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第八章
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章末復(fù)習(xí)課
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
一、線性回歸分析
二、獨(dú)立性檢驗(yàn)
三、數(shù)形結(jié)合思想在獨(dú)立性檢驗(yàn)中的應(yīng)用
內(nèi)容索引
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在非線性回歸分析中的應(yīng)用
線性回歸分析
一
1.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.其基本步驟為通過散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)選擇經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，通過一定的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于實(shí)際或?qū)憫?yīng)變量進(jìn)行預(yù)測(cè).
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).
　某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)
(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這
例 1
種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得xi=60，yi=1 200，(xi-)2=80，(yi-)2=9 000，(xi-)(yi-)=800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；
由已知得樣本平均數(shù)為=yi=60，
從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為
60×200=12 000.
(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
附：樣本相關(guān)系數(shù)
r=，≈1.414.
樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的樣本相關(guān)系數(shù)為
r===≈0.94.
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣.
理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
(1)畫散點(diǎn)圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.
(2)判斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.通過觀察散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求，，然后寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
(3)回歸分析.畫殘差圖或計(jì)算R2，進(jìn)行殘差分析.
(4)實(shí)際應(yīng)用.依據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解決實(shí)際問題.
反
思
感
悟
解決回歸分析問題的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練 1
　下面給出了根據(jù)某市2017年~2023年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖(2017年~2023年的年份代碼x分別為1~7).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；
根據(jù)散點(diǎn)圖可知，點(diǎn)均勻分布在一條直線附近，且隨著x的增大，y增大，故y與x成線性相關(guān)，且為正相關(guān).
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得yi=1 074， xiyi=4 517，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
依題意得，=×=4，
=yi=×1 074≈153.43，
=≈≈7.89，
=-≈153.43-7.89×4=121.87，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
=7.89x+121.87.
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果.
由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)測(cè)精度較高.
二
獨(dú)立性檢驗(yàn)
1.獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的問題是有多大把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.為此需先列出2×2列聯(lián)表，從表格中可以直觀地得到兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個(gè)分類變量之間的情況.獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想是可以先假設(shè)二者無關(guān)系，求隨機(jī)變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設(shè)，否則，接受假設(shè).
2.通過計(jì)算χ2的值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).
例 2
　某企業(yè)為提高服務(wù)質(zhì)量留住客戶，從運(yùn)營系統(tǒng)中選出300名客戶，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為，服務(wù)水平的滿意率為，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人.
(1)完成2×2列聯(lián)表；
業(yè)務(wù)水平 服務(wù)水平 合計(jì)
對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù) 對(duì)服務(wù)水平不滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)
合計(jì)
由題意可得對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意的有300×=260(人)，對(duì)服務(wù)水平滿意的有300×=200(人)，
2×2列聯(lián)表如下.
業(yè)務(wù)水平 服務(wù)水平 合計(jì)
對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù) 對(duì)服務(wù)水平不滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù) 180 80 260
對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù) 20 20 40
合計(jì) 200 100 300
(2)依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)？
零假設(shè)為H0：業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平無關(guān).
計(jì)算得χ2==≈5.769>3.841=x0.05，
依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
即認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān).
(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，用于檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是計(jì)算χ2的值，再利用該值與臨界值xα進(jìn)行比較作出判斷.
(2)χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要細(xì)心.
反
思
感
悟
　考察小麥種子滅菌跟黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如表：
跟蹤訓(xùn)練 2
依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病有關(guān)？
黑穗病 種子滅菌情況 合計(jì)
種子滅菌 種子未滅菌
有黑穗病 26 184 210
無黑穗病 50 200 250
合計(jì) 76 384 460
零假設(shè)為H0：小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病無關(guān).
由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)可得
χ2=≈4.804>3.841=x0.05，
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，可以認(rèn)為小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病有關(guān)系.
數(shù)形結(jié)合思想在獨(dú)立性檢驗(yàn)中的應(yīng)用
三
1.數(shù)形結(jié)合思想就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在進(jìn)行回歸分析時(shí)，常利用散點(diǎn)圖、殘差圖等說明線性相關(guān)情況或模型的擬合效果.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，我們常用等高堆積條形圖直觀地反映數(shù)據(jù)的情況，從而可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
　某機(jī)構(gòu)為了了解患色盲是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了1 000名成年人進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)(α=0.001)的方法來判斷患色盲與性別是否有關(guān).
例 3
根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：
性別 色盲 合計(jì)
患色盲 未患色盲
男 38 442 480
女 6 514 520
合計(jì) 44 956 1 000
根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高堆積條形圖，如圖所示.
圖中兩個(gè)深色條的高分別表示男性和女性患色盲的頻率，從圖中可以看出，男性患色盲的頻率明顯高于女性患色盲的頻率，因此我們可認(rèn)為患色盲與性別有關(guān).
零假設(shè)為H0：患色盲與性別無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，得
χ2=≈27.139>10.828=x0.001，
根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為患色盲與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.
反
思
感
悟
(1)兩個(gè)明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個(gè)問題.
(2)兩個(gè)準(zhǔn)確：①準(zhǔn)確畫出2×2列聯(lián)表；②準(zhǔn)確理解χ2.
解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)
　某電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.如圖所示的是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
跟蹤訓(xùn)練 3
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？
性別 “體育迷”情況 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男
女 10 55
合計(jì)
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：
性別 “體育迷”情況 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男 30 15 45
女 45 10 55
合計(jì) 75 25 100
零假設(shè)為H0：“體育迷”與性別無關(guān).
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得
χ2==≈3.030<3.841=x0.05，
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為“體育迷”與性別無關(guān).
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，均值E(X)和方差D(X).
由頻率分布直方圖，知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意知X~B，從而X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=，D(X)=3××=.
轉(zhuǎn)化與化歸思想在非線性回歸分析中的應(yīng)用
四
1.轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中.在實(shí)際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化.
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
　某公司為研究某種圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了右面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
例 4
(xi-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)2 (ui-)·(yi-)
15.25 3.63 0.269 2 085.5 -230.3 0.787 7.049
表中ui=，=ui.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=c+哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(只要求給出判斷，不必說明理由)；
由散點(diǎn)圖判斷，y=c+更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果精確到0.01)；
(xi-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)2 (ui-)·(yi-)
15.25 3.63 0.269 2 085.5 -230.3 0.787 7.049
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線=+ω的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為=，=-.
令u=，
先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=+u，
由于==≈8.96，
所以=-·≈3.63-8.96×0.269≈1.22，
所以y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.22+8.96u，
所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.22+.
(3)若該圖書每冊(cè)的定價(jià)為9.22元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤不低于80 000元？(假設(shè)能夠全部售出.結(jié)果精確到1)
(xi-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)2 (ui-)·(yi-)
15.25 3.63 0.269 2 085.5 -230.3 0.787 7.049
假設(shè)印刷x千冊(cè)，依題意得9.22x-x≥80，解得x≥11.12，所以至少印刷11 120冊(cè)才能使銷售利潤不低于80 000元.
反
思
感
悟
非線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)圖擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型擬合.
光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能.近幾年在國內(nèi)出臺(tái)的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下，某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急劇上漲，如表所示：
跟蹤訓(xùn)練 4
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代碼x 1 2 3 4 5 6 7 8
新增光伏裝機(jī)量y (兆瓦) 0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2
某位同學(xué)分別用兩種模型：①y=bx2+a，②y=dx+c進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如圖所示(注：殘差等于yi-)：
經(jīng)過計(jì)算得(xi-)(yi-)=72.8，(xi-)2=42，(ti-)(yi-)=686.8，
(ti-)2=3 570，其中ti=，=ti.
(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡要說明理由.
選擇模型①，理由如下：
根據(jù)殘差圖可以看出，模型①殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在以橫軸為對(duì) 稱軸，寬度小于1的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且模型①的殘差平方和明顯小于模型②，所以模型①的擬合效果相對(duì)較好.
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新增光伏裝機(jī)量是多少.(精確到0.01)
附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式：=，=-.
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代碼x 1 2 3 4 5 6 7 8
新增光伏裝機(jī)量y (兆瓦) 0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2
由(1)知，y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x2+，
令t=x2，則=t+.
由所給數(shù)據(jù)可得=ti=×(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，
=yi=×(0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2)=5，
則==≈0.19，
=-≈5-0.19×25.5≈0.16.
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.19x2+0.16.
預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新增光伏裝機(jī)量為=0.19×112+0.16=23.15(兆瓦).　　　　　　　　　　　　　　　　
一、線性回歸分析
1.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.其基本步驟為通過散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)選擇經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，通過一定的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，最后應(yīng)用于實(shí)際或?qū)憫?yīng)變量進(jìn)行預(yù)測(cè).
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).
例1　某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得xi=60，yi=1 200，(xi-)2=80，(yi-)2=9 000，(xi-)(yi-)=800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；
(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：樣本相關(guān)系數(shù)
r=，≈1.414.
反思感悟　解決回歸分析問題的一般步驟
(1)畫散點(diǎn)圖.根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.
(2)判斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.通過觀察散點(diǎn)圖，直觀感知兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求，，然后寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
(3)回歸分析.畫殘差圖或計(jì)算R2，進(jìn)行殘差分析.
(4)實(shí)際應(yīng)用.依據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解決實(shí)際問題.
跟蹤訓(xùn)練1　下面給出了根據(jù)某市2017年~2023年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖(2017年~2023年的年份代碼x分別為1~7).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得yi=1 074， xiyi=4 517，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果.
二、獨(dú)立性檢驗(yàn)
1.獨(dú)立性檢驗(yàn)研究的問題是有多大把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.為此需先列出2×2列聯(lián)表，從表格中可以直觀地得到兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個(gè)分類變量之間的情況.獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想是可以先假設(shè)二者無關(guān)系，求隨機(jī)變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設(shè)，否則，接受假設(shè).
2.通過計(jì)算χ2的值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).
例2　某企業(yè)為提高服務(wù)質(zhì)量留住客戶，從運(yùn)營系統(tǒng)中選出300名客戶，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為，服務(wù)水平的滿意率為，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人.
(1)完成2×2列聯(lián)表；
業(yè)務(wù)水平 服務(wù)水平 合計(jì)
對(duì)服務(wù)水平 滿意人數(shù) 對(duì)服務(wù)水平 不滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平 滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平 不滿意人數(shù)
合計(jì)
(2)依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)？
反思感悟　(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，用于檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是計(jì)算χ2的值，再利用該值與臨界值xα進(jìn)行比較作出判斷.
(2)χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)要細(xì)心.
跟蹤訓(xùn)練2　考察小麥種子滅菌跟黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗(yàn)觀察，得到數(shù)據(jù)如表：
黑穗病 種子滅菌情況 合計(jì)
種子滅菌 種子未滅菌
有黑穗病 26 184 210
無黑穗病 50 200 250
合計(jì) 76 384 460
依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病有關(guān)？
三、數(shù)形結(jié)合思想在獨(dú)立性檢驗(yàn)中的應(yīng)用
1.數(shù)形結(jié)合思想就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在進(jìn)行回歸分析時(shí)，常利用散點(diǎn)圖、殘差圖等說明線性相關(guān)情況或模型的擬合效果.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，我們常用等高堆積條形圖直觀地反映數(shù)據(jù)的情況，從而可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
例3　某機(jī)構(gòu)為了了解患色盲是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了1 000名成年人進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)(α=0.001)的方法來判斷患色盲與性別是否有關(guān).
反思感悟　解獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)
(1)兩個(gè)明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個(gè)問題.
(2)兩個(gè)準(zhǔn)確：①準(zhǔn)確畫出2×2列聯(lián)表；②準(zhǔn)確理解χ2.
跟蹤訓(xùn)練3　某電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.如圖所示的是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？
性別 “體育迷”情況 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男
女 10 55
合計(jì)
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，均值E(X)和方差D(X).
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在非線性回歸分析中的應(yīng)用
1.轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中.在實(shí)際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化.
2.主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
例4　某公司為研究某種圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
(xi-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)2 (ui-)·(yi-)
15.25 3.63 0.269 2 085.5 -230.3 0.787 7.049
表中ui=，=ui.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=c+哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(只要求給出判斷，不必說明理由)；
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果精確到0.01)；
(3)若該圖書每冊(cè)的定價(jià)為9.22元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤不低于80 000元？(假設(shè)能夠全部售出.結(jié)果精確到1)
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線=+ω的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為=，=-.
反思感悟　非線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)圖擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型擬合.
跟蹤訓(xùn)練4　光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能.近幾年在國內(nèi)出臺(tái)的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下，某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急劇上漲，如表所示：
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代碼x 1 2 3 4 5 6 7 8
新增光伏裝機(jī)量y(兆瓦) 0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2
某位同學(xué)分別用兩種模型：①y=bx2+a，②y=dx+c進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如圖所示(注：殘差等于yi-)：
經(jīng)過計(jì)算得(xi-)(yi-)=72.8，(xi-)2=42，(ti-)(yi-)=686.8，
(ti-)2=3 570，其中ti=，=ti.
(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡要說明理由.
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新增光伏裝機(jī)量是多少.(精確到0.01)
附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式：=，=-.
答案精析
例1　解　(1) 由已知得樣本平均數(shù)為=yi=60，
從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為
60×200=12 000.
(2)樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的樣本相關(guān)系數(shù)為
r==
=≈0.94.
(3)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣.
理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，點(diǎn)均勻分布在一條直線附近，且隨著x的增大，y增大，故y與x成線性相關(guān)，且為正相關(guān).
(2)依題意得，=×=4，
=yi=×1 074≈153.43，
=≈≈7.89，
=-≈153.43-7.89×4=121.87，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
=7.89x+121.87.
(3)由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)測(cè)精度較高.
例2　解　(1)由題意可得對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意的有300×=260(人)，對(duì)服務(wù)水平滿意的有300×=200(人)，
2×2列聯(lián)表如下.
業(yè)務(wù)水平 服務(wù)水平 合計(jì)
對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù) 對(duì)服務(wù)水平 不滿意人數(shù)
對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù) 180 80 260
對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù) 20 20 40
合計(jì) 200 100 300
(2)零假設(shè)為H0：業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平無關(guān).
計(jì)算得χ2==
≈5.769>3.841=x0.05，
依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
即認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān).
跟蹤訓(xùn)練2　解　零假設(shè)為H0：小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病無關(guān).
由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)可得
χ2=≈4.804>3.841=x0.05，
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，可以認(rèn)為小麥種子滅菌與發(fā)生黑穗病有關(guān)系.
例3　解　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：
性別 色盲 合計(jì)
患色盲 未患色盲
男 38 442 480
女 6 514 520
合計(jì) 44 956 1 000
根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高堆積條形圖，如圖所示.
圖中兩個(gè)深色條的高分別表示男性和女性患色盲的頻率，從圖中可以看出，男性患色盲的頻率明顯高于女性患色盲的頻率，因此我們可認(rèn)為患色盲與性別有關(guān).
零假設(shè)為H0：患色盲與性別無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，得
χ2=≈27.139>10.828=x0.001，
根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為患色盲與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：
性別 “體育迷”情況 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男 30 15 45
女 45 10 55
合計(jì) 75 25 100
零假設(shè)為H0：“體育迷”與性別無關(guān).
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得
χ2==≈3.030<3.841=x0.05，
根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為“體育迷”與性別無關(guān).
(2)由頻率分布直方圖，知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意知X~B，從而X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=，D(X)=3××=.
例4　解　(1)由散點(diǎn)圖判斷，y=c+更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
(2)令u=，
先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=+u，
由于==≈8.96，
所以=-·≈3.63-8.96×0.269≈1.22，
所以y關(guān)于u的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.22+8.96u，
所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
=1.22+.
(3)假設(shè)印刷x千冊(cè)，
依題意得9.22x-x≥80，解得x≥11.12，
所以至少印刷11 120冊(cè)才能使銷售利潤不低于80 000元.
跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)選擇模型①，理由如下：
根據(jù)殘差圖可以看出，模型①殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在以橫軸為對(duì) 稱軸，寬度小于1的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且模型①的殘差平方和明顯小于模型②，所以模型①的擬合效果相對(duì)較好.
(2)由(1)知，y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x2+，
令t=x2，則=t+.
由所給數(shù)據(jù)可得=ti=×(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，
=yi=×(0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2)=5，
則==≈0.19，
=-≈5-0.19×25.5≈0.16.
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.19x2+0.16.
預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新增光伏裝機(jī)量為=0.19×112+0.16=23.15(兆瓦).

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