資源簡介

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)
(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(　×　)
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小．(　√　)
(4)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　×　)
(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．(　√　)
(6)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(　×　)
無
.題型一　求二次函數(shù)的解析式
例1　(1)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.
答案　x2＋2x
解析　設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)，
所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解　∵f(2＋x)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，
∴f(x)的對稱軸為x＝2.
又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2.
∴f(x)＝0的兩根為1和3.
設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，
∴3a＝3，a＝1，
∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思維升華　求二次函數(shù)解析式的方法
　(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.
(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.
答案　(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4
解析　(1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，
由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，
∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，
又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，
∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
題型二　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
命題點(diǎn)1　二次函數(shù)的單調(diào)性
例2　函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案　D
解析　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對稱軸為x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知
解得－3≤a＜0.綜上，a的取值范圍為[－3,0]．
引申探究
若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.
答案　－3
解析　由題意知a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
命題點(diǎn)2　二次函數(shù)的最值
例3　已知m∈R，函數(shù)f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m.
(1)若0(2)對任意的m∈(0,1]，若f(x)在[0，m]上的最大值為h(m)，求h(m)的最大值．
解　(1)∵對稱軸為x＝≥1，
∴g(m)＝max{|f(－1)|，|f(1)|}＝max{|3m－2|，|4－m|}
＝max{2－3m,4－m}．
又∵(4－m)－(2－3m)＝2＋2m>0，∴g(m)＝4－m.
(2)函數(shù)的對稱軸為x＝，且函數(shù)開口向下．
①≤0，即m≥(舍去)；
②0<③≥m，即0∴h(m)＝
∴當(dāng)m＝時(shí)，f(m)取得最大值.
命題點(diǎn)3　二次函數(shù)中的恒成立問題
例4　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．
(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
答案　(1)(－∞，－1)　(2)
解析　(1)f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，
要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)．
(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
當(dāng)x＝0時(shí)，－3<0，成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，a<2－，因?yàn)椤?－∞，－1]∪[1，＋∞)，當(dāng)x＝1時(shí)，右邊取最小值，所以a<.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
思維升華　(1)二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成．
(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
①一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．
②兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
答案　
解析　由題意得a>－對1又－＝－22＋，<<1，
∴max＝，∴a>.
(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
解　∵函數(shù)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴對稱軸為直線x＝1，
∵x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，∴應(yīng)進(jìn)行討論，當(dāng)－21時(shí)，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－1.
綜上，當(dāng)－2當(dāng)a>1時(shí)，f(x)min＝－1.
題型三　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例5　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(－1,2) D.
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)由冪函數(shù)的定義知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，從而k＋α＝.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)，
且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
所以不等式等價(jià)于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；
解2m＋1>m2＋m－1，得－1綜上所述，m的取值范圍是≤m<2.
思維升華　(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．
(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．
　冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，若0A．f(a)B．f()C．f(a)D．f()答案　C
解析　設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，將(4,2)代入得α＝，
所以f(x)＝，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
又0>1，
即a所以f(a)1．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象
定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減；
對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱
2.冪函數(shù)
(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
(2)冪函數(shù)的圖象比較
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)；
③當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
典例　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．
思想方法指導(dǎo)　已知函數(shù)f(x)的最值，而f(x)圖象的對稱軸確定，要討論a的符號(hào)．
規(guī)范解答
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.[1分]
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去； [5分]
(2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
[9分]
(3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
[13分]
綜上可知，a的值為或－3.
1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3
C．a(chǎn)＜－3 D．a(chǎn)≤－3
答案　D
解析　函數(shù)f(x)＝x2＋4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x＝－2a，由函數(shù)在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(－∞，6)應(yīng)在直線x＝－2a的左側(cè)，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故選D.
2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　)
答案　C
解析　設(shè)f(x)＝xα，則4α＝2，∴α＝，
∴f(x)＝x，對照各選項(xiàng)中的圖象可知C正確．
3．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________．
答案　[1,2]
解析　如圖，由圖象可知m的取值范圍是[1,2]．
4．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為________；在區(qū)間________上單調(diào)遞減．
答案　 (0，＋∞)
解析　設(shè)f(x)＝xa，則2a＝，
∴a＝－，即冪函數(shù)的解析式為y＝，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞).
【知識(shí)拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.
2．冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性．
(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
1．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案　A
解析　已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則m＝－2；反之也成立．
所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是m＝－2.
2．冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　∵y＝(m∈Z)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，
∴m2－4m<0，即0又∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱且m∈Z，
∴m2－4m為偶數(shù)，因此m＝2.
3．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
答案　C
解析　由題意可知函數(shù)f(x)的圖象開口向下，對稱軸為x＝2(如圖)，
若f(a)≥f(0)，從圖象觀察可知0≤a≤4.
4．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－，－4]，則m的取值范圍是(　　)
A．[0,4] B．[，4]
C．[，＋∞) D．[，3]
答案　D
解析　二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝
且f()＝－，f(3)＝f(0)＝－4，
由圖得m∈[，3]．
5．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案　B
解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋物線，
∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
6．已知二次函數(shù)f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)D．與a值有關(guān)
答案　C
解析　該二次函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝，又依題意，得x1<0，x2>0，又x1＋x2＝0，
則－x1>x2－，故f(x1)7．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則f(1)＝________，若滿足f(4)＝8f(2)，則f()＝________.
答案　1　
解析　設(shè)f(x)＝xα，則f(1)＝1，
由f(4)＝8f(2)，得4α＝8×2α，∴α＝3，
∴f(x)＝x3，f()＝.
8．當(dāng)0答案　h(x)>g(x)>f(x)
解析　如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．
9．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．
答案　(－∞，－5]
解析　方法一　∵不等式x2＋mx＋4<0對x∈(1,2)恒成立，
∴mx<－x2－4對x∈(1,2)恒成立，
即m<－(x＋)對x∈(1,2)恒成立，
令y＝x＋，則函數(shù)y＝x＋在x∈(1,2)上是減函數(shù)．
∴4方法二　設(shè)f(x)＝x2＋mx＋4，當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，
f(x)<0恒成立 m≤－5.
*10.若函數(shù)f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　[0,2]
解析　f(x)＝
x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－ax＋a＝(x－)2＋a－，
x∈(－∞，1)時(shí)，f(x)＝x2＋ax－a＝(x＋)2－a－.
①當(dāng)>1，即a>2時(shí)，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意；
②當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2時(shí)，符合題意；
③當(dāng)<0，即a<0時(shí)，不符合題意．
綜上，a的取值范圍是[0,2]．
11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)．
解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的對稱軸為x＝1，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最小值1；
當(dāng)x＝－5時(shí)，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的對稱軸為x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，
∴－a≥5或－a≤－5，即a≥5或a≤－5.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
12．已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)．
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解　(1)因?yàn)閙2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，
而m與m＋1中必有一個(gè)為偶數(shù)，所以m2＋m為偶數(shù)，
所以函數(shù)f(x)＝(m∈N*)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且該函數(shù)在[0，＋∞)上為增函數(shù)．
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，
所以＝2(m2＋m)－1，即＝，
所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.
又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1，f(x)＝，
又因?yàn)閒(2－a)>f(a－1)，
所以解得1≤a＜，
故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)時(shí)，m＝1.
滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，)．
13．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q(p，q∈R)．
(1)若p＝2，當(dāng)x∈[－4，－2]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求q的取值范圍；
(2)若不等式|f(x)|>2在區(qū)間[1,5]上無解，試求所有的實(shí)數(shù)對(p，q)．
解　(1)當(dāng)p＝2時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋q≥0恒成立，
只需f(x)min≥0.
易知f(x)＝x2＋2x＋q在x∈[－4，－2]上單調(diào)遞減，
所以f(x)min＝f(－2)＝q≥0.
即q的取值范圍為[0，＋∞)．
(2)要使|f(x)|>2在區(qū)間[1,5]上無解，
必須滿足
所以
所以－3≤p＋q≤1，即－1≤－p－q≤3，
又－27≤5p＋q≤－23，
兩式相加可以得到－7≤p≤－5.
因?yàn)閒(x)的對稱軸為x＝－，
所以－∈，則f(x)的對稱軸在區(qū)間[1,5]內(nèi)，要使|f(x)|>2在區(qū)間[1,5]上無解，
還要滿足f≥－2，即≥－2，
可以得到q≥－2.
解不等式組
可得p＝－6，代入不等式組，得q＝7.
所以滿足題意的實(shí)數(shù)對(p，q)只有一對(－6,7)．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　 　)
(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)．(　 　)
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大小．(　 　)
(4)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．(　 　)
(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．(　 　)
(6)當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的減函數(shù)．(　 　)
無
.題型一　求二次函數(shù)的解析式
例1　(1)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有
f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
　(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________.
(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.
題型二　二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
命題點(diǎn)1　二次函數(shù)的單調(diào)性
例2　函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
引申探究
若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.
命題點(diǎn)2　二次函數(shù)的最值
例3　已知m∈R，函數(shù)f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m.
(1)若0(2)對任意的m∈(0,1]，若f(x)在[0，m]上的最大值為h(m)，求h(m)的最大值．
命題點(diǎn)3　二次函數(shù)中的恒成立問題
例4　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．
(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．
題型三　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
例5　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(－1,2) D.
　冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，若0A．f(a)B．f()C．f(a)D．f()1．二次函數(shù)
(1)二次函數(shù)解析式的三種形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象
定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減；
對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱
2.冪函數(shù)
(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
(2)冪函數(shù)的圖象比較
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)；
③當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
④當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
典例　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，求實(shí)數(shù)a的值．
1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3
C．a(chǎn)＜－3 D．a(chǎn)≤－3
2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　)
3．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________．
4．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式為________；在區(qū)間________上單調(diào)遞減．
【知識(shí)拓展】
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.
2．冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性．
(2)冪函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．
1．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
2．冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
4．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇－，－4]，則m的取值范圍是(　　)
A．[0,4] B．[，4]
C．[，＋∞) D．[，3]
5．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
6．已知二次函數(shù)f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)D．與a值有關(guān)
7．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則f(1)＝________，若滿足f(4)＝8f(2)，則f()＝________.
8．當(dāng)09．當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．
*10.若函數(shù)f(x)＝x2－a|x－1|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)．
12．已知冪函數(shù)f(x)＝(m∈N*)．
(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
13．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q(p，q∈R)．
(1)若p＝2，當(dāng)x∈[－4，－2]時(shí)，f(x)≥0恒成立，求q的取值范圍；
(2)若不等式|f(x)|>2在區(qū)間[1,5]上無解，試求所有的實(shí)數(shù)對(p，q)．

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