資源簡介

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　×　)
(4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．(　√　)
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
2．各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
圖示
與角α終邊的關(guān)系 相同 關(guān)于原點對稱 關(guān)于x軸對稱
角 π－α －α ＋α
圖示
與角α終邊的關(guān)系 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于直線y＝x對稱
3.六組誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口訣 函數(shù)名不變符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限
題型一　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用
例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(2)化簡：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.
答案　(1)B　(2)1
解析　(1)∵＜α＜，
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
(2)(1＋tan2α)(1－sin2α)＝(1＋)·cos2α
＝·cos2α＝1.
思維升華　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化．
(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
答案　A
解析　由
消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即(cos α＋1)2＝0，
∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，
∴α＝，
∴tan α＝tan＝－1.
題型二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例2　(1)(2016·杭州模擬)已知f(x)＝，則f(－)＝________.
(2)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案　(1)－1　(2)C
解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，
f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.
(2)當(dāng)k為偶數(shù)時，A＝＋＝2；
當(dāng)k為奇數(shù)時，A＝－＝－2.
∴A的值構(gòu)成的集合是{2，－2}．
思維升華　(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用
①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．
②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．
(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
　(1)化簡：＝________.
(2)(2016·南京模擬)已知角α終邊上一點P(－4,3)，則
的值為________．
答案　(1)－1　(2)－
解析　(1)原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
(2)原式＝＝tan α，
根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α＝－.
題型三　同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3　(1)已知α為銳角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化簡為
－2tan α＋3sin β＋5＝0，①
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化簡為
tan α－6sin β－1＝0.②
由①②消去sin β，解得tan α＝3.
又α為銳角，根據(jù)sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝.
(2)已知－π①求sin x－cos x的值；
②求的值．
解?、儆梢阎?，得sin x＋cos x＝，
sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由－π又sin x＋cos x>0，
∴cos x>0，sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
引申探究
本題(2)中若將條件“－π解　若0∴sin x>0，cos x<0，
∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.
思維升華　(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．
(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．
　已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　由已知sin＝，
得cos α＝，
∵α∈，
∴sin α＝，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－.
7．分類討論思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用
典例　(1)已知sin α＝，則tan(α＋π)＋＝________.
(2)(2016·湛江模擬)已知k∈Z，化簡：
＝________.
思想方法指導(dǎo)　(1)在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系時，要根據(jù)角的范圍對開方結(jié)果進(jìn)行討論．
(2)利用誘導(dǎo)公式化簡時要對題中整數(shù)k是奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論．
解析　(1)∵sin α＝＞0，
∴α為第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
①當(dāng)α是第一象限角時，cos α＝＝，
原式＝＝.
②當(dāng)α是第二象限角時，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
綜上①②知，原式＝或－.
(2)當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，
原式＝
＝
＝＝－1；
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，
原式＝
＝
＝＝－1.
綜上，原式＝－1.
答案　(1)或－　(2)－1
1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限．
2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
1．(2016·寧波模擬)已知cos α＝，α∈(0，π)，則tan α的值等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　B
解析　∵α∈(0，π)，
∴sin α＝＝ ＝，
由tan α＝，得tan α＝.
2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，則sin(α＋)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　由tan(α－π)＝，得tan α＝，∴α∈(π，)，
由及α∈(π，)，
得cos α＝－，
而sin(α＋)＝cos α＝－.
3．若角α的終邊落在第三象限，則＋
的值為(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
答案　B
解析　由角α的終邊落在第三象限，
得sin α＜0，cos α＜0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2
＝－3.
4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，則sin α·cos α的值等于(　　)
A．－ B．－
C.或－ D.
答案　A
解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，則tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.
5．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 017)的值為(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案　D
解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－3.
*6.(2016·揭陽模擬)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為(　　)
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
答案　B
解析　由題意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，
解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
7．已知α為鈍角，sin(＋α)＝，則sin(－α)＝_____________________________.
答案?。?br/>解析　因為α為鈍角，所以cos(＋α)＝－，
所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.
8．若f(cos x)＝cos 2x，則f(sin 15°)＝________.
答案　－
解析　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.
9．已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝________.
答案　2
解析　由題意可得tan θ＝2，
原式＝＝＝2.
10．(2016·寧波模擬)已知α為第二象限角，則
cos α＋sin α ＝________.
答案　0
解析　原式＝cos α ＋sin α
＝cos α＋sin α，
因為α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.
11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解　由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tan A的值．
解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝，
∴1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)∵sin Acos A<0，
又0∴A為鈍角，
∴△ABC為鈍角三角形．
(3)(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝.
又sin A－cos A>0，
∴sin A－cos A＝，
∴sin A＝，cos A＝－，
故tan A＝－.
*13.已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化簡f(x)的表達(dá)式；
(2)求f()＋f()的值．
解　(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，
f(x)＝
＝＝
＝sin2x；
當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，
f(x)＝
＝
＝＝＝sin2x，
綜上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f()＋f()
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2(－)
＝sin2＋cos2＝1.
1．(2015·福建)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　∵sin α＝－，且α為第四象限角，∴cos α＝，
∴tan α＝＝－，故選D.
2．(2016·臨安中學(xué)模擬)計算：sin π＋cos π等于(　　)
A．－1 B．1
C．0 D.－
答案　A
解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，
cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，
∴sin π＋cos π＝－1.
3．(2016·紹興柯橋區(qū)二模)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝，
又α∈(0，π)，sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝，
∴sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.
4．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(2 018))＝________.
答案?。?
解析　∵f(f(2 018))＝f(2 018－18)＝f(2 000)，
∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　 　)
(2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　 　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　 　)
(4)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．(　 　)
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α.
2．各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
圖示
與角α終邊的關(guān)系 相同 關(guān)于原點對稱 關(guān)于x軸對稱
角 π－α －α ＋α
圖示
與角α終邊的關(guān)系 關(guān)于y軸對稱 關(guān)于直線y＝x對稱
3.六組誘導(dǎo)公式
組數(shù) 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α
口訣 函數(shù)名不變符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限
題型一　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用
例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(2)化簡：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.
　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
題型二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例2　(1)已知f(x)＝，則f(－)＝________.
(2)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
　(1)化簡：＝________.
(2)已知角α終邊上一點P(－4,3)，則
的值為________．
題型三　同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3　(1)已知α為銳角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知－π①求sin x－cos x的值；
②求的值．
　已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
7．分類討論思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用
典例　(1)已知sin α＝，則tan(α＋π)＋＝________.
(2)已知k∈Z，化簡：
＝________.
1．誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限．
2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的常用變形：
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
1．已知cos α＝，α∈(0，π)，則tan α的值等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，則sin(α＋)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
3．若角α的終邊落在第三象限，則＋的值為(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，則sin α·cos α的值等于(　　)
A．－ B．－
C.或－ D.
5．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 017)的值為(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
*6.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為(　　)
A．1＋ B．1－
C．1± D．－1－
7．已知α為鈍角，sin(＋α)＝，則sin(－α)＝_____________________________.
8．若f(cos x)＝cos 2x，則f(sin 15°)＝________.
9．已知角θ的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝________.
10．已知α為第二象限角，則
cos α＋sin α ＝________.
11．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin 2α.
12．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tan A的值．
*13.已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化簡f(x)的表達(dá)式；
(2)求f()＋f()的值．
1．若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
2．計算：sin π＋cos π等于(　　)
A．－1 B．1
C．0 D.－
3．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
4．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(2 018))＝________.

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