x)＝cos 2x的圖象．
3．已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．
由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)．
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于(　　)
A. B.
C. D．1
答案　B
解析　觀察圖象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
將(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，
由|φ|<，得φ＝，則f(x)＝sin(2x＋)．
函數圖象的對稱軸為x＝＝.
又x1，x2∈(－，)，
且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin(2×＋)＝.故選B.
5．函數f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位后所得函數圖象的解析式是奇函數，則函數f(x)在上的最小值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　由函數f(x)的圖象向左平移個單位得g(x)＝sin的圖象，
因為是奇函數，所以φ＋＝kπ，k∈Z，
又因為|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin.
又x∈，所以2x－∈，
所以當x＝0時，f(x)取得最小值為－.
6．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若將f(x)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則函數f(x)的圖象(　　)
A．關于直線x＝對稱 B．關于直線x＝對稱
C．關于點對稱 D．關于點對稱
答案　B
解析　由題意知＝π，∴ω＝2；
又由f(x)的圖象向右平移個單位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此時關于原點對稱，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|＜，
∴φ＝－，
∴f(x)＝sin.
當x＝時，
2x－＝－，
∴A、C錯誤；
當x＝時，
2x－＝，
∴B正確，D錯誤．
7．函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝sin x＋cos x的圖象至少向右平移________個單位長度得到．
答案　
解析　y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移個單位長度得到．
8.設偶函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，則f()的值為________．
答案　
解析　由題意知，點M到x軸的距離是，根據題意可設f(x)＝cos ωx，
又由題圖知·＝1，所以ω＝π，
所以f(x)＝cos πx，
故f()＝cos ＝.
9．已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函數f(x)在區間(－ω，ω)內單調遞增，且函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝ω對稱，則ω的值為________．
答案　
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因為f(x)在區間(－ω，ω)內單調遞增，且函數圖象關于直線x＝ω對稱，所以f(ω)必為一個周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
10．先把函數f(x)＝sin(x－)的圖象上各點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變)，再把新得到的圖象向右平移個單位，得到y＝g(x)的圖象．當x∈(，)時，函數g(x)的值域為________．
答案　(－，1]
解析　依題意得
g(x)＝sin[2(x－)－]
＝sin(2x－)，
當x∈(，)時，2x－∈(－，)，
此時sin(2x－)∈(－，1]，
故g(x)的值域是(－，1]．
11．已知函數y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象過點P(，0)，圖象上與點P最近的一個最高點是Q(，5)．
(1)求函數的解析式；
(2)求函數f(x)的遞增區間．
解　(1)依題意得A＝5，周期T＝4(－)＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又圖象過點P(，0)，
∴5sin(＋φ)＝0，
由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，
∴y＝5sin(2x－)．
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函數f(x)的遞增區間為
[kπ－，kπ＋] (k∈Z)．
12．已知函數f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.
(1)求函數f(x)的最小正周期T和函數f(x)的單調遞增區間；
(2)若函數f(x)的對稱中心為(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．
解　(1)由題意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
可得函數f(x)的單調遞增區間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z.
∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4.
∴所有滿足條件的x的和為＋＋＋＝.
*13. 函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)設g(x)＝[f(x－)]2，求函數g(x)在x∈[－，]上的最大值，并確定此時x的值．
解　(1)由題圖知A＝2，＝，
則＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]
＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，
∴f(x)的解析式為f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得
f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴當3x＋＝π，即x＝時，g(x)max＝4.1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的圖象是由y＝sin的圖象向右平移個單位得到的．(　　)
(2)將函數y＝sin ωx的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數y＝sin(ωx－φ)的圖象．(　　)
(3)利用圖象變換作圖時“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的長度一致．(　　)
(4)函數y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為T＝.(　　)
(5)把y＝sin x的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，所得圖象對應的函數解析式為y＝sin x.(　　)
(6)若函數y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，則函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.(　　)
2、y＝2sin(x－)的振幅，頻率和初相分別為(　　)
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
3、將函數y＝sin x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
4、函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________.
5、若將函數f(x)＝sin(2x＋)的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關于y軸對稱，則φ的最小正值是________．
無
題型一　函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例1　某同學用“五點法”畫函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1) 請將上表數據補充完整，并直接寫出函數f(x)的解析式；
(2) 將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值．
引申探究
在本例(2)中，將f(x)圖象上所有點向左平移個單位長度，得到g(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)圖象的對稱中心．
【同步練習】
1、將函數y＝sin 2x的圖象向右平移φ個單位長度后所得圖象的解析式為y＝sin(2x－)，則φ＝________(0<φ<)，再將函數y＝sin(2x－)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得到的圖象的解析式為________．
題型二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的圖象的一部分如圖所示．
(1)求f(x)的表達式；
(2)試寫出f(x)的對稱軸方程．
【同步練習】
1、已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則y＝f(x＋)取得最小值時x的集合為(　　)
A．{x|x＝kπ－，k∈Z}
B．{x|x＝kπ－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點
如下表所示：
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函數y＝sin x的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象的步驟如下：
【知識拓展】
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度．
2．函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．
題型三　三角函數圖象性質的應用
命題點1　三角函數模型的應用
例3　如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y＝3sin＋k，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
命題點2　函數零點(方程根)問題
例4　已知關于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有兩個不同的實數根，則m的取值范圍是________．
引申探究
例4中，若將“有兩個不同的實數根”改成“有實根”，則m的取值范圍是__________．
命題點3　圖象與性質的綜合應用
例5　已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ<)的圖象關于直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求ω和φ的值；
(2)當x∈[0，]時，求函數y＝f(x)的最大值和最小值．
【同步練習】
1、已知函數f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，則m的取值范圍是__________．
題型五 三角函數圖象與性質的綜合問題
例6 已知函數f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若將f(x)的圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區間[0,π]上的最大值和最小值．
一、求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步驟
(1)求A，B，確定函數的最大值M和最小值m，則A＝，B＝.
(2)求ω，確定函數的周期T，則ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝；“第五點”為ωx＋φ＝2π.
二、解決三角函數圖象與性質的綜合問題的一般步驟
第一步：(化簡)將f(x)化為asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用輔助角公式)構造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；
第三步：(求性質)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數的性質；
第四步：(反思)反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題規范.
1．函數y＝cos的部分圖象可能是(　　)
2．已知函數f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數g(x)＝cos ωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
3．已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為(　　)
A. B. C．π D．2π
4．函數f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于(　　)
A. B.
C. D．1
5．函數f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位后所得函數圖象的解析式是奇函數，則函數f(x)在上的最小值為(　　)
A．－ B．－
C. D.
6．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若將f(x)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則函數f(x)的圖象(　　)
A．關于直線x＝對稱 B．關于直線x＝對稱
C．關于點對稱 D．關于點對稱
7．函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝sin x＋cos x的圖象至少向右平移________個單位長度得到．
8.設偶函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，則f()的值為________．
9．已知函數f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函數f(x)在區間(－ω，ω)內單調遞增，且函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝ω對稱，則ω的值為________．
10．先把函數f(x)＝sin(x－)的圖象上各點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變)，再把新得到的圖象向右平移個單位，得到y＝g(x)的圖象．當x∈(，)時，函數g(x)的值域為________．
11．已知函數y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象過點P(，0)，圖象上與點P最近的一個最高點是Q(，5)．
(1)求函數的解析式；
(2)求函數f(x)的遞增區間．
12．已知函數f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.
(1)求函數f(x)的最小正周期T和函數f(x)的單調遞增區間；
(2)若函數f(x)的對稱中心為(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．
*13. 函數f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)設g(x)＝[f(x－)]2，求函數g(x)在x∈[－，]上的最大值，并確定此時x的值．

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