資源簡介

1、判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(　×　)
(2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　√　)
(3)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數．(　√　)
(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．(　√　)
(5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．(　√　)
2．下列函數為偶函數的是(　　)
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
答案　D
解析　D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)為偶函數．
3．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　B
解析　∵f(x)為定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.
4．已知奇函數f(x)，當x>0時，f(x)＝log2(x＋3)，則f(－1)＝________.
答案　－2
解析　∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，
又f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則當x<0時，f(x)＝________.
答案　x(1－x)
解析　當x<0時，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．
又f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).
無
題型一　判斷函數的奇偶性
例1　(1)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
答案　D
解析　選項A中的函數是偶函數；選項B中的函數是奇函數；選項C中的函數是偶函數；選項D中的函數既不是奇函數也不是偶函數．
(2)判斷函數f(x)＝的奇偶性．
解　當x>0時，－x<0，f(x)＝－x2＋x，
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
當x<0時，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
∴對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x)．
∴函數f(x)為奇函數．
【同步練習】(1)下列函數中為偶函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
(2)函數g(x)＝為________函數(填“奇”或“偶”)，函數f(x)＝＋1的對稱中心為________．
答案　(1)B　(2)奇　(0,2)
解析　(1)選項B中，函數y＝lg|x|的定義域為{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，所以函數y＝lg|x|是偶函數．
(2)易知函數g(x)＝為奇函數，圖象關于原點對稱，
又f(x)＝＋1＝－g(x)＋2，
所以函數f(x)的對稱中心為(0,2)．
題型二　函數的周期性
例2　(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．無法計算
(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝______.
答案　(1)C　(2)2.5
解析　(1)由題意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，
∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期為4，
∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 017)＋f(2 019)＝0.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)．
故函數的周期為4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
引申探究
例2(2)中，若將f(x＋2)＝－改為f(x＋2)＝－f(x)，其他條件不變，則 f(105.5)=_____．
答案　2.5
解　f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函數的周期為4(下同例題)．
思維升華　函數的周期性反映了函數在整個定義域上的性質．對函數周期性的考查，主要涉及函數周期性的判斷，利用函數周期性求值．
　定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
答案　339
解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；
當－1≤x<3時，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
＝1×＝336.
又f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
2.周期性
(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．
【知識拓展】
1．函數奇偶性常用結論
(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．
(3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
題型三　函數性質的綜合應用
命題點1　解不等式問題
例3　(1)已知偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
(2)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)<1，f(5)＝，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)因為f(x)是偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，
又f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，
f(2x－1)所以|2x－1|<，所以(2)∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，
解得－1命題點2　求參數問題
例4　(1)(2016·北京西城區模擬)函數f(x)＝lg(a＋)為奇函數，則實數a＝________.
(2)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，則a＋3b的值為________．
答案　(1)－1　(2)－10
解析　(1)根據題意得，使得函數有意義的條件為a＋>0且1＋x≠0，由奇函數的性質可得f(0)＝0.
所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，經檢驗a＝－1滿足函數的定義域．
(2)因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數，
所以f＝f且f(－1)＝f(1)，
故f＝f，
從而＝－a＋1，
即3a＋2b＝－2. ①
由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，
即b＝－2a. ②
由①②，得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.
思維升華　(1)關于奇偶性、單調性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題．
(2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便．
①f(x)為偶函數 f(x)＝f(|x|)；
②若奇函數在x＝0處有意義，則f(0)＝0.
【同步練習】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________.
(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則(　　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)答案　(1)－　(2)D
解析　(1)函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
(2)因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定義在R上的奇函數且滿足f(x－4)＝－f(x)，
得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因為f(x)在區間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，
所以f(x)在區間[－2,2]上是增函數，
所以f(－1)所以f(－25)題型四 抽象函數問題
考點分析 抽象函數問題在高考中也時常遇到，常常涉及求函數的定義域，由函數的周期性求函數值或判斷函數的奇偶性等.一般以選擇題或填空題來呈現，有時在解答題中也有所體現.此類題目較為抽象，易失分，應引起足夠重視.
一、抽象函數的定義域
典例1　已知函數y＝f(x)的定義域是[0,8]，則函數g(x)＝的定義域為________．
解析　要使函數有意義，
需使即
解得1≤x<3，所以函數g(x)的定義域為[1,3)．
答案　[1,3)
二、抽象函數的函數值
典例2　若定義在實數集R上的偶函數f(x)滿足f(x)>0，f(x＋2)＝，對任意x∈R恒成立，則f(2 019)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析　因為f(x)>0，f(x＋2)＝，
所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝
＝＝f(x)，
即函數f(x)的周期是4，
所以f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．
因為函數f(x)為偶函數，
所以f(2 019)＝f(－1)＝f(1)．
當x＝－1時，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.
即f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(1)＝1.
答案　D
三、抽象函數的單調性與不等式
典例3　設函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求實數a的取值范圍．
規范解答
解　因為f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，
所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)．
再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，
因為f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，
從而有解得1故所求實數a的取值范圍是(1，).
(1)利用定義判斷函數奇偶性的步驟
(2)分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(－x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷．
1．下列函數中，既是奇函數又在區間(0，＋∞)上為增函數的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝sin x
答案　B
2．已知f(x)＝ax3＋b＋4(a，b∈R)，f[lg(log32)]＝1，則f[lg(log23)]的值為(　　)
A．－1 B．3 C．7 D．8
答案　C
解析　設g(x)＝ax3＋b，則g(x)為奇函數，
因為lg(log32)＝lg()
＝－lg(log23)，
所以f[lg(log32)]＝g[lg(log32)]＋4＝1，g[lg(log32)]＝－3，
所以f[lg(log23)]＝g[lg(log23)]＋4＝g[－lg(log32)]＋4＝－g[lg(log32)]＋4＝3＋4＝7，故選C.
3．已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(－2,0)時，f(x)＝2x2，則f(2 019)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
答案　B
解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期為4的周期函數，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，
由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，
∴f(2 019)＝2.
4．已知f(x)＝lg(＋a)為奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案　B
解析　由f(x)＋f(－x)＝0，即lg(＋a)＋lg(＋a)＝lg＝lg 1＝0，可得a＝－1，
所以f(x)＝lg ，解0<<1，可得－15．已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝則f(f(－16))等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　由題意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，
故f(f(－16))＝f(－4)＝－f(4)＝－cos ＝.
*6.(2016·天津)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(－∞，0)上單調遞增．若實數a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是(　　)
A. B.∪
C. D.
答案　C
解析　因為f(x)是定義在R上的偶函數且在區間(－∞，0)上單調遞增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|<，即|a－1|<，所以7．若函數f(x)＝為奇函數，則a＝________，f(g(－2))＝________.
答案　0　－25
解析　∵f(x)為奇函數，∴f(0)＝0，∴a＝0，
又g(－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，
∴f(g(－2))＝f(－4)＝－f(4)＝－25.
8．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1＋x)，則f(－)＝________.
答案　－
解析　因為f(x)是周期為2的奇函數，
所以f(－)＝－f()＝－f()＝－[2×(1＋)]＝－.
9．函數f(x)在R上為奇函數，且當x>0時，f(x)＝＋1，則當x<0時，f(x)＝________.
答案　－－1
解析　∵f(x)為奇函數，當x>0時，f(x)＝＋1，
∴當x<0時，－x>0，
f(－x)＝＋1＝－f(x)，
即x<0時，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
10．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間[0，＋∞)上是單調遞增函數．如果實數t滿足f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范圍是________．
答案　[，e]
解析　由于函數f(x)是定義在R上的偶函數，
所以f(ln t)＝f(ln)，
由f(ln t)＋f(ln)≤2f(1)，
得f(ln t)≤f(1)．
又函數f(x)在區間[0，＋∞)上是單調遞增函數，
所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.
11．已知函數f(x)＝是奇函數．
(1)求實數m的值；
(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．
解　(1)設x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0時，f(x)＝x2＋mx＝x2＋2x，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，
結合f(x)的圖象知
所以1故實數a的取值范圍是(1,3]．
12．設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．
解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4為周期的周期函數．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函數與f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
從而可知函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．
又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，
則f(x)的圖象如圖所示．
設當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，
則S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4.
13.函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．
解　(1)∵對于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)為偶函數．
證明：令x1＝x2＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，則f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．
(3)依題設有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函數，
∴f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函數，
∴0<|x－1|<16，解得－15(1)偶函數圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點．(　　)
(2)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　)
(3)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數．(　　)
(4)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．(　　)
(5)若T是函數的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數的周期．(　　)
2．下列函數為偶函數的是(　　)
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
3．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．已知奇函數f(x)，當x>0時，f(x)＝log2(x＋3)，則f(－1)＝________.
5．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則當x<0時，f(x)＝________.
無
題型一　判斷函數的奇偶性
例1　(1)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
(2)判斷函數f(x)＝的奇偶性．
【同步練習】(1)下列函數中為偶函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
(2)函數g(x)＝為________函數(填“奇”或“偶”)，函數f(x)＝＋1的對稱中心為________．
題型二　函數的周期性
例2　(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數，g(x)是定義在R上的奇函數，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．無法計算
(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝______.
引申探究
例2(2)中，若將f(x＋2)＝－改為f(x＋2)＝－f(x)，其他條件不變，則 f(105.5)=_____．
【同步練習】
1、定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于y軸對稱
奇函數 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于原點對稱
2.周期性
(1)周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．
【知識拓展】
1．函數奇偶性常用結論
(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．
(3)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
題型三　函數性質的綜合應用
命題點1　解不等式問題
例3　(1)已知偶函數f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
(2)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)<1，f(5)＝，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
命題點2　求參數問題
例4　(1)函數f(x)＝lg(a＋)為奇函數，則實數a＝________.
(2)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，則a＋3b的值為________．
【同步練習】(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________.
(2)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則(　　)
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)題型四 抽象函數問題
考點分析 抽象函數問題在高考中也時常遇到，常常涉及求函數的定義域，由函數的周期性求函數值或判斷函數的奇偶性等.一般以選擇題或填空題來呈現，有時在解答題中也有所體現.此類題目較為抽象，易失分，應引起足夠重視.
一、抽象函數的定義域
典例1　已知函數y＝f(x)的定義域是[0,8]，則函數g(x)＝的定義域為________．
二、抽象函數的函數值
典例2　若定義在實數集R上的偶函數f(x)滿足f(x)>0，f(x＋2)＝，對任意x∈R恒成立，則f(2 019)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
三、抽象函數的單調性與不等式
典例3　設函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求實數a的取值范圍．
(1)利用定義判斷函數奇偶性的步驟
(2)分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(－x)的關系，得出結論，也可以利用圖象作判斷．
1．下列函數中，既是奇函數又在區間(0，＋∞)上為增函數的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝sin x
2．已知f(x)＝ax3＋b＋4(a，b∈R)，f[lg(log32)]＝1，則f[lg(log23)]的值為(　　)
A．－1 B．3 C．7 D．8
3．已知f(x)在R上是奇函數，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(－2,0)時，f(x)＝2x2，則f(2 019)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
4．已知f(x)＝lg(＋a)為奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
5．已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝則f(f(－16))等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
*6.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(－∞，0)上單調遞增．若實數a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是(　　)
A. B.∪
C. D.
7．若函數f(x)＝為奇函數，則a＝________，f(g(－2))＝________.
8．設f(x)是周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1＋x)，則f(－)＝________.
9．函數f(x)在R上為奇函數，且當x>0時，f(x)＝＋1，則當x<0時，f(x)＝________.
10．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間[0，＋∞)上是單調遞增函數．如果實數t滿足
f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范圍是________．
11．已知函數f(x)＝是奇函數．
(1)求實數m的值；
(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．
12．設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積．
13.函數f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結論；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數，求x的取值范圍．

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