資源簡介

1．函數的單調性
在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減．
2．函數的極值
(1)一般地，求函數y＝f(x)的極值的方法
解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：
①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
(2)求可導函數極值的步驟：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．
3．函數的最值
(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．
(3)設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
【知識拓展】
1．在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．
2．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．
3．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
題型一 基礎
【例1】1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)>0.(　×　)
(2)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．(　√　)
(3)函數的極大值不一定比極小值大．(　√　)
(4)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件．(　×　)
(5)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．(　√　)
(6)三次函數在R上必有極大值和極小值．(　×　)
【同步練習】
1．f(x)＝x3－6x2的單調遞減區間為(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)<0，得0∴單調遞減區間為(0,4)．
2．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是(　　)
A．在區間(－2,1)上f(x)是增函數
B．在區間(1,3)上f(x)是減函數
C．在區間(4,5)上f(x)是增函數
D．當x＝2時，f(x)取到極小值
答案　C
解析　在(－2,1)上，導函數的符號有正有負，所以函數f(x)在這個區間上不是單調函數；同理，函數在(1,3)上也不是單調函數；在x＝2的左側，函數在(－，2)上是增函數，在x＝2的右側，函數在(2,4)上是減函數，所以當x＝2時，f(x)取到極大值；在(4,5)上導函數的符號為正，所以函數在這個區間上為增函數．
3．已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導數f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)在R上為減函數，g(1)＝f(1)－2－1＝0.
由g(x)<0＝g(1)，得x>1，故選A.
4．設a∈R，若函數y＝ex＋ax有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函數y＝ex＋ax有大于零的極值點，
則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0時，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
題型二　不含參數的函數的單調性
【例2】　(1)函數y＝x2－ln x的單調遞減區間為(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知定義在區間(－π，π)上的函數f(x)＝xsin x＋cos x，則f(x)的單調遞增區間是________________．
答案　(1)B　(2)和
解析　(1)y＝x2－ln x，y′＝x－＝
＝(x>0)．
令y′<0，得0(2)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
則其在區間(－π，π)上的解集為和，
即f(x)的單調遞增區間為和.
思維升華　確定函數單調區間的步驟
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．
【同步練習】
1、(1)函數y＝4x2＋的單調增區間為(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
(2)已知函數f(x)＝xln x，則f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上遞增 B．在(0，＋∞)上遞減
C．在(0，)上遞增 D．在(0，)上遞減
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由y＝4x2＋，得y′＝8x－，
令y′>0，即8x－>0，解得x>，
∴函數y＝4x2＋的單調增區間為.故選B.
(2)因為函數f(x)＝xln x，定義域為(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
當f′(x)>0時，解得x>，
即函數的單調遞增區間為(，＋∞)；
當f′(x)<0時，解得0即函數的單調遞減區間為(0，)，故選D.
題型三　含參數的函數的單調性
【例3】　已知函數f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．
(1)若函數y＝f(x)的導函數是奇函數，求a的值；
(2)求函數y＝f(x)的單調區間．
解　(1)函數f(x)的定義域為R.
由已知得f′(x)＝－a.
∵函數y＝f(x)的導函數是奇函數，
∴f′(－x)＝－f′(x)，
即－a＝－＋a，解得a＝.
(2)由(1)知f′(x)＝－a＝1－－a.
①當a≥1時，f′(x)<0恒成立，
∴當a∈[1，＋∞)時，
函數y＝f(x)在R上單調遞減．
②當0由f′(x)>0，得(1－a)(ex＋1)>1，
即ex>－1＋，解得x>ln ，
由f′(x)<0，得(1－a)(ex＋1)<1，
即ex<－1＋，解得x∴當a∈(0,1)時，
函數y＝f(x)在(ln ，＋∞)上單調遞增，
在(－∞，ln )上單調遞減．
綜上，當a≥1時，f(x)在R上單調遞減；
當0在上單調遞減．
思維升華　(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．
(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為0的點和函數的間斷點．
(3)個別導數為0的點不影響所在區間的單調性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到)，f(x)在R上是增函數．
【同步練習】1、討論函數f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調性．
解　f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①當a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
②當a≤0時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；
③當00，故f(x)在(0, )上單調遞減，在( ，＋∞)上單調遞增．
題型四　已知函數單調性求參數
【例4】已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函數h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
(2)若函數h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞減，求a的取值范圍．
解　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在單調遞減區間，
所以當x∈(0，＋∞)時，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
設G(x)＝－，所以只要a>Gmin即可．
而G(x)＝(－1)2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.
(2)由h(x)在[1,4]上單調遞減得，
當x∈[1,4]時，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max，而G(x)＝(－1)2－1，
因為x∈[1,4]，所以∈[，1]，
所以G(x)max＝－(此時x＝4)，
所以a≥－，即a的取值范圍是[－，＋∞)．
【同步練習】
1．本題(2)中，若函數h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞增，求a的取值范圍．
解　由h(x)在[1,4]上單調遞增得，
當x∈[1,4]時，h′(x)≥0恒成立，
∴當x∈[1,4]時，a≤－恒成立，
又當x∈[1,4]時，(－)min＝－1(此時x＝1)，
∴a≤－1，即a的取值范圍是(－∞，－1]．
2．本題(2)中，若h(x)在[1,4]上存在單調遞減區間，求a的取值范圍．
解　h(x)在[1,4]上存在單調遞減區間，
則h′(x)<0在[1,4]上有解，
∴當x∈[1,4]時，a>－有解，
又當x∈[1,4]時，(－)min＝－1，
∴a>－1，即a的取值范圍是(－1，＋∞)．
思維升華　根據函數單調性求參數的一般思路
(1)利用集合間的包含關系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調，則區間(a，b)是相應單調區間的子集．
(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內的任一非空子區間上f′(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．
(3)函數在某個區間存在單調區間可轉化為不等式有解問題．
3、已知函數f(x)＝exln x－aex(a∈R)．
(1)若f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線y＝x＋1垂直，求a的值；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是單調函數，求實數a的取值范圍．
解　(1)f′(x)＝exln x＋ex·－aex＝(－a＋ln x)ex，
f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·＝－1，得a＝2.
(2)由(1)知f′(x)＝(－a＋ln x)ex，
若f(x)為單調遞減函數，則f′(x)≤0在x>0時恒成立．
即－a＋ln x≤0在x>0時恒成立．
所以a≥＋ln x在x>0時恒成立．
令g(x)＝＋ln x(x>0)，
則g′(x)＝－＋＝(x>0)，
由g′(x)>0，得x>1；
由g′(x)<0，得0故g(x)在(0,1)上為單調遞減函數，在(1，＋∞)上為單調遞增函數，此時g(x)的最小值為g(1)＝1，但g(x)無最大值(且無趨近值)．
故f(x)不可能是單調遞減函數．
若f(x)為單調遞增函數，
則f′(x)≥0在x>0時恒成立，即－a＋ln x≥0在x>0時恒成立，
所以a≤＋ln x在x>0時恒成立，由上述推理可知此時a≤1.
故實數a的取值范圍是(－∞，1]．
【例5】已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函數g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸．
(1)確定a與b的關系；
(2)若a≥0，試討論函數g(x)的單調性．
思想方法指導　含參數的函數的單調性問題一般要分類討論，常見的分類討論標準有以下幾種可能：
(1)方程f′(x)＝0是否有根．
(2)若f′(x)＝0有根，求出根后判斷其是否在定義域內．
(3)若根在定義域內且有兩個，比較根的大小是常見的分類方法．
規范解答
解　(1)依題意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，
則g′(x)＝＋2ax＋b. [3分]
由函數g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴b＝－2a－1.[5分]
(2)由(1)得g′(x)＝
＝.
∵函數g(x)的定義域為(0，＋∞)，
∴當a＝0時，g′(x)＝－.
由g′(x)>0，得01， [7分]
當a>0時，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝， [9分]
若<1，即a>，
由g′(x)>0，得x>1或0由g′(x)<0，得若>1，即0由g′(x)>0，得x>或0由g′(x)<0，得1若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0. [13分]
綜上可得：當a＝0時，函數g(x)在(0,1)上單調遞增，
在(1，＋∞)上單調遞減；
當0在(1，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增；
當a＝時，函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a>時，函數g(x)在(0，)上單調遞增，
在(，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增．
1．求可導函數單調區間的一般步驟和方法：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實根；
(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；
(4)確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性．
2．可導函數極值存在的條件：
(1)可導函數的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．
(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．
3．函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出來的．函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．
4．求函數的最值以導數為工具，先找到極值點，再求極值和區間端點函數值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
1．函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　函數f(x)＝(x－3)ex的導數為f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由函數導數與函數單調性的關系，得當f′(x)>0時，函數f(x)單調遞增，
此時由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.
2．已知函數f(x)＝x3＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單調遞增”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　f′(x)＝x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，
故“a>0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件．
3．已知f(x)＝1＋x－sin x，則f(2)，f(3)，f(π)的大小關系正確的是(　　)
A．f(2)>f(3)>f(π)
B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3)
D．f(π)>f(3)>f(2)
答案　D
解析　因為f(x)＝1＋x－sin x，所以f′(x)＝1－cos x，
當x∈(0，π]時，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，π]上是增函數，所以f(π)>f(3)>f(2)．
故選D.
4．已知函數f(x)＝x＋在(－∞，－1)上單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
答案　D
解析　函數f(x)＝x＋的導數為f′(x)＝1－，
由于f(x)在(－∞，－1)上單調遞增，
則f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，
即≤x2在(－∞，－1)上恒成立，
由于當x<－1時，x2>1，
則有≤1，解得a≥1或a<0.
5．已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
答案　C
解析　依題意得，當x∈(－∞，c)時，f′(x)>0，
所以函數f(x)在(－∞，c)上是增函數，
因為af(b)>f(a)，因此C正確．
6．設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　因為f(x)(x∈R)為奇函數，f(－1)＝0，
所以f(1)＝－f(－1)＝0.
當x≠0時，令g(x)＝，
則g(x)為偶函數，g(1)＝g(－1)＝0.
則當x＞0時，g′(x)＝[]′
＝＜0，
故g(x)在(0，＋∞)上為減函數，在(－∞，0)上為增函數．
所以在(0，＋∞)上，當0＜x＜1時，g(x)＞g(1)＝0
＞0 f(x)＞0；在(－∞，0)上，當x＜－1時，g(x)＜g(－1)＝0 ＜0 f(x)＞0.
綜上，知使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0,1)，故選A.
7．若函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調減區間為(－1,3)，則b＋c＝________.
答案?。?2
解析　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由題意知－1∴－1,3是f′(x)＝0的兩個根，
∴b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12.
8．已知函數f(x)(x∈R)滿足f(1)＝1，f(x)的導數f′(x)<，則不等式f(x2)<＋的解集為________________．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　設F(x)＝f(x)－x，
∴F′(x)＝f′(x)－，
∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，
即函數F(x)在R上單調遞減，
∵f(x2)<＋，
∴f(x2)－∴F(x2)∴x2>1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．若函數f(x)＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞)上存在單調遞增區間，則a的取值范圍是________．
答案　(－，＋∞)
解析　對f(x)求導，得f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－(x－)2＋＋2a.
當x∈[，＋∞)時，f′(x)的最大值為f′()＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－，
所以a的取值范圍是(－，＋∞)．
10．若函數f(x)＝2x3－3mx2＋6x在區間(2，＋∞)上為增函數，則實數m的取值范圍為________．
答案　(－∞，]
解析　∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴當x>2時，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上單調遞增，
∴m≤2＋＝.
11．設函數f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的單調區間．
解　(1)f(x)的定義域為R.
∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.
依題設，即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，
f′(x)與1－x＋ex－1同號．
令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，當x∈(－∞，1)時，g′(x)＜0，g(x)在區間(－∞，1)上單調遞減；
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．
故g(1)＝1是g(x)在區間(－∞，＋∞)上的最小值，
從而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，
綜上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．
故f(x)的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．
12．已知函數f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間．
解　(1)對f(x)求導得f′(x)＝－－(x>0)，
由f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
則f′(x)＝(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因為x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內，故舍去．
當x∈(0,5)時，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)內為減函數；
當x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)內為增函數．
綜上，f(x)的單調增區間為(5，＋∞)，單調減區間為(0,5)．
13．已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)與g(x)在x＝1處相切，求g(x)的表達式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是減函數，求實數m的取值范圍．
解　(1)由已知得f′(x)＝，
∴f′(1)＝1＝a，∴a＝2.
又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.
(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是減函數．
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立．
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
則2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故實數m的取值范圍是(－∞，2]．1．函數的單調性
在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減．
2．函數的極值
(1)一般地，求函數y＝f(x)的極值的方法
解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：
①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
(2)求可導函數極值的步驟：
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．
3．函數的最值
(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．
(3)設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：
①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值；
②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
【知識拓展】
1．在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．
2．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．
3．對于可導函數f(x)，f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．
題型一 基礎
【例1】1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．(　　)
(3)函數的極大值不一定比極小值大．(　　)
(4)對可導函數f(x)，f′(x0)＝0是x0點為極值點的充要條件．(　　)
(5)函數的最大值不一定是極大值，函數的最小值也不一定是極小值．(　　)
(6)三次函數在R上必有極大值和極小值．(　　)
【同步練習】
1．f(x)＝x3－6x2的單調遞減區間為(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
2．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是(　　)
A．在區間(－2,1)上f(x)是增函數
B．在區間(1,3)上f(x)是減函數
C．在區間(4,5)上f(x)是增函數
D．當x＝2時，f(x)取到極小值
3．已知定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導數f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．設a∈R，若函數y＝ex＋ax有大于零的極值點，則實數a的取值范圍是________．
題型二　不含參數的函數的單調性
【例2】　(1)函數y＝x2－ln x的單調遞減區間為(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知定義在區間(－π，π)上的函數f(x)＝xsin x＋cos x，則f(x)的單調遞增區間是________________．
【同步練習】
1、(1)函數y＝4x2＋的單調增區間為(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
(2)已知函數f(x)＝xln x，則f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上遞增 B．在(0，＋∞)上遞減
C．在(0，)上遞增 D．在(0，)上遞減
題型三　含參數的函數的單調性
【例3】　已知函數f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．
(1)若函數y＝f(x)的導函數是奇函數，求a的值；
(2)求函數y＝f(x)的單調區間．
【同步練習】1、討論函數f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調性．
題型四　已知函數單調性求參數
【例4】已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函數h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
(2)若函數h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞減，求a的取值范圍．
【同步練習】
1．本題(2)中，若函數h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調遞增，求a的取值范圍．
2．本題(2)中，若h(x)在[1,4]上存在單調遞減區間，求a的取值范圍．
3、已知函數f(x)＝exln x－aex(a∈R)．
(1)若f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線y＝x＋1垂直，求a的值；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是單調函數，求實數a的取值范圍．
【例5】已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函數g(x)的圖象在點(1，g(1))處的切線平行于x軸．
(1)確定a與b的關系；
(2)若a≥0，試討論函數g(x)的單調性．
1．求可導函數單調區間的一般步驟和方法：
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實根；
(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；
(4)確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性．
2．可導函數極值存在的條件：
(1)可導函數的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．
(2)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．
3．函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出來的．函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．
4．求函數的最值以導數為工具，先找到極值點，再求極值和區間端點函數值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
1．函數f(x)＝(x－3)ex的單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
2．已知函數f(x)＝x3＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單調遞增”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知f(x)＝1＋x－sin x，則f(2)，f(3)，f(π)的大小關系正確的是(　　)
A．f(2)>f(3)>f(π)
B．f(3)>f(2)>f(π)
C．f(2)>f(π)>f(3)
D．f(π)>f(3)>f(2)
4．已知函數f(x)＝x＋在(－∞，－1)上單調遞增，則實數a的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
5．已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(　　)
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
6．設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
7．若函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調減區間為(－1,3)，則b＋c＝________.
8．已知函數f(x)(x∈R)滿足f(1)＝1，f(x)的導數f′(x)<，則不等式f(x2)<＋的解集為________________．
9．若函數f(x)＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞)上存在單調遞增區間，則a的取值范圍是________．
10．若函數f(x)＝2x3－3mx2＋6x在區間(2，＋∞)上為增函數，則實數m的取值范圍為________．
11．設函數f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的單調區間．
12．已知函數f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間．
13．已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)與g(x)在x＝1處相切，求g(x)的表達式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是減函數，求實數m的取值范圍．

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