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DIWUZHANG
第五章
專題強(qiáng)化　與斜面、曲面相結(jié)
　　　　　合的平拋運(yùn)動(dòng)
1.進(jìn)一步掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，了解平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面相結(jié)合問題的特點(diǎn)(重點(diǎn))。
2.熟練運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決相關(guān)問題(重難點(diǎn))。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一、與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
二、與曲面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
專題強(qiáng)化練
內(nèi)容索引
與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
一
1.如圖甲所示，將小球從傾角為θ的斜面上A處以初速度v0
水平拋出，又落在斜面上B點(diǎn)。(不計(jì)空氣阻力，重力加速
度為g)
(1)小球位移方向怎樣？水平分位移x和豎直分位移y有什么關(guān)系？
答案　位移方向沿斜面向下。
tan θ=
(2)從拋出至落至斜面上所需時(shí)間多長(zhǎng)？
答案　由tan θ===得，t=
2.如圖乙所示，將小球從斜面外某處以初速度v0水平拋出，
斜面傾角為θ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
(1)若小球垂直擊中斜面，求小球到達(dá)斜面經(jīng)過的時(shí)間；
答案　小球垂直擊中斜面，此時(shí)速度方向垂直斜面。
tan θ==
得t1=
(2)若小球以最小位移擊中斜面，求小球到達(dá)斜面經(jīng)過的時(shí)間。
答案　此時(shí)位移與斜面垂直
tan θ==
得t2=
　(2023·揚(yáng)州市高一期末)運(yùn)動(dòng)員從A處以v0=20 m/s的初速度水平飛出，在平直斜坡B處著陸。斜坡的傾角為37°，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
例1
答案　3 s
運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有
tan 37°=
解得t=3 s
(2)運(yùn)動(dòng)員落到B點(diǎn)的速度大小；
答案　10 m/s
運(yùn)動(dòng)員落到B點(diǎn)的速度大小為
vB==10 m/s
(3)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到距離斜面最遠(yuǎn)所用的時(shí)間。
答案　1.5 s
設(shè)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到距離斜面最遠(yuǎn)所用的時(shí)間為t1，有tan 37°=
解得t1=1.5 s。
返回
二
與曲面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
情景示例 解題策略
從圓弧形軌道外水平拋出，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向 分解速度，構(gòu)建速度三角形
vx=v0
vy=gt
tan θ==
情景示例 解題策略
從圓弧面外水平拋出，垂直落在圓弧面上，如圖所示，已知速度的方向垂直于圓弧面 分解速度，構(gòu)建速度三角形
vx=v0
vy=gt
tan θ==
情景示例 解題策略
從圓弧面上水平拋出又落到圓弧面上，如圖所示 利用幾何關(guān)系求解位移關(guān)系
x=v0t
y=gt2
R2=(x-R)2+y2
　如圖所示，斜面ABC與圓弧軌道相接于C點(diǎn)，從A點(diǎn)水平向右飛出的小球恰能從C點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道。OC與豎直方向的夾角為θ=60°，若AB的高度為h，忽略空氣阻力，則BC的長(zhǎng)度為
A.h B.h
C.h D.2h
例2
√
小球飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)時(shí)的速度方向與初速
度方向夾角為θ，設(shè)此時(shí)位移方向與初速度方向夾角
為α。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得tan θ=2tan α=，解得x=
h，所以A、C、D錯(cuò)誤，B正確。
　(2023·六安市高一期末)如圖，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，位于半徑為 m半圓柱體左端點(diǎn)A的正上方某處，以一定的初速度v0水平拋出小球，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好能與半圓柱體相切于B點(diǎn)。過B點(diǎn)的半圓柱體半徑與水平方向的夾角為60°，則小球的初速度v0的大小為(不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g=10 m/s2)
A.5 m/s B.4 m/s
C.3 m/s D.2 m/s
例3
√
小球運(yùn)動(dòng)過程中，水平位移x=R+Rcos 60°=v0t，小球恰
好與半圓柱體相切于B點(diǎn)，可知在B點(diǎn)的速度方向與水平
方向的夾角為30°，則vy=v0tan 30°=gt，聯(lián)立解得v0=
3 m/s，故選C。
　如圖，PQ為半圓形容器的水平直徑，圓弧半徑為R，圓心為O，從P點(diǎn)沿PQ方向水平拋出一個(gè)小球，小球恰好落在圓弧面上的B點(diǎn)，P、B兩點(diǎn)的高度差為0.8R，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則小球從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小為
A. B.
C. D.
例4
√
設(shè)小球從P點(diǎn)拋出到落到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)幾
何關(guān)系可知OB連線與水平方向的夾角的正弦值為，
因此小球從P點(diǎn)到B點(diǎn)的水平位移為1.6R，設(shè)初速度大小為v0，則0.8R=gt2，1.6R=v0t，聯(lián)立解得v0=，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
返回
專題強(qiáng)化練
三
對(duì)一對(duì)
答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D A B C
題號(hào) 9 10 11
答案 AD A (1)8 m/s　(2)5 m
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1.如圖所示，跳臺(tái)斜坡與水平面的夾角θ=37°，滑雪運(yùn)動(dòng)員從斜坡的起點(diǎn)A點(diǎn)水平飛出，經(jīng)過3 s落到斜坡上的B點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，則運(yùn)動(dòng)員離開A點(diǎn)時(shí)的速度大小為
A.15 m/s B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
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基礎(chǔ)強(qiáng)化練
√
答案
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11
運(yùn)動(dòng)員在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)與B點(diǎn)的距
離為L(zhǎng)，則有Lsin 37°=gt2，解得L=75 m，設(shè)運(yùn)動(dòng)員
離開A點(diǎn)時(shí)的速度為v0，運(yùn)動(dòng)員在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為
勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有Lcos 37°=v0t，解得v0=20 m/s，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
答案
2.如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點(diǎn)，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α。一小球在圓軌道左側(cè)的A點(diǎn)以速度v0水平拋出，恰好沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓軌道。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則A、B之間的水平距離為
A. B.
C. D.
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11
√
答案
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6
7
8
9
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11
如圖所示，對(duì)在B點(diǎn)時(shí)的速度進(jìn)行分解，有tan α=
=，則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=，則A、B間的
水平距離x=v0t=，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。
答案
3.(2024·常州市高一期末)在某次演習(xí)中，轟炸機(jī)沿水平方向投放了一枚炸彈，炸彈正好垂直于傾角為θ的山坡?lián)糁心繕?biāo)。則炸彈水平方向通過的距離與豎直方向下落的高度之比為
A. B.2tan θ
C.tan θ D.
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√
答案
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11
炸彈擊中目標(biāo)時(shí)的速度方向垂直山坡，則tan θ=
，炸彈水平方向通過的距離與豎直方向下落的
高度之比為===2tan θ。故選B。
答案
4.(2023·廣州市高一期中)如圖所示，兩個(gè)相對(duì)斜面的傾角分別為37°和53°，在斜面頂點(diǎn)把兩個(gè)小球以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在斜面上。不計(jì)空氣阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。則A、B兩個(gè)小球從拋出到落到斜面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為
A.1∶1 B.4∶3
C.16∶9 D.9∶16
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√
答案
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11
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及落在斜面上的特點(diǎn)可知x=v0t，
y=gt2，tan θ=，解得t=，兩小球的初速度大
小相等，所以時(shí)間之比為tA∶tB=tan 37°∶tan 53°=
9∶16，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
答案
5.(2023·達(dá)州市高一期中)如圖所示，半徑為R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB為直徑，O點(diǎn)為球心，小球從AO連線上的C點(diǎn)沿CO方向以
水平速度拋出，經(jīng)時(shí)間t=小球與碗內(nèi)壁垂直碰撞，重力加速度為g，
不計(jì)空氣阻力，則C、O兩點(diǎn)間的距離為
A. B.
C. D.
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√
答案
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設(shè)小球落點(diǎn)在D點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)題意，OD為半
徑，則根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論有=，有CE=2OE，
由幾何關(guān)系有OE=，又因h=gt2，聯(lián)立解得
OC=OE=，故選A。
答案
6.(2024·信陽市高一期末)如圖所示，水平地面上固定有一個(gè)斜面，斜面傾角為θ，從斜面頂端向右平拋一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，當(dāng)初速度為v0時(shí)，小球恰好落到斜面底端，平拋的飛行時(shí)間為t0，現(xiàn)用不同的初速度v從該斜面頂端向右平拋這個(gè)小球，則平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，末速度方向與水平方向夾角的正切值tan α隨初速度v變化的圖像，以及平拋
運(yùn)動(dòng)飛行時(shí)間t隨初速度v變化的圖像正確的是
1
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√
答案
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11
當(dāng)速度v的推論可知tan α=2tan θ，此時(shí)末速度方向與水平方向
夾角的正切值tan α為定值，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tan α==
2tan θ，則t=，即小球落在斜面上時(shí)時(shí)間與速度v成正比，當(dāng)速度v>v0，小球?qū)⒙涞剿降孛妫瑒t有tan α==，由于高度一定，則
時(shí)間t為定值，則tan α與v成反比，故A、C、D錯(cuò)誤，B正確。
答案
7.(2023·綿陽市高一期末)如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面，半徑為R，在B點(diǎn)正上方的C點(diǎn)水平拋出一個(gè)小球，小球軌跡恰好在D點(diǎn)與圓柱體相切，OD與OB的夾角為60°，則C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為多大？
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答案　
答案
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11
小球通過D點(diǎn)時(shí)速度與圓柱體相切，則有
vy=v0tan 60°，
小球從C到D，水平方向有Rsin 60°=v0t，
豎直方向上有y=t，
解得y=R，
故C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為s=y-R(1-cos 60°)=。
答案
8.甲、乙兩個(gè)小球分別以v、2v的速度從斜面頂部端點(diǎn)O沿同一方向水平拋出，兩球分別落在該斜面上P、Q兩點(diǎn)，忽略空氣阻力，甲、乙兩球落點(diǎn)P、Q到端點(diǎn)O的距離之比為
A. B.
C. D.
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√
能力綜合練
答案
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11
設(shè)斜面傾角為α，小球落在斜面上速度方向偏向角為
θ，如圖所示，
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論tan θ=2tan α，
可知甲、乙兩個(gè)小球落在斜面上時(shí)速度偏向角相等，
對(duì)甲有vy甲=vtan θ，
對(duì)乙有vy乙=2vtan θ，
又因?yàn)橄侣涓叨葃=，
答案
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可得甲、乙兩個(gè)小球下落高度之比為=，
甲、乙兩球落點(diǎn)P、Q到端點(diǎn)O的距離之比
==，故選C。
答案
9.(多選)如圖所示，AB為半圓弧ACB的水平直徑，C為ACB弧的中點(diǎn)，AB=1.5 m，從A點(diǎn)水平拋出一小球，小球下落0.3 s后落到半圓弧ACB上，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s2，則小球拋出的初速度v0可能為
A.0.5 m/s B.1.5 m/s
C.3 m/s D.4.5 m/s
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√
√
答案
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11
由題可知，半圓弧ACB的半徑R=0.75 m，豎直方向小
球下落的高度h=gt2=0.45 m，若小球落在AC圓弧上時(shí)，
由幾何知識(shí)得到，水平位移x=R-=0.15 m，則v01==0.5 m/s；若小球落在CB圓弧上時(shí)，由幾何知識(shí)得到，水平位移x'=R+=1.35 m，則v02==4.5 m/s，A、D正確。
答案
10.如圖，斜面上有a、b、c、d四個(gè)點(diǎn)，ab=bc=cd。從a點(diǎn)正上方的O點(diǎn)以速度v0水平拋出一個(gè)小球，它落到斜面上b點(diǎn)。若小球從O點(diǎn)以速度2v0水平拋出，則它落在斜面上的(不計(jì)空氣阻力)
A.b與c之間某一點(diǎn) B.c點(diǎn)
C.c與d之間某一點(diǎn) D.d點(diǎn)
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√
答案
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當(dāng)水平初速度變?yōu)?v0時(shí)，如果去掉斜面，作過b點(diǎn)垂直于Oa的直線be，小球?qū)⒙湓赾點(diǎn)正下方的直線上的e點(diǎn)，則小球以速度2v0水平拋出時(shí)在斜面上的落點(diǎn)在b與c之間的某一點(diǎn)，故選A。
答案
11.(2024·三門峽市高一期末)跑酷是以日常生活的環(huán)境為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)所的極限運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量m=50 kg的跑酷運(yùn)動(dòng)員，在水平高臺(tái)上水平向右跑到高臺(tái)邊緣，以v0的速度從上邊緣的A點(diǎn)水平向右跳出，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=0.6 s后落在一傾角為53°的斜面上的B點(diǎn)，速度方向與斜面垂直。此時(shí)運(yùn)動(dòng)員迅速轉(zhuǎn)身并調(diào)整姿勢(shì)，以v0的速度從B點(diǎn)水平向左蹬出，剛好落到斜面的底端C點(diǎn)。D點(diǎn)為平臺(tái)的下邊緣點(diǎn)，假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)
點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s2，sin 53°=0.8，
cos 53°=0.6。求：
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尖子生選練
答案
(1)運(yùn)動(dòng)員從高臺(tái)邊緣跳出的水平速度v0大小；
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答案　8 m/s
設(shè)運(yùn)動(dòng)員剛落在B點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度為vy，運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)落到B點(diǎn)時(shí)間為t1，則有vy=gt1
v0=vytan 53°
解得v0=8 m/s
答案
(2)水平高臺(tái)AD的高度H。
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答案　5 m
答案
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運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)落到C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t2，水平和豎直位移分別為
x2=v0t2
y2=g
又tan 53°=
解得y2=3.2 m
運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)落到B點(diǎn)，豎直方向y1=g=1.8 m
則水平高臺(tái)AD的高度為H=y1+y2=5 m
返回
答案專題強(qiáng)化　與斜面、曲面相結(jié)合的平拋運(yùn)動(dòng)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進(jìn)一步掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，了解平拋運(yùn)動(dòng)與斜面、曲面相結(jié)合問題的特點(diǎn)(重點(diǎn))。2.熟練運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決相關(guān)問題(重難點(diǎn))。
一、與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
1.如圖甲所示，將小球從傾角為θ的斜面上A處以初速度v0水平拋出，又落在斜面上B點(diǎn)。(不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g)
(1)小球位移方向怎樣？水平分位移x和豎直分位移y有什么關(guān)系？
(2)從拋出至落至斜面上所需時(shí)間多長(zhǎng)？
2.如圖乙所示，將小球從斜面外某處以初速度v0水平拋出，斜面傾角為θ，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。
(1)若小球垂直擊中斜面，求小球到達(dá)斜面經(jīng)過的時(shí)間；
(2)若小球以最小位移擊中斜面，求小球到達(dá)斜面經(jīng)過的時(shí)間。
例1　(2023·揚(yáng)州市高一期末)運(yùn)動(dòng)員從A處以v0=20 m/s的初速度水平飛出，在平直斜坡B處著陸。斜坡的傾角為37°，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
(2)運(yùn)動(dòng)員落到B點(diǎn)的速度大小；
(3)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到距離斜面最遠(yuǎn)所用的時(shí)間。
二、與曲面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
情景示例 解題策略
從圓弧形軌道外水平拋出，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道，如圖所示，已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向 分解速度，構(gòu)建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ==
從圓弧面外水平拋出，垂直落在圓弧面上，如圖所示，已知速度的方向垂直于圓弧面 分解速度，構(gòu)建速度三角形 vx=v0 vy=gt tan θ==
從圓弧面上水平拋出又落到圓弧面上，如圖所示 利用幾何關(guān)系求解位移關(guān)系 x=v0t y=gt2 R2=(x-R)2+y2
例2　如圖所示，斜面ABC與圓弧軌道相接于C點(diǎn)，從A點(diǎn)水平向右飛出的小球恰能從C點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入軌道。OC與豎直方向的夾角為θ=60°，若AB的高度為h，忽略空氣阻力，則BC的長(zhǎng)度為(　　)
A.h B.h
C.h D.2h
例3　(2023·六安市高一期末)如圖，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，位于半徑為 m半圓柱體左端點(diǎn)A的正上方某處，以一定的初速度v0水平拋出小球，其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好能與半圓柱體相切于B點(diǎn)。過B點(diǎn)的半圓柱體半徑與水平方向的夾角為60°，則小球的初速度v0的大小為(不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g=10 m/s2)(　　)
A.5 m/s B.4 m/s
C.3 m/s D.2 m/s
例4　如圖，PQ為半圓形容器的水平直徑，圓弧半徑為R，圓心為O，從P點(diǎn)沿PQ方向水平拋出一個(gè)小球，小球恰好落在圓弧面上的B點(diǎn)，P、B兩點(diǎn)的高度差為0.8R，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則小球從P點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
答案精析
一、
1.(1)位移方向沿斜面向下。
tan θ=
(2)由tan θ===得，t=
2.(1)小球垂直擊中斜面，此時(shí)速度方向垂直斜面。
tan θ==
得t1=
(2)此時(shí)位移與斜面垂直
tan θ==
得t2=
例1　(1)3 s　(2)10 m/s　(3)1.5 s
解析　(1)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有
tan 37°=
解得t=3 s
(2)運(yùn)動(dòng)員落到B點(diǎn)的速度大小為
vB==10 m/s
(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到距離斜面最遠(yuǎn)所用的時(shí)間為t1，有tan 37°=
解得t1=1.5 s。
例2　B　[小球飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)時(shí)的速度方向與初速度方向夾角為θ，設(shè)此時(shí)位移方向與初速度方向夾角為α。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得tan θ=2tan α=，解得x=h，所以A、C、D錯(cuò)誤，B正確。]
例3　C　[小球運(yùn)動(dòng)過程中，水平位移x=R+Rcos 60°=v0t，小球恰好與半圓柱體相切于B點(diǎn)，可知在B點(diǎn)的速度方向與水平方向的夾角為30°，則vy=v0tan 30°=gt，聯(lián)立解得v0=3 m/s，故選C。]
例4　B　[設(shè)小球從P點(diǎn)拋出到落到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)幾何關(guān)系可知OB連線與水平方向的夾角的正弦值為，因此小球從P點(diǎn)到B點(diǎn)的水平位移為1.6R，設(shè)初速度大小為v0，則0.8R=gt2，1.6R=v0t，聯(lián)立解得v0=，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。]

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