資源簡介

(共58張PPT)
DILIUZHANG
第六章
3　向心加速度
1.通過生活中的實例，理解向心加速度的概念。
2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關系，能夠運用向心加速度公式求解有關問題(重點)。
3.會應用動力學方法分析勻速圓周運動問題(難點)。
學習目標
一、對向心加速度的理解
二、向心加速度的大小
課時對點練
三、圓周運動的動力學問題分析
內容索引
對向心加速度的理解
一
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
答案　地球只受到太陽引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心。
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案　由于速度大小沒有發生變化，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？
答案　由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。
1.定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向　　　，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2.方向：始終指向　　　。
3.作用：改變速度的　　　，不改變速度的　　　。
4.說明：勻速圓周運動加速度的　　　時刻改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動，而是　　　　　　　　。
5.變速圓周運動：變速圓周運動的加速度　　　　　　；可分解為____
　　　　和　　　　　　分析。向心加速度改變速度　　　，切向加速度改變速度　　　。
梳理與總結
圓心
圓心
方向
大小
方向
變加速曲線運動
不指向圓心
向心
加速度
切向加速度
方向
大小
(1)物體做勻速圓周運動時，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的。
(　　)
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心。(　　)
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(　　)
×
×
×
√
返回
向心加速度的大小
二
根據牛頓第二定律和向心力表達式，試推導向心加速度的表達式。
答案　已知向心力表達式Fn=m=mω2r，根據牛頓第二定律Fn=man，得an==ω2r。
1.向心加速度公式
(1)an==　　　。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以寫成an=　　。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以寫成an=　　 = 。
2.向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度的方向都指向圓心。
梳理與總結
ω2r
ωv
r
4π2f2r
從公式an=看，向心加速度與圓周運動的半徑成反比；從公式an=ω2r看，向心加速度與半徑成正比。這兩種說法是否矛盾？為什么？
思考與討論
答案　不矛盾，在線速度一定的情況下，向心加速度與半徑成反比，在角速度一定的情況下，向心加速度與半徑成正比。
　 (2023·嘉興市高一期中)某同學在研究圓周運動時做擺臂動作，用手機內置的速度傳感器測定手的速度。該同學先用刻度尺測量手臂伸直時的長度(刻度尺的零刻度線與肩平齊)，如圖所示，然后他水平伸直手臂，手握手機，將手臂以肩為軸自然下擺。若當手臂擺到豎直
位置時，手機顯示的速度大小約為0.65 m/s，則此時手機的
向心加速度大小約為
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
例1
√
根據題意，由題圖可知，手機轉動的半徑約為0.65 m，
由公式an=可得，手臂擺到豎直位置時手機的向心加
速度大小約為an==0.65 m/s2，故選A。
　如圖所示，甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，甲、乙兩物體隨地球自轉的線速度大小分別為v1和v2，向心加速度大小分別為a1和a2，地球可視為均勻的球體，下列關系式正確的是
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
例2
√
甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，
軌道半徑關系為==
甲、乙兩物體隨地球一起自轉，角速度相同，由線速度
與角速度的關系知==
故A、B錯誤；由向心加速度a=ω2R知
==
故C錯誤，D正確。
返回
圓周運動的動力學問題分析
三
如圖所示，在長為L的細繩下端拴一個質量為m的小球，
細繩的上端固定，使小球在水平面內做勻速圓周運動，
細繩就沿圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。
(1)什么力提供了小球做勻速圓周運動的向心力？(忽略
空氣阻力)
答案　小球受重力和細繩的拉力作用，重力和拉力的合力提
供小球做勻速圓周運動的向心力(如圖所示)。
(2)當細繩與豎直方向成θ角時，小球運動的向心加速度
大小為多少？(重力加速度為g)
答案　根據牛頓第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。
　長為L的細線，下端拴一質量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，細線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細線上的拉力大小；
例3
答案　
小球受重力及細線的拉力的作用，如圖所示，
由平衡條件可知，豎直方向：
FTcos θ=mg，
故拉力FT=。
(2)小球運動的線速度的大小和角速度的大小。
答案　　
小球做勻速圓周運動的半徑r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ
=mgtan θ，又Fn=m，
故小球的線速度大小v=。
由Fn=mrω2
聯立解得ω=。
思考：從上面角速度大小的結果中我們可以看出做圓錐擺運動的小球的角速度ω與什么因素有關？
答案　與圓心到細線上端的高度有關。
　(2023·南京市高一期中)如圖所示，質量未知的A、B兩小球在內壁光滑的錐形容器內沿水平面做勻速圓周運動，錐形容器的中心軸線豎直，下列說法正確的是
A.A、B兩球受到容器壁的彈力大小相等
B.A、B兩球具有大小相同的向心加速度
C.A、B兩球的角速度大小相等
D.A球的線速度比B球的線速度小
例4
√
對小球受力分析，小球受到重力和支持力，它們的合力
提供向心力，設圓錐的半頂角為θ，則有FN=，A、B
兩球的質量未知，受到容器壁的彈力大小不一定相等，
故A錯誤；
根據牛頓第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=，由于A球的軌道半徑較大，所以A球的角速度較小，線速度
較大，A、B兩球具有大小相同的向心加速度，故B正確，C、D錯誤。
分析勻速圓周運動問題的基本步驟
1.明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2.確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
3.找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計算出沿半徑方向的合力F合。
4.利用牛頓第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
總結提升
拓展學習：用運動學方法分析勻速圓周運動向心加速度
1.向心加速度的方向
第一步，畫出物體經過A、B兩點
時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點，如圖乙
所示。
第三步，作出物體由A點到B點的
速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設由A到B的時間極短，
A到B的距離將非常小，作出此時
的Δv，如圖丁所示。
從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
2.向心加速度的大小
由圖丁可知，當Δt足夠小時，θ就足夠小，θ角所對的弦和
弧的長度就近似相等。
因此，θ=，由角速度定義知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt
根據加速度定義式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表達式為an=ω2r，an =。
返回
課時對點練
四
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D C D A
題號 9 10 11 12
答案 D BCD (1)40 N　(2) C
對一對
答案
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考點一　對向心加速度的理解
1.兩物體都在做勻速圓周運動，下列說法正確的是
A.它們的線速度大小相等時，半徑小的向心加速度大
B.它們的周期相等時，半徑小的向心加速度大
C.它們的角速度相等時，半徑小的向心加速度大
D.它們的轉速相等時，半徑小的向心加速度大
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基礎對點練
√
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根據a=可知線速度大小相等時，半徑小的向心加速度大，A正確；
根據a=r可知周期相等時，半徑大的向心加速度大，B錯誤；
根據a=ω2r可知角速度相等時，半徑小的向心加速度小，C錯誤；
根據a=4π2n2r可知轉速相等時，半徑小的向心加速度小，D錯誤。
答案
2.(2023·淮安市高一期中)A、B兩物體做勻速圓周運動時的向心加速度隨半徑變化的關系圖線如圖所示，其中曲線為反比例函數的一部分，則
A.B物體運動時，其線速度的大小不變
B.B物體運動時，其角速度不變
C.A物體運動時，其角速度不變
D.A物體運動時，其線速度隨半徑的增大而減小
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答案
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B圖線a與r成正比，則由a=ω2r可知，B物體運動的角速
度保持不變，故B正確，A錯誤；
A圖線a與r成反比，則由a=可知，A物體的線速度大
小不變，故C、D錯誤。
答案
3.光滑的水平面上固定著一個螺旋形光滑水平軌道，俯視如圖所示。一小球以一定速度沿軌道切線方向進入軌道，運動到螺旋形中央，下列關于該小球運動的說法正確的是
A.線速度增大，角速度不變
B.線速度不變，角速度減小
C.線速度減小，向心加速度增大
D.角速度增大，向心加速度增大
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答案
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水平軌道光滑，所以小球的線速度大小不變，但是
轉動半徑變小，根據ω=可知角速度增大，根據a=
可知向心加速度變大，故D正確，A、B、C錯誤。
答案
考點二　向心加速度的計算
4.(2021·全國甲卷)“旋轉紐扣”是一種傳統游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50 r/s，此時紐扣上距離中心1 cm處的點向心加速度大小約為
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
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答案
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根據勻速圓周運動的規律，
此時ω=2πn=100π rad/s，
向心加速度a=ω2r≈1 000 m/s2，故選C。
答案
5.(2024·北京市高一期中)一皮帶傳動裝置的示意圖如圖所示，右輪半徑為r，A是其邊緣上的一點，左輪半徑為2r，C點位于左輪邊緣上，B點在左輪上且到輪心的距離為r。傳動過程中皮帶不打滑。則
A.A、B兩點的角速度之比為1∶1
B.A、B兩點的角速度之比為1∶2
C.A、C兩點的向心加速度之比為1∶4
D.A、C兩點的向心加速度之比為2∶1
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答案
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由題圖可知，A、C有大小相同的線速度，則有vA=
vC，B、C有相同的角速度，則有ωB=ωC，又vA=ωAr，
vC=ωB·2r，聯立解得ωA∶ωB=2∶1，故A、B錯誤；
由題圖可知，A、C有大小相同的線速度，則向心加速度an=∝，因A、C兩點的半徑之比為1∶2，故A、C兩點的向心加速度之比為2∶1，故C錯誤，D正確。
答案
考點三　勻速圓周運動的動力學問題
6.如圖所示，質量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉動的圓筒的豎直內壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運動，則下列關系式正確的是
A.線速度vA=vB
B.角速度ωA>ωB
C.它們受到合力FA合>FB合
D.它們受到的摩擦力FfA>FfB
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√
答案
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A、B同軸運動，兩者角速度相等，選項B錯誤；
根據v=ωr可知，選項A錯誤；
由F合=mrω2可知，選項C正確；
在豎直方向，它們所受的靜摩擦力等于重力，由于二者質量相等，重力相等，所以它們受到的靜摩擦力相等，選項D錯誤。
答案
7.(2023·南京市高一期末)無人機在某次作業過程中在空中盤旋，可看成勻速圓周運動，已知無人機的質量為m，以恒定速率v在空中水平盤旋，如圖所示，圓心為O，其做勻速圓周運動的半徑為R，重力加速度為g，關于空氣對無人機的作用力方向和大小的說法正確的是
A.豎直向上，F=mg
B.豎直向上，F=m
C.斜向右上方，F=m
D.斜向右上方，F=m
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答案
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根據牛頓第二定律，無人機需要的向心力F向=，
無人機受重力、空氣的作用力，根據平行四邊形定則，則空氣對無人
機的作用力F==m，故選D。
答案
8.(2024·淄博市高一期中)質量為m的小物體沿著半徑為r的半球形金屬球殼滑到最低點時的速度大小為v，如圖所示，若物體與球殼之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則物體在最低點時
A.向心加速度為
B.向心力為m(g+)
C.對球殼的壓力為
D.受到的摩擦力為μmg
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能力綜合練
答案
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在最低點根據向心加速度的定義可知a=，故A正確；
根據牛頓第二定律可知向心力為F=ma=m，故B錯誤；
在最低點對物體受力分析FN-mg=m，解得球殼對物體的支持力為FN=m+mg，根據牛頓第三定律可知物體對球殼的壓力為m+mg，
故C錯誤；
物體所受滑動摩擦力為Ff=μFN=μ(m+mg)，故D錯誤。
答案
9.(2023·淮安市高一期中)有一種雜技表演叫“飛車走壁”。由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺形表演臺的側壁，做水平勻速圓周運動。圖中的圓表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。下列說法中正確的是
A.h越高，摩托車對側壁的壓力將越大
B.h越高，摩托車做圓周運動的向心力將越大
C.h越高，摩托車做圓周運動的周期將越小
D.h越高，摩托車做圓周運動的線速度將越大
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答案
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雜技演員以及摩托車所受的重力和支持力的合力提
供向心力，向心力F=mgtan θ，對側壁的壓力FN'=
FN=，其中θ是表演臺的側壁與地面的夾角，可
知向心力和對側壁的壓力均與h無關，故A、B錯誤；
向心力F=mr，由于F為定值，則T2與r成正比，當h越大時，r越大，
所以周期T也越大，故C錯誤；
向心力F=m，由于F為定值，則v2與r成正比，當h越大時，r越大，
所以線速度v也越大，故D正確。
答案
10.(多選)(2024·西安市高一期中)如圖所示，一根細線下端拴一個金屬小球P，細線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)。現使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動(圖中P'位置)，兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，Q、O之間的細線水平，則后一種情況與原來相比較，下列判斷正確的是
A.Q受到桌面的支持力變大
B.Q受到桌面的靜摩擦力變大
C.小球P運動的線速度變大
D.小球P運動的角速度變大
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√
√
答案
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Q受到桌面的支持力總等于Q的重力，則不變，故A
錯誤；
Q受到桌面的靜摩擦力等于細線的拉力，若細線與豎
直方向夾角為θ，
則F=，當θ變大時細線的拉力變大，則Q受到桌面的靜摩擦力變
大，故B正確；
設細線長度為l，則有mgtan θ=mω2r，r=lsin θ，解得ω2=，當小
球位置升高時，θ變大，則角速度變大，故D正確；
線速度為v=ωlsin θ，θ、ω變大，則線速度變大，C正確。
答案
11.(2023·無錫市江陰高級中學高一期末)如圖甲，一半徑為r=0.2 m的滾筒洗衣機內有一件質量為m=0.5 kg的衣服(示意圖如圖乙)，衣服貼著內壁跟著圓筒以角速度ω=20 rad/s繞中心軸做勻速圓周運動，重力加速度g=10 m/s2，若此時衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服對桶壁的壓力大小；
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答案　40 N
答案
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衣服所受彈力F=mω2r=40 N
由牛頓第三定律知，衣服對桶壁的壓力大小為F'=F=40 N
答案
(2)衣服與桶壁之間的動摩擦因數。
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答案　
衣服豎直方向受力平衡，Ff=mg=5 N
而Ff=μF
解得μ=。
答案
12.(2024·棗莊市高一期中)智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿(大小忽略不計)穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖所示，可視為質點的配重質量為0.5 kg，繩長為0.5 m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2 m，水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿
做水平勻速圓周運動，繩子與豎直方向夾角為θ，運
動過程中腰帶可看成不動，重力加速度g取10 m/s2，
sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，
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尖子生選練
答案
下列說法正確的是
A.若使用者覺得鍛煉不夠充分，決定增大轉速，腰
　帶受到的合力變大
B.當使用者掌握好鍛煉節奏后能夠使θ穩定在37°，
　此時配重的角速度為5 rad/s
C.使用者使用一段時間后成功減肥，再次使用時將腰帶調小，若仍保持
　轉速不變，則θ變小
D.當用力轉動使θ從37°增加到53°時，配重運動的周期變大
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√
答案
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運動過程中腰帶可看成不動，腰帶合力始終為
零，故A錯誤；
對配重根據牛頓第二定律有mgtan θ=mω2(Lsin θ
+r)，解得ω=，
當θ=37°，代入數據解得ω= rad/s，故B錯誤；
答案
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使用者使用一段時間后成功減肥，再次使用時
將腰帶調小，若仍保持轉速不變，即角速度不
變，對配重根據牛頓第二定律有mgtan θ=mω2
(Lsin θ+r)，可得ω==，由于
r變小，若θ不變，可得ω變大，不滿足角速度不變要求；若θ變大，可得ω變大，不滿足角速度不變要求；則為了滿足角速度不變，θ一定變小，故C正確；
答案
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根據B中結論，當θ=53°時，ω= rad/s，
根據T=，可知周期變小，故D錯誤。
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答案3　向心加速度
[學習目標]　1.通過生活中的實例，理解向心加速度的概念。2.掌握向心加速度和線速度、角速度的關系，能夠運用向心加速度公式求解有關問題(重點)。3.會應用動力學方法分析勻速圓周運動問題(難點)。
一、對向心加速度的理解
如圖甲所示，地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙所示，光滑水平桌面上一個小球在細線的牽引下繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
(1)分析地球和小球的受力情況，說明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？
1.定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向　　　　　，這個加速度叫作向心加速度。常用an表示。
2.方向：始終指向　　　　　。
3.作用：改變速度的　　　　，不改變速度的　　　　　。
4.說明：勻速圓周運動加速度的　　　　　時刻改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動，而是　　　　　　　　　　。
5.變速圓周運動：變速圓周運動的加速度　　　　　　　　　　；可分解為　　　　　　　　　　和
　　　　　　　　　　分析。向心加速度改變速度　　　　　，切向加速度改變速度　　　　　。
(1)物體做勻速圓周運動時，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的。(　　)
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心。(　　)
(4)向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(　　)
二、向心加速度的大小
根據牛頓第二定律和向心力表達式，試推導向心加速度的表達式。
1.向心加速度公式
(1)an==　　　　　。
(2)由于v=ωr，所以向心加速度也可以寫成an=　　　　　。
(3)由于ω==2πf，所以向心加速度也可以寫成an=　　　　　=　　　　　。
2.向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v為某位置的線速度，且無論物體做的是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，其向心加速度的方向都指向圓心。
從公式an=看，向心加速度與圓周運動的半徑成反比；從公式an=ω2r看，向心加速度與半徑成正比。這兩種說法是否矛盾？為什么？
例1　(2023·嘉興市高一期中)某同學在研究圓周運動時做擺臂動作，用手機內置的速度傳感器測定手的速度。該同學先用刻度尺測量手臂伸直時的長度(刻度尺的零刻度線與肩平齊)，如圖所示，然后他水平伸直手臂，手握手機，將手臂以肩為軸自然下擺。若當手臂擺到豎直位置時，手機顯示的速度大小約為0.65 m/s，則此時手機的向心加速度大小約為(　　)
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
例2　如圖所示，甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，甲、乙兩物體隨地球自轉的線速度大小分別為v1和v2，向心加速度大小分別為a1和a2，地球可視為均勻的球體，下列關系式正確的是(　　)
A.v1∶v2=1∶1 B.v1∶v2=1∶
C.a1∶a2=2∶1 D.a1∶a2=∶1
三、圓周運動的動力學問題分析
如圖所示，在長為L的細繩下端拴一個質量為m的小球，細繩的上端固定，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。
(1)什么力提供了小球做勻速圓周運動的向心力？(忽略空氣阻力)
(2)當細繩與豎直方向成θ角時，小球運動的向心加速度大小為多少？(重力加速度為g)
例3　長為L的細線，下端拴一質量為m的小球，上端固定，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，細線與豎直方向成θ角時，求：(重力加速度為g)
(1)細線上的拉力大小；
(2)小球運動的線速度的大小和角速度的大小。
思考：從上面角速度大小的結果中我們可以看出做圓錐擺運動的小球的角速度ω與什么因素有關？
例4　(2023·南京市高一期中)如圖所示，質量未知的A、B兩小球在內壁光滑的錐形容器內沿水平面做勻速圓周運動，錐形容器的中心軸線豎直，下列說法正確的是(　　)
A.A、B兩球受到容器壁的彈力大小相等
B.A、B兩球具有大小相同的向心加速度
C.A、B兩球的角速度大小相等
D.A球的線速度比B球的線速度小
分析勻速圓周運動問題的基本步驟
1.明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
2.確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
3.找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計算出沿半徑方向的合力F合。
4.利用牛頓第二定律列方程F合=Fn=mω2r=m=mr。
5.解方程求出待求物理量。
拓展學習：用運動學方法分析勻速圓周運動向心加速度
1.向心加速度的方向
第一步，畫出物體經過 A、B兩點時的速度方向，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點，如圖乙所示。
第三步，作出物體由A點到B點的速度變化量Δv，如圖丙所示。
第四步，假設由A到B的時間極短， A到B的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
2.向心加速度的大小
由圖丁可知，當Δt足夠小時，θ就足夠小，θ角所對的弦和弧的長度就近似相等。
因此，θ=，由角速度定義知：θ=ωΔt，可得： Δv=vωΔt
根據加速度定義式a=，由v=ωr得向心加速度大小的表達式為an=ω2r，an =。
答案精析
一、
(1)地球只受到太陽引力作用，方向指向圓心，加速度方向指向圓心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圓心，故加速度的方向指向圓心。
(2)由于速度大小沒有發生變化，故加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度總是沿半徑指向圓心，故加速度方向是變化的。勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。
梳理與總結
1.圓心　2.圓心　3.方向　大小　
4.方向　變加速曲線運動　
5.不指向圓心　向心加速度　切向加速度　方向　大小
易錯辨析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、
已知向心力表達式Fn=m=mω2r，根據牛頓第二定律Fn=man，得an==ω2r。
梳理與總結
1.(1)ω2r　(2)ωv　(3)r　4π2f2r
思考與討論
不矛盾，在線速度一定的情況下，向心加速度與半徑成反比，在角速度一定的情況下，向心加速度與半徑成正比。
例1　A　[根據題意，由題圖可知，手機轉動的半徑約為0.65 m，由公式an=可得，手臂擺到豎直位置時手機的向心加速度大小約為an==0.65 m/s2，故選A。]
例2　D　[甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，軌道半徑關系為==
甲、乙兩物體隨地球一起自轉，角速度相同，由線速度與角速度的關系知==
故A、B錯誤；由向心加速度a=ω2R知
==
故C錯誤，D正確。]
三、
(1)小球受重力和細繩的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做勻速圓周運動的向心力(如圖所示)。
(2)根據牛頓第二定律：mgtan θ=man得an=gtan θ。
例3　(1)　(2)　
解析　(1)小球受重力及細線的拉力的作用，如圖所示，
由平衡條件可知，豎直方向：
FTcos θ=mg，
故拉力FT=。
(2)小球做勻速圓周運動的半徑r=Lsin θ，向心力Fn=FTsin θ=mgtan θ，又Fn=m，
故小球的線速度大小v=。
由Fn=mrω2
聯立解得ω=。
思考：與圓心到細線上端的高度有關。
例4　B　[對小球受力分析，小球受到重力和支持力，它們的合力提供向心力，設圓錐的半頂角為θ，則有FN=，A、B兩球的質量未知，受到容器壁的彈力大小不一定相等，故A錯誤；根據牛頓第二定律，有=ma=m=mrω2，解得a=，ω=，v=，由于A球的軌道半徑較大，所以A球的角速度較小，線速度較大，A、B兩球具有大小相同的向心加速度，故B正確，C、D錯誤。]

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