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DIQIZHANG
第七章
專(zhuān)題強(qiáng)化　天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算　
　　　　　萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系
1.掌握星體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的物理量與軌道半徑的關(guān)系(重難點(diǎn))。
2.明確地球表面的萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系(難點(diǎn))。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一、天體運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算
二、萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系
專(zhuān)題強(qiáng)化練
內(nèi)容索引
天體運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算
一
1.一般衛(wèi)星(或行星)的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力與萬(wàn)有引力的關(guān)系可寫(xiě)為：
G=m　　=m=m　　=mr。
an
ω2r
2.根據(jù)1中的關(guān)系式推導(dǎo)向心加速度大小an、線(xiàn)速度大小v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關(guān)系。
“一定四定”，越高越　　(選填“快”或“慢”)。
慢
=
3.忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)，mg=G，整理可得：GM=　　 ，當(dāng)GM未知時(shí)，可用 替換后進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，此式被稱(chēng)為“黃金代換公式”。
gR2
gR2
有人根據(jù)公式v=ωr說(shuō)：人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大2倍，衛(wèi)星的速度
也增大2倍。但由公式v=可知，軌道半徑增大時(shí)，人造地球衛(wèi)星
的速度是減小的。應(yīng)當(dāng)怎樣正確理解這個(gè)問(wèn)題？
思考與討論
答案　當(dāng)角速度ω不變時(shí)，根據(jù)公式v=ωr，軌道半徑增大2倍，速度v也增大2倍。但對(duì)于人造地球衛(wèi)星來(lái)講，當(dāng)軌道半徑增大時(shí)，角速度會(huì)改
變。所以第一種說(shuō)法不正確；因公式v=中，當(dāng)軌道半徑r增大時(shí)，
引力常量G和地球質(zhì)量都不變，因此人造地球衛(wèi)星的速度減小。
　如圖所示，是在同一平面不同軌道上的三顆質(zhì)量相同的人造地球衛(wèi)星，均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于各物理量的關(guān)系，下列說(shuō)法不正確的是
A.線(xiàn)速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
例1
√
由題意可得=m=mr=mω2r=ma，則a=，v=
，ω=，T=，由題圖可知rA得TAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故
選B。
　(2020·浙江7月選考)火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖所示。若火星和地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的
A.軌道周長(zhǎng)之比為2∶3
B.線(xiàn)速度大小之比為∶
C.角速度大小之比為2∶3
D.向心加速度大小之比為9∶4
例2
√
軌道周長(zhǎng)C=2πr，與半徑成正比，故軌道周長(zhǎng)之比為3∶2，故A
錯(cuò)誤；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有=m，得v=，則=
=，故B錯(cuò)誤；
由萬(wàn)有引力提供向心力有=mω2r，得ω=，則==，故C
正確；
由=ma，得a=，則==，故D錯(cuò)誤。
　2022年6月5日，我國(guó)成功發(fā)射神舟十四號(hào)載人飛船，3名航天員進(jìn)駐核心艙。假設(shè)神舟十四號(hào)在飛行的過(guò)程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運(yùn)行的周期為T(mén)。
(1)求飛船離地面的高度h；
例3
答案　-R
飛船繞地球沿圓軌道運(yùn)行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有
G=m(R+h)；
在地球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力近似等于重力有
G=m'g，
解得飛船離地面的高度為h=-R。
(2)如圖所示，衛(wèi)星A與神舟十四號(hào)載人飛船B在同一軌道平面，已知衛(wèi)星A運(yùn)行方向與B相同，A的軌道半徑為B的2倍，某時(shí)刻A、B相距最近，則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?br/>答案　T
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有=，
又rA=2rB，解得TA=2T，
設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱瑒t有
t-t=2π，
解得t=T。
返回
總結(jié)提升
兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周
運(yùn)動(dòng)時(shí)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb。
若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，
相距最近，如圖所示。
內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻。
(1)兩衛(wèi)星相距最近的條件：ωa·Δt-ωb·Δt=2nπ(n=1，2，3…)
(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件：ωa·Δt-ωb·Δt=(2n+1)π(n=0，1，2，3…)
萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系
二
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規(guī)則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個(gè)人在地球不同位置受到的萬(wàn)有引力大小是否相等？
答案　根據(jù)萬(wàn)有引力定律F=G可知，同一個(gè)人在地球的不同位置，受到的萬(wàn)有引力大小相等。
(2)人在地球上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力來(lái)源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
人在位置A所需向心力為零，在位置C所需向心力指向地心，在位置B所需向心力垂直指向地軸。
答案　人在位置B、C隨地球自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力和支持力的合力提供人隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力； 根據(jù)F向 =
mω2R可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬(wàn)有引力有何關(guān)系？
答案　重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置時(shí)的重力與萬(wàn)有引力相等，當(dāng)人在位置B、C時(shí)，重力為萬(wàn)有引力的一個(gè)分力；人靜止在地球表面時(shí)，所受重力和支持力等大反向。
1.在地球上不同的緯度，萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系不同。(地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，引力常量為G)
提煉·總結(jié)
(1)如圖甲所示，在赤道上：重力和向心力在一條直線(xiàn)上，mg= 。
(2)如圖乙所示，在兩極上：F向 =0，mg= 。
(3)如圖丙所示，在其他位置，重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，mg
(選填“>”“<”或“=”)。越靠近南北兩極g 值越 。
2.由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力很小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即mg= 。
-mω2R
<
大
為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的小？
思考與討論
答案　地球表面重力加速度g=，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，地球上空h 高度，萬(wàn)有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度處的重力加速度g'=，則g'　(多選)(2023·邯鄲市高一期中)關(guān)于萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是
A.地面附近的物體所受到的重力就是萬(wàn)有引力
B.若地球自轉(zhuǎn)角速度變大，則赤道上物體所受重力變小
C.物體所受重力方向總是與萬(wàn)有引力方向相同
D.在地球上，萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和
例4
√
√
地面附近的物體所受到的重力是由于萬(wàn)有引力而產(chǎn)生的，它只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，故重力并不是萬(wàn)有引力，A錯(cuò)誤；
若地球自轉(zhuǎn)角速度變大，由-mg=mω2R可知，赤道上物體所受重力變小，B正確；
萬(wàn)有引力的方向指向地心，而重力的方向豎直向下，兩個(gè)方向不同，只有在南北兩極和赤道上，方向才一致，C錯(cuò)誤；
在地球上，萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和，D正確。
　(2024·銅川市高一期中)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球的半徑為R，則地球的自轉(zhuǎn)周期為
A.2π B.2π
C.2π D.2π
例5
√
地球表面的重力加速度在兩極處的大小為g0，地球半徑為R，則G
=mg0，地球表面的重力加速度在赤道處的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期
為T(mén)，則G-mg=mR()2，聯(lián)立解得T=2π，故選B。
返回
專(zhuān)題強(qiáng)化練
三
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C AD D BC C A C D
題號(hào) 9 10 11
答案 ACD (1)3g　(2)1.09年 C
對(duì)一對(duì)
答案
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1.(2023·江蘇卷)設(shè)想將來(lái)發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是
A.質(zhì)量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的萬(wàn)有引力大小
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基礎(chǔ)強(qiáng)化練
√
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根據(jù)G=ma，可得a=，可知能否在該軌道運(yùn)行與質(zhì)量無(wú)關(guān)，則該衛(wèi)星質(zhì)量與月球質(zhì)量不一定相同，則向心力大小及所受地球的萬(wàn)有引力大小不一定相同；因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小相同，故選C。
答案
2.(多選)(2024·衡陽(yáng)市高一期中)《夸父逐日》最早出自《山海經(jīng)·海外北經(jīng)》，反映了古代先民與自然災(zāi)害做斗爭(zhēng)的事實(shí)。若夸父“逐日”的足跡遍及全球，且未離開(kāi)地面，則對(duì)于夸父“逐日”的過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是
A.夸父所受的重力豎直向下
B.夸父在赤道時(shí)所受的重力最大
C.夸父所受的重力和萬(wàn)有引力始終相等
D.夸父在兩極時(shí)隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)所需的向心力最小
√
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地面所有物體所受地球的萬(wàn)有引力按其作用效果分解為重力和向心力，向心力使物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)，所以說(shuō)重力是地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，方向豎直向下。萬(wàn)有引力、重力和向心力三個(gè)力遵循力的平行四邊形定則，萬(wàn)有引力的方向指向地心，物體由赤道向兩極移動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力大小不變，向心力減小，重力增大，當(dāng)物體到達(dá)兩極時(shí)，所需向心力最小，為零，其所受的重力等于萬(wàn)有引力。故選A、D。
答案
3.(2022·廣東卷)“祝融號(hào)”火星車(chē)需要“休眠”以度過(guò)火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時(shí)長(zhǎng)約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說(shuō)法正確的是
A.火星公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度比地球的大
B.火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大
C.火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小
D.火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小
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√
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由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)G=mr，可得T=2π，
可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)G=m，可得v=，結(jié)合C選項(xiàng)解析，可知火星公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速
度小于地球公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)ω=可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)G=ma，可得a=，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加
速度，故D正確。
答案
4.(多選)(2023·南陽(yáng)市高一期末)人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌道半徑增大到2倍時(shí)，如果人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量不變，則該衛(wèi)星
A.周期變?yōu)樵瓉?lái)的
B.線(xiàn)速度大小變?yōu)樵瓉?lái)的
C.向心力大小變?yōu)樵瓉?lái)的
D.向心加速度大小變?yōu)樵瓉?lái)的
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根據(jù)G=mr，T=2π，周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)G=m，v=，故B正確；
根據(jù)F向=G，故C正確；
根據(jù)G=ma，a=，故D錯(cuò)誤。
答案
5.(2022·河北卷)2008年，我國(guó)天文學(xué)家利用國(guó)家天文臺(tái)興隆觀測(cè)基地的2.16米望遠(yuǎn)鏡，發(fā)現(xiàn)了一顆繞恒星HD173416運(yùn)動(dòng)的系外行星HD173416b，2019年，該恒星和行星被國(guó)際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測(cè)得到恒星羲和的質(zhì)量是太陽(yáng)質(zhì)量的2倍，若將望舒與地球的公轉(zhuǎn)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等。則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為
A.2 B.2
C. D.
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行星望舒繞恒星羲和公轉(zhuǎn)和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)都是由萬(wàn)有引力提供向心
力，有G=m，解得公轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度大小為v=，其中中心天體
的質(zhì)量之比為2∶1，公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等，則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為，故選C。
答案
6.(2023·江蘇省蘇州中學(xué)高一期中)如圖所示，在某電影中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空電梯上升到某高度時(shí)，質(zhì)量為75 kg的人重力為480 N。已知地球半徑為6 371 km，不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面重力加速度g=10 m/s2，則此時(shí)太空電梯距離地面的高度約為
A.1 593 km B.3 584 km
C.7 964 km D.9 955 km
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不考慮地球自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力等于重力，設(shè)此時(shí)太空電梯處的重力加速
度為g'，則g'==6.4 m/s2，則有=mg'，=mg，聯(lián)立解得：h≈
1 593 km，故選A。
答案
7.(2024·重慶市高一期中)假設(shè)某星球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知該星球表面的重力加速度在兩極的大小為g1，在赤道的大小為g2，星球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G，則該星球的密度為
A. B.·
C.· D.·
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在兩極有G=mg1，在赤道有G-mg2=mR，星球的密度為ρ=，V=πR3，聯(lián)立可得ρ=·，故選C。
答案
8.(2023·連云港市期末)2022年11月1日，夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙成功對(duì)接天和核心艙前向端口，標(biāo)志中國(guó)空間站可以根據(jù)需要擴(kuò)展規(guī)模。若中國(guó)空間站離地面高度為h，地球半徑為R，地表重力加速度為g，引力常量為G，軌道可視為圓，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，下列說(shuō)法正確的是
A.中國(guó)空間站不受萬(wàn)有引力作用
B.根據(jù)題知條件，不能夠求出中國(guó)空間站繞地球飛行的周期
C.根據(jù)題知條件，可以求出地球的質(zhì)量為
D.根據(jù)題知條件，中國(guó)空間站的線(xiàn)速度的大小為
能力綜合練
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中國(guó)空間站繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，故A錯(cuò)誤；
設(shè)地球質(zhì)量為M，在地球表面，根據(jù)G=mg，可得地球的質(zhì)量M=，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得G=m'=m'(R+h)，解得中國(guó)空間站的線(xiàn)速度大小v=，中國(guó)空間站繞地球飛行的周期T=2π，故D正確，B錯(cuò)誤。
答案
9.(多選)(2023·銀川一中高一期中)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說(shuō)法正確的是
A.質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg0
B.質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小為mg
C.地球的半徑為
D.地球自轉(zhuǎn)的角速度為
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物體在兩極，萬(wàn)有引力等于重力，有=mg0，故A正確；
物體在地球赤道上，有G-mg=m()2R，又F萬(wàn)=G=mg0，解得R=，故B錯(cuò)誤，C正確；
由ω=，故D正確。
答案
10.(2024·南京市高一期末)如圖所示，當(dāng)木星在繞日公轉(zhuǎn)過(guò)程中運(yùn)行到日、地連線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，會(huì)形成“木星沖日”現(xiàn)象(木星和地球在太陽(yáng)同側(cè))。已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，公轉(zhuǎn)半徑為r，地表重力加速度為g，公轉(zhuǎn)周期為1年。假設(shè)木星質(zhì)量是300M，半徑是10R，公轉(zhuǎn)半徑是5r，不考慮木星和地球的自轉(zhuǎn)，不計(jì)木星和地球間的引力，≈2.4，求：
(1)木星表面的重力加速度為多大；
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行星對(duì)表面物體的萬(wàn)有引力等于物體在表面時(shí)受到的
重力，有
G=mg
解得g=
已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，而木星質(zhì)量是300M，半徑是10R，則木星表面的重力加速度為
g木=g=3g
答案
(2)木星沖日平均多少年出現(xiàn)一次。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案　1.09年
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有=
可得T木=5T地≈12年
設(shè)從木星沖日到下次木星沖日的時(shí)間間隔為t，則
-=1
解得t= 年≈1.09年。
答案
11.(2022·山東卷)“羲和號(hào)”是我國(guó)首顆太陽(yáng)探測(cè)科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星。如圖所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時(shí)刻，沿相同方向經(jīng)過(guò)地球表面A點(diǎn)正上方，恰好繞地球運(yùn)行n圈。已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，地球表面重力加速度為g，則“羲和號(hào)”衛(wèi)星軌道距地面高度為
A.(-R B.(
C.(-R D.(
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√
尖子生選練
答案
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地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律有
=mg，可得GM=gR2，
根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T(mén)'=，
根據(jù)牛頓第二定律，萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力，
則有
=m'(R+h)；
聯(lián)立以上式子解得h=-R，故選C。
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答案專(zhuān)題強(qiáng)化　天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算　萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握星體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的物理量與軌道半徑的關(guān)系(重難點(diǎn))。2.明確地球表面的萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系(難點(diǎn))。
一、天體運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算
1.一般衛(wèi)星(或行星)的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力與萬(wàn)有引力的關(guān)系可寫(xiě)為：
G=m　　　　=m=m　　　　=mr。
2.根據(jù)1中的關(guān)系式推導(dǎo)向心加速度大小an、線(xiàn)速度大小v、角速度ω、周期T與軌道半徑r的關(guān)系。
=
“一定四定”，越高越　　　(選填“快”或“慢”)。
3.忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)，mg=G，整理可得：GM=　　　　，當(dāng)GM未知時(shí)，可用　　　　替換后進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，此式被稱(chēng)為“黃金代換公式”。
有人根據(jù)公式v=ωr說(shuō)：人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大2倍，衛(wèi)星的速度也增大2倍。但由公式v=可知，軌道半徑增大時(shí)，人造地球衛(wèi)星的速度是減小的。應(yīng)當(dāng)怎樣正確理解這個(gè)問(wèn)題？
例1　如圖所示，是在同一平面不同軌道上的三顆質(zhì)量相同的人造地球衛(wèi)星，均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。關(guān)于各物理量的關(guān)系，下列說(shuō)法不正確的是(　　)
A.線(xiàn)速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
例2　(2020·浙江7月選考)火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖所示。若火星和地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的(　　)
A.軌道周長(zhǎng)之比為2∶3
B.線(xiàn)速度大小之比為∶
C.角速度大小之比為2∶3
D.向心加速度大小之比為9∶4
例3　2022年6月5日，我國(guó)成功發(fā)射神舟十四號(hào)載人飛船，3名航天員進(jìn)駐核心艙。假設(shè)神舟十四號(hào)在飛行的過(guò)程中繞地球沿圓軌道運(yùn)行，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，飛船繞地球運(yùn)行的周期為T(mén)。
(1)求飛船離地面的高度h；
(2)如圖所示，衛(wèi)星A與神舟十四號(hào)載人飛船B在同一軌道平面，已知衛(wèi)星A運(yùn)行方向與B相同，A的軌道半徑為B的2倍，某時(shí)刻A、B相距最近，則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?br/>兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb。
若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，相距最近，如圖所示。
內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻。
(1)兩衛(wèi)星相距最近的條件：ωa·Δt-ωb·Δt=2nπ(n=1，2，3…)
(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件：ωa·Δt-ωb·Δt=(2n+1)π(n=0，1，2，3…)
二、萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系
如圖所示，人分別站在地球(地球可視為規(guī)則的球體)的北極處(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一個(gè)人在地球不同位置受到的萬(wàn)有引力大小是否相等？
(2)人在地球上隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力來(lái)源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力與萬(wàn)有引力有何關(guān)系？
1.在地球上不同的緯度，萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系不同。(地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，引力常量為G)
(1)如圖甲所示，在赤道上：重力和向心力在一條直線(xiàn)上， mg=　　　　　　　　　　　　。
(2)如圖乙所示，在兩極上：F向 =0，mg=　　　　。
(3)如圖丙所示，在其他位置，重力是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力， mg　 (選填“>”“<”或“=”)。越靠近南北兩極g 值越　　。
2.由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力很小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即mg=　　　　。
為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的小？
例4　(多選)(2023·邯鄲市高一期中)關(guān)于萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.地面附近的物體所受到的重力就是萬(wàn)有引力
B.若地球自轉(zhuǎn)角速度變大，則赤道上物體所受重力變小
C.物體所受重力方向總是與萬(wàn)有引力方向相同
D.在地球上，萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和
例5　(2024·銅川市高一期中)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球的半徑為R，則地球的自轉(zhuǎn)周期為(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
答案精析
一、
1.an　ω2r
2.　　　　慢
3.gR2　gR2　
思考與討論
當(dāng)角速度ω不變時(shí)，根據(jù)公式v=ωr，軌道半徑增大2倍，速度v也增大2倍。但對(duì)于人造地球衛(wèi)星來(lái)講，當(dāng)軌道半徑增大時(shí)，角速度會(huì)改變。所以第一種說(shuō)法不正確；因公式v=中，當(dāng)軌道半徑r增大時(shí)，引力常量G和地球質(zhì)量都不變，因此人造地球衛(wèi)星的速度減小。
例1　B　[由題意可得=m=mr=mω2r=ma，則a=，v=，ω=，T=，由題圖可知rAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故選B。]
例2　C　[軌道周長(zhǎng)C=2πr，與半徑成正比，故軌道周長(zhǎng)之比為3∶2，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有=m，得v=，則==，故B錯(cuò)誤；由萬(wàn)有引力提供向心力有=mω2r，得ω=，則==，故C正確；由=ma，得a=，則==，故D錯(cuò)誤。]
例3　(1)-R　(2)T
解析　(1)飛船繞地球沿圓軌道運(yùn)行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有G=m(R+h)；
在地球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力近似等于重力有
G=m'g，
解得飛船離地面的高度為h=-R。
(2)根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有=，
又rA=2rB，解得TA=2T，
設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱瑒t有
t-t=2π，
解得t=T。
二、
(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律 F= G可知，同一個(gè)人在地球的不同位置，受到的萬(wàn)有引力大小相等。
(2)人在位置B、C隨地球自轉(zhuǎn)，萬(wàn)有引力和支持力的合力提供人隨地球轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力； 根據(jù)F向 =mω2R可知，同一人在位置B、C需要的向心力大小不同。人在位置A所需向心力為零，在位置C所需向心力指向地心，在位置B所需向心力垂直指向地軸。
(3)重力是由于地球吸引而受到的力。人在A位置時(shí)的重力與萬(wàn)有引力相等，當(dāng)人在位置B、C時(shí)，重力為萬(wàn)有引力的一個(gè)分力；人靜止在地球表面時(shí)，所受重力和支持力等大反向。
提煉·總結(jié)
1.(1)-mω2R　(2)　(3)<　大
2.　
思考與討論
地球表面重力加速度g=，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，地球上空h 高度，萬(wàn)有引力等于重力，即=mg'，所以h 高度處的重力加速度g'=，則g'例4　BD　[地面附近的物體所受到的重力是由于萬(wàn)有引力而產(chǎn)生的，它只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，故重力并不是萬(wàn)有引力，A錯(cuò)誤；
若地球自轉(zhuǎn)角速度變大，由-mg=mω2R可知，赤道上物體所受重力變小，B正確；
萬(wàn)有引力的方向指向地心，而重力的方向豎直向下，兩個(gè)方向不同，只有在南北兩極和赤道上，方向才一致，C錯(cuò)誤；
在地球上，萬(wàn)有引力等于重力與向心力的矢量和，D正確。]
例5　B　[地球表面的重力加速度在兩極處的大小為g0，地球半徑為R，則G=mg0，地球表面的重力加速度在赤道處的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，則G-mg=mR()2，聯(lián)立解得T=2π，故選B。]

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