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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題6.3.線段的長短比較+6.4.線段的和差
1、經歷疊合法比較兩條線段的大小關系的過程，并會用數學符號表示它們的大小關系；
2、會用直尺、圓規等學習工具畫線段，初步體會用作圖語言敘述畫法；
3、能用線段表示和差倍分關系，并能計算線段的數量關系；
4、理解中點定義，并進行相關的計算；
5、理解并掌握線段公理（兩點之間線段最短）、兩點之間距離公式。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.線段的長短比較 2
考點2.兩點之間線段最短的應用 4
考點3.兩點之間的距離 5
考點4.作一條線段等于已知線段 6
考點5.線段和差的相關計算 7
考點6.線段和差的相關計算（分類討論） 9
考點7.線段的中點相關計算問題 11
考點8.線段的n等分問題 12
模塊3：能力培優 9
1. “作一條線段等于已知線段”的兩種方法：
法一：用圓規作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規在射線AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．
2.基本事實：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．
即：如圖所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的。
3.兩點之間的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點之間的距離．
4.線段的長短比較：
①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短；
②疊合法：利用直尺和圓規把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側，根據另一端點與重合端點的遠近來比較長短；
③估算法（目測法）。
5.線段的和與差：
1）如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和；
如圖，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。
2）如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差；
如圖，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。
6.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖，有：.
①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.
②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.
如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.
考點1.線段的長短比較
1．（23-24七年級上·湖南株洲·期末）如圖．我們可借助圓規判斷線段和的長短，由圖可知（　　）
A． B． C． D．無法確定
2．（24-25七年級上·河北唐山·期中）如圖，用圓規比較兩條線段的長短，則正確的結果是（ ）
A． B． C． D．不能確定
3．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）點，，在直線上的位置如圖所示，下列結論中，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點2.兩點之間線段最短的應用
1．（23-24七年級下·云南曲靖·階段練習）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，用幾何知識解釋其道理正確的是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．垂線段最短 D．經過一點有無數條直線
2．（24-25七年級上·浙江·課后作業）有下列三個生活、生產現象：①植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中，可用基本事實“兩點之間的所有連線中，線段最短”來解釋的現象有（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2024·湖南·模擬預測）媛媛一家準備周末從A地前往B地游玩，導航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為，，，而兩地的直線距離為，解釋這一現象的數學知識最合理的是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點之間線段最短 D．公垂線段最短
考點3.兩點之間的距離
1．（23-24七年級上·浙江·課堂例題）下列說法中正確的是（ ）
A．兩點之間，直線最短 B．畫出A，B兩點的距離
C．連接點A與點B的線段，叫A，B兩點的距離
D．兩點的距離是線段的長度，不是指線段本身
2．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖所示，哪條線的長度表示A、兩點之間的距離（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
3．（23-24七年級上·北京大興·期末）如圖所示，點A，點D這兩點間的距離是線段 的長度．
考點4.作一條線段等于已知線段
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如下圖，用圓規和直尺作線段AB，使（不寫作法，保留作圖痕跡）．
2．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）作圖：已知線段a、b，畫一條線段使它等于．
（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
3．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）如圖，已知線段，，，利用尺規作圖法作線段，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）
考點5.線段和差的相關計算
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）在一條直線上有四點，已知點C在線段上，，且．求的長．
2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，為線段延長線上一點，為線段上一點，，．(1)若，求的長；(2)若，為的中點，求的長．
3．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如圖，點C，D 是線段上兩點，若 且點D 是線段的中點，求線段的長．
考點6.線段和差的相關計算（分類討論）
1．（22-23七年級下·福建福州·開學考試）已知點A，B，C在同一條直線上，若，則的長為（ ）
A． B． C．或 D．不能確定
2．（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）如圖線段，要求尺規作圖，在直線上找一點，作，則_______．
3．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖．線段，C是線段的中點，D是線段的中點．
(1)求線段的長；(2)在直線上有一點E，，求的長．
4．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如果一點在由兩條公共端點的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，我們稱該點為這條折線的“折中點”．已知點D是圖中折線的“折中點”，請解答以下問題：(1)①若，點D在線段______（填“”或“”）上；②若，則的長度為______．(2)若E為線段的中點，，求的長度．
考點7.線段的中點相關計算問題
1．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如圖，已知點C是線段上一點，點M是線段的中點，點N是線段的中點，給出下面4個結論：① ③若，則； ④若，則 上述結論中，所有正確結論的序號是 ．
2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，一條線段，E，F分別是線段的中點，且，則線段的長為 ．
3．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，A，B，C三點共線，M，N分別是的中點．若，則 ．
考點8.線段的n等分問題
1．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）點 是線段 上的三等分點， 是線段 的中點， 是線段 的中點，若 ， 則 的長為 ．
2．（23-24七年級上·西藏日喀則·期末）已知：點在同一條直線上，線段，點是線段的三等分點，求線段的長．

3．（23-24七年級上·河南新鄉·期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產生了探究的興趣：
如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．
(1)根據題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發現的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，，分別是，的中點，則______．
②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．
③若，分別是，的等分點，即，，則______．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖所示，從學校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（23-24七年級上·河南洛陽·階段練習）下列說法中，正確的是（ ）
A．在所有連結兩點的線中，線段最短 B．連結兩點的線段叫做兩點的距離
C．過三點中的任意兩點作直線共可作三條 D．若，則點B是線段AC的中點
3．（23-24七年級上·安徽蚌埠·階段練習）如圖所示，在A，B，C三個小區中分別住有某廠職工30人，15人，14人，且這三個小區在一條大道上（A，B，C三點在同一直線上），已知米，米．若該廠接送職工上下班的廠車打算在此路段只設一個停靠點，為使這三個小區所有職工步行到停靠點的路程之和最小，那么該停靠點的位置應設在（ ）
A．點A B．點B C．之間 D．之間
4．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，線段表示一根對折過后的繩子，現從點P處把繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長那段為，若，則這條繩子的原長為（ ）．
A．12 B．24 C．12或24 D．24或36
5．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）研究下面解題過程：
如圖，點在線段上，且，點是的中點，若，求的長．
解：因為，，所以①______．因為②______，而是的中點，所以③______．所以④______
針對其中，給出的數值不正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知線段，，．小明利用尺規作圖畫出線段，則線段（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖，線段，點為線段上的一點，點，分別為線段，的中點．則線段的長為（ ）．
A． B． C． D．
8．（24-25七年級上·遼寧·期末）在直線上順次取三點、、，使線段，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，已知線段，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），M，N分別是線段，的中點，下列判斷正確的是（ ）
A．點C越靠近線段的中點，線段越長 B．不論點C在什么位置都有
C．點C越靠近兩個端點，線段越短 D．線段的長度無法確定
10．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，小林利用圓規在線段上截取線段，使．若D恰好為的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，C是線段上一點，D為的中點，且．若點E在直線上，且，則的長為（ ）
A． B． C．或 D．或
12．（23-24七年級上·四川綿陽·期末）已知線段，點在線段上，，反向延長線段至，使，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·上海·專題練習）用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，如圖，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現象的數學道理是 ．
12．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）若A、B、C三點在同一直線上，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么AC＝ cm．
13．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，點、是線段上兩點，、分別是線段、的中點，給出下列結論：①若，則；②；則；③；其中正確的有 （請填寫序號）
14．（23-24七年級·上海嘉定·期末）如圖，點M是線段的中點，B是線段上一點，若，，則 ．
15．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，點C在直線上，，點M是線段的中點，則線段 ．
16．（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習）如圖，有公共端點P的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點Q叫做這條折線的“折中點”．已知點D是折線的“折中點”，點E為線段的中點，，，則線段的長為 ．
17．（2023秋·貴州貴陽·七年級統考期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

18．（24-25九年級上·浙江·課后作業）已知線段．
(1)若點是線段上一點，，則的長為 ；
(2)若點是線段的中點，則的長為 ；
(3)若點是線段的一個三等分點，則的長為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、B、C、D分別表示四個車站的位置．
(1)用關于a、b的代數式表示A、C兩站之間的距離是 ；（最后結果需化簡）
(2)若已知A、C兩站之間的距離是10千米，求C、D兩站之間的距離．
20．（23-24七年級上·四川成都·期末）（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；（2）設，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），
①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；
②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．
21．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，平面上有四個點A，B，C，D，按照以下要求作圖并解答問題：(1)①作直線；②作射線交直線于點E；③連接，交于點F；
(2)若F是的一個三等分點，已知線段上所有線段之和為，求的長．
22．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知．
(1)請用無刻度的直尺和圓規在線段的延長線上截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)（填“”、“”或“”），依據是_______；
(3)若點是射線上一點，且，，求的長；
(4)在（3）的條件下，若點在線段上，且，請直接寫出的值．
23．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）【新知理解】點在線段上，若或，則稱點是線段的“優點”，線段，稱作互為“優點”伴侶線段．
例如，圖1，線段的長度為6，點在上，的長度為2，則點是線段的其中一個“優點”．
（1）若點為圖1中線段的“優點”，且，則__________；
（2）若點也是圖1中線段的“優點”（不同于點），則_______（填“”“ ”或“”）
【解決問題】如圖2，數軸上有，兩點，其中點表示的數為1，點表示的數為4；
（3）若點在點的左側，且，均為線段的“優點”，則線段的長為____________；
（4）若點在線段的延長線上，且線段與互為“優點”伴侶線段，則點表示的數為___________．
24．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）【問題探究】(1)如圖，點C在線段上，點M，N分別是的中點．若，則線段的長為______；
【方法遷移】(2)已知點C在線段上，點M，N分別是的中點．若，則線段的長為______．
【學以致用】(3)小明同學在解決問題“某校七年級（1）班延時服務統計情況如下，其中參加延時服務的女生是未參加延時服務的女生人數的2倍，參加延時服務的男生是全班男生人數的，若參加延時服務的男、女生共有m人，則該班共有學生多少人？（用含m的式子表示）”時，突然聯想到上面的幾何問題，請你將這個實際問題轉化為幾何模型，并直接寫出答案．（建立幾何模型就是畫出相應的線段示意圖，并分別注明相應線段的實際意義）
25．（23-24七年級上·遼寧沈陽·期中）已知點C在線段上，，線段在直線上移動（點D，E不與點A，B重合）．
(1)若，，線段在線段上移動，且點D在點E的左側，
①如圖，當點E為中點時，求的長；
②點F（不與點A，B，C重合）在線段上，，，求的長；
(2)若，，請直接寫出與存在的數量關系．
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專題6.3.線段的長短比較+6.4.線段的和差
1、經歷疊合法比較兩條線段的大小關系的過程，并會用數學符號表示它們的大小關系；
2、會用直尺、圓規等學習工具畫線段，初步體會用作圖語言敘述畫法；
3、能用線段表示和差倍分關系，并能計算線段的數量關系；
4、理解中點定義，并進行相關的計算；
5、理解并掌握線段公理（兩點之間線段最短）、兩點之間距離公式。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.線段的長短比較 2
考點2.兩點之間線段最短的應用 4
考點3.兩點之間的距離 5
考點4.作一條線段等于已知線段 6
考點5.線段和差的相關計算 7
考點6.線段和差的相關計算（分類討論） 9
考點7.線段的中點相關計算問題 11
考點8.線段的n等分問題 12
模塊3：能力培優 9
1. “作一條線段等于已知線段”的兩種方法：
法一：用圓規作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規在射線AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．
2.基本事實：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．
即：如圖所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的。
3.兩點之間的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點之間的距離．
4.線段的長短比較：
①度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短；
②疊合法：利用直尺和圓規把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合端點同側，根據另一端點與重合端點的遠近來比較長短；
③估算法（目測法）。
5.線段的和與差：
1）如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和；
如圖，有AC＝AB+BC，或AC＝a+b。
2）如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差；
如圖，有AD＝AB-BD，或AD＝a-b。
6.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖，有：.
①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.
②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.
如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.
考點1.線段的長短比較
1．（23-24七年級上·湖南株洲·期末）如圖．我們可借助圓規判斷線段和的長短，由圖可知（　　）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】依據重合比較法即可得出結論．
【詳解】解：由圖可得，，故選A．
【點睛】本題主要考查了比較兩條線段長短的方法，主要有兩種：度量比較法、重合比較法．解決問題的關鍵是細致觀察出線段和差關系．
2．（24-25七年級上·河北唐山·期中）如圖，用圓規比較兩條線段的長短，則正確的結果是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】本題考查了線段的大小比較，熟練掌握線段大小的比較方法是解決問題的關鍵． 根據比較線段的長短的方法即可解答．
【詳解】解：由圖可知，．故選C．
3．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）點，，在直線上的位置如圖所示，下列結論中，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了比較線段的長短，根據直線上，，的位置，判斷即可．
【詳解】解：A、由圖可知，故A選項正確，不符合題意；
B、由圖可知，故B選項正確，不符合題意；
C、由圖可知，故C選項正確，不符合題意；
D、由圖可知，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．
考點2.兩點之間線段最短的應用
1．（23-24七年級下·云南曲靖·階段練習）把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，用幾何知識解釋其道理正確的是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．垂線段最短 D．經過一點有無數條直線
【答案】B
【分析】本題考查了線段的性質．由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短的性質．
【詳解】解：把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理是兩點之間線段最短．故選：B．
2．（24-25七年級上·浙江·課后作業）有下列三個生活、生產現象：①植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中，可用基本事實“兩點之間的所有連線中，線段最短”來解釋的現象有（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本題考查了兩點之間線段最短，從兩點之間起到的作用，用途出發，試想一個點會不會達到如此的效果即能判斷．①根據兩點確定一條直線的性質即可求解；②對，兩點之間線段最短，減少了距離；③對，兩點之間線段最短，減少了距離．
【詳解】解：①屬于兩點確定一條直線的性質，不符合題意；
②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著直線架設，是兩點之間，線段最短，符合題意；
③兩點之間線段最短，減少了距離，符合題意．故選：C．
3．（2024·湖南·模擬預測）媛媛一家準備周末從A地前往B地游玩，導航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為，，，而兩地的直線距離為，解釋這一現象的數學知識最合理的是（ ）
A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點之間線段最短 D．公垂線段最短
【答案】C
【分析】本題考查線段的性質，由兩點之間，線段最短即可得出答案，熟練掌握線段的性質是解此題關鍵．
【詳解】解：由題意得：解釋這一現象的數學知識最合理的是兩點之間線段最短，故選：C．
考點3.兩點之間的距離
1．（23-24七年級上·浙江·課堂例題）下列說法中正確的是（ ）
A．兩點之間，直線最短 B．畫出A，B兩點的距離
C．連接點A與點B的線段，叫A，B兩點的距離
D．兩點的距離是線段的長度，不是指線段本身
【答案】D
【分析】根據兩點之間線段最短，兩點間的距離的意義解答即可．
【詳解】A. 兩點之間，線段最短，不符合題意；
B. 畫出A，B兩點的線段，不符合題意；
C. 連接點A與點B的線段的長度，叫A，B兩點的距離，不符合題意；
D. 兩點的距離是線段的長度，不是指線段本身，不符合題意；故選D．
【點睛】本題考查了線段最短的原理，兩點間的距離，熟練掌握原理和距離是解題的關鍵．
2．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖所示，哪條線的長度表示A、兩點之間的距離（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】B
【分析】根據兩點之間距離定義進行判斷即可．
【詳解】解：②表示A、兩點之間的距離，故B正確．故選：B．
【點睛】本題考查了兩點之間的距離，解題的關鍵是熟練掌握兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離．
3．（23-24七年級上·北京大興·期末）如圖所示，點A，點D這兩點間的距離是線段 的長度．
【答案】
【分析】根據兩點間的距離的定義可得點與點的距離．
【詳解】解：點與點的距離為線段的長度．故答案為：．
【點睛】本題主要考查兩點間距離的定義，掌握兩點間距離的定義是解題的關鍵．
考點4.作一條線段等于已知線段
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如下圖，用圓規和直尺作線段AB，使（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】畫圖見解析
【分析】本題考查尺規作圖作線段．熟練掌握作線段等于已知線段的方法，是解題的關鍵．
以為端點，作射線，以為端點，在射線截取線段，再以為端點，在射線截取線段，則：線段，即為所求．
【詳解】解：如圖所示，線段AB即為所求．
2．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）作圖：已知線段a、b，畫一條線段使它等于．
（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查有關線段的基本作圖，先畫出一條線段等于，然后再在這條線段上截去b，剩余線段即為所求線段．相加在原來線段的延長線上畫出另一條線段，相減在較長的線段上截去．
【詳解】解：如圖所示，
3．（23-24七年級上·陜西咸陽·階段練習）如圖，已知線段，，，利用尺規作圖法作線段，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了線段的尺規作圖，先作射線，再以A為圓心，線段c的長為半徑畫弧交射線于C，再以C為圓心，線段c的長為半徑畫弧交射線于D，再以點D為圓心，線段b的長為半徑畫弧交線段于E，最后以E為圓心，以線段a的長為半徑畫弧交射線于B，則線段即為所求．
【詳解】解：如圖所示，線段即為所求；
先作射線，再以A為圓心，線段c的長為半徑畫弧交射線于C，再以C為圓心，線段c的長為半徑畫弧交射線于D，再以點D為圓心，線段b的長為半徑畫弧交線段于E，最后以E為圓心，以線段a的長為半徑畫弧交射線于B，則線段即為所求．
考點5.線段和差的相關計算
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）在一條直線上有四點，已知點C在線段上，，且．求的長．
【答案】的長為或
【分析】本題考查了線段長短的計算，根題意分別畫出圖形和掌握分類討論的思想成為解答本題的關鍵．
先根據題意畫出圖①、圖②， 根據題意，需分以下2種情況：當點D在線段上時，當點D在線段的延長線上時，然后分別根據線段的和差列式解答即可．
【詳解】解：①當點D在線段上時，如圖①．
因為，所以．
因為，所以，所以，所以．
②當點D在線段的延長線上時，如圖②．
因為，所以．
因為，所以，所以，所以．
綜上所述，的長為或．
2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，為線段延長線上一點，為線段上一點，，．(1)若，求的長；(2)若，為的中點，求的長．
【答案】(1)15(2)9
【分析】本題主要考查線段和線段的中點，掌握線段和差計算，數形結合分析方法是解題關鍵．
（1）根據，可求得，據此即可求得答案；
（2）先求得，進而可求得，根據線段中點的定義，可求得．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：∵，∴．∵，∴．
∵是的中點，∴，∴．
3．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如圖，點C，D 是線段上兩點，若 且點D 是線段的中點，求線段的長．
【答案】
【分析】本題主要考查了與線段中點有關的線段和差計算，先由線段中點的定義求出的長，再由線段的和差關系即可求出線段的長．
【詳解】解：∵點D 是線段的中點，，∴，∵ ，∴．
考點6.線段和差的相關計算（分類討論）
1．（22-23七年級下·福建福州·開學考試）已知點A，B，C在同一條直線上，若，則的長為（ ）
A． B． C．或 D．不能確定
【答案】C
【分析】根據題意，進行分類討論：當A、C在點B兩側時，當A、C在點B同側時，即可求解．
【詳解】解：當A、C在點B兩側時，∵，∴；
當A、C在點B同側時，∵，∴；故選：C．
【點睛】本題主要考查了線段之間的和差關系，解題的關鍵是正確理解題意，具有分類討論的思想．
2．（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）如圖線段，要求尺規作圖，在直線上找一點，作，則_______．
【答案】圖形見解析，或
【分析】本題主要考查線段和尺規作圖，分兩種情況：點位于點的左側和點位于點的右側．
【詳解】分兩種情況：點位于點的左側和點位于點的右側，如圖所示．
點位于點的左側時，．點位于點的右側時，．故答案為：或
3．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖．線段，C是線段的中點，D是線段的中點．
(1)求線段的長；(2)在直線上有一點E，，求的長．
【答案】(1)15 (2)的長為8或12
【分析】本題主要考查了線段的和差以及中點的應用，熟練掌握中點的定義是解題的關鍵．
（1）現根據中點的定義得到，，再由線段的和關系，即可作答；（2）由得，分兩種情況：當點E在線段上，當點E在線段延長線上，分別求出結果即可．
【詳解】（1）解：∵線段，C是線段的中點，D是線段的中點，
∴，，∴；
（2）解：，當點E在線段上，如圖所示：；
當點E在線段延長線上，如圖所示：；
綜上分析可知：的長為8或12．
4．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如果一點在由兩條公共端點的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，我們稱該點為這條折線的“折中點”．已知點D是圖中折線的“折中點”，請解答以下問題：(1)①若，點D在線段______（填“”或“”）上；②若，則的長度為______．(2)若E為線段的中點，，求的長度．
【答案】(1)①，②2或14(2)的長度是4或28
【分析】本題主要考查了線段的和差計算，線段中點的定義：（1）①根據“折中點”的定義進行求解即可；②分當點D在上時，當點D在上時，兩種情況畫出對應的示意圖，進行討論求解即可；
（2）先根據線段中點的定義得到的長，再同分當點D在上時，當點D在上時，兩種情況畫出對應的示意圖，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，點D是圖中折線的“折中點”，
∴點D在線段上，故答案為：；
②如圖所示，當點D在上時，∵，∴，
∵，∴
如圖所示，當點D在上時，
∵，∴，∴；綜上所述，的長為2或14；
（2）解：E為線段中點，，∴．
①點D在線段上時，如圖所示，
∵，∴．
∵D為折中點，∴．∴；
②點D在線段上時，如圖所示，
∴，∴．∴．∴．
綜上所述，的長度是4或28．
考點7.線段的中點相關計算問題
1．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如圖，已知點C是線段上一點，點M是線段的中點，點N是線段的中點，給出下面4個結論：① ③若，則； ④若，則 上述結論中，所有正確結論的序號是 ．
【答案】①②④
【分析】本題主要考查了與線段中點有關的線段和差計算，根據線段中點的定義得到，再由線段的和差關系即可判斷①②；求出，進而可得，據此可判斷③；求出，則可求出，據此可判斷④．
【詳解】解：∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴，
∴，，故①②正確；∵，∴，
∵，∴，故③錯誤；
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．
2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，一條線段，E，F分別是線段的中點，且，則線段的長為 ．
【答案】/8厘米
【分析】本題考查兩點之間的距離，關鍵是根據線段關系設未知數求解．設，由點，分別是，的中點可得的長，已知，可列方程解得的值，可得的長．
【詳解】解：，可設，
點，分別是，的中點，，
，
又，，解得，（），
即線段的長為．故答案為：．
3．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，A，B，C三點共線，M，N分別是的中點．若，則 ．
【答案】13
【分析】此題考查了線段的中點，線段的和差，根據題意可得，，由即可求出線段的長．
【詳解】解： 分別是的中點，，，
∴，，∴，故答案為：．
考點8.線段的n等分問題
1．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）點 是線段 上的三等分點， 是線段 的中點， 是線段 的中點，若 ， 則 的長為 ．
【答案】或/或
【分析】根據點是線段上的三等分點，分兩種情況畫圖進行計算即可．
【詳解】解：如圖，
是線段的中點，，，
點是線段上的三等分點，，，
如圖，
點是線段上的三等分點，，
是線段的中點，，，；故答案為：或．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，以及三等分點、中點的定義，解決本題的關鍵是分兩種情況畫圖計算．
2．（23-24七年級上·西藏日喀則·期末）已知：點在同一條直線上，線段，點是線段的三等分點，求線段的長．

【答案】的長為或或或．
【分析】本題考查了線段的和差計算，三等分點的含義，數形結合、分類討論是解題的關鍵．本題分四種情況討論：如圖，當在的右邊，時，如圖，當在的右邊，時，如圖，當在的左邊，時，如圖，當在的左邊，時，再求解即可．
【詳解】解：∵，點是線段的三等分點，∴或，
如圖，當在的右邊，時，∵，∴，

如圖，當在的右邊，時，∴，

如圖，當在的左邊，時，∴，

如圖，當在的左邊，時，∴；

綜上：的長為或或或．
3．（23-24七年級上·河南新鄉·期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產生了探究的興趣：
如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．
(1)根據題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發現的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，，分別是，的中點，則______．
②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．
③若，分別是，的等分點，即，，則______．
【答案】(1)3 (2)①；②；③
【分析】（1）由，，得，根據，分別是，的中點，即得，，故；（2）①由，分別是，的中點，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；
③由，，知，，即得，故．
【詳解】（1）解：，，，
，分別是，的中點，，，
；故答案為：；
（2）解：①，分別是，的中點，
，，，
，；故答案為：；
②，，，，
，，；
③，，，，
，，，故答案為：．
【點睛】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖所示，從學校到公園有①②③④四條路線可走，其中最短的路線是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段的性質，熟練掌握線段的性質進行求解是解決本題的關鍵．應用兩點的所有連線中，線段最短．進行判定即可得出答案．
【詳解】根據題意可得，從學校到公園有①、②、③、④四條路線，其中線段最短，
最短的路線是③．故選：C．
2．（23-24七年級上·河南洛陽·階段練習）下列說法中，正確的是（ ）
A．在所有連結兩點的線中，線段最短 B．連結兩點的線段叫做兩點的距離
C．過三點中的任意兩點作直線共可作三條 D．若，則點B是線段AC的中點
【答案】A
【分析】本題考查了線段的性質、兩點間的距離的定義和線段中點的定義，根據線段的性質、兩點間的距離的定義和線段中點的定義逐項分析可得答案．
【詳解】解：A．兩點之間，線段最短，故正確，符合題意；
B．連結兩點的線段的長度叫做兩點的距離，故錯誤，不符合題意：
C．過三點中的任意兩點作直線共可作三條或一條，故錯誤，不符合題意：
D．若，當點B不在直線上時，則點B不是線段的中點，故錯誤，不符合題意．故選：A．
3．（23-24七年級上·安徽蚌埠·階段練習）如圖所示，在A，B，C三個小區中分別住有某廠職工30人，15人，14人，且這三個小區在一條大道上（A，B，C三點在同一直線上），已知米，米．若該廠接送職工上下班的廠車打算在此路段只設一個停靠點，為使這三個小區所有職工步行到停靠點的路程之和最小，那么該停靠點的位置應設在（ ）
A．點A B．點B C．之間 D．之間
【答案】A
【分析】本題考查了比較線段的長短．由題意設一個停靠點，為使所有的人步行到停靠點的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短定理．
【詳解】解：①以點A為停靠點，則所有人的路程的和（米），
②以點B為停靠點，則所有人的路程的和（米），
③當在之間停靠時，設停靠點到A的距離是m，則，則所有人的路程的和是：，
④當在之間停靠時，設停靠點到B的距離為n，則，則所有人的總路程為．
∴該停靠點的位置應設在點A；故選：A．
4．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，線段表示一根對折過后的繩子，現從點P處把繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長那段為，若，則這條繩子的原長為（ ）．
A．12 B．24 C．12或24 D．24或36
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段的和差，根據題意可知對折點可能是點A，也可能是點B，再根據不同情況確定最長的線段即可求出原線段的長．
【詳解】當點A是對折點時，則剪斷后最長的線段應是，
∴，所以繩子的原長為；
當點B是對折點時，則剪斷后最長的線段應是，
∴，所以繩子的原長為．
所以這條繩子的原長為12cm或24cm．故選：C．
5．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）研究下面解題過程：
如圖，點在線段上，且，點是的中點，若，求的長．
解：因為，，所以①______．因為②______，而是的中點，所以③______．所以④______
針對其中，給出的數值不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了與線段中點有關的線段和差計算，根據已知條件項求出的長，進而求出的長，再由線段中點的定義求出的長，即可求出的長，據此可得答案．
【詳解】解：因為，，所以①．
因為②，而是的中點，所以③．
所以④，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選：C．
6．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知線段，，．小明利用尺規作圖畫出線段，則線段（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要查了尺規作圖—作一條線段等于已知線段．根據作圖可得，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：．故選：C
7．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）如圖，線段，點為線段上的一點，點，分別為線段，的中點．則線段的長為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要查了線段中點的定義．根據線段中點的性質，可得根據線段的和差，可得的長．
【詳解】解：∵點，分別為線段，的中點．∴，
∴．故選：B
8．（24-25七年級上·遼寧·期末）在直線上順次取三點、、，使線段，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了線段的和差運算，根據在直線上順次取三點、、，得出，再代數計算，即可作答．
【詳解】解：在直線上順次取三點、、，，
，，，故選：D．
9．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，已知線段，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），M，N分別是線段，的中點，下列判斷正確的是（ ）
A．點C越靠近線段的中點，線段越長 B．不論點C在什么位置都有
C．點C越靠近兩個端點，線段越短 D．線段的長度無法確定
【答案】B
【分析】本題考查了線段的中點與和差倍數問題，解題關鍵是運用轉化的思想，本題先求出，，再利用線段的和差關系即可求解．
【詳解】解：∵M，N分別是線段，的中點，∴，，
∴，即不論點C在什么位置都有； 故選：B ．
10．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，小林利用圓規在線段上截取線段，使．若D恰好為的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段中點的相關知識，若，點D恰好為的中點，則，由此對各個選項進行判斷即可．
【詳解】解：∵，點D恰好為的中點，
∴，故C錯誤，不符合題意，故選：C．
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，C是線段上一點，D為的中點，且．若點E在直線上，且，則的長為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查線段中點的性質及線段的和差關系，解題的關鍵是熟練掌握線段中點的性質及和差關系；由題意易得，則有，然后分當點E在點A右側時和當點E在點A左側時，進而求解即可
【詳解】解：因為D為的中點，，所以．
因為，所以．如圖①，當點E在點A右側時．
因為，所以，所以；
如圖②，當點E在點A左側時
因為，所以．
綜上所述，的長為或；故選D．
12．（23-24七年級上·四川綿陽·期末）已知線段，點在線段上，，反向延長線段至，使，若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了線段的和與差，正確畫出圖形，熟練掌握線段之間的運算是解題關鍵．先畫出圖形，設，則，，再根據可得，從而可得，由此即可得．
【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：
設，∵，，∴，，
∵，即，∴，∴，
∵，∴，故選：D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·上海·專題練習）用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，如圖，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現象的數學道理是 ．
【答案】兩點之間，線段最短
【分析】本題考查線段的性質，根據兩點之間，線段最短，進行作答即可．
【詳解】解：依題意，能解釋這一現象的數學道理是：兩點之間，線段最短；
故答案為：兩點之間，線段最短．
12．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）若A、B、C三點在同一直線上，且AB＝5cm，BC＝3cm，那么AC＝ cm．
【答案】8或2/2或8
【分析】此題沒有指明點C的具體位置故應該分情況進行分析從而求解．
【詳解】解：當點B位于A，C中間時，AC＝AB＋BC＝8cm；
當點C位于A，B中間時，AC＝AB BC＝2cm．故答案為：8或2．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離的知識點，注意分類討論思想的運用．
13．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，點、是線段上兩點，、分別是線段、的中點，給出下列結論：①若，則；②；則；③；其中正確的有 （請填寫序號）
【答案】①②③
【分析】由可得，再由線段的中點，即可判斷①；可得，再由線段的中點
可判斷②；由結合線段的中點可判斷③．
【詳解】解：，，
是線段的中點，，，
，，即，故①正確；
，，，
M、N分別是線段、的中點，，，，故②正確；
M、N分別是線段、的中點，，，
，，故③正確；
故答案：①②③．
【點睛】本題考查了線段的中點定義，線段的和差；能根據所求線段或等式用線段和差表示，并由線段中點進行等量轉換是解題的關鍵．
14．（23-24七年級·上海嘉定·期末）如圖，點M是線段的中點，B是線段上一點，若，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了與線段中點有關的線段和差計算，先求出，進而得到，再由線段中點的定義得到，則，據此求出的長，進而求出的長即可．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵點M是線段的中點，∴，∴，
∴，∴，故答案為：．
15．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，點C在直線上，，點M是線段的中點，則線段 ．
【答案】或3
【分析】本題主要考查線段的中點的相關計算．
根據題意分兩種情況討論，然后利用線段中點的性質和線段的和差求解即可．
【詳解】解：當點C在線段上時，如圖1，

∵，∴，
∵點M是線段的中點，∴，∴；
當點C在線段的延長線上時，
∵，∴，
∵點M是線段的中點，∴，
∴，即或3．故答案為：或3
16．（23-24七年級上·遼寧沈陽·階段練習）如圖，有公共端點P的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點Q叫做這條折線的“折中點”．已知點D是折線的“折中點”，點E為線段的中點，，，則線段的長為 ．
【答案】4或24
【分析】本題主要考查兩點間的距離，熟練掌握分類討論的思想是解題的關鍵．根據“折中點”的定義分情況求出的長度即可．
【詳解】①如圖，，，
∵點D是折線的“折中點”，∴，
∵點E為線段的中點，∴∴，
∴，∴，∴；如圖，，，
∵點D是折線的“折中點”，∴，
∵點E為線段的中點，∴∴，
∴，∴；綜上所述，的長為4或24，故答案為：4或24．
17．（2023秋·貴州貴陽·七年級統考期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

【答案】或或33
【分析】分點為的中點，點為的中點，為的中點，三種情況進行討論求解．
【詳解】解：∵，∴，
①當點為的中點時，，解得：；
②當點為的中點時，，解得：；
③當為的中點時，，解得：；
綜上：或或；故答案為：或或33
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，與線段中點有關的計算．解題的關鍵是讀懂題意，利用分類討論的思想，正確的列出方程．
18．（24-25九年級上·浙江·課后作業）已知線段．
(1)若點是線段上一點，，則的長為 ；
(2)若點是線段的中點，則的長為 ；
(3)若點是線段的一個三等分點，則的長為 ．
【答案】(1)7(2)4.5(3)3或6
【分析】本題考查線段的和差，線段中點、以及三等分點的特點，解題的關鍵在于利用分類討論的思想解決問題．（1）根據線段的和差計算即可；（2）根據線段中點的特點計算即可；（3）根據點為的三等分點分兩種情況討論：①點靠近點；②點靠近點，結合線段的和差計算即可．
【詳解】（1）解：；
故答案為：．
（2）解：點是線段的中點，
；
故答案為：4.5．
（3）解：點是線段的一個三等分點，
①當點靠近點時，
；
②當點靠近點時，
；
綜上所述，的長為3或6．故答案為：3或6．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、B、C、D分別表示四個車站的位置．
(1)用關于a、b的代數式表示A、C兩站之間的距離是 ；（最后結果需化簡）
(2)若已知A、C兩站之間的距離是10千米，求C、D兩站之間的距離．
【答案】(1)(2)、兩站之間的距離
【分析】本題考查的是線段的和差運算，整式的加減運算，理解題意是解題關鍵．
（1）直接利用線段的和差運算可得答案；
（2）先求解，利用可得，再代入化簡求值即可．
【詳解】（1）解：用關于、的代數式表示、兩站之間的距離是；
（2）解：，
，，．
答：、兩站之間的距離．
20．（23-24七年級上·四川成都·期末）（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；（2）設，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），
①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；
②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．
【答案】（1）6；（2）①；②
【分析】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．
（1）由中點的定義可得，然后根據求解即可；（2）①由，可得，然后根據求解即可；②仿照（2）的過程求解即可．
【詳解】解：（1），分別是，的中點
（2）①
；
②
．
21．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，平面上有四個點A，B，C，D，按照以下要求作圖并解答問題：
(1)①作直線；②作射線交直線于點E；③連接，交于點F；
(2)若F是的一個三等分點，已知線段上所有線段之和為，求的長．
【答案】(1)見解析(2)或
【分析】（1）根據語句作圖即可；（2）分兩種情況討論，即當大于時和當小于時，根據“線段AC上所有線段之和為18”列方程求解即可．
【詳解】（1）如圖所示：
（2）當大于時，設，則，，
∴，解得：，∴，
當小于時，設，則，．
∴．解得：，∴，綜上所述：或．
【點睛】本題考查了線段的和差、線段的n等分點的有關計算以及根據語句作圖．熟練掌握基本作圖語句是解題的關鍵，解題（2）時注意分類討論．
22．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知．
(1)請用無刻度的直尺和圓規在線段的延長線上截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)（填“”、“”或“”），依據是_______；
(3)若點是射線上一點，且，，求的長；
(4)在（3）的條件下，若點在線段上，且，請直接寫出的值．
【答案】(1)見解析(2)>，兩點之間線段最短(3)(4)的長為1或5．
【分析】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了兩點間的距離．
（1）根據幾何語言畫出幾何圖形；（2）根據兩點之間線段最短進行判斷；
（3）先計算出，然后計算即可；
（4）討論：當點在點左側，；當點在點右側，．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；
（2）解：根據兩點之間線段最短得；
故答案為：，兩點之間線段最短；
（3）解：，，
，；
（4）解：當點在點左側，，當點在點右側，，
綜上所述，的長為1或5．
23．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）【新知理解】點在線段上，若或，則稱點是線段的“優點”，線段，稱作互為“優點”伴侶線段．
例如，圖1，線段的長度為6，點在上，的長度為2，則點是線段的其中一個“優點”．
（1）若點為圖1中線段的“優點”，且，則__________；
（2）若點也是圖1中線段的“優點”（不同于點），則_______（填“”“ ”或“”）
【解決問題】如圖2，數軸上有，兩點，其中點表示的數為1，點表示的數為4；
（3）若點在點的左側，且，均為線段的“優點”，則線段的長為____________；
（4）若點在線段的延長線上，且線段與互為“優點”伴侶線段，則點表示的數為___________．
【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10
【分析】本題主要查了線段的和與差：（1）根據“優點”的定義解答，即可求解；（2）根據“優點”的定義解答，即可求解；（3）根據“優點”的定義可得，即可求解；
（4）根據題意可得，再由“優點”伴侶線段的定義解答，即可求解．
【詳解】解：（1）∵點為圖1中線段的“優點”，且，
∴，∴；故答案為：9
（2）∵點也是圖1中線段的“優點”（不同于點），
∴，∴，∴；故答案為：
（3）∵點表示的數為4，∴，
∵點在點的左側，且，均為線段的“優點”，
∴，∴；故答案為：
（4）∵點表示的數為1，點表示的數為4，∴，
∵線段與互為“優點”伴侶線段，
當時，，∴點G表示的數為，
當時，，∴點G表示的數為10，
綜上，點G表示的數為或10．故答案為：或10
24．（23-24七年級上·河南鄭州·期中）【問題探究】(1)如圖，點C在線段上，點M，N分別是的中點．若，則線段的長為______；
【方法遷移】(2)已知點C在線段上，點M，N分別是的中點．若，則線段的長為______．
【學以致用】(3)小明同學在解決問題“某校七年級（1）班延時服務統計情況如下，其中參加延時服務的女生是未參加延時服務的女生人數的2倍，參加延時服務的男生是全班男生人數的，若參加延時服務的男、女生共有m人，則該班共有學生多少人？（用含m的式子表示）”時，突然聯想到上面的幾何問題，請你將這個實際問題轉化為幾何模型，并直接寫出答案．（建立幾何模型就是畫出相應的線段示意圖，并分別注明相應線段的實際意義）
【答案】(1)(2)(3)該班共有學生人
【分析】（1）根據線段中點的定義即可求解；（2）根據線段中點的定義即可求解；
（3）根據題意畫出圖形，設，，則，，求出的結果即可．
【詳解】（1）解：∵點M，N分別是的中點，，
∴，∴．故答案為：．
（2）解：∵點M，N分別是的中點，，
∴， ∴．故答案為：．
（3）解：如圖，點B在線段上，，．
表示未參加延時服務的女生，表示參加延時服務的女生，表示全班男生，表示參加延時服務的男生， ∴表示全班參加延時服務的總人數，
設，，則，，∴，，
∴，∴該班共有學生人．
【點睛】本題考查線段中點的定義，兩點間的距離，解題的關鍵是結合圖形，根據線段間的和差關系求解．
25．（23-24七年級上·遼寧沈陽·期中）已知點C在線段上，，線段在直線上移動（點D，E不與點A，B重合）．
(1)若，，線段在線段上移動，且點D在點E的左側，
①如圖，當點E為中點時，求的長；
②點F（不與點A，B，C重合）在線段上，，，求的長；
(2)若，，請直接寫出與存在的數量關系．
【答案】(1)①；②的長為或
(2)或或或
【分析】本題考查了兩點間的距離，比較難，需要仔細思考和解答．
（1）根據已知條件得到，，
①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；
②如圖1，當點F在點C的右側時，當點F在點C的左側時，由線段的和差即可得到結論；
（2）分點E在點C右側，點D在點E左右兩側，點E在點C左側，點D在點E左右兩側共四種情況，分別討論可得．
【詳解】（1）解：，，，，
①為中點，，，，；
②如圖1，
當點F在點C的右側時，，，
，；
當點F在點C的左側時，
，，，
，；綜上所述，的長為或．
（2）解：①點E在點C右側，點D在點E左側時， 如圖3所示，
，，，，，
，，
，，，；
②點E在點C右側，點D在點E右側時，如圖4所示，
，，，，，
，，
，，，；
③點E在點C左側，點D在點E左側時，如圖5所示，
，，，，
，，，
，，，；
④點E在點C左側，點D在點E右側時，如圖6所示，
，，，，，
，，
，，，；
綜上所述，或或或．
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