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DILIUZHANG
第六章
第2課時　向心力的分析和向
　 　　　心力公式的應用
1.會分析向心力的來源，掌握向心力的表達式，并能進行計算(重難點)。
2.知道變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點(重點)。
學習目標
一、向心力的來源分析和計算
二、變速圓周運動和一般的曲線運動
課時對點練
內容索引
向心力的來源分析和計算
一
如圖所示，一個圓盤在水平面內勻速轉動，角速度是
4 rad/s。盤面上距圓盤中心0.10 m的位置有一個質量為0.10 kg的小物體在隨圓盤一起做勻速圓周運動。
(1)求小物體所受向心力的大小；
答案　物體做圓周運動所受向心力的大小為Fn=mω2r=0.16 N
(2)物體需要的向心力由什么力提供？物體所受摩擦力沿什么方向？
答案　物體隨圓盤轉動時受重力、支持力、靜摩擦力三個力作用，其中靜摩擦力指向圓心提供向心力。
(3)當轉動的角速度變大后，物體仍與圓盤保持相對靜止，物體受到的摩擦力大小怎樣變化？
答案　當物體轉動的角速度變大后，由Fn=mω2r可知，需要的向心力增大，靜摩擦力提供向心力，所以靜摩擦力也增大。
1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。
2.向心力的來源分析
在勻速圓周運動中，由　　　提供向心力。在非勻速圓周運動中，物體合力不是始終指向圓心，合力指向　　　的分力提供向心力。
提煉·總結
合力
圓心
3.幾種常見的圓周運動向心力的來源
實例分析 圖例 向心力來源
用細繩拴住小球在光滑的水平面內做勻速圓周運動 (俯視圖) 　　　　　　　提供向心力
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且物體相對于轉盤靜止 　　　　　提供向心力
繩的拉力(彈力)
靜摩擦力
實例分析 圖例 向心力來源
在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動且未發生滑動 　　　提供向心力
用細繩拴住小球在豎直平面內做圓周運動，當小球經過最低點時 　　　　　的合力提供向心力
彈力
拉力和重力
實例分析 圖例 向心力來源
飛機水平轉彎做勻速圓周運動 _________________________
的合力提供向心力
空氣對飛機的作用力和飛機
的重力
　 (2023·鹽城市高一期末)如圖所示，用長為L的細線拴住一個質量為m的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關于小球的受力情況，下列說法正確的是
A.小球受到重力、細線的拉力和向心力三個力
B.向心力由細線對小球的拉力提供
C.向心力的大小等于細線對小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例1
√
對小球受力分析可知，小球受到重力、細線的拉
力兩個力，這兩個力的合力提供向心力，也可把
拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如圖所
示，A、B錯誤，C正確；
向心力的大小Fn=mgtan θ，D錯誤。
　如圖所示，在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未滑動，當圓筒的角速度增大以后，下列說法正確的是
A.物體所受彈力增大，摩擦力也增大
B.物體所受彈力和摩擦力都減小
C.物體所受彈力不變，摩擦力也不變
D.物體所受彈力增大，摩擦力不變
例2
√
物體做勻速圓周運動，合力指向圓心，對物體受力分析，受重力、豎直向上的靜摩擦力、指向圓心的彈力，如圖，重力G與靜摩擦力Ff平衡，即G=Ff，與物體的角速度無關，因為彈力FN提供向心力，即FN=mrω2，所以當圓筒的角速度ω增大以后，需要的向心力變大，則物體所受彈力FN增大，故選D。
　一個質量為0.1 kg的小球，用一長0.45 m的細繩拴著，繩的另一端系在O點，讓小球從如圖所示位置(繩水平伸直)從靜止開始釋放，運動到最低點時小球的速度為3 m/s。(小球視為質點，繩不可伸長，不計空氣阻力，取g=10 m/s2)
(1)分析小球運動到最低點時向心力的來源，畫出小球受力示
意圖；
例3
答案　見解析　
由題意可知，當小球運動到最低點時，小球受重力和繩的拉力2個力的作用，繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力，小球受力示意圖如圖所示；
(2)求小球到達最低點時繩對小球的拉力的大小。
答案　3 N
由(1)可知，小球到達最低點時，繩的拉力和小球的重力的合力提供
向心力，FT-mg=m
則FT=mg+m=3 N。
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變速圓周運動和一般的曲線運動
二
蕩秋千是小朋友很喜歡的游戲，當秋千由上向下蕩時：
(1)小朋友做的是勻速圓周運動還是變速圓周運動？
答案　小朋友做的是變速圓周運動。
(2)繩子拉力與小朋友的重力的合力指向懸掛點嗎？運動過程中，公式
Fn=m=mω2r還適用嗎？
答案　小朋友蕩到最低點時，繩子拉力與小朋友的重力的合力指向懸掛
點，在其他位置，合力不指向懸掛點。運動過程中，公式Fn=m=mω2r
仍然適用于向心力的求解。
1.變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動中合力　　　　圓心，合力F產生改變線速度大小和方向兩個作用效果。
梳理與總結
(2)某一點的向心力仍可用向心力公式：Fn==mω2r求解。
不指向
方向
大小
增大
減小
2.一般曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動。
(2)處理方法：可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作　　　　　的一部分，這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用　　　　　的分析方法來處理。
①合力方向與速度方向夾角為銳角時，
力為　　力，速率越來越　　，如圖
甲所示。
②合力方向與速度方向夾角為鈍角時，
力為　　力，速率越來越　　，如圖乙所示。
圓周運動
圓周運動
動
大
阻
小
　如圖所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直。當轉盤逆時針轉動時，下列說法正確的是
A.當轉盤勻速轉動時，P所受摩擦力方向為c
B.當轉盤勻速轉動時，P不受轉盤的摩擦力
C.當轉盤加速轉動時，P所受摩擦力方向可能為a
D.當轉盤減速轉動時，P所受摩擦力方向可能為b
例4
√
轉盤勻速轉動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩
擦力提供其做勻速圓周運動的向心力，故摩擦力方向
為c，A項正確，B項錯誤；
當轉盤加速轉動時，物塊P做加速圓周運動，不僅有沿
c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；
當轉盤減速轉動時，物塊P做減速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤。
　(多選)(2024·南充市高一期中)如圖，質量為m的熙熙小朋友(可視為質點)坐在秋千上自由擺動，擺動到最高點時懸線與豎直方向的夾角為30°，重力加速度大小為g，下列說法正確的是
A.熙熙在最高點時的速度為零，所受合力為零
B.熙熙在最高點時，秋千對她的作用力為mg
C.熙熙在最低點時，秋千對她的作用力為mg
D.熙熙在最低點時的向心力最大
例5
√
√
在最高點時，速度為零，受力分析如圖，可知F合=mgsin 30°
=mg，F1=mgcos 30°=mg，故A錯誤，B正確；
在最低點時，由牛頓第二定律可得Fn=F-mg=m，秋千對她
的作用力為F=mg+m>mg，在最低點時，速度最大，向心
力最大，故C錯誤，D正確。
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課時對點練
三
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A A C C C
題號 9 10 11 12
答案 C D (1)4 rad/s　(2)8 N B
對一對
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
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11
12
考點一　向心力的來源分析及計算
1.下列關于向心力的說法中正確的是
A.做勻速圓周運動的物體除了受到重力、彈力等力外還受到向心力的作用
B.向心力和重力、彈力一樣，是性質力
C.做勻速圓周運動的物體的向心力即為其所受的合力
D.做圓周運動的物體所受各力的合力一定充當向心力
1
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基礎對點練
√
答案
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12
向心力是一個效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力，或是某個力的分力，選項A、B錯誤；
做勻速圓周運動的物體所受合力指向圓心，完全提供向心力，做非勻速圓周運動的物體由合力指向圓心的分力提供向心力，選項C正確，D錯誤。
答案
2.(2024·臨汾市高一期中)在光滑水平面上，用長為l的水平細線拴一質量為m的小球，以角速度ω做勻速圓周運動，下列說法正確的是
A.l不變，ω減半且m加倍時，細線的拉力大小不變
B.ω不變，l減半且m加倍時，細線的拉力大小不變
C.m不變，ω減半且l加倍時，細線的拉力大小不變
D.m不變，l減半且ω加倍時，細線的拉力大小不變
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√
答案
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12
根據F=mω2l可知：l不變，ω減半且m加倍時，細線的拉力大小變為原來的一半，選項A錯誤；
ω不變，l減半且m加倍時，細線的拉力大小不變，選項B正確；
m不變，ω減半且l加倍時，細線的拉力大小變為原來的一半，選項C錯誤；
m不變，l減半且ω加倍時，細線的拉力大小變為原來的2倍，選項D錯誤。
答案
3.(2023·宿遷市高一期末)如圖所示，一個內壁光滑圓錐筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動，小球A緊貼內壁在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動，下列說法中正確的是
A.小球受到重力、彈力和向心力
B.小球受到的彈力大于小球的重力
C.小球受到的合力等于零
D.小球受到的彈力小于小球的向心力
1
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12
√
答案
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6
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12
小球受重力、彈力兩力的作用，受力如圖所示，兩力的合力提供小球做勻速圓周運動的向心力，由圖可知，小球受到的彈力大于小球的重力，小球受到的彈力大于小球的向心力。故選B。
答案
4.質點做半徑為R的勻速圓周運動，其向心力的大小為F，當它的半徑不變，角速度增大到原來的2倍時，其向心力的大小比原來增大了15 N，則原來的向心力大小F為
A.5 N B.10 N
C.20 N D.25 N
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√
質點做勻速圓周運動，有F=mRω2，角速度增大到原來的2倍時，有F+15 N=mR(2ω)2，聯立解得F=5 N，故選A。
答案
5.(2024·北京市西城區高一期中)如圖所示，把一個長為20 cm，勁度系數為360 N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質量為0.50 kg的小球，當小球以12 rad/s的角速度在光滑水平面上做勻速圓周運動時，彈簧的伸長量應為
A.5.0 cm B.5.2 cm
C.5.3 cm D.5.4 cm
1
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12
√
設彈簧的伸長量為Δx，由牛頓第二定律得kΔx=mω2(l+Δx)，將k=360 N/m、m=0.50 kg、ω=12 rad/s、l=0.2 m代入上式得Δx=5.0 cm，故選A。
答案
考點二　變速圓周運動和一般曲線運動
6.(2023·溫州市高一期中)如圖所示，輕質且不可伸長的細繩一端系一質量為m的小球，另一端固定在天花板上的O點。則小球在豎直平面內擺動的過程中，以下說法正確的是
A.小球在擺動過程中受到的合力都指向圓心O點
B.在最高點A、B，因小球的速度為零，所以小球受到的
　合力為零
C.小球在最低點C時所受的合力，即為向心力
D.小球在擺動過程中繩子的拉力使其線速度大小發生變化
1
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12
√
答案
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12
小球擺動過程中，合力沿繩子方向的分力提供向心力，
指向圓心O點，A錯誤；
在最高點A、B，小球的速度為零，小球所受合力的大
小不為零，方向與軌跡的方向相切，B錯誤；
小球在最低點受重力和拉力，兩個力的合力豎直向上，指向圓心，合力等于向心力，C正確；
小球在擺動的過程中，由于繩子的拉力與速度方向垂直，拉力不會使小球速率發生變化，D錯誤。
答案
7.一輛汽車在水平公路上轉彎，沿曲線由M向N行駛，速度逐漸減小。圖A、B、C、D中分別畫出了汽車轉彎時所受合力F的四種方向，你認為可能正確的是
1
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12
√
答案
1
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5
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11
12
汽車在行駛中速度越來越小，所以汽車在軌跡的切線方向做減速運動，切線方向受力如圖中的Ft所示。同時汽車做曲線運動，必有向心力，向心力如圖中的Fn所示。汽車所受合力F為Ft、Fn的合力，故選C。
答案
8.(2024·深圳市高一期中)長為L的懸線固定在O點，在O點正下方處有一釘子P，把懸線另一端的小球拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放，小球到懸點正下方時懸線碰到釘子，則小球的
A.線速度突然增大
B.角速度突然減小
C.向心力突然增大
D.懸線拉力突然減小
1
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能力綜合練
√
答案
1
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12
碰到釘子瞬間，線速度不突變，所以線速度不變，故
A錯誤；
碰到釘子瞬間，圓周運動半徑減小，根據v=ωr，可知
角速度突然增大，故B錯誤；
碰到釘子瞬間，圓周運動半徑減小，根據Fn=m，可知向心力增大，
故C正確；
根據牛頓第二定律FT-mg=Fn，小球重力不變，向心力增大，懸線拉力增大，故D錯誤。
答案
9.(2023·全國甲卷)一質點做勻速圓周運動，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運動周期與軌道半徑成反比，則n等于
A.1 B.2
C.3 D.4
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12
√
質點做勻速圓周運動，根據題意設周期T=，質點所受合外力等于質點做圓周運動的向心力，根據F合=Fn=mr，聯立可得Fn=r3，其中為常數，r的指數為3，故題中n=3，故選C。
答案
10.(2023·鹽城市高一期末)如圖所示，在粗糙水平木板上放一個物塊，使水平木板和物塊一起在豎直平面內做完整勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動過程中木板始終保持水平，物塊相對木板始終靜止，則
A.物塊始終受到三個力作用
B.在a、b兩點，水平木板對物塊的作用力指向圓心
C.物塊全程所受的摩擦力大小不變
D.物塊全程向心力大小不變
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12
√
答案
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12
物塊在最高點和最低點僅受到重力和支持力的作用，
沒有摩擦力，而在a、b兩點，摩擦力最大，A、C
錯誤；
在a、b兩點，水平木板對物塊的作用力的豎直分量
與物塊的重力平衡，水平分量提供物塊做圓周運動的向心力，B錯誤；
由于物塊做勻速圓周運動，因此向心力大小不變，D正確。
答案
11.如圖所示，在光滑水平面上，質量m=1 kg的小球，
以半徑r=0.5 m繞O點做勻速圓周運動，小球做勻速圓
周運動的線速度大小v=2 m/s，求：
(1)小球做勻速圓周運動的角速度大小ω；
1
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12
答案　4 rad/s
小球做勻速圓周運動的角速度大小
ω== rad/s=4 rad/s
答案
(2)小球的向心力大小F。
1
2
3
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7
8
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11
12
答案　8 N
小球的向心力大小
F=m=1× N=8 N。
答案
12.(2024·浙江省高一期中)如圖所示，長L的輕桿兩端分別固定著可以視為質點的小球A、B，放置在光滑水平桌面上，桿中O點處有一豎直方向的固定轉動軸，小球A、B的質量分別為2m、m。AO∶BO為2∶1，當輕桿以角速度ω繞軸在水平桌面上轉動時，求轉軸受桿拉力的大小為
A.0.5mω2L B.mω2L
C.1.5mω2L D.2mω2L
1
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11
12
√
尖子生選練
答案
1
2
3
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8
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11
12
由向心力公式，對A球可得FA=2mω2×L=mω2L，
對B球可得FB=mω2×L=mω2L，可知轉軸受桿拉
力的大小為F=FA-FB=mω2L-mω2L=mω2L，故選B。
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答案第2課時　向心力的分析和向心力公式的應用
[學習目標]　1.會分析向心力的來源，掌握向心力的表達式，并能進行計算(重難點)。2.知道變速圓周運動和一般曲線運動的受力特點(重點)。
一、向心力的來源分析和計算
如圖所示，一個圓盤在水平面內勻速轉動，角速度是4 rad/s。盤面上距圓盤中心0.10 m的位置有一個質量為0.10 kg的小物體在隨圓盤一起做勻速圓周運動。
(1)求小物體所受向心力的大小；
(2)物體需要的向心力由什么力提供？物體所受摩擦力沿什么方向？
(3)當轉動的角速度變大后，物體仍與圓盤保持相對靜止，物體受到的摩擦力大小怎樣變化？
1.向心力的大小：Fn=mω2r=m=mr。
2.向心力的來源分析
在勻速圓周運動中，由　　　　　提供向心力。在非勻速圓周運動中，物體合力不是始終指向圓心，合力指向　　　　　的分力提供向心力。
3.幾種常見的圓周運動向心力的來源
實例分析 圖例 向心力來源
用細繩拴住小球在光滑的水平面內做勻速圓周運動 (俯視圖) 提供向心力
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且物體相對于轉盤靜止 提供向心力
在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動且未發生滑動 提供向心力
用細繩拴住小球在豎直平面內做圓周運動，當小球經過最低點時 　　　　　　　　　　　　的合力提供向心力
飛機水平轉彎做勻速圓周運動 　　　　　　　　　　　　的合力提供向心力
例1　(2023·鹽城市高一期末)如圖所示，用長為L的細線拴住一個質量為m的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，關于小球的受力情況，下列說法正確的是(　　)
A.小球受到重力、細線的拉力和向心力三個力
B.向心力由細線對小球的拉力提供
C.向心力的大小等于細線對小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于
例2　如圖所示，在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未滑動，當圓筒的角速度增大以后，下列說法正確的是(　　)
A.物體所受彈力增大，摩擦力也增大
B.物體所受彈力和摩擦力都減小
C.物體所受彈力不變，摩擦力也不變
D.物體所受彈力增大，摩擦力不變
例3　一個質量為0.1 kg的小球，用一長0.45 m的細繩拴著，繩的另一端系在O點，讓小球從如圖所示位置(繩水平伸直)從靜止開始釋放，運動到最低點時小球的速度為3 m/s。(小球視為質點，繩不可伸長，不計空氣阻力，取g=10 m/s2)
(1)分析小球運動到最低點時向心力的來源，畫出小球受力示意圖；
(2)求小球到達最低點時繩對小球的拉力的大小。
二、變速圓周運動和一般的曲線運動
蕩秋千是小朋友很喜歡的游戲，當秋千由上向下蕩時：
(1)小朋友做的是勻速圓周運動還是變速圓周運動？
(2)繩子拉力與小朋友的重力的合力指向懸掛點嗎？運動過程中，公式Fn=m=mω2r還適用嗎？
1.變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動中合力　　　圓心，合力F產生改變線速度大小和方向兩個作用效果。
(2)某一點的向心力仍可用向心力公式：Fn==mω2r求解。
2.一般曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動。
(2)處理方法：可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作　　　　　　的一部分，這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用　　　　　　的分析方法來處理。
①合力方向與速度方向夾角為銳角時，力為　　　力，速率越來越　　　，如圖甲所示。
②合力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為　　　力，速率越來越　　　，如圖乙所示。
例4　如圖所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直。當轉盤逆時針轉動時，下列說法正確的是(　　)
A.當轉盤勻速轉動時，P所受摩擦力方向為c
B.當轉盤勻速轉動時，P不受轉盤的摩擦力
C.當轉盤加速轉動時，P所受摩擦力方向可能為a
D.當轉盤減速轉動時，P所受摩擦力方向可能為b
例5　(多選)(2024·南充市高一期中)如圖，質量為m的熙熙小朋友(可視為質點)坐在秋千上自由擺動，擺動到最高點時懸線與豎直方向的夾角為30°，重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A.熙熙在最高點時的速度為零，所受合力為零
B.熙熙在最高點時，秋千對她的作用力為mg
C.熙熙在最低點時，秋千對她的作用力為mg
D.熙熙在最低點時的向心力最大
答案精析
一、
(1)物體做圓周運動所受向心力的大小為Fn=mω2r=0.16 N
(2)物體隨圓盤轉動時受重力、支持力、靜摩擦力三個力作用，其中靜摩擦力指向圓心提供向心力。
(3)當物體轉動的角速度變大后，由Fn=mω2r可知，需要的向心力增大，靜摩擦力提供向心力，所以靜摩擦力也增大。
提煉·總結
2.合力　圓心
3.繩的拉力(彈力)　靜摩擦力　彈力　拉力和重力
空氣對飛機的作用力和飛機的重力
例1　C　[對小球受力分析可知，小球受到重力、細線的拉力兩個力，這兩個力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如圖所示，A、B錯誤，C正確；向心力的大小Fn=mgtan θ，D錯誤。
]
例2　D　[物體做勻速圓周運動，合力指向圓心，對物體受力分析，受重力、豎直向上的靜摩擦力、指向圓心的彈力，如圖，重力G與靜摩擦力Ff平衡，即G=Ff，與物體的角速度無關，因為彈力FN提供向心力，即FN=mrω2，所以當圓筒的角速度ω增大以后，需要的向心力變大，則物體所受彈力FN增大，故選D。
]
例3　(1)見解析　(2)3 N
解析　(1)由題意可知，當小球運動到最低點時，小球受重力和繩的拉力2個力的作用，繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力，小球受力示意圖如圖所示；
(2)由(1)可知，小球到達最低點時，繩的拉力和小球的重力的合力提供向心力，FT-mg=m
則FT=mg+m=3 N。
二、
(1)小朋友做的是變速圓周運動。
(2)小朋友蕩到最低點時，繩子拉力與小朋友的重力的合力指向懸掛點，在其他位置，合力不指向懸掛點。運動過程中，公式Fn=m=mω2r仍然適用于向心力的求解。
梳理與總結
1.(1)不指向　方向　大小　增大　減小
2.(2)圓周運動　圓周運動　①動　大　②阻　小　
例4　A　[轉盤勻速轉動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做勻速圓周運動的向心力，故摩擦力方向為c，A項正確，B項錯誤；當轉盤加速轉動時，物塊P做加速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；當轉盤減速轉動時，物塊P做減速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤。]
例5　BD　[在最高點時，速度為零，受力分析如圖，可知F合=mgsin 30°=mg，F1=mgcos 30°=mg，故A錯誤，B正確；在最低點時，由牛頓第二定律可得Fn=F-mg=m，秋千對她的作用力為F=mg+m>mg，在最低點時，速度最大，向心力最大，故C錯誤，D正確。
]

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