資源簡介

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　×　)
(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　×　)
(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．(　√　)
(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　×　)
(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cos x．(　×　)
無
題型一　導(dǎo)數(shù)的計算
例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；
(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．
解　(1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝(ln x＋)′＝(ln x)′＋()′
＝－.
(3)y′＝()′
＝
＝－.
(4)設(shè)u＝2x＋，則y＝sin u，
則y′＝(sin u)′·u′＝cos(2x＋)·2
∴y′＝2cos(2x＋)．
(5)令u＝2x－5，則y＝ln u，
則y′＝(ln u)′·u′＝·2＝，
即y′＝.
思維升華　(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元．
　(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，則x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(2)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，故由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，則ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)為奇函數(shù)且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
題型二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
命題點1　求切線方程
例2　(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案　(1)2x＋y＋1＝0　(2)B
解析　(1)設(shè)x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切線方程為y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.
(2)∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設(shè)切點為(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切點為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.故選B.
命題點2　求參數(shù)的值
例3　函數(shù)y＝ex的切線方程為y＝mx，則m＝________.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m等于(　　)
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
答案　(1)e　(2)D
解析　(1)設(shè)切點坐標(biāo)為P(x0，y0)，由y′＝ex，
得y′|x＝x0＝，
從而切線方程為y－＝ (x－x0)，
又切線過定點(0,0)，從而－＝ (－x0)，
解得x0＝1，則m＝e.
(2)∵f′(x)＝，
∴直線l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，
則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.故選D.
命題點3　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系
例4　如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，過點E作OB的垂線l.記△AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為下圖中的(　　)
答案　D
解析　函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，當(dāng)x∈[0,2]時，在單位長度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來越大，即斜率f′(x)在[0,2]內(nèi)大于0且越來越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的；
當(dāng)x∈(2,3)時，在單位長度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS大于0且越來越小，即斜率f′(x)在(2,3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的且圖象是上凸的；
當(dāng)x∈[3，＋∞)時，在單位長度變化量Δx內(nèi)面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內(nèi)為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線．
思維升華　導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
(1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若求過點P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點為(x1，y1)，由求解即可．
(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢．
　(1)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標(biāo)為(　　)
A．3 B．2 C．1 D.
(2)設(shè)曲線y＝在點(，1)處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數(shù)a等于(　　)
A．－1 B. C．－2 D．2
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0，
∵曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，
∴y′＝－，即－＝，
解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合題意)，
即切點的橫坐標(biāo)為3.
(2)∵y′＝，∴＝－1.
由條件知＝－1，∴a＝－1.
1．導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念
(1)一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是 ＝ ，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)或y′.
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
【知識拓展】
(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
(2)[]′＝－(f(x)≠0)．
(3)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
(4)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．
典例　若存在過點O(0,0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．
錯解展示
現(xiàn)場糾錯
解　易知點O(0,0)在曲線y＝x3－3x2＋2x上．
(1)當(dāng)O(0,0)是切點時，
由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依題意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)當(dāng)O(0,0)不是切點時，設(shè)直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x相切于點P(x0，y0)，則y0＝x－3x＋2x0，k＝＝3x－6x0＋2， ①
又k＝＝x－3x0＋2， ②
聯(lián)立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直線l的方程為y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依題意，Δ＝－4a＝0，得a＝.
綜上，a＝1或a＝.
糾錯心得　求曲線過一點的切線方程，要考慮已知點是切點和已知點不是切點兩種情況.
1．若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(　　)
A．0 B．e C．2e D．e2
答案　C
解析　f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.
2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)
答案　D
解析　由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故可排除A，C.
又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.
3．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，則f′()＝________.
答案　－
解析　因為f(x)＝f′()sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′()cos x－sin x，
所以f′()＝f′()cos－sin，
即f′()＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x.
f′(x)＝－cos x－sin x.
故f′()＝－cos－sin＝－.
4．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程是________________．
答案　5x＋y＋2＝0
解析　因為y′|x＝0＝－5e0＝－5，
所以曲線在點(0，－2)處的切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
答案　D
解析　f′(x)＝2f′(1)＋2x，
令x＝1，則f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，
所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.
2．若曲線f(x)＝x4－x在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
答案　C
解析　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因為f′(x)＝4x3－1，
所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1.
把x0＝1代入函數(shù)f(x)＝x4－x，得y0＝0，
所以點P的坐標(biāo)為(1,0)．
3．若直線y＝x是曲線y＝x3－3x2＋px的切線，則實數(shù)p的值為(　　)
A．1 B．2 C. D．1或
答案　D
解析　∵y′＝3x2－6x＋p，設(shè)切點為P(x0，y0)，
∴
解得或
4．已知曲線y＝ln x的切線過原點，則此切線的斜率為(　　)
A．e B．－e C. D．－
答案　C
解析　y＝ln x的定義域為(0，＋∞)，且y′＝，
設(shè)切點為(x0，ln x0)，則y′|x＝x0＝，
切線方程為y－ln x0＝(x－x0)，
因為切線過點(0,0)，所以－ln x0＝－1，
解得x0＝e，故此切線的斜率為.
5.已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)等于(　　)
A．－1 B．0 C．2 D．4
答案　B
解析　由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由題圖可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×(－)＝0.
6．已知函數(shù)f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為(　　)
A. B. C．1 D．4
答案　A
解析　由題意可知f′(x)＝，g′(x)＝，
由f′()＝g′()，得×＝，
可得a＝，經(jīng)檢驗，a＝滿足題意．
7．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.那么f(x)的解析式為________．
答案　f(x)＝ex－x＋x2
解析　由已知得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，
所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.
又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.
從而f(x)＝ex－x＋x2.
8．曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于________．
答案　
解析　y′＝，∴k＝，
∴切線方程為y＝(x－1)．
∴三角形面積S＝×1×＝.
9．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，定義域為(0，＋∞)，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.
*10.已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設(shè)曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值為________．
答案　－1
解析　f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
點P(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2 015
＝×××…××＝，
則log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015
＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.
11．已知曲線y＝x3＋.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．
解　(1)∵P(2,4)在曲線y＝x3＋上，y′＝x2，
∴在點P(2,4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4.
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A(x0，x＋)，則切線的斜率為＝x0＝x.
∴切線方程為y－(x＋)＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
12．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍．
解　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，
則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．
(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，
則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
*13.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．
解　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3.
當(dāng)x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是　解得故f(x)＝x－.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋，知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
從而得切線與直線x＝0的交點坐標(biāo)為.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
從而得切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0)．
所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值且此定值為6.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　 　)
(2)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　 　)
(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點．(　 　)
(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(　 　)
(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cos x．(　 　)
無
題型一　導(dǎo)數(shù)的計算
例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；
(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．
　(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，則x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(2)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
題型二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
命題點1　求切線方程
例2　(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
命題點2　求參數(shù)的值
例3　函數(shù)y＝ex的切線方程為y＝mx，則m＝________.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m等于(　　)
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
命題點3　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系
例4　如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，過點E作OB的垂線l.記△AOB在直線l左側(cè)部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為下圖中的(　　)
　(1)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標(biāo)為(　　)
A．3 B．2 C．1 D.
(2)設(shè)曲線y＝在點(，1)處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數(shù)a等于(　　)
A．－1 B. C．－2 D．2
1．導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念
(1)一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是 ＝ ，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)或y′.
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
【知識拓展】
(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．
(2)[]′＝－(f(x)≠0)．
(3)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
(4)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．
典例　若存在過點O(0,0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．
1．若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(　　)
A．0 B．e C．2e D．e2
2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)
3．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，則f′()＝________.
4．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程是________________．
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
2．若曲線f(x)＝x4－x在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標(biāo)為(　　)
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
3．若直線y＝x是曲線y＝x3－3x2＋px的切線，則實數(shù)p的值為(　　)
A．1 B．2 C. D．1或
4．已知曲線y＝ln x的切線過原點，則此切線的斜率為(　　)
A．e B．－e C. D．－
5.已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)等于(　　)
A．－1 B．0 C．2 D．4
6．已知函數(shù)f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝處函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為(　　)
A. B. C．1 D．4
7．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.那么f(x)的解析式為________．
8．曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于________．
9．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．
*10.已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設(shè)曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn，則log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值為________．
11．已知曲線y＝x3＋.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．
12．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.
(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；
(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍．
*13.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．

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