資源簡介

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.(　×　)
(2)分數指數冪可以理解為個a相乘．(　×　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　×　)
(4)函數y＝a－x是R上的增函數．(　×　)
(5)函數(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　×　)
(6)函數y＝2x－1是指數函數．(　×　)
無
題型一　指數冪的運算
例1　化簡下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；
(2)÷(a－)×.
解　(1)原式＝{[()]}－()－1
＝[()3]－[()3]－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝÷×
＝a(a－2b)××
＝a×a×a＝a2.
思維升華　(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加；②運算的先后順序．
(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．
(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．
　化簡()·＝________.
答案　
解析　原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
題型二　指數函數的圖象及應用
例2　(1)已知實數a，b滿足等式2 017a＝2 018b，下列五個關系式：①0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
(2)已知函數f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)如圖，觀察易知，a，b的關系為a(2)作出函數f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，
∵af(c)>f(b)，結合圖象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故選D.
思維升華　(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．
(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
(3)有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解．
　(1)已知函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的圖象可能是(　　)
(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
答案　(1)A　(2)[－1,1]
解析　(1)由f(x)的單調性知0又x＝0時，a－b>1，x＝1時，a1－b<1，∴0對照圖象知g(x)的圖象可能是A.
(2)曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1,1]．
題型三　指數函數的性質及應用
命題點1　指數函數單調性的應用
例3　(1)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)設函數f(x)＝若f(a)<1，則實數a的取值范圍是________．
答案　(1)B　(2)(－3,1)
解析　(1)選項B中，∵y＝0.6x是減函數，
∴0.6－1>0.62.
(2)當a<0時，不等式f(a)<1可化為()a－7<1，
即()a<8，即()a<()－3，
∴a>－3.又a<0，∴－3當a≥0時，不等式f(a)<1可化為<1.
∴0≤a<1，
綜上，a的取值范圍為(－3,1)．
命題點2　復合函數的單調性
例4　(1)已知函數f(x)＝2(m為常數)，若f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，則m的取值范圍是________．
(2)函數f(x)＝的單調減區間為_____________________________________．
答案　(1)(－∞，4]　(2)(－∞，1]
解析　(1)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區間[，＋∞)上單調遞增，在區間(－∞，]上單調遞減．而y＝2t為R上的增函數，所以要使函數f(x)＝2在[2，＋∞)上單調遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．
(2)設u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上為減函數，
∴函數f(x)＝的減區間即為函數u＝－x2＋2x＋1的增區間．
又u＝－x2＋2x＋1的增區間為(－∞，1]，
∴f(x)的減區間為(－∞，1]．
引申探究
函數f(x)＝的單調增區間是________．
答案　[0，＋∞)
解析　設t＝2x，則y＝t2－2t的單調增區間為[1，＋∞)，
令2x≥1，得x≥0，
∴函數f(x)＝的單調增區間是[0，＋∞)．
命題點3　函數的值域(或最值)
例5　(1)函數y＝x－x＋1在區間[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區間[－1,1]上的最大值是14，則a的值為________．
答案　(1)　(2)或3
解析　(1)令t＝x，因為x∈[－3,2]，
所以t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
當t＝時，ymin＝；當t＝8時，ymax＝57.
故所求函數的值域為.
(2)令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
當a>1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函數y＝(t＋1)2－2在上單調遞增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負值舍去)．
當0又函數y＝(t＋1)2－2在[a，]上單調遞增，
則ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(負值舍去)．
綜上，a＝3或a＝.
思維升華　(1)在利用指數函數性質解決相關綜合問題時，要特別注意底數a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．
(2)與指數函數有關的指數型函數的定義域、值域(最值)、單調性、奇偶性的求解方法，要化歸于指數函數來解．
　(1)已知函數f(x)＝的值域是[－8,1]，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
(2)已知函數f(x)＝2x－，函數g(x)＝則函數g(x)的最小值是________．
答案　(1)B　(2)0
解析　(1)當0≤x≤4時，f(x)∈[－8,1]，
當a≤x＜0時，f(x)∈[－()a，－1)，
所以[－，－1)?[－8,1]，
即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0，
所以實數a的取值范圍是[－3,0)．
(2)當x≥0時，g(x)＝f(x)＝2x－為單調增函數，所以g(x)≥g(0)＝0；當x<0時，g(x)＝f(－x)＝2－x－為單調減函數，所以g(x)>g(0)＝0，所以函數g(x)的最小值是0.
1．分數指數冪
(1)我們規定正數的正分數指數冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在條件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以寫成分數指數冪的形式．正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．
(2)有理數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指數函數的圖象與性質
y＝ax a>1 0圖象
定義域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性質 (3)過定點(0,1)
(4)當x>0時，y>1；當x<0時，00時，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函數 (7)在(－∞，＋∞)上是減函數
典例　已知函數y＝b＋(a，b為常數，且a>0，a≠1)在區間[－，0]上有最大值3，最小值， 則a，b的值分別為________．
錯解展示
解析　令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵－≤x≤0，∴－1≤t≤0.
∵≤at≤1，∴b＋≤b＋at≤b＋1，
由得
答案　2,2
現場糾錯
解析　令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函數f(x)＝at在[－1,0]上為增函數，
∴at∈[，1]，b＋∈[b＋，b＋1]，
依題意得解得
②若0∴at∈[1，]，
則b＋∈[b＋1，b＋]，
依題意得
解得
綜上①②，所求a，b的值為或
答案　2,2或，
糾錯心得　與指數函數、對數函數的單調性有關的問題，要對底數進行討論.
1．已知函數f(x)＝ax－2＋2的圖象恒過定點A，則A的坐標為(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)
答案　B
解析　由a0＝1知，當x－2＝0，即x＝2時，f(2)＝3，即圖象必過定點(2,3)．
2．已知a＝()，b＝()，c＝()，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．cC．b答案　D
解析　∵y＝()x是減函數，
∴()>()>()0，
即a>b>1，
又c＝()<()0＝1，
∴c3．計算：×0＋8×－＝________.
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
4．函數y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
答案　[0,8)
解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，
∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，
∴函數y＝8－23－x的值域為[0,8)．
1．設2x＝8y＋1,9y＝3x－9，則x＋y的值為(　　)
A．18 B．21 C．24 D．27
答案　D
解析　∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，
∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.
2．函數f(x)＝2|x－1|的圖象是(　　)
答案　B
解析　∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.
又x＝1時，|f(x)|min＝1，排除A.
故選B.
3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　由0.2<0.8，底數0.4<1知，y＝0.4x在R上為減函數，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.
綜上，a>b>c.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數)的圖象經過點(2,1)，則f(x)的值域為(　　)
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)過定點(2,1)可知b＝2，
因為f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函數，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故選C.
5．若函數f(x)＝是奇函數，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案　C
解析　∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即為＞3，
當x>0時，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0當x<0時，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，無解．
∴x的取值范圍為(0,1)．
*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝對任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,1]
C．(0,1] D．(－∞，1]
答案　B
解析　由題意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域為f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．
經分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，
當a＝0時，g(x)＝1，符合題意；
當a>0時，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，
所以則0當a<0時，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，
所以則－1≤a<0.
綜上可得－1≤a≤1.
7．設函數f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．
答案　(－∞，8]
解析　當x<1時，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，∴x<1時恒成立；
當x≥1時，由x≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.
綜上，符合題意的x的取值范圍是(－∞，8]．
8．若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________．
答案　(0，)
解析　(數形結合法)
由圖象可知0<2a<1，∴09．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數且當x≥0時，f(x)＝－＋，則此函數的值域為________．
答案　[－，]
解析　設t＝，當x≥0時，2x≥1，∴0f(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋.
∴0≤f(t)≤，故當x≥0時，f(x)∈[0，]．
∵y＝f(x)是定義在R上的奇函數，
∴當x≤0時，f(x)∈[－，0]．
故函數的值域為[－，]．
10．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
答案　(－1,2)
解析　原不等式變形為m2－m因為函數y＝x在(－∞，－1]上是減函數，
所以x≥－1＝2，
當x∈(－∞，－1]時，m2－m11．已知函數f(x)＝()|x|－a.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
解　(1)令t＝|x|－a，則f(x)＝()t，
不論a取何值，t在(－∞，0]上單調遞減，
在[0，＋∞)上單調遞增，
又y＝()t是單調遞減的，
因此f(x)的單調遞增區間是(－∞，0]，
單調遞減區間是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，且＝()－2，
所以g(x)＝|x|－a應該有最小值－2，即g(0)＝－2，
從而a＝2.
12．已知函數f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解　(1)當a＝－1時，f(x)＝，
令t＝－x2－4x＋3，
由于t在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，＋∞)上單調遞減，而y＝t在R上單調遞減，
所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增，
即函數f(x)的單調遞增區間是(－2，＋∞)，
單調遞減區間是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)應有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即當f(x)有最大值3時，a的值為1.
*13.已知函數f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函數f(x)的值域；
(2)若函數f(x)的最小值是1，求實數λ的值．
解　(1)f(x)＝－＋3
＝()2x－2λ·()x＋3(－1≤x≤2)．
設t＝()x，得g(t)＝t2－2λt＋3(≤t≤2)．
當λ＝時，g(t)＝t2－3t＋3
＝(t－)2＋(≤t≤2)．
所以g(t)max＝g()＝，g(t)min＝g()＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函數f(x)的值域為[，]．
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2(≤t≤2)．
①當λ≤時，g(t)min＝g()＝－＋，
令－＋＝1，得λ＝>，
不符合，舍去；
②當<λ≤2時，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－<，不符合，舍去)；
③當λ>2時，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合，舍去．
綜上所述，實數λ的值為.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.(　 　)
(2)分數指數冪可以理解為個a相乘．(　 　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　 　)
(4)函數y＝a－x是R上的增函數．(　 　)
(5)函數(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　 　)
(6)函數y＝2x－1是指數函數．(　 　)
無
題型一　指數冪的運算
例1　化簡下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－ －π0；
(2)÷(a－)×.
　化簡()·＝________.
題型二　指數函數的圖象及應用
例2　(1)已知實數a，b滿足等式2 017a＝2 018b，下列五個關系式：①0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
(2)已知函數f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
　(1)已知函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的圖象可能是(　　)
(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
題型三　指數函數的性質及應用
命題點1　指數函數單調性的應用
例3　(1)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)設函數f(x)＝若f(a)<1，則實數a的取值范圍是________．
命題點2　復合函數的單調性
例4　(1)已知函數f(x)＝2(m為常數)，若f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，則m的取值范圍是________．
(2)函數f(x)＝的單調減區間為_____________________________________．
引申探究
函數f(x)＝的單調增區間是________．
例5　(1)函數y＝x－x＋1在區間[－3,2]上的值域是________．
(2)如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區間[－1,1]上的最大值是14，則a的值為________．
　(1)已知函數f(x)＝的值域是[－8,1]，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
(2)已知函數f(x)＝2x－，函數g(x)＝則函數g(x)的最小值是________．
1．分數指數冪
(1)我們規定正數的正分數指數冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在條件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以寫成分數指數冪的形式．正數的負分數指數冪的意義與負整數指數冪的意義相仿，我們規定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．
(2)有理數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指數函數的圖象與性質
y＝ax a>1 0圖象
定義域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性質 (3)過定點(0,1)
(4)當x>0時，y>1；當x<0時，00時，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函數 (7)在(－∞，＋∞)上是減函數
典例　已知函數y＝b＋(a，b為常數，且a>0，a≠1)在區間[－，0]上有最大值3，最小值， 則a，b的值分別為________．
1．已知函數f(x)＝ax－2＋2的圖象恒過定點A，則A的坐標為(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)
2．已知a＝()，b＝()，c＝()，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．cC．b3．計算：×0＋8×－＝________.
4．函數y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
1．設2x＝8y＋1,9y＝3x－9，則x＋y的值為(　　)
A．18 B．21 C．24 D．27
2．函數f(x)＝2|x－1|的圖象是(　　)
3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，則(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數)的圖象經過點(2,1)，則f(x)的值域為(　　)
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
5．若函數f(x)＝是奇函數，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝對任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,1]
C．(0,1] D．(－∞，1]
7．設函數f(x)＝則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．
8．若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是________．
9．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數且當x≥0時，f(x)＝－＋，則此函數的值域為________．
10．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
11．已知函數f(x)＝()|x|－a.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
12．已知函數f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的單調區間；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
*13.已知函數f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函數f(x)的值域；
(2)若函數f(x)的最小值是1，求實數λ的值．

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