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DIWUZHANG
第五章
專題強化　運動的合成與分解
　　　　　應用實例
1.能利用運動的合成和分解知識分析小船渡河問題，會求小船渡河的最短時間和最短位移(重難點)。
2.能利用運動的合成和分解知識分析關聯速度問題，掌握常見的繩關聯模型和桿關聯模型速度分解的方法(重點)。
學習目標
一、小船渡河模型
二、關聯速度模型
專題強化練
內容索引
小船渡河模型
一
一條寬度為d的河流，已知船在靜水中的速度為v船，水流速度為v水，那么：
1.渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
答案　(1)船相對水的運動(即船在靜水中的運動)。
(2)船隨水漂流的運動。
2.小船渡河時間問題
(1)怎么求解小船渡河過程所用的時間？
答案　小船渡河時間取決于垂直河岸的分速度，可知渡河時間：t=。
(2)小船怎樣航行渡河時間最短？最短時間是多少？
答案　由于水流速度始終沿平行河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。
因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。tmin=。
(3)以最短時間航行，小船能否到達正對岸？畫出運動情況示意圖加以說明。
答案　不能。如圖所示。
(4)如果渡河過程中水流速度突然增大，是否影響渡河時間？
答案　不影響，因為渡河時間與水流速度無關。
3.小船渡河位移問題(設v船>v水)
(1)若小船渡河位移最小，船頭指向如何？此時位移為多少？畫出運動情況示意圖加以說明。
答案　船頭指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此時位移為河寬d。如圖所示。
(2)以最短位移渡河時，渡河時間是多少？
答案　以最短位移渡河時，船頭與上游河岸夾角θ滿足：v船cos θ=v水，渡
河所用時間t==。
　小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
例1
答案　40 s　正對岸下游120 m處
當小船的船頭始終正對對岸行駛時，小船垂直河岸的速度即為小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河
時間t== s=40 s，小船沿水流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，
即小船經過40 s，在正對岸下游120 m處靠岸。
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
答案　船頭指向與河岸的上游成53°角　50 s
要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應
垂直于河岸，如圖所示，則v合==4 m/s，
經歷時間t'== s=50 s
又cos θ===0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。
*拓展　如果水流速度變為10 m/s，其他條件不變，要使小船航程最短，應如何航行？畫出運動情景示意圖加以說明。
答案　如果水流速度變為10 m/s，如圖所示，要使小
船航程最短，應使v合'的方向垂直于v船，故船頭應偏向
上游，與河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，
即船頭指向與河岸的上游成60°角。
返回
二
關聯速度模型
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用
繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相
等嗎？
答案　不相等。如圖，船的位移x船大于車的位移x車=l1-l2。
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
答案　不相等，船的速度大于車的速度。
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
答案　如圖，P點速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則
船的速度是多大？
答案　由v=v船cos α得v船=。
分析“關聯”速度的基本步驟
提煉·總結
　(多選)(2024·四川省高一期中)如圖所示，軌道車A沿水平地面以速度大小v=5 m/s向左勻速前進，某時刻連接軌道車的鋼絲與水平方向的夾角為37°，連接特技演員B的鋼絲豎直，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不計滑輪的質量和摩擦，則該時刻特技演員B
A.速度大小為4 m/s B.速度大小為3 m/s
C.處于超重狀態 D.處于失重狀態
例2
√
√
將車速v沿著鋼絲方向和垂直于鋼絲的方向分解可
知，在沿著鋼絲方向的速度為v∥=vcos 37°，所以
演員上升的速度為v演員=vcos 37°=4 m/s，故A正確，
B錯誤；
設連接軌道車的鋼絲與水平方向的夾角為θ，則演員的速度v演員=vcos θ，θ不斷減小，可知演員在加速上升，則演員處于超重狀態，故C正確，D錯誤。
　在固定斜面體上放置物體B，B物體用繩子通過光滑輕質定滑輪與物體A相連，A穿在光滑的豎直桿上，當B以速度v0勻速沿斜面體下滑時，使物體A到達如圖所示位置，繩與豎直桿的夾角為θ，連接B的繩子始終與斜面體平行，則物體A上升的速度是
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
例3
√
將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向
的兩個分速度，如圖所示，根據平行四邊形定則
得v0=vcos θ，解得v=，故D正確，A、B、C
錯誤。
常見的速度分解模型
模型展示
情景圖示 定量結論
v=v∥=__________
v物'=v∥=__________
v物cos θ
v物cos θ
情景圖示 定量結論
v∥=v∥'
即_________________
v∥=v∥'
即________________
v物cos θ=v物'cos α
v物cos α=v物'cos β
返回
專題強化練
三
對一對
答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 BC A C A A A D C
題號 9 10
答案 (1)①船頭應朝垂直河岸方向　36 s　90 m ②船頭與上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船頭應朝上游與河岸成53°角方向　150 s　300 m B
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1.(多選)(2023·潮州市高一期中)圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確的是
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基礎強化練
√
√
答案
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船頭垂直指向對岸時，由速度的合成可知，合速度應是偏向下游的，且運動時間最短，故A錯誤，C正確；
小船要想渡河位移最短，船頭就應指向上游且與河岸有一定的夾角，使得船在靜水中沿上游河岸的速度分量與河水的速度大小相等，方向相反，合速度垂直河岸，故B正確；
船頭偏向下游時，合速度的方向與河水流動的方向間的夾角應為銳角，故D錯誤。
答案
2.(2023·海南省高一期末)南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人員為了營救在對岸落水的兒童，立即駕駛救援艇出發。已知該救援艇在靜水中的航行速度大小為12.5 m/s，該段水流速度大小為3.5 m/s，救援人員以最短時間過江用時12 s。則
A.河流寬度為150 m
B.河流寬度為192 m
C.船以最短時間過江時，在正對岸靠岸
D.船以最短時間過江時，在正對岸下游50 m處靠岸
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√
答案
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河流寬度為d=v船tmin=12.5×12 m=150 m，選項A正確，B錯誤；
船以最短時間過江時，沿水流方向的位移為x=v水tmin=3.5×12 m=42 m，即在正對岸下游42 m處靠岸，選項C、D錯誤。
答案
3.(2023·揚州市高一月考)在京杭大運河的某個渡口，河寬為120米，水流速度恒為3 m/s，船在靜水中的速度為5 m/s，一條渡船恰好沿直線從A點駛向對岸的B點。已知AB與河岸垂直，則
A.船頭與河岸恰好垂直
B.過河時間為24 s
C.只提高船在靜水中的速度，船將不能沿AB方向航行
D.只改變船頭方向，仍可以使船沿AB方向航行
√
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答案
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船在靜水中的速度與水流速度的矢量和沿AB方
向，所以船頭一定朝向AB左側，故A錯誤；
根據平行四邊形定則可知船的合速度大小為v=
=4 m/s，所以渡河時間為t==30 s，故B錯誤；
由于水流速度大小和方向一定，所以無論是只提高船在靜水中的速度，還是只改變船頭方向，兩種情況下都不能使船在靜水中的速度與水流速度的矢量和再次沿AB方向，即船將不能沿AB方向航行，故C正確，D錯誤。
答案
4.(2024·鹽城市高一聯考期末)用跨過光滑輕質定滑輪的繩把湖中小船向右拉到岸邊，如圖所示。如果要保持船的速度不變，則岸上水平拉繩的速度
A.逐漸減小 B.逐漸增大
C.先減小后增大 D.先增大后減小
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√
答案
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拉繩子的速度v等于船沿繩子收縮方向的分速度，由幾何關系有v=v繩=v船cos θ，θ為連接船的繩與水平面的夾角，在小船靠岸的過程中，由于船的速度v船保持不變，θ不斷變大，則拉繩的速度v不斷減小。故選A。
答案
5.(2023·南通市高一期末)如圖所示，均質細桿的上端A靠在光滑豎直墻面上，下端B置于光滑水平面上，現細桿由與墻面夾角很小處滑落，則當細桿A端與B端的速度大小之比為時，細桿與水平面
間夾角θ為
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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答案
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當細桿與水平面間夾角為θ時，細桿A端與B端的速度
沿桿方向的分速度相等，可得vAsin θ=vBcos θ，即
tan θ==，解得θ=30°。故選A。
答案
6.(2024·石家莊市高一期末)如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道，軌道上有兩個物體A和B，它們通過一根繞過光滑輕質定滑輪O的不可伸長的輕繩相連接，與物體A相連的輕繩水平，物體A以速率vA勻速向右運動，在繩與軌道成30°角時，物體B的速度大小vB與物體A的速度大小vA之比為
A. B.
C. D.2
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√
答案
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將B的速度分解如圖所示
則有v2=vA，v2=vBcos 30°，則=，故選A。
答案
7.(2023·南京市高二期末)有一條小河，兩岸平行，河水勻速流動的速度為v0，小船在靜水中速度大小始終為v，且v>v0。若小船以最短位移過河，所用的時間為t；若小船以最短時間過河，所用的時間為t。則河水流速與小船在靜水中的速度之比為
A.= B.=
C.= D.=
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能力綜合練
√
答案
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當合速度垂直于河岸時，則過河位移最短，如圖，
船以最短位移過河所用的時間為t=，當船頭
垂直河岸時，即v垂直于河岸時，過河時間最短，
最短時間為tmin==t，聯立解得=，故選D。
答案
8.(2023·連云港市高一期中)火災逃生的首要原則是離開火災現場，如圖是火警設計的一種快捷讓當事人逃離現場的救援方案：用一根不變形的輕桿MN支撐在樓面平臺AB上，N端在水平地面上向右以v0勻速運動，被救助的人員緊抱在M端隨輕桿向平臺B端靠近，平臺高h，當BN=2h時，則此時被救人員向B點運動的速率是
A.v0 B.2v0
C.v0 D.v0
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√
答案
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設桿與水平面CD的夾角為θ，由幾何關系可知
sin θ==，即θ=30°，將桿上N點的速度分解
成沿桿的分速度v1和垂直桿的分速度v2，可知v1
=v0cos θ=v0，而沿著同一根桿，各點的速度相同，故被救人員向B點運動的速率為v0，故選C。
答案
9.一小船渡河，河寬d=180 m，水流速度v1=2.5 m/s。(sin 37°=0.6，cos 37°
=0.8)
(1)若船在靜水中的速度為v2=5 m/s。
①欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
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答案　船頭應朝垂直河岸方向　36 s　90 m
答案
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若v2=5 m/s，船速大于水速。
欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向；當船頭垂直河岸時，如圖甲所示
tmin== s=36 s
v合== m/s
x1=v合tmin=90 m
答案
②欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
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答案　船頭與上游河岸成60°角　24 s　180 m
答案
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欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向，如圖乙所示
有v2sin α=v1
得α=30°
所以當船頭與上游河岸夾角為60°時航程最短
x2=d=180 m
t===24 s
答案
(2)若船在靜水中的速度v2'=1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移大小是多少？
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答案　船頭應朝上游與河岸成53°角方向　150 s　300 m
答案
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若v2'=1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂
移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為θ，則航程
x3=
欲使航程最短，需使θ最大，如圖丙所示，以v1矢量
末端為圓心，v2'大小為半徑作圓，出發點與圓周上某點的連線即為合速度方向，欲使v合″與水平方向夾角最大，應使v合″與圓相切，
即v合″⊥v2'
sin θ==
答案
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得θ=37°
所以船頭應朝上游與河岸夾角為53°角方向
t'===150 s
x3==300 m。
答案
10.(2024·重慶市高一期中)如圖所示，物塊B套在傾斜桿上，并用輕繩繞過光滑輕質定滑輪與物塊A相連(定滑輪體積大小可忽略)，今使物塊B沿桿由M點勻速下滑到N點，運動中連接A、B的輕繩始終保持繃緊狀態，在下滑過程中，下列說法正確的是
A.物塊A的速率先變大后變小
B.物塊A的速率先變小后變大
C.物塊A始終處于失重狀態
D.物塊A先處于失重狀態，后處于超重狀態
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尖子生選練
√
答案
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將物塊B的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，
如圖，
根據平行四邊形定則，沿繩子方向的速度為vA=vBcos θ，
可知θ在增大到90°的過程中，物塊A的速度方向向下，
且逐漸減小；由圖可知，當物塊B到達P點時，物塊B與滑輪之間的距離最短，繩子長度最小，此時θ=90°，vA=0，此后物塊A向上運動，且速度增大；所以在物塊B沿桿由M點勻速下滑到N點的過程中，物塊A的速度先向下減小，然后向上增大，故A錯誤，B正確；
答案
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物塊A向下做減速運動和向上做加速運動的過程中，加速度的方向都向上，所以物塊A始終處于超重狀態，故C、D錯誤。
返回
答案專題強化　運動的合成與分解應用實例
[學習目標]　1.能利用運動的合成和分解知識分析小船渡河問題，會求小船渡河的最短時間和最短位移(重難點)。2.能利用運動的合成和分解知識分析關聯速度問題，掌握常見的繩關聯模型和桿關聯模型速度分解的方法(重點)。
一、小船渡河模型
一條寬度為d的河流，已知船在靜水中的速度為v船，水流速度為v水，那么：
1.渡河過程中，小船參與了哪兩個分運動？
2.小船渡河時間問題
(1)怎么求解小船渡河過程所用的時間？
(2)小船怎樣航行渡河時間最短？最短時間是多少？
(3)以最短時間航行，小船能否到達正對岸？畫出運動情況示意圖加以說明。
(4)如果渡河過程中水流速度突然增大，是否影響渡河時間？
3.小船渡河位移問題(設v船>v水)
(1)若小船渡河位移最小，船頭指向如何？此時位移為多少？畫出運動情況示意圖加以說明。
(2)以最短位移渡河時，渡河時間是多少？
例1　小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
*拓展　如果水流速度變為10 m/s，其他條件不變，要使小船航程最短，應如何航行？畫出運動情景示意圖加以說明。
二、關聯速度模型
如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連。
(1)在相等的時間內，小車A和小船B運動的位移相等嗎？
(2)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個速度大？
(3)從運動的合成與分解的角度看，小船上P點的速度可以分解為哪兩個分速度？
(4)若某時刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？
分析“關聯”速度的基本步驟
例2　(多選)(2024·四川省高一期中)如圖所示，軌道車A沿水平地面以速度大小v=5 m/s向左勻速前進，某時刻連接軌道車的鋼絲與水平方向的夾角為37°，連接特技演員B的鋼絲豎直，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不計滑輪的質量和摩擦，則該時刻特技演員B(　　)
A.速度大小為4 m/s
B.速度大小為3 m/s
C.處于超重狀態
D.處于失重狀態
例3　在固定斜面體上放置物體B，B物體用繩子通過光滑輕質定滑輪與物體A相連，A穿在光滑的豎直桿上，當B以速度v0勻速沿斜面體下滑時，使物體A到達如圖所示位置，繩與豎直桿的夾角為θ，連接B的繩子始終與斜面體平行，則物體A上升的速度是(　　)
A.v0sin θ B.
C.v0cos θ D.
常見的速度分解模型
情景圖示 定量結論
v=v∥=　　　　　　
v物'=v∥=　　　　　　　
v∥=v∥' 即　　　　　　　　　
v∥=v∥' 即　　　　　　　　　
答案精析
一、
1.(1)船相對水的運動(即船在靜水中的運動)。
(2)船隨水漂流的運動。
2.(1)小船渡河時間取決于垂直河岸的分速度，可知渡河時間：t=。
(2)由于水流速度始終沿平行河岸方向，不能提供垂直河岸的分速度。因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。tmin=。
(3)不能。如圖所示。
(4)不影響，因為渡河時間與水流速度無關。
3.(1)船頭指向偏向上游，使合速度垂直河岸。此時位移為河寬d。如圖所示。
(2)以最短位移渡河時，船頭與上游河岸夾角θ滿足：v船cos θ=v水，渡河所用時間t==。
例1　(1)40 s　正對岸下游120 m處　(2)船頭指向與河岸的上游成53°角　50 s
解析　(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，小船垂直河岸的速度即為小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t== s=40 s，小船沿水流方向的位移x=v水t=3×40 m=120 m，即小船經過40 s，在正對岸下游120 m處靠岸。
(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖所示，則v合==4 m/s，經歷時間t'== s=50 s
又cos θ===0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。
*拓展　
如果水流速度變為10 m/s，如圖所示，要使小船航程最短，應使v合'的方向垂直于v船，故船頭應偏向上游，與河岸成θ'角，有cos θ'==，解得θ'=60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角。
二、
(1)不相等。如圖，船的位移x船大于車的位移x車=l1-l2。
(2)不相等，船的速度大于車的速度。
(3)如圖，P點速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。
(4)由v=v船cos α得v船=。
例2　AC　[將車速v沿著鋼絲方向和垂直于鋼絲的方向分解可知，在沿著鋼絲方向的速度為v∥=vcos 37°，所以演員上升的速度為v演員=vcos 37°=4 m/s，故A正確，B錯誤；設連接軌道車的鋼絲與水平方向的夾角為θ，則演員的速度v演員=vcos θ，θ不斷減小，可知演員在加速上升，則演員處于超重狀態，故C正確，D錯誤。]
例3　D　[將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個分速度，如圖所示，根據平行四邊形定則得v0=vcos θ，解得v=，故D正確，A、B、C錯誤。
]
模型展示
v物cos θ　v物cos θ　v物cos θ=v物'cos α
v物cos α=v物'cos β　

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