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(共45張PPT)
DILIUZHANG
第六章
專題強化　水平面內(nèi)的圓周
　　　　　運動的臨界問題
1.知道水平面內(nèi)的圓周運動的幾種常見模型，并會分析它們的臨界條件(重點)。
2.掌握圓周運動臨界問題的分析方法(重難點)。
學習目標
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)。
1.水平面內(nèi)圓周運動常見的臨界問題：
(1)物體恰好(沒有)發(fā)生相對滑動，靜摩擦力達到　　　　。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為　　。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到　　　承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為　　。
最大值
0
最大
0
2.解題關鍵：
(1)在圓周運動問題中，當出現(xiàn)“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態(tài)的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
一、摩擦力的臨界問題
二、彈力的臨界問題
專題強化練
內(nèi)容索引
摩擦力的臨界問題
一
　(2023·廣州市高一期中)如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三個物體，質量分別為2m、m、m，離轉軸的距離分別為R、R、2R，與轉臺間的動摩擦因數(shù)相同。已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當轉臺旋轉時，下列說法中正確的是
A.若三個物體均未滑動，則B物體的向心加速度最大
B.若三個物體均未滑動，則B物體受的摩擦力最大
C.若轉速增加，則C物體最先滑動
D.若轉速增加，則A物體比B物體先滑動
例1
√
三個物體均未滑動時，角速度相同，根據(jù)a=ω2r可知，
半徑越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故
A錯誤；
物體做勻速圓周運動，由摩擦力提供向心力，故有FfA
=2mω2R，F(xiàn)fB=mω2R，F(xiàn)fC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B錯誤；
物體恰好不滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解
得ω=，因此C物體最先達到臨界值，最先滑動，A、B同時滑動，
故C正確，D錯誤。
　(2023·合肥市高一期末)如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物體，當物體到轉軸的距離為r時，連接物體和轉軸的細繩剛好被水平拉直(繩上張力為零)。物體和轉盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的μ倍，重力加速度為g。求：
(1)當轉盤的角速度ω1=時，細繩的拉力FT1的大小；
例2
答案　0
設轉動過程中物體與轉盤間恰好達到最大靜摩擦力時
轉動的角速度為ω0，此時FT0=0，則μmg=mr，解
得ω0=。
因為ω1=<ω0，所以物體所需向心力小于物體與轉盤間的最大靜摩
擦力，則物體與轉盤產(chǎn)生的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即FT1=0。
(2)當轉盤的角速度ω2=時，細繩的拉力FT2的大小。
答案　
因為ω2=>ω0，所以物體所需向心力大于物體與轉
盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力FT2，
由牛頓第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。
返回
二
彈力的臨界問題
　質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)
A.a繩的張力可能為零
B.a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C.當角速度ω>時，b繩中有彈力
D.若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發(fā)生變化
例3
√
小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平
方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分
力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A錯誤；
根據(jù)豎直方向上受力平衡得Fasin θ=mg，解得Fa=，可知a繩的張
力不變，故B錯誤；
當b繩拉力為零時，有=mlω2，解得ω=，可知當角速度ω>時，b繩中有彈力，故C正確；
由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的張力可能不變，故D錯誤。
　如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=60°，一條長度為L的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小球(可看成質點)，小球以角速度ω繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，重力加速度為g。求：
(1)小球靜止時所受拉力和支持力大小；
例4
答案　mg　mg
對小球受力分析可知
FT=mgcos θ=mg
FN=mgsin θ=mg
(2)小球剛要離開錐面時的角速度；
答案　
小球剛要離開錐面時FN=0，由重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
mgtan θ=mr
r=Lsin θ
解得ω0==
(3)小球以ω1=的角速度轉動時所受拉力和支持力的
大小。
答案　3mg　0
因為ω1=>ω0=
說明小球已離開錐面，F(xiàn)N1=0
設繩與豎直方向的夾角為α，如圖所示
則有FT1sin α=mLsin α，
解得FT1=3mg。
返回
專題強化練
三
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B D B C (1)　(2)μmg D
題號 7 8 9 10
答案 B AC (1)　(2) (1)　(2)π
對一對
答案
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1.(2023·南通市高一期末)一個杯子放在水平餐桌轉盤上隨轉盤做勻速圓周運動，角速度恒定，則
A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B.杯子受到的摩擦力方向始終指向轉盤中心
C.杯子離轉盤中心越近越容易做離心運動
D.若給杯子中加水，杯子更容易做離心運動
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基礎強化練
√
答案
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杯子受到重力、支持力和摩擦力三個力，向心力不是杯子的實際受力，故A錯誤；
杯子做勻速圓周運動，向心力由摩擦力提供，始終指向轉盤中心，故B正確；
杯子做勻速圓周運動Fn=Ff=mω2r，離轉盤中心越近，所需向心力越小，越不容易達到最大靜摩擦力，越不容易做離心運動，故C錯誤；
根據(jù)Ff=mω2r≤μmg可知，給杯子中加水，杯子不會更容易做離心運動，故D錯誤。
答案
2.某同學用硬塑料管和鐵質螺絲帽研究勻速圓周運動。如圖所示，該同學將螺絲帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持豎直并在水平面內(nèi)做半徑為r的勻速圓周運動。假設螺絲帽與塑料管間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列分析正確的是
A.若塑料管轉動速度增大，螺絲帽受到的摩擦力越大
B.當螺絲帽恰好不下滑時，手轉動塑料管的角速度ω=
C.若塑料管的轉動速度持續(xù)增大，螺絲帽最終會沿塑料管上滑
D.若塑料管的轉動速度持續(xù)增大，地面對人的支持力始終不變
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√
答案
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螺絲帽受到的摩擦力始終不變，等于重力，若塑料管轉動速
度增大，螺絲帽不會沿塑料管上滑，A、C錯誤；
對螺絲帽根據(jù)牛頓第二定律得FN=mω2r，根據(jù)平衡條件得μFN
=mg，解得ω=，B錯誤；
因系統(tǒng)無豎直方向加速度，無論轉速多大，地面對人的支持力等于系統(tǒng)總重力，D正確。
答案
3.(2024·綿陽市期中)在光滑水平面上，有一轉軸垂直于此平面，交點O的上方h處固定一細繩，繩的另一端連接一質量為m的小球B，繩長l>h，重力加速度為g，小球可隨轉軸轉動在光滑水平面上做勻速圓周運動，如圖所示，要使小球不離開水平面，轉軸角速度的最大值是
A. B.
C. D.
√
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答案
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小球不離開水平面的臨界條件是水平面對小球的支持力
為零，設此時細繩與轉軸的夾角為θ，有mgtan θ=mω2lsin θ，
有幾何關系有h=lcos θ，整理有ω=，故選B。
答案
4.如圖所示，水平圓盤上放置A、B兩物體(可看作質點)，質量分別為m和M，A放在圓盤中心軸處，且A、B用一根長為L的水平輕繩相連，輕繩剛好被拉直。兩物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g，現(xiàn)讓圓盤轉速從零開始逐漸增大，要使A、B與圓盤均不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉動的角速度不能超過
A. B.
C. D.
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√
答案
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設A、B與圓盤均恰好不發(fā)生相對滑動時繩子的拉
力為FT，則有FT+μMg=Mω2L，F(xiàn)T=μmg，聯(lián)立解得
ω=，即要使A、B與圓盤均不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉動的角速度不能超過，故選C。
答案
5.如圖為某游樂設施，水平轉盤中央有一根可供游客抓握
的繩子，質量為m的游客，到轉軸的距離為r，游客和轉盤
間的動摩擦因數(shù)為μ，設游客受到的最大靜摩擦力等于滑
動摩擦力，已知重力加速度為g。
(1)當游客不抓握繩子時，為保證游客不滑動，轉盤的角速度最大不能超過多少？
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答案　
答案
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當游客受到的摩擦力達到最大靜摩擦力時恰好不滑動
μmg=mr
得ω0=
答案
(2)當轉盤的角速度ω=時，游客抓住水平繩子可使自
己不滑動，則人拉繩的力至少是多大？
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答案　μmg
由題意有FT+μmg=mω2r
得FT=μmg
由牛頓第三定律得：FT'=FT=μmg。
答案
6.(2024·南充市高一期中)如圖，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO'的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g，若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度。下列說法正確的是
A.a、b所受的摩擦力大小始終相等
B.a一定比b先開始滑動
C.當ω=時，a所受摩擦力的大小為kmg
D.當ω=時，a所受摩擦力的大小為0.5kmg
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能力綜合練
√
答案
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a、b做圓周運動的角速度相等，相對靜止時，靠靜摩
擦力提供向心力，根據(jù)Ff=mω2r，a、b做圓周運動的
半徑不相等，可知靜摩擦力大小不等，故A錯誤；
根據(jù)kmg=mω2r，得發(fā)生相對滑動的臨界角速度ω=，由于b的轉動
半徑較大，則b發(fā)生相對滑動的臨界角速度較小，可知b一定比a先開始滑動，故B錯誤；
答案
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當ω=時，小于a的臨界角速度，可知a所受的
摩擦力未達到最大，則摩擦力大小Ff1=mω2l=kmg，
故C錯誤；
同理，當ω=時，a所受摩擦力的大小為Ff2=mω2l=0.5kmg，故D正確。
答案
7.(2023·揚州市高一期中)如圖所示，兩個用相同材料制成的靠摩擦傳動的輪P和Q水平放置，兩輪之間不打滑，兩輪半徑RP=60 cm，RQ=30 cm。當主動輪P勻速轉動時，在P輪邊緣上放置的小物塊恰能相對P輪靜止，若將小物塊放在Q輪上，欲使物塊相對Q輪也靜止，則物塊距Q輪轉軸的最大距離為
A.10 cm B.15 cm
C.20 cm D.30 cm
√
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答案
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相同材料制成的靠摩擦傳動的輪P和Q，則
邊緣線速度大小相等，則ωPRP=ωQRQ，解
得=，對于在P邊緣的物塊，最大靜摩
擦力提供向心力，即mRP=Ffmax，當在Q輪上恰要滑動時，設此時半徑為R，mR=Ffmax，解得R=15 cm。故選B。
答案
8.(多選)(2023·廣州市高一期中)如圖所示為一種圓錐筒狀轉筒，左右各系著一短一長的繩子掛著相同的小球，轉筒靜止時繩子平行圓錐面，當轉筒中心軸開始緩慢加速轉動，不計空氣阻力，則下列說法正確的是
A.角速度慢慢增大，繩長的球先離開圓錐筒
B.角速度達到一定值時兩球同時離開圓錐筒
C.兩球都離開圓錐筒后，它們的高度相同
D.兩球都離開圓錐筒時兩繩中的拉力大小相同
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√
√
答案
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設繩子與豎直方向的夾角為θ，小球剛好離開圓錐筒時，
圓錐筒對小球的支持力為0，有mgtan θ=mω2lsin θ，解得
ω=，繩子越長的球其角速度的臨界值越小，越容
易離開圓錐筒，故A正確，B錯誤；
兩小球都離開圓錐筒后，小球都只受重力與繩子的拉力，兩小球都隨圓錐筒一起轉動，有相同的角速度，小球的高度h=lcos θ，代入上式解得h=，故C正確；
答案
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由以上分析可知，繩長的小球先離開圓錐筒，繩短的小球離開圓錐筒時，兩繩與豎直方向的夾角不同，繩中拉力大小不同，故D錯誤。
答案
9.如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，物塊到轉軸的距離為r。一段繩的一端與物塊相連，另一端系在圓盤中心上方r處，繩恰好伸直，物塊和轉盤間的動摩擦因數(shù)為μ，設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g。
(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，
求ω1的值；
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答案　
答案
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當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張
力，靜摩擦力達到最大值，則此時物塊所需向心力
恰好完全由最大靜摩擦力提供，
則μmg=mr，解得：ω1=。
答案
(2)當水平轉盤以角速度ω2勻速轉動時，物塊恰好離開轉盤，求ω2的值。
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答案　
物塊恰好離開轉盤，則FN=0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，
mgtan θ=mr
tan θ=
聯(lián)立解得：ω2=。
答案
10.(2023·南通市高一期末)如圖所示，一質量為m的小球用長度均為L的兩輕繩a、b連接，繩a的另一端固定在豎直細桿的P點，繩b的另一端固定在桿上距P點為L的Q點。當桿繞其豎直中心軸勻速轉動時，將帶動小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動。不計空氣阻力，重力加速度
為g。
(1)當繩b剛好拉直(無彈力)時，求小球的線速度大小v；
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尖子生選練
答案　
答案
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圓周運動的半徑r=Lcos 30°
小球所受的合力提供向心力mgtan 60°=m
解得v=
答案
(2)若兩繩能承受的最大拉力均為4mg，求小球繞桿做圓周
運動的最小周期T。
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答案　π
豎直方向Fasin 30°=Fbsin 30°+mg
水平方向Facos 30°+Fbcos 30°=mr
當小球做圓周運動的周期減小時，a繩先達到最大拉力Fa=4mg
解得T=π。
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答案專題強化　水平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題
[學習目標]　1.知道水平面內(nèi)的圓周運動的幾種常見模型，并會分析它們的臨界條件(重點)。2.掌握圓周運動臨界問題的分析方法(重難點)。
物體做圓周運動時，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進而出現(xiàn)某些物理量或運動狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)。
1.水平面內(nèi)圓周運動常見的臨界問題：
(1)物體恰好(沒有)發(fā)生相對滑動，靜摩擦力達到　　　　。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為　　　　。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到　　　承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為　　。
2.解題關鍵：
(1)在圓周運動問題中，當出現(xiàn)“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態(tài)的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
一、摩擦力的臨界問題
例1　(2023·廣州市高一期中)如圖所示，水平轉臺上放著A、B、C三個物體，質量分別為2m、m、m，離轉軸的距離分別為R、R、2R，與轉臺間的動摩擦因數(shù)相同。已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當轉臺旋轉時，下列說法中正確的是(　　)
A.若三個物體均未滑動，則B物體的向心加速度最大
B.若三個物體均未滑動，則B物體受的摩擦力最大
C.若轉速增加，則C物體最先滑動
D.若轉速增加，則A物體比B物體先滑動
例2　(2023·合肥市高一期末)如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物體，當物體到轉軸的距離為r時，連接物體和轉軸的細繩剛好被水平拉直(繩上張力為零)。物體和轉盤間的最大靜摩擦力是其正壓力的μ倍，重力加速度為g。求：
(1)當轉盤的角速度ω1=時，細繩的拉力FT1的大小；
(2)當轉盤的角速度ω2=時，細繩的拉力FT2的大小。
二、彈力的臨界問題
例3　質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，若兩繩均伸直，繩b水平且長為l，繩a與水平方向成θ角。當輕桿繞豎直軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.a繩的張力可能為零
B.a繩的張力隨角速度ω的增大而增大
C.當角速度ω>時，b繩中有彈力
D.若b繩突然被剪斷，則a繩的張力一定發(fā)生變化
例4　如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=60°，一條長度為L的繩(質量不計)，一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小球(可看成質點)，小球以角速度ω繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，重力加速度為g。求：
(1)小球靜止時所受拉力和支持力大小；
(2)小球剛要離開錐面時的角速度；
(3)小球以ω1=的角速度轉動時所受拉力和支持力的大小。
答案精析
1.(1)最大值　(2)0　(3)最大　(4)0
例1　C　[三個物體均未滑動時，角速度相同，根據(jù)a=ω2r可知，半徑越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故A錯誤；物體做勻速圓周運動，由摩擦力提供向心力，故有FfA=2mω2R，F(xiàn)fB=mω2R，F(xiàn)fC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B錯誤；物體恰好不滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解得ω=，因此C物體最先達到臨界值，最先滑動，A、B同時滑動，故C正確，D錯誤。]
例2　(1)0　(2)
解析　設轉動過程中物體與轉盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉動的角速度為ω0，此時FT0=0，則μmg=mr，解得ω0=。
(1)因為ω1=<ω0，所以物體所需向心力小于物體與轉盤間的最大靜摩擦力，則物體與轉盤產(chǎn)生的摩擦力還未達到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即FT1=0。
(2)因為ω2=>ω0，所以物體所需向心力大于物體與轉盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力FT2，由牛頓第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。
例3　C　[小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A錯誤；根據(jù)豎直方向上受力平衡得Fasin θ=mg，解得Fa=，可知a繩的張力不變，故B錯誤；當b繩拉力為零時，有=mlω2，解得ω=，可知當角速度ω>時，b繩中有彈力，故C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的張力可能不變，故D錯誤。]
例4　(1)mg　mg　(2)　(3)3mg　0
解析　(1)對小球受力分析可知
FT=mgcos θ=mg
FN=mgsin θ=mg
(2)小球剛要離開錐面時FN=0，由重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
mgtan θ=mr
r=Lsin θ
解得ω0==
(3)因為ω1=>ω0=
說明小球已離開錐面，F(xiàn)N1=0
設繩與豎直方向的夾角為α，
如圖所示
則有FT1sin α=mLsin α，
解得FT1=3mg。

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