資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　×　)
(3)函數y＝log2x及y＝log3x都是對數函數．(　×　)
(4)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．(　×　)
(5)函數y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　√　)
(6)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1)，，函數圖象只在第一、四象限．(　√　)
無
題型一　對數的運算
例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n＝________.
(2)計算：＝________.
答案　(1)12　(2)1
解析　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
(2)原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
思維升華　對數運算的一般思路
(1)拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對數運算性質化簡合并．
(2)合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算．
　(1)計算：log2＝________，＝________.
(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.
答案　(1)－　3　(2)1
解析　(1)log2＝log22 ＝－，
＝×＝3×＝3.
(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2
＝lg 2＋1－lg 2＝1.
題型二　對數函數的圖象及應用
例2　(1)已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0(2)當0A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)由該函數的圖象通過第一、二、四象限知該函數為減函數，∴0(2)構造函數f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a>1時不滿足條件，當0，所以a的取值范圍為(，1)．
思維升華　(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解．
(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．
　(1)若函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是(　　)
(2)已知函數f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由題意y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過(3,1)點，可解得a＝3.選項A中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；選項B中，y＝x3，由冪函數圖象性質可知正確；選項C中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；選項D中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關于y軸對稱，顯然不符，故選B.
(2)方法一　不妨設a方法二　作出f(x)的大致圖象(圖略)．由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設a由圖知10題型三　對數函數的性質及應用
命題點1　比較對數值的大小
例3　已知定義在R上的函數f(x)＝2|x－m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案　C
解析　由f(x)＝2|x－m|－1是偶函數可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝，
b＝＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c命題點2　解對數不等式
例4　(1)若loga<1，則a的取值范圍是________．
(2)已知函數f(x)＝則不等式f(x)>1的解集為________．
答案　(1)(0，)∪(1，＋∞)　(2)(－1，)
解析　(1)當a>1時，函數y＝logax在定義域內為增函數，所以loga當0由loga故0綜上，a的取值范圍為(0，)∪(1，＋∞)．
(2)若x≤0，則不等式f(x)>1可轉化為3x＋1>1 x＋1>0 x>－1，∴－1若x>0，則不等式f(x)>1可轉化為logx>1 x<，
∴0綜上，不等式f(x)>1的解集是(－1，)．
命題點3　和對數函數有關的復合函數
例5　已知函數f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調區間；
(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
解　(1)因為f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，這時f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1函數f(x)的定義域為(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
則g(x)在(－1,1)上遞增，在(1,3)上遞減．
又y＝log4x在(0，＋∞)上遞增，
所以f(x)的單調遞增區間是(－1,1)，
單調遞減區間是(1,3)．
(2)假設存在實數a，使f(x)的最小值為0，
則h(x)＝ax2＋2x＋3應有最小值1，
即解得a＝.
故存在實數a＝使f(x)的最小值為0.
思維升華　(1)對數值大小比較的主要方法
①化同底數后利用函數的單調性；
②化同真數后利用圖象比較；
③借用中間量(0或1等)進行估值比較．
(2)解決與對數函數有關的復合函數問題，首先要確定函數的定義域，根據“同增異減”原則判斷函數的單調性，利用函數的最值解決恒成立問題．
　(1)設函數f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若對任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，則實數a的取值范圍是__________．
答案　(1)D　(2)[4，＋∞)
解析　(1)當x≤1時，21－x≤2，解得x≥0，
所以0≤x≤1；當x>1時，1－log2x≤2，
解得x≥，所以x>1.綜上可知x≥0.
(2)由題意知，函數f(x)的值域為R，
∴t＝x＋－a的值域為[0，＋∞)，
由x>0，知x＋≥a.
∴實數a的取值范圍是[4，＋∞)．
1．對數的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
2．對數的性質與運算法則
(1)對數的運算法則
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)對數的性質
①N＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)對數的換底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0 當01時，y<0 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線__y＝x__對稱．
【知識拓展】
1．換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0典例　(1)若a>b>0,0A．logacC．accb
(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，則(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
(3)若實數a，b，c滿足loga2A．aC．c解析　(1)對A：logac＝，logbc＝，
∵0而a>b>0，所以lg a>lg b，
但不能確定lg a、lg b的正負，
所以它們的大小不能確定，所以A錯；
對B：logca＝，logcb＝，
而lg a>lg b，兩邊同乘以一個負數改變不等號方向，所以選項B正確；
對C：由y＝xc在第一象限內是增函數，
即可得到ac>bc，所以C錯；
對D：由y＝cx在R上為減函數，
得ca(2)因為20.3>20＝1,0＝logπ1log4cos 100b>c，故選C.
(3)由loga2答案　(1)B　(2)C (3)A
1．設函數f(x)＝|ln x|(e為自然對數的底數)，滿足f(a)＝f(b)(a≠b)，則(　　)
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
答案　D
解析　∵|ln a|＝|ln b|且a≠b，∴ln a＝－ln b，∴ab＝1.
2．函數f(x)＝lg(|x|－1)的大致圖象是(　　)
答案　B
解析　由函數f(x)＝lg(|x|－1)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域為R.又當x>1時，函數單調遞增，所以只有選項B正確．
3．已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
答案　C
解析　c＝＝，
∵log3>log33＝1且<3.4，
∴log3∵log43.61，
∴log43.6∴log23.4>log3>log43.6.
由于y＝5x為增函數，∴>>.
即>>，故a>c>b.
4．函數y＝的定義域為________．
答案　(，1]
解析　由log0.5(4x－3)≥0且4x－3>0，得1．函數y＝的定義域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　要使有意義，需滿足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.
2．設a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則(　　)
A．bC．c答案　B
解析　∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴0即c3．函數y＝2log4(1－x)的圖象大致是(　　)
答案　C
解析　函數y＝2log4(1－x)的定義域為(－∞，1)，排除A、B；又函數y＝2log4(1－x)在定義域內單調遞減，排除D.故選C.
4．已知函數f(x)＝則f(2 018)等于(　　)
A．2 019 B．2 018
C．2 017 D．2 016
答案　A
解析　由已知f(2 018)＝f(2 017)＋1
＝f(2 016)＋2＝f(2 015)＋3
＝…＝f(1)＋2 017＝log2(5－1)＋2 017＝2 019.
5．若直線x＝m(m>1)與函數f(x)＝logax，g(x)＝logbx的圖象及x軸分別交于A，B，C三點．若AB＝2BC，則(　　)
A．b＝a2或a＝b2 B．a＝b－1或a＝b3
C．a＝b－1或b＝a3 D．a＝b3
答案　C
解析　當a>1>b時，則A(m，logam)，B(m，logbm)，C(m,0)，
由AB＝2BC，得|logam－logbm|＝2|logbm|，
即logam－logbm＝－2logbm，
所以logam＝－logbm，
即＝－，所以a＝b－1；
當b>a>1時，由AB＝2BC，
得|logam－logbm|＝2|logbm|，
即logam－logbm＝2logbm，
所以logam＝3logbm，即＝，
所以b＝a3，所以a＝b－1或b＝a3，故選C.
6．若函數f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在區間(， ＋∞)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區間為(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
答案　A
解析　令M＝x2＋x，當x∈(，＋∞)時，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函數y＝logaM為增函數，
又M＝(x＋)2－，因此M的單調遞增區間為(－，＋∞)．
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)．
7．lg＋2lg 2－－1＝________.
答案?。?
解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2
＝lg －2＝1－2＝－1.
8．函數f(x)＝log2·(2x)的最小值為________．
答案?。?br/>解析　f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(1＋log2x)．
設t＝log2x(t∈R)，則原函數可以化為
y＝t(t＋1)＝(t＋)2－(t∈R)，
故該函數的最小值為－，
故f(x)的最小值為－.
9．已知函數f(x)＝loga(2x－a)在區間[，]上恒有f(x)>0，則實數a的取值范圍是________．
答案　(，1)
解析　當0所以loga(－a)>0，即0<－a<1，
解得當a>1時，函數f(x)在區間[，]上是增函數，
所以loga(1－a)>0，即1－a>1，
解得a<0，此時無解．
綜上所述，實數a的取值范圍是(，1)．
*10.已知函數f(x)＝則f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，則實數x的取值范圍是________．
答案　2　(－∞，－4]∪[1，＋∞)
解析　∵f(－2)＝log22＝1，∴f(f(－2))＝f(1)＝2.
當x≥0時，由2x≥2，得x≥1；
當x<0時，由log2(－x)≥2，得－x≥4，∴x≤－4.
∴實數x的取值范圍是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．
*11.設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定義域；
(2)求f(x)在區間[0，]上的最大值．
解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，∴a＝2.
由得－1∴函數f(x)的定義域為(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數；
當x∈(1,3)時，f(x)是減函數．
故函數f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
12．設x∈[2,8]時，函數f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解　由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]＝(logax＋)2－.
當f(x)取最小值－時，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是關于logax的二次函數，
∴函數f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得．
若(loga2＋)2－＝1，則a＝2－，
此時f(x)取得最小值時，
x＝＝ [2,8]，舍去．
若(loga8＋)2－＝1，則a＝，
此時f(x)取得最小值時，x＝＝2∈[2,8]，
符合題意，∴a＝.
13．已知函數f(x)＝－log2.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷并證明f(x)的奇偶性；
(3)求證：f(x)在(0,1)內是減函數，并求使關系式f(x)(1)解　函數f(x)有意義，需
解得－1∴函數定義域為{x|－1(2)解　函數f(x)為奇函數．
∵f(－x)＝－－log2＝－＋log2
＝－f(x)，
又由(1)知f(x)的定義域關于原點對稱，
∴f(x)為奇函數．
(3)證明　設0x1x2>0，x2－x1>0，∴－>0. ①
又－＝，
1－x1>0,1－x2>0，x1－x2<0，
∴0<<，
∴log2由①②得f(x1)－f(x2)＝(－)＋(log2－log2)>0，
∴f(x)在(0,1)內為減函數，又f(x)∴使f(x)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　 　)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　 　)
(3)函數y＝log2x及y＝log3x都是對數函數．(　 　)
(4)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．(　 　)
(5)函數y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　 　)
(6)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1,0)且過點(a,1)，，函數圖象只在第一、四象限．(　 　)
無
題型一　對數的運算
例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n＝________.
(2)計算：＝________.
　(1)計算：log2＝________，＝________.
(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.
題型二　對數函數的圖象及應用
例2　(1)已知函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　)
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．0(2)當0A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
　(1)若函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是(　　)
(2)已知函數f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
題型三　對數函數的性質及應用
命題點1　比較對數值的大小
例3　已知定義在R上的函數f(x)＝2|x－m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
答案　C
命題點2　解對數不等式
例4　(1)若loga<1，則a的取值范圍是________．
(2)已知函數f(x)＝則不等式f(x)>1的解集為________．
命題點3　和對數函數有關的復合函數
例5　已知函數f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調區間；
(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
　(1)設函數f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若對任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，則實數a的取值范圍是__________．
1．對數的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
2．對數的性質與運算法則
(1)對數的運算法則
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)對數的性質
①N＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)對數的換底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
性質 定義域：(0，＋∞)
值域：R
過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0 當01時，y<0 當00
在(0，＋∞)上是增函數 在(0，＋∞)上是減函數
4.反函數
指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線__y＝x__對稱．
【知識拓展】
1．換底公式的兩個重要結論
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2．對數函數的圖象與底數大小的比較
如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0典例　(1)若a>b>0,0A．logacC．accb
(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，則(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
(3)若實數a，b，c滿足loga2A．aC．c1．設函數f(x)＝|ln x|(e為自然對數的底數)，滿足f(a)＝f(b)(a≠b)，則(　　)
A．ab＝ee B．ab＝e
C．ab＝ D．ab＝1
2．函數f(x)＝lg(|x|－1)的大致圖象是(　　)
3．已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
4．函數y＝的定義域為________．
1．函數y＝的定義域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
2．設a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則(　　)
A．bC．c3．函數y＝2log4(1－x)的圖象大致是(　　)
4．已知函數f(x)＝則f(2 018)等于(　　)
A．2 019 B．2 018
C．2 017 D．2 016
5．若直線x＝m(m>1)與函數f(x)＝logax，g(x)＝logbx的圖象及x軸分別交于A，B，C三點．若AB＝2BC，則(　　)
A．b＝a2或a＝b2 B．a＝b－1或a＝b3
C．a＝b－1或b＝a3 D．a＝b3
6．若函數f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在區間(， ＋∞)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區間為(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(，＋∞)
7．lg＋2lg 2－－1＝________.
8．函數f(x)＝log2·(2x)的最小值為________．
9．已知函數f(x)＝loga(2x－a)在區間[，]上恒有f(x)>0，則實數a的取值范圍是________．
*10.已知函數f(x)＝則f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，則實數x的取值范圍是________．
*11.設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定義域；
(2)求f(x)在區間[0，]上的最大值．
12．設x∈[2,8]時，函數f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
13．已知函數f(x)＝－log2.
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷并證明f(x)的奇偶性；
(3)求證：f(x)在(0,1)內是減函數，并求使關系式f(x)

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