資源簡介

1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　×　)
(3)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值．(　×　)
(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．(　×　)
(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到．(　√　)
2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
答案　D
解析　y＝與y＝ln(x＋1)在區(qū)間(－1,1)上為增函數(shù)；
y＝cos x在區(qū)間(－1,1)上不是單調(diào)函數(shù)；y＝2－x＝x在(－1,1)上單調(diào)遞減．
3．若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為(　　)
A．－2 B．2 C．－6 D．6
答案　C
解析　由圖象易知函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)增區(qū)間是[－，＋∞)，令－＝3，得a＝－6.
4．函數(shù)y＝x2＋2x－3(x>0)的單調(diào)增區(qū)間為________．
答案　(0，＋∞)
解析　函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝－1，又x>0，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．
4．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________．
答案　2　
解析　可判斷函數(shù)f(x)＝在[2,6]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
無
題型一　確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
命題點(diǎn)1　給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性
例1　(1)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)增區(qū)間為________．
答案　(1)D　(2)(－∞，－1]，[0,1]
解析　(1)因?yàn)閥＝logt，t>0在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．
(2)由題意知，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當(dāng)x<0時(shí)，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
二次函數(shù)的圖象如圖．
由圖象可知，函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函數(shù).
命題點(diǎn)2　解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
例2　已知函數(shù)f(x)＝(a>0)，用定義法判斷函數(shù)f(x)在(－1,1)上的單調(diào)性．
解　設(shè)－1則f(x1)－f(x2)＝－
＝＝
∵－1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．
引申探究
如何用導(dǎo)數(shù)法求解例2
解　f′(x)＝＝，
∵a>0，∴f′(x)<0在(－1,1)上恒成立，
故函數(shù)f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．
思維升華　確定函數(shù)單調(diào)性的方法
(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法．
(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”．
(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接．
【同步練習(xí)】　
(1)已知函數(shù)f(x)＝，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
(2)函數(shù)f(x)＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)和(1，＋∞)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)設(shè)t＝x2－2x－3，則t≥0，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因?yàn)楹瘮?shù)t＝x2－2x－3的圖象的對(duì)稱軸為x＝1，
所以函數(shù)t在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，
在[3，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．
(2)f′(x)＝－2x·ex＋ex(3－x2)＝ex(－x2－2x＋3)＝ex[－(x＋3)(x－1)]．
當(dāng)－30，所以函數(shù)y＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3,1)，故選C.
題型二　函數(shù)的最值
例3　(1)=已知f(x)＝其中a>0.
若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　(0,2]
解析　設(shè)t＝x2＋2x＋a(x>0)，則t>a，
∴l(xiāng)og2t>log2a，
又x≤0時(shí)，f(x)≤1，又f(x)的值域?yàn)镽，
∴l(xiāng)og2a≤1，∴0(2)已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.
①當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；
②若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解　①當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2，
又x∈[1，＋∞)，所以f′(x)＝1－>0，即f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝.
②f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．
最小值為f(1)＝a＋3.
要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，
所以－3(ⅱ)當(dāng)0因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以f′(x)≥0，即f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，
所以f(x)min＝f(1)＝a＋3，
即a＋3>0，a>－3，所以0綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時(shí)，
a的取值范圍是(－3,1]．
【同步練習(xí)】
(1)函數(shù)y＝x＋的最小值為________．
(2)函數(shù)f(x)＝(x>1)的最小值為________．
答案　(1)1　(2)8
解析　(1)易知函數(shù)y＝x＋在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴x＝1時(shí)，ymin＝1.(本題也可用換元法求解)
(2)方法一　(基本不等式法)f(x)＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2 ＋2＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝4時(shí)，f(x)min＝8.
方法二　(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)．
當(dāng)1f(x)在(1,4)上是遞減的；
當(dāng)x>4時(shí)，f′(x)>0，
f(x)在(4，＋∞)上是遞增的，
所以f(x)在x＝4處取到極小值也是最小值，
即f(x)min＝f(4)＝8.
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2
當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
【知識(shí)拓展】
函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
(1)對(duì)任意x1，x2∈D(x1≠x2)，>0 f(x)在D上是增函數(shù)，<0 f(x)D上是減函數(shù)．
(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．
(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．
(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．
題型三　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　比較大小
例4　已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
答案　D
解析　根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)，因?yàn)閍＝f(－)＝f()，且2<<3，所以b>a>c.
命題點(diǎn)2　解函數(shù)不等式
例5定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上遞增，且f()＝0，則滿足f(logx)>0的x的集合為________________．
答案　{x|0解析　由題意知f()＝0，f(－)＝0，
由f(x)>0，得x>，
或－< x<0，解得0命題點(diǎn)3　求參數(shù)范圍
例6　(1)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)>－ B．a(chǎn)≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
(2)已知f(x)＝滿足對(duì)任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范圍是________．
答案　(1)D　(2)[，2)
解析　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－，
因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，
所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
綜合上述得－≤a≤0.
(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù)，
所以
解得≤a<2，所以a的取值范圍是[，2)．
【同步練習(xí)】
(1)已知函數(shù)f(x)＝x(ex－)，若f(x1)A．x1>x2 B．x1＋x2＝0
C．x1(2)要使函數(shù)y＝與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案　(1)D　(2)(－∞，－4)
解析　(1)f(－x)＝－x(－ex)＝f(x)，
∴f(x)在R上為偶函數(shù)，
f′(x)＝ex－＋x(ex＋)，
∴當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，
由f(x1)∴x(2)由于y＝log3(x－2)的定義域?yàn)?2，＋∞)，且為增函數(shù)，
故函數(shù)y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函數(shù)．
又函數(shù)y＝＝＝2＋，
因其在(3，＋∞)上是增函數(shù)，故4＋k<0，得k<－4.
題型四 解抽象函數(shù)不等式
例7 函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.
(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
思維點(diǎn)撥　(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義．應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)－f(x1)并與0比較大小．(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點(diǎn)．要構(gòu)造出f(M)規(guī)范解答
(1)證明　設(shè)x1，x2∈R且x10，
∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1， [4分]
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0 f(x1)∴f(x)在R上為增函數(shù)． [7分]
(2)解　∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1， [8分]
f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)， [12分]
∵f(x)在R上為增函數(shù)，
∴a2＋a－5<1 －3即a∈(－3,2)． [15分]
一、解函數(shù)不等式問題的一般步驟
第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；
第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；
第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；
第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.
二、求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．
(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．
(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．
(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
三、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)比較大小．比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
(2)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．
(3)利用單調(diào)性求參數(shù)．
①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；
②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；
③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)的是(　　)
A．y＝－x＋1
B．y＝
C．y＝－(x－1)2
D．y＝31－x
答案　B
解析　A中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，C中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，D中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)．
2．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是(　　)
A．[1,2] B．[－1,0]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案　A
解析　f(x)＝
當(dāng)x>2時(shí)，f(x)為增函數(shù)，
當(dāng)x≤2時(shí)，(－∞，1]是函數(shù)f(x)的增區(qū)間；
[1,2]是函數(shù)f(x)的減區(qū)間．
3．已知函數(shù)y＝log2(ax－1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(0,1] B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則a>0且a－1≥0，即a≥1.
4．已知f(x)＝是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
答案　B
解析　由已知可得解得4≤a＜8.
5．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
答案　D
解析　由已知，得即≤x<.
6．設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)．若對(duì)任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2>[g(x1)－g(x2)]2恒成立，則(　　)
A．F(x)，G(x)都是增函數(shù)
B．F(x)，G(x)都是減函數(shù)
C．F(x)是增函數(shù)，G(x)是減函數(shù)
D．F(x)是減函數(shù)，G(x)是增函數(shù)
答案　A
解析　由[f(x1)－f(x2)]2－[g(x1)－g(x2)]2>0，得
[F(x1)－F(x2)][G(x1)－G(x2)]>0，
所以F(x)，G(x)的單調(diào)性相同，
又因?yàn)镕(x)＋G(x)＝2f(x)為增函數(shù)，
所以F(x)，G(x)都是增函數(shù)，故選A.
7．函數(shù)f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．
答案　3
解析　由于y＝x在R上遞減，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上遞增，所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝3.
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是___．
答案　[0,1)
解析　由題意知g(x)＝
函數(shù)的圖象如圖所示，其遞減區(qū)間為[0,1)．
9.已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　(－∞，－2)
解析　二次函數(shù)y1＝x2－4x＋3的對(duì)稱軸是x＝2，
∴該函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，
∴x2－4x＋3≥3，同樣可知函數(shù)y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上單調(diào)遞減，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x∴2(a＋1)∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)．
10．已知函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
(1)證明　任取x1>x2>0，
則f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝，∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
(2)解　由(1)可知，f(x)在[，2]上為增函數(shù)，
∴f()＝－2＝，f(2)＝－＝2，
解得a＝.
11．已知函數(shù)f(x)＝|ax2－8x|(0解　f(－1)＝|a＋8|>f(1)＝|a－8|，f()＝≥2，
①當(dāng)0②當(dāng)4當(dāng)a＋8＝時(shí)，a＝4－4，
所以當(dāng)a>4－4時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝a＋8.
綜上，f(x)max＝a＋8.
12.已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常數(shù)．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍．
解　(1)由x＋－2>0，得>0，
當(dāng)a>1時(shí)，x2－2x＋a>0恒成立，
定義域?yàn)?0，＋∞)；
當(dāng)a＝1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1}；
當(dāng)01＋}．
(2)設(shè)g(x)＝x＋－2，
當(dāng)a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)時(shí)，
g′(x)＝1－＝>0恒成立，
所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函數(shù)．
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函數(shù)．
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值為f(2)＝lg.
(3)對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1對(duì)x∈[2，＋∞)恒成立．
所以a>3x－x2，
令h(x)＝3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是減函數(shù)，
所以h(x)max＝h(2)＝2，
所以a的取值范圍為(2，＋∞)．1、判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(　　)
(3)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值．(　　)
(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．(　　)
(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到．(　　)
2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是(　　)
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
3．若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a的值為(　　)
A．－2 B．2 C．－6 D．6
4．函數(shù)y＝x2＋2x－3(x>0)的單調(diào)增區(qū)間為________．
5．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2，6]，則f(x)的最大值為________，最小值為________．
無
題型一　確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)
命題點(diǎn)1　給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性
例1　(1)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
(2)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)增區(qū)間為________．
命題點(diǎn)2　解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
例2　已知函數(shù)f(x)＝(a>0)，用定義法判斷函數(shù)f(x)在(－1,1)上的單調(diào)性．
【同步練習(xí)】　
(1)已知函數(shù)f(x)＝，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
(2)函數(shù)f(x)＝(3－x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)和(1，＋∞)
題型二　函數(shù)的最值
例3　(1)=已知f(x)＝其中a>0.
若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【同步練習(xí)】
(1)函數(shù)y＝x＋的最小值為________．
(2)函數(shù)f(x)＝(x>1)的最小值為________．
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2
當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
【知識(shí)拓展】
函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
(1)對(duì)任意x1，x2∈D(x1≠x2)，>0 f(x)在D上是增函數(shù)，<0 f(x)D上是減函數(shù)．
(2)對(duì)勾函數(shù)y＝x＋(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．
(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．
(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．
題型三　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
命題點(diǎn)1　比較大小
例4　已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)
A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c
命題點(diǎn)2　解函數(shù)不等式
例5定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上遞增，且f()＝0，則滿足f(logx)>0的x的集合為________________．
命題點(diǎn)3　求參數(shù)范圍
例6　(1)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)>－ B．a(chǎn)≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
(2)已知f(x)＝滿足對(duì)任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范圍是________．
【同步練習(xí)】
(1)已知函數(shù)f(x)＝x(ex－)，若f(x1)A．x1>x2 B．x1＋x2＝0
C．x1(2)要使函數(shù)y＝與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
題型四 解抽象函數(shù)不等式
例7 函數(shù)f(x)對(duì)任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.
(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
一、解函數(shù)不等式問題的一般步驟
第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；
第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；
第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；
第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.
二、求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路
(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．
(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．
(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．
(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．
(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．
三、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)比較大小．比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
(2)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．
(3)利用單調(diào)性求參數(shù)．
①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；
②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；
③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)的是(　　)
A．y＝－x＋1
B．y＝
C．y＝－(x－1)2
D．y＝31－x
2．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是(　　)
A．(1,2) B．(-1,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
3．已知函數(shù)y＝log2(ax－1)在(1,2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(0,1] B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
4．已知f(x)＝是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
5．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
6．設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)．若對(duì)任意x1，x2∈R(x1≠x2)，不等式[f(x1)－f(x2)]2>[g(x1)－g(x2)]2恒成立，則(　　)
A．F(x)，G(x)都是增函數(shù)
B．F(x)，G(x)都是減函數(shù)
C．F(x)是增函數(shù)，G(x)是減函數(shù)
D．F(x)是減函數(shù)，G(x)是增函數(shù)
7．函數(shù)f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是___．
9.已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
10．已知函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
11．已知函數(shù)f(x)＝|ax2－8x|(012.已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常數(shù)．
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若對(duì)任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍．

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