資源簡介

(共71張PPT)
DIERZHANG
第二章
2　法拉第電磁感應定律
1.理解并掌握法拉第電磁感應定律，能夠運用法拉第電磁感應定律定量計算感應電動勢的大小(重點)。
2.能夠運用E=Blv或E=Blvsin θ計算導體切割磁感線時產生的感應電動勢(重點)。
3.理解動生電動勢產生的原理。
4.會推導、計算導體轉動切割磁感線時的感應電動勢(重難點)。
學習目標
一、電磁感應定律
二、導體棒切割磁感線時的感應電動勢
內容索引
三、導體棒轉動切割時的感應電動勢
課時對點練
電磁感應定律
一
我們可以通過實驗探究電磁感應現象中感應電流大小的決定因素和遵循的物理規律。
如圖所示，將條形磁體從同一高度插入線圈的實驗中。
(1)快速插入和緩慢插入，磁通量的變化量ΔΦ相同嗎？指針偏轉角度相同嗎？
答案　磁通量的變化量ΔФ相同，但磁通量變化的快慢不同，快速插入比緩慢插入時指針偏轉角度大。
(2)分別用同種規格的一根磁體和并列的兩根磁體以相同速度快速插入，磁通量的變化量ΔΦ相同嗎？指針偏轉角度相同嗎？
答案　用并列的兩根磁體快速插入時磁通量的變化量較大，磁通量變化率也較大，指針偏轉角度較大。
(3)如果在條形磁體插入線圈的過程中，將線圈與電流表斷開，線圈兩端的電動勢是否隨著電流一起消失？
答案　如果電路沒有閉合，電動勢依然存在。
(4)在線圈匝數一定的情況下，感應電動勢的大小取決于什么？
答案　在線圈匝數一定的情況下，感應電動勢的大小取決于的大小。
1.感應電動勢
在　　　　　現象中產生的電動勢叫作感應電動勢。產生感應電動勢的那部分導體相當于　　　。
2.法拉第電磁感應定律
(1)內容：閉合電路中感應電動勢的大小，跟穿過這一電路的__________
________成正比。
(2)公式：E=　　　，其中n為線圈的匝數。
梳理與總結
電磁感應
電源
磁通量的
變化率
n
(3)在國際單位制中，磁通量的單位是　　　　　，感應電動勢的單位是
_______。
注意：公式只表示感應電動勢的大小。至于感應電流的方向，可由楞次定律判定。
3.公式E=n求解的是一個回路中某段時間內的平均電動勢，只有在磁通量隨時間均勻變化時，瞬時電動勢才等于平均電動勢。
韋伯(Wb)
伏(V)
(1)在電磁感應現象中，有感應電流，就一定有感應電動勢；反之，有感應電動勢，就一定有感應電流。(　　)
(2)線圈中磁通量越大，線圈中產生的感應電動勢一定越大。(　　)
(3)線圈中磁通量的變化量ΔΦ越小，線圈中產生的感應電動勢一定越小。(　　)
(4)線圈中磁通量變化得越快，線圈中產生的感應電動勢一定越大。
(　　)
×
×
×
√
　如圖甲所示，有一個圓形線圈，匝數n=1 000匝，面積S=200 cm2，線圈的電阻r=1 Ω，線圈外接一個阻值R=4 Ω的電阻，其余電阻不計，把線圈放入一方向垂直于線圈平面向里的勻強磁場中，磁感應強度大小隨時間變化的規律如圖乙所示(規定垂直線圈平面向里為磁感應強度的正方向)，求：
例1
(1)前4 s內的感應電動勢的大小以及通過電阻R的電流方向；
答案　1 V　自下而上
前4 s內磁通量的變化量
ΔΦ=Φ2-Φ1=S(B2-B1)=200×10-4×
(0.4-0.2) Wb=4×10-3 Wb
由法拉第電磁感應定律得E=n=
1 000× V=1 V
由楞次定律知，線圈中產生逆時針方向的感應電流，則通過電阻R的電流方向自下而上。
(2)前5 s內的平均感應電動勢。
答案　0
前5 s內磁通量的變化量
ΔΦ'=Φ2'-Φ1=S(B2'-B1)=200×10-4×(0.2-0.2) Wb=0
由法拉第電磁感應定律得=n=0。
拓展　(1)0~4 s內感應電動勢E1及4~6 s內感應電動勢E2的大小關系為
　　　　；
(2)t=6 s時，穿過線圈的磁通量　 　，線圈中的感應電動勢__________
(均選填“等于零”或“不等于零”)。
E1等于零
不等于零
(2023·包頭市第四中學高二月考)穿過同一閉合回路的磁通量Φ隨時間t變化的圖像分別如圖中的①~④所示，下列關于回路中感應電動勢的說法正確的是
A.圖①回路產生恒定不變的感應電動勢
B.圖②回路產生的感應電動勢一直在變大
C.圖③回路0~t1時間內產生的感應電動勢
　大于t1~t2時間內產生的感應電動勢
D.圖④回路產生的感應電動勢先變大后變小
針對訓練1
√
根據法拉第電磁感應定律可知感應電動勢與磁通量的變化率成正比，即E=n，結合數學知識可知：穿過閉合回路的磁通量Φ隨時間t變化的圖像的斜率k=；題圖①中磁通量Φ不變，無感應電動勢；題圖②中磁通量Φ隨時間t均勻增大，圖像的斜率k不變，即產生的感應電動勢不變；
題圖③中回路在0~t1時間內磁通量Φ隨時間t變化的圖像的斜率為k1，在t1~t2時間內磁通量Φ隨時間t變化的圖像的斜率為k2，從圖像中發現：k1大于|k2|，所以在0~t1時間內產生的感應電動勢大于在t1~t2時間內產生的感應電動勢；題圖④中磁通量Φ隨時間t變化的圖像的斜率的絕對值先變小后變大，所以感應電動勢先變小后變大。故選C。
1.磁通量Φ、磁通量的變化量ΔΦ及磁通量的變化率的比較：
總結提升
磁通量Φ(Φ=BS) 磁通量的變化量ΔΦ(ΔΦ=Φ2-Φ1) 磁通量的變化率
物理意義 某時刻穿過磁場中某個面的磁感線條數 在某一過程中，穿過某個面的磁通量變化的多少 穿過某個面的磁通量變化的快慢
2.若已知Φ-t圖像，則圖線上某一點的切線斜率與該時刻的感應電動勢大小成正比。
3.(1)當ΔΦ僅由B的變化引起時，E=n·S，其中S為線圈在磁場中的有效面積，其中的絕對值||叫作磁感應強度的變化率，等于B-t圖像上對應點的切線的斜率。
(2)當ΔΦ僅由S的變化引起時，E=nB。
(3)當B、S同時變化時，=n≠n。
總結提升
返回
導體棒切割磁感線時的感應電動勢
二
推導：
(1)在Δt時間內，由原來的位置MN移到M1N1，這個過程中閉合電路的面積變化量是ΔS=　　 。
(2)穿過閉合電路的磁通量的變化量則是ΔΦ= 　　=　　　。
(3)根據法拉第電磁感應定律E=求得感應電動勢E=　 。
1.如圖所示，把平行導軌放在磁感應強度為B的勻強磁場中，通過一電阻相連，所在平面跟磁感線垂直。導體棒MN放在導軌上，兩導軌間距為l，MN以速度v向右勻速運動。試根據法拉第電磁感應定律求產生的感應電動勢。
lvΔt
BΔS
BlvΔt
Blv
2.如圖所示，如果導線的運動方向與導線本身是垂直的，但與磁感線方向有一個夾角θ，將速度v分解為兩個分量；垂直于磁感線的分量v1=______和平行于磁感線的分量v2= ，則導線產生的感應電動勢為E=_____
= 。
vsin θ
vcos θ
Blv1
Blvsin θ
如圖，導體棒CD在勻強磁場中向右運動。自由電荷會隨著導體棒運動，并因此受到洛倫茲力。
(1)導體棒中自由電荷相對于紙面的運動大致沿什么方向？(為了方便，可以認為導體棒中的自由電荷是正電荷。)
思考與討論
答案　導體棒中自由電荷(正電荷)隨導體棒向右運動，由左手定則可判斷正電荷受到沿棒向上的洛倫茲力作用。因此，正電荷一邊向上運動，一邊隨導體棒向右勻速運動，所以正電荷相對于紙面的運動是斜向右上方的。
(2)導體棒一直運動下去，自由電荷是否總會沿著導體棒運動？為什么？導體棒哪端的電勢比較高？
(以上討論不必考慮自由電荷的熱運動。)
答案　不會。當導體棒中的自由電荷受到的洛倫茲力與靜電力平衡時不再定向移動，導體棒兩端產生一個穩定的電勢差，即為導體棒兩端產生的感應電動勢。因為正電荷會聚集在C端，所以C端電勢高。
(3)在上述過程中，洛倫茲力做功嗎？
答案　自由電荷參與了兩個方向的運動，隨著導體棒向右運動的速度vx和沿著導體棒向上運動的速度vy，相應的有沿著棒方向的洛倫茲力Fy和垂直棒方向的洛倫茲力Fx。如圖所示，自由電荷合速度的方向指向右上方。Fx和Fy的合力方向與自由電荷的合速度方向垂直，洛倫茲力不做功。洛倫茲力不做功，不提供能量，只是起傳遞能量的作用。
1.由于導體運動而產生的電動勢叫作動生電動勢。
2.導線垂直于磁場方向運動，B、l、v兩兩垂直時，感應電動勢E= 。
3.導線運動的方向與磁感線方向夾角為θ時，感應電動勢E= 。
梳理與總結
Blv
Blvsin θ
4.若導線是彎折的，或l與v不垂直時，E=Blv中的l應為導線兩端點在與v垂直的方向上的投影長度，即有效切割長度。
圖甲中的有效切割長度為：l=sin θ；
圖乙中的有效切割長度為：l= 　　 =　　；
圖丙中的有效切割長度為：沿v1的方向運動時，l=　　　；沿v2的方向運動時，l=　　。
2R
R
R
　如圖所示，兩根平行光滑金屬導軌MN和PQ放置在水平面內，其間距L=0.2 m，磁感應強度大小B=0.5 T的勻強磁場垂直導軌平面向下，兩導軌之間連接的電阻R=4.8 Ω，在導軌上有一金屬棒ab，其接入電路的電阻r=1.2 Ω，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好，在ab棒上施加垂直ab棒的水平拉力使其以速度v=12 m/s向右勻速運動，設金屬導軌足夠長且電阻不計。求：
(1)金屬棒ab產生的感應電動勢大小；
例2
答案　1.2 V
設金屬棒中產生的感應電動勢大小為E，則E=BLv
代入數值得E=1.2 V。
(2)水平拉力的大小F；
答案　0.02 N
設流過電阻R的電流大小為I，
則I=
代入數值得I=0.2 A
因棒勻速運動，則拉力等于安培力，有
F=F安=BIL=0.02 N。
(3)金屬棒a、b兩點間的電勢差。
答案　0.96 V
a、b兩點間的電勢差為Uab=IR
代入數值得Uab=0.96 V。
　　(2024·荊州市高二期末)如圖所示，abcd為水平固定放置的“　　”形金屬導軌，導軌的間距為l，導軌的左端接上阻值為R的定值電阻，勻強磁場方向豎直向下，金屬桿MN傾斜放置在導軌上，現讓金屬桿在外力的作用下以速度v在導軌上勻速滑行，回路中的電流為I，MN與導軌的夾角始終為θ，速度v始終與MN垂直，導軌與金屬桿足夠長，滑行的過程中兩者始終接觸良好，導軌、金屬桿以及導線的電阻均忽略不計，下列說法正確的是
A.定值電阻R的電流由c指向b
B.勻強磁場的磁感應強度大小為
C.金屬桿MN切割磁感線的有效長度為l
D.一段時間t內，回路中磁通量的變化量為IRtsin θ
針對訓練 2
√
由右手定則可知，金屬桿MN的電流方向由N指向M，
則定值電阻R的電流由b指向c，故A錯誤；
金屬桿MN切割磁感線的有效長度為，故C錯誤；
由法拉第電磁感應定律可得E=B··v=，由閉合電路歐姆定律可得I=，綜合解得B=，故B正確；
一段時間t內，回路的面積增加量為ΔS=，回路中磁通量的變化量為ΔΦ=BΔS，綜合可得ΔΦ=IRt，故D錯誤。
返回
導體棒轉動切割時的感應電動勢
三
如圖所示，長為l的金屬棒ab，繞b端在垂直于勻強磁場的平面內以角速度ω勻速轉動，磁感應強度大小為B。
(1)試推導ab棒所產生的感應電動勢大小；
答案　方法一　棒上各處速率不同，故不能直接用公式E=Blv求。由v=ωr可知，棒上各點的線速度跟半徑成正比，故可用棒的中點的速度作為平均切割速度代入公式計算。
所以=，E=Bl=Bl2ω。
方法二　設經過Δt時間ab棒掃過的扇形面積為ΔS，則
ΔS=lωΔtl=l2ωΔt
磁通量的變化量為ΔΦ=BΔS=Bl2ωΔt
所以E==Bl2ω。
(2)試判斷a、b兩點電勢的高低。
答案　由右手定則知，ab切割磁感線，相當于電源，則a為電源的正極，b為電源的負極，a點的電勢高于b點的電勢。
相對位置 轉軸位置
端點 中點 任意位置
導體棒ab長為l，垂直放于磁感應強度為B的勻強磁場，勻速轉動的角速度為ω Eab=Bl=Blv中=Bl2ω Eab=0 Eab=Bω-Bω

梳理與總結
　(2024·西安市高二期末)如圖所示是圓盤發電機的示意圖，銅盤安裝在水平的銅軸上，它的盤面恰好與勻強磁場垂直，兩塊銅片C、D分別與轉動軸和銅盤的邊緣接觸。若銅盤半徑為L，勻強磁場的磁感應強度為B，回路的總電阻為R，從左往右看，銅盤以角速度ω沿順時針方向勻速轉動。則
A.由于穿過銅盤的磁通量不變，故回路中無感應電流
B.回路中感應電流大小不變，為
C.回路中感應電流方向不變，為D→C→R→D
D.若銅盤轉動的角速度變為原來的2倍，則電流在R上的熱功率也變為原
　來的2倍
例3
√
將銅盤看成由無數條幅向分布的導體棒組成的，銅盤在外力的作用下這些導體棒轉動切割磁感線，從而產生感應電動勢，出現感應電流，故A錯誤；
根據右手定則可知，電流從D點流出，流向C點，因此電流方向為從D向R再到C，即為C→D→R→C，故C錯誤；
根據法拉第電磁感應定律可知，感應電動勢E=BL=BL2ω，產生的感應電動勢大小不變，感應電流大小不變，由閉合電路的歐姆定律可知，感應電流大小為I==，故B正確；
電流在R上的熱功率P=I2R=，銅盤轉動的角速度變為原來的2倍，則電流在R上的熱功率變為原來的4倍，故D錯誤。
法拉第電磁感應定律的三個表達式的比較
總結提升
返回
情景圖
研究 對象 回路(不一定閉合)磁場變化或面積變化 一段直導線(或等效成直導線)切割磁感線 繞一端轉動的一段導體棒
表達式 E=n E=Blv E=Bl2ω
四
課時對點練
基礎對點練
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考點一　法拉第電磁感應定律的理解和基本應用
1.(2024·北京市海淀區高二期末)下列關于電磁感應現象說法正確的是
A.穿過閉合電路的磁通量越大，閉合電路中的感應電動勢越大
B.穿過閉合電路的磁通量為零時，感應電動勢一定為零
C.穿過閉合電路的磁通量變化越大，閉合電路中的感應電動勢越大
D.穿過閉合電路的磁通量變化越快，閉合電路中的感應電動勢越大
√
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穿過閉合電路的磁通量變化越快，磁通量變化率越大，根據法拉第電磁感應定律E=n，可知感應電動勢越大，D正確；
穿過閉合電路的磁通量越大，磁通量變化率不一定大，則閉合電路中的感應電動勢不一定大，故A錯誤；
磁通量為零時，磁通量可能在變，則感應電動勢不為零，故B錯誤；
磁通量的變化大，即ΔΦ大，但磁通量的變化率不一定大，故閉合電路中的感應電動勢不一定大，故C錯誤。
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2.(多選)(2023·湖北省云學新高考聯盟高二聯考)某實驗小組探究“影響感應電動勢大小的因素”。實驗裝置如圖所示，線圈的兩端與電壓表相連。分別使線圈距離上管口5 cm、10 cm、15 cm和20 cm。強磁體從長玻璃管上端均由靜止下落，加速穿過線圈。對比這四次實驗，在強磁體穿過線圈的極短時間內，下列說法正確的是
A.線圈內磁通量的變化量相同
B.電壓表的示數依次變大
C.強磁體所受磁場力都是先向上后向下
D.高度相同時，電壓表的示數與線圈所圍面積無關
√
√
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線圈內磁通量的變化量與強磁體的磁感應強度和線圈面積有關，可知四次實驗線圈內磁通量的變化量相同，產生的感應電動勢大小與線圈所圍面積有關，A正確，D錯誤；
線圈距離上管口越遠，強磁體穿過線圈時的速度越大，引起的磁通量的變化率越大，則產生的感應電動勢越大，電壓表示數越大，B正確；
由于強磁體一直向下落，由楞次定律的推論“來拒去留”可知，強磁體所受磁場力一直向上，C錯誤。
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3.(2023·湖北卷)近場通信(NFC)器件應用電磁感應原理進行通訊，其天線類似一個壓平的線圈，線圈尺寸從內到外逐漸變大。如圖所示，一正方形NFC線圈共3匝，其邊長分別為1.0 cm、1.2 cm和1.4 cm，圖中線圈外線接入內部芯片時與內部線圈絕緣。若勻強磁場垂直通過此線圈，磁感應強度變化率為103 T/s，則線圈產生的感應電動勢最接近
A.0.30 V B.0.44 V
C.0.59 V D.4.3 V
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根據法拉第電磁感應定律可知E==S=103×(1.02+
1.22+1.42)×10-4 V=0.44 V，故選B。
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4.如圖甲所示，一線圈匝數為100，橫截面積為0.01 m2，勻強磁場與線圈軸線成30°角向右穿過線圈。若在2 s時間內磁感應強度隨時間的變化關系如圖乙所示，則該段時間內線圈兩端a、b之間的電勢差Uab為
A.- V
B.2 V
C. V
D.從0均勻變化到2 V
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與線圈軸線成30°角向右穿過線圈的磁感應強度均勻增加，故產生恒定的感應電動勢，根據法拉第電磁感應定律，有
E=n=nScos 30°
由題圖乙可知= Wb/s=2 Wb/s
代入數據得E= V
根據楞次定律及安培定則知a點的電勢低于b點的電勢，則Uab=- V，故A正確。
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考點二　導線切割磁感線時的感應電動勢
5.(2024·杭州市高二期末)我國自主研制的C919飛機機長38.9米、翼展35.8米，北京地區地磁場的豎直分量約為4.5×10-5 T，水平分量約為3.0×10-5 T。該機在北京郊區水平試飛速度為聲速(約330 m/s)的0.8倍。有關C919飛機的說法正確的是
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A.C919飛機往北飛的時候，西面機翼的電勢較低。兩側機翼的最大電勢
　差約為0.43 V
B.C919飛機往南飛的時候，西面機翼的電勢較低。兩側機翼的最大電勢　
　差約為0.26 V
C.無論C919飛機往哪個方向飛，都是左邊機翼的電勢較低。兩側機翼的
　最大電勢差約為0.26 V
D.無論C919飛機往哪個方向飛，都是右邊機翼的電勢較低。兩側機翼的
　最大電勢差約為0.43 V
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北京地區地磁場的豎直分量豎直向下，當飛機在北半球水平飛時，飛機機翼切割磁感線產生感應電動勢，由右手定則可知，機翼左端的電勢比右端的電勢高。無論C919飛機往哪個方向飛，都是右邊機翼的電勢較低。由法拉第電磁感應定律E=BLv，可得兩翼尖間的電勢差U=E=4.5×10-5×35.8×0.8×330 V≈0.43 V，故選D。
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6.(2024·北京市朝陽區高二期末)如圖所示，在豎直向下的勻強磁場中，將一根水平放置的金屬棒ab以某一水平速度v0拋出，金屬棒在運動過程中始終保持水平，不計空氣阻力。下列圖中能正確反映金屬棒在運動過程中產生的感應電動勢大小E隨時間t變化情況的是
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金屬棒做平拋運動，水平速度大小和方向均不變，即在磁場中切割磁感線的速度不變，則在運動過程中產生的感應電動勢大小和方向均不變，故選A。
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考點三　導體棒轉動切割時的感應電動勢
7.(2023·四川省峨眉第二中學高二期中)如圖所示，導體棒AB的長為2R，繞O點以角速度ω沿逆時針方向勻速轉動，OB長為R，且O、B、A三點在一條直線上，有一磁感應強度為B的勻強磁場充滿轉動平面且與轉動平面垂直(未畫出)，那么AB兩端的電勢差大小為
A.2BωR2 B.3BωR2
C.4BωR2 D.5BωR2
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AB兩端的電勢差大小等于導體棒AB中感應電動勢的大小，為E=B×2R=B×2R×=4BωR2，故選C。
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8.(2024·廣州市高二期中)近期小朋友熱衷玩的一種夜光飛行器的實物和模型如圖所示。假設該飛行器在北半球的地磁極上空，該處地磁場的方向豎直向下，磁感應強度為B。飛行器的螺旋槳葉片遠端在固定的水平圓環內轉動，在螺旋槳轉軸和葉片的遠端b之間連接有一個發光二極管D，已知葉片長度為L，轉動的頻率為f，從上向下看葉片是按順時針方向轉動的。用E表示每個葉片中的感應電動勢，螺旋槳轉軸和葉片均為導體。則
A.E=πBL2f，圖示連接的二極管不會發光
B.E=2πBL2f，圖示連接的二極管不會發光
C.E=πBL2f，圖示連接的二極管可以發光
D.E=2πBL2f，圖示連接的二極管可以發光
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根據法拉第電磁感應定律，葉片轉動時產生的感應電動勢為E=BLωL
=BL2=πBL2f，從上向下看葉片是按順時針方向轉動的，通過右手定則，可以判斷出b端相當于電源的正極，與二極管的正負極相反，電路不通，故二極管不會發光，故B、C、D錯誤，A正確。
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9.(多選)(2023·忻州市第一中學高二期末)如圖所示，一導線彎成半徑為a的半圓形閉合回路。虛線MN右側有磁感應強度大小為B的勻強磁場，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v 向右勻速進入磁場，直徑CD段導線始終與MN垂直。從D點到達邊界開始到C點進入磁場為止，下列結論正確的是
A.感應電流方向不變
B.CD段直導線始終不受安培力
C.感應電動勢最大值E=Bav
D.感應電動勢平均值=πBav
√
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能力綜合練
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閉合回路進入磁場的過程中，穿過閉合回路的磁通量一直在變大，由楞次定律可知，感應電流的方向不變，A正確；
從D點到達邊界開始到C點進入磁場為止，穿過閉合
回路的磁通量一直在變大，故回路中始終存在感應電流，CD段與磁場方向垂直，所以CD段直導線始終受安培力，B錯誤；
從D點到達邊界開始到C點進入磁場的過程可以理解為部分電路切割磁感線的運動，在切割的過程中，切割的有效長度先增大后減小，最大有效長度等于半圓的半徑，即最大感應電動勢為E=Bav，C正確；
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根據法拉第電磁感應定律可知，感應電動勢的平均值為===，D錯誤。
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10.(2024·廣東省高二月考)如圖所示，直角三角形金屬框abc放置在勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向平行于ab邊向上。當金屬框繞ab邊以角速度ω逆時針轉動(俯視)時，a、b、c三點的電勢分別為φa、φb、φc。已知bc邊的長度為l。下列判斷正確的是
A.φa>φc，金屬框中無電流
B.φb>φc，金屬框中電流方向沿abca
C.Ubc=-Bl2ω，金屬框中無電流
D.Uac=Bl2ω，金屬框中電流方向沿acba
√
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金屬框abc平面與磁場方向平行，轉動過程中穿過金屬框的磁通量始終為零，所以無感應電流產生，故B、D錯誤；
轉動過程中bc邊和ac邊均切割磁感線，產生感應電動勢，由右手定則判斷φa<φc，φb<φc，故A錯誤；
由=BL得，Ubc=-Bl2ω，故C正確。
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11.如圖所示，勻強磁場中有一由半圓弧及其直徑構成的導線框，半圓直徑與磁場邊緣重合，磁場方向垂直于半圓面(紙面)向里，磁感應強度大小為B0。使該線框從靜止開始繞過圓心O、垂直于半圓面的軸以角速度ω逆時針勻速轉動半周，線框中產生感應電流。現使線框保持圖中所示位置靜止，磁感應強度隨時間線性變化。為了產生與線框轉動半周過程中同樣大小的電流，磁感應強度隨時間的變化率的大小應為
A. B.
C. D.
√
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設半圓的半徑為L，導線框的電阻為R，當線框以角速度ω勻速轉動時產生的感應電動勢E1=B0ωL2。當線框不動，而磁感應強度隨時間變化時E2=πL2·=B0ωL2=πL2·=，故C正確。
13
12.如圖所示，導軌OM和ON都在紙面內，導體AB可在導軌上無摩擦滑動且接觸良好，AB⊥ON，ON水平，若AB以5 m/s的速度從O點開始沿導軌勻速向右滑動，導體與導軌都足夠長，勻強磁場的磁感應強度大小為0.2 T。問：(結果可用根式表示)
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尖子生選練
(1)第3 s末夾在導軌間的導體長度是多少？此時導體切割磁感線產生的感應電動勢多大？
答案　5 m　5 V
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第3 s末，夾在導軌間導體的長度為：
l=vt·tan 30°=5×3× m=5 m
此時E=Blv=0.2×5×5 V=5 V。
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(2)0~3 s內回路中的磁通量變化了多少？此過程中的平均感應電動勢為多少？
答案　 Wb　 V
0~3 s內回路中磁通量的變化量
ΔΦ=BΔS=0.2××15×5 Wb= Wb
0~3 s內回路中產生的平均感應電動勢為：== V= V。
13
13.(多選)(2023·東莞市高二期末)磁懸浮列車是高速低耗交通工具，如圖甲所示，它的驅動系統簡化為如圖乙所示的物理模型。固定在列車底部的正方形金屬線框的邊長為L，匝數為N，總電阻為R；水平面內平行長直導軌間存在磁感應強度均為B、方向交互相反，邊長均為L的正方形組合勻強磁場。當磁場以速度v勻速向右移動時，可驅動停在軌道上的列車，則
A.圖示時刻線框中感應電流沿順時針方向
B.列車運動的方向與磁場移動的方向相反
C.列車速度為v'時線框中的感應電動勢大小為NBL(v-v')
D.列車速度為v'時線框受到的安培力大小為
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尖子生選練
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線框相對磁場向左運動，根據右手定則
可知圖示時刻線框中感應電流沿順時針
方向，A正確；
根據左手定則，列車受到向右的安培力，因此列車運動的方向與磁場移動的方向相同，B錯誤；
由于左右兩個邊產生的感應電動勢順次相加，根據法拉第電磁感應定律得E=2NBLΔv=2NBL(v-v')，C錯誤；
列車速度為v'時線框受到的安培力大小為F=2NBIL=，D正確。
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132　法拉第電磁感應定律
[學習目標]　1.理解并掌握法拉第電磁感應定律，能夠運用法拉第電磁感應定律定量計算感應電動勢的大小(重點)。2.能夠運用E=Blv或E=Blvsin θ計算導體切割磁感線時產生的感應電動勢(重點)。3.理解動生電動勢產生的原理。4.會推導、計算導體轉動切割磁感線時的感應電動勢(重難點)。
一、電磁感應定律
我們可以通過實驗探究電磁感應現象中感應電流大小的決定因素和遵循的物理規律。
如圖所示，將條形磁體從同一高度插入線圈的實驗中。
(1)快速插入和緩慢插入，磁通量的變化量ΔΦ相同嗎？指針偏轉角度相同嗎？
(2)分別用同種規格的一根磁體和并列的兩根磁體以相同速度快速插入，磁通量的變化量ΔΦ相同嗎？指針偏轉角度相同嗎？
(3)如果在條形磁體插入線圈的過程中，將線圈與電流表斷開，線圈兩端的電動勢是否隨著電流一起消失？
(4)在線圈匝數一定的情況下，感應電動勢的大小取決于什么？
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1.感應電動勢
在　　　　　　　　現象中產生的電動勢叫作感應電動勢。產生感應電動勢的那部分導體相當于　　　　。
2.法拉第電磁感應定律
(1)內容：閉合電路中感應電動勢的大小，跟穿過這一電路的　　　　　　　　　　　成正比。
(2)公式：E=　　　　　　，其中n為線圈的匝數。
(3)在國際單位制中，磁通量的單位是　　　　　　　　　，感應電動勢的單位是　　　　。
注意：公式只表示感應電動勢的大小。至于感應電流的方向，可由楞次定律判定。
3.公式E=n求解的是一個回路中某段時間內的平均電動勢，只有在磁通量隨時間均勻變化時，瞬時電動勢才等于平均電動勢。
(1)在電磁感應現象中，有感應電流，就一定有感應電動勢；反之，有感應電動勢，就一定有感應電流。 (　　)
(2)線圈中磁通量越大，線圈中產生的感應電動勢一定越大。 (　　)
(3)線圈中磁通量的變化量ΔΦ越小，線圈中產生的感應電動勢一定越小。 (　　)
(4)線圈中磁通量變化得越快，線圈中產生的感應電動勢一定越大。 (　　)
例1　如圖甲所示，有一個圓形線圈，匝數n=1 000匝，面積S=200 cm2，線圈的電阻r=1 Ω，線圈外接一個阻值R=4 Ω的電阻，其余電阻不計，把線圈放入一方向垂直于線圈平面向里的勻強磁場中，磁感應強度大小隨時間變化的規律如圖乙所示(規定垂直線圈平面向里為磁感應強度的正方向)，求：
(1)前4 s內的感應電動勢的大小以及通過電阻R的電流方向；
(2)前5 s內的平均感應電動勢。
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拓展　(1)0~4 s內感應電動勢E1及4~6 s內感應電動勢E2的大小關系為________；
(2)t=6 s時，穿過線圈的磁通量　　　　　　　，線圈中的感應電動勢　　　　　　(均選填“等于零”或“不等于零”)。
針對訓練1　(2023·包頭市第四中學高二月考)穿過同一閉合回路的磁通量Φ隨時間t變化的圖像分別如圖中的①~④所示，下列關于回路中感應電動勢的說法正確的是 (　　)
A.圖①回路產生恒定不變的感應電動勢
B.圖②回路產生的感應電動勢一直在變大
C.圖③回路0~t1時間內產生的感應電動勢大于t1~t2時間內產生的感應電動勢
D.圖④回路產生的感應電動勢先變大后變小
1.磁通量Φ、磁通量的變化量ΔΦ及磁通量的變化率的比較：
磁通量Φ(Φ=BS) 磁通量的變化量ΔΦ(ΔΦ=Φ2-Φ1) 磁通量的變化率
物理 意義 某時刻穿過磁場中某個面的磁感線條數 在某一過程中，穿過某個面的磁通量變化的多少 穿過某個面的磁通量變化的快慢
2.若已知Φ-t圖像，則圖線上某一點的切線斜率的絕對值與該時刻的感應電動勢大小成正比。
3.(1)當ΔΦ僅由B的變化引起時，E=n·S，其中S為線圈在磁場中的有效面積，其中叫作磁感應強度的變化率，等于B-t圖像上對應點的切線的斜率。
(2)當ΔΦ僅由S的變化引起時，E=nB。
(3)當B、S同時變化時，=n≠n。
二、導體棒切割磁感線時的感應電動勢
1.如圖所示，把平行導軌放在磁感應強度為B的勻強磁場中，通過一電阻相連，所在平面跟磁感線垂直。導體棒MN放在導軌上，兩導軌間距為l，MN以速度v向右勻速運動。試根據法拉第電磁感應定律求產生的感應電動勢。
推導：
(1)在Δt時間內，由原來的位置MN移到M1N1，這個過程中閉合電路的面積變化量是ΔS=　　　　　。
(2)穿過閉合電路的磁通量的變化量則是ΔΦ=　　　　　=　　　　　　。
(3)根據法拉第電磁感應定律E=求得感應電動勢E=　　　　。
2.如圖所示，如果導線的運動方向與導線本身是垂直的，但與磁感線方向有一個夾角θ，將速度v分解為兩個分量；垂直于磁感線的分量v1=　　　　　　和平行于磁感線的分量v2=　　　　　，則導線產生的感應電動勢為E=　　　　=　　　　　　　　。
如圖，導體棒CD在勻強磁場中向右運動。自由電荷會隨著導體棒運動，并因此受到洛倫茲力。
(1)導體棒中自由電荷相對于紙面的運動大致沿什么方向？(為了方便，可以認為導體棒中的自由電荷是正電荷。)
(2)導體棒一直運動下去，自由電荷是否總會沿著導體棒運動？為什么？導體棒哪端的電勢比較高？
(以上討論不必考慮自由電荷的熱運動。)
(3)在上述過程中，洛倫茲力做功嗎？
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1.由于導體運動而產生的電動勢叫作動生電動勢。
2.導線垂直于磁場方向運動，B、l、v兩兩垂直時，感應電動勢E=　　　　。
3.導線運動的方向與磁感線方向夾角為θ時，感應電動勢E=　　　　　　　　。
4.若導線是彎折的，或l與v不垂直時，E=Blv中的l應為導線兩端點在與v垂直的方向上的投影長度，即有效切割長度。
圖甲中的有效切割長度為：l=sin θ；
圖乙中的有效切割長度為：l=　　　　=　　　　；
圖丙中的有效切割長度為：沿v1的方向運動時，l=　　　　；沿v2的方向運動時，l=　　　　。
例2　如圖所示，兩根平行光滑金屬導軌MN和PQ放置在水平面內，其間距L=0.2 m，磁感應強度大小B=0.5 T的勻強磁場垂直導軌平面向下，兩導軌之間連接的電阻R=4.8 Ω，在導軌上有一金屬棒ab，其接入電路的電阻r=1.2 Ω，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好，在ab棒上施加垂直ab棒的水平拉力使其以速度v=12 m/s向右勻速運動，設金屬導軌足夠長且電阻不計。求：
(1)金屬棒ab產生的感應電動勢大小；
(2)水平拉力的大小F；
(3)金屬棒a、b兩點間的電勢差。
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針對訓練2　(2024·荊州市高二期末)如圖所示，abcd為水平固定放置的“”形金屬導軌，導軌的間距為l，導軌的左端接上阻值為R的定值電阻，勻強磁場方向豎直向下，金屬桿MN傾斜放置在導軌上，現讓金屬桿在外力的作用下以速度v在導軌上勻速滑行，回路中的電流為I，MN與導軌的夾角始終為θ，速度v始終與MN垂直，導軌與金屬桿足夠長，滑行的過程中兩者始終接觸良好，導軌、金屬桿以及導線的電阻均忽略不計，下列說法正確的是 (　　)
A.定值電阻R的電流由c指向b
B.勻強磁場的磁感應強度大小為
C.金屬桿MN切割磁感線的有效長度為l
D.一段時間t內，回路中磁通量的變化量為IRtsin θ
三、導體棒轉動切割時的感應電動勢
如圖所示，長為l的金屬棒ab，繞b端在垂直于勻強磁場的平面內以角速度ω勻速轉動，磁感應強度大小為B。
(1)試推導ab棒所產生的感應電動勢大小；
(2)試判斷a、b兩點電勢的高低。
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相對位置 轉軸位置
端點 中點 任意位置
導體棒ab長為l，垂直放于磁感應強度為B的勻強磁場，勻速轉動的角速度為ω Eab=Bl=Blv中=Bl2ω Eab=0 Eab=Bω-Bω
例3　(2024·西安市高二期末)如圖所示是圓盤發電機的示意圖，銅盤安裝在水平的銅軸上，它的盤面恰好與勻強磁場垂直，兩塊銅片C、D分別與轉動軸和銅盤的邊緣接觸。若銅盤半徑為L，勻強磁場的磁感應強度為B，回路的總電阻為R，從左往右看，銅盤以角速度ω沿順時針方向勻速轉動。則 (　　)
A.由于穿過銅盤的磁通量不變，故回路中無感應電流
B.回路中感應電流大小不變，為
C.回路中感應電流方向不變，為D→C→R→D
D.若銅盤轉動的角速度變為原來的2倍，則電流在R上的熱功率也變為原來的2倍
法拉第電磁感應定律的三個表達式的比較
情景圖
研究 對象 回路(不一定閉合)磁場變化或面積變化 一段直導線(或等效成直導線)切割磁感線 繞一端轉動的一段導體棒
表達式 E=n E=Blv E=Bl2ω
答案精析
一、
(1)磁通量的變化量ΔФ相同，但磁通量變化的快慢不同，快速插入比緩慢插入時指針偏轉角度大。
(2)用并列的兩根磁體快速插入時磁通量的變化量較大，磁通量變化率也較大，指針偏轉角度較大。
(3)如果電路沒有閉合，電動勢依然存在。
(4)在線圈匝數一定的情況下，感應電動勢的大小取決于的大小。
梳理與總結
1.電磁感應　電源
2.(1)磁通量的變化率　(2)n　(3)韋伯(Wb)　伏(V)
易錯辨析(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
例1　(1)1 V　自下而上　(2)0
解析　(1)前4 s內磁通量的變化量
ΔΦ=Φ2-Φ1=S(B2-B1)=200×10-4×(0.4-0.2) Wb=4×10-3 Wb
由法拉第電磁感應定律得
E=n=1 000× V=1 V
由楞次定律知，線圈中產生逆時針方向的感應電流，則通過電阻R的電流方向自下而上。
(2)前5 s內磁通量的變化量
ΔΦ'=Φ2'-Φ1=S(B2'-B1)=200×10-4×(0.2-0.2) Wb=0
由法拉第電磁感應定律得=n=0。
拓展　(1)E1針對訓練1　C
二、
1.(1)lvΔt　(2)BΔS　BlvΔt
(3)Blv
2.vsin θ　vcos θ　Blv1　Blvsin θ
思考與討論
(1)導體棒中自由電荷(正電荷)隨導體棒向右運動，由左手定則可判斷正電荷受到沿棒向上的洛倫茲力作用。因此，正電荷一邊向上運動，一邊隨導體棒向右勻速運動，所以正電荷相對于紙面的運動是斜向右上方的。
(2)不會。當導體棒中的自由電荷受到的洛倫茲力與靜電力平衡時不再定向移動，導體棒兩端產生一個穩定的電勢差，即為導體棒兩端產生的感應電動勢。因為正電荷會聚集在C端，所以C端電勢高。
(3)自由電荷參與了兩個方向的運動，隨著導體棒向右運動的速度vx和沿著導體棒向上運動的速度vy，相應的有沿著棒方向的洛倫茲力Fy和垂直棒方向的洛倫茲力Fx。如圖所示，自由電荷合速度的方向指向右上方。Fx和Fy的合力方向與自由電荷的合速度方向垂直，洛倫茲力不做功。洛倫茲力不做功，不提供能量，只是起傳遞能量的作用。
梳理與總結
2.Blv
3.Blvsin θ
4.　2R　R　R
例2　(1)1.2 V　(2)0.02 N　(3)0.96 V
解析　(1)設金屬棒中產生的感應電動勢大小為E，則E=BLv
代入數值得E=1.2 V。
(2)設流過電阻R的電流大小為I，
則I=，代入數值得I=0.2 A
因棒勻速運動，則拉力等于安培力，有
F=F安=BIL=0.02 N。
(3)a、b兩點間的電勢差為Uab=IR
代入數值得Uab=0.96 V。
針對訓練2　B
三、
(1)方法一　棒上各處速率不同，故不能直接用公式E=Blv求。由v=ωr可知，棒上各點的線速度跟半徑成正比，故可用棒的中點的速度作為平均切割速度代入公式計算。
所以=，E=Bl=Bl2ω。
方法二　設經過Δt時間ab棒掃過的扇形面積為ΔS，則
ΔS=lωΔtl=l2ωΔt
磁通量的變化量為
ΔΦ=BΔS=Bl2ωΔt
所以E==Bl2ω。
(2)由右手定則知，ab切割磁感線，相當于電源，則a為電源的正極，b為電源的負極，a點的電勢高于b點的電勢。
例3　B　[將銅盤看成由無數條幅向分布的導體棒組成的，銅盤在外力的作用下這些導體棒轉動切割磁感線，從而產生感應電動勢，出現感應電流，故A錯誤；根據右手定則可知，電流從D點流出，流向C點，因此電流方向為從D向R再到C，即為C→D→R→C，故C錯誤；根據法拉第電磁感應定律可知，感應電動勢E=BL=BL2ω，產生的感應電動勢大小不變，感應電流大小不變，由閉合電路的歐姆定律可知，感應電流大小為I==，故B正確；電流在R上的熱功率P=I2R=，銅盤轉動的角速度變為原來的2倍，則電流在R上的熱功率變為原來的4倍，故D錯誤。]

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