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第八章
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§8.3
列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟.
2.能利用等高堆積條形圖、2×2列聯(lián)表探討兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián).
3.了解隨機(jī)變量χ2的含義及作用.
4.通過對數(shù)據(jù)的處理，提高解決實(shí)際問題的能力.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
有關(guān)醫(yī)學(xué)研究表明，許多疾病，例如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關(guān)，吸煙已成為繼高血壓之后的第二號全球殺手.為此，世界衛(wèi)生組織固定每年5月31日為世界無煙日.那么這些疾病與吸煙有怎樣的關(guān)系呢？
導(dǎo) 語
一、分類變量與列聯(lián)表
二、等高堆積條形圖的應(yīng)用
隨堂演練
三、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
內(nèi)容索引
課時(shí)對點(diǎn)練
一
分類變量與列聯(lián)表
數(shù)值變量：數(shù)值變量的取值為 ，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.
分類變量：我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為 ，分類變量的取值可以用 表示.
實(shí)數(shù)
分類變量
實(shí)數(shù)
分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)來表示，例如男性，女性可以用1，0表示，學(xué)生所在的班級可以用1，2，3來表示.這些數(shù)值只作編號使用，并沒有通常的大小和運(yùn)算意義.分類變量是相對于數(shù)值變量來說的.
注 意 點(diǎn)
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為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了
9 965人，其中，不吸煙的7 817人中有42人患肺癌，吸煙的2 148人中有49人患肺癌，試分析吸煙是否對患肺癌有影響.
我們在研究“吸煙與患肺癌的關(guān)系”時(shí)，需要關(guān)注哪些量呢？請補(bǔ)全表格，并完成問題(1)(2).
問題1
吸煙 肺癌 合計(jì)
非肺癌患者 肺癌患者
非吸煙者 42 7 817
吸煙者 49 2 148
合計(jì) 9 965
(1)在非吸煙者中患肺癌的比例為　　　　　　　　　；
(2)在吸煙者中患肺癌的比例為　　　　.
提示　吸煙患肺癌的人數(shù)；不吸煙患肺癌的人數(shù)；吸煙不患肺癌的人數(shù)；不吸煙不患肺癌的人數(shù).
(1)0.54%　(2)2.28%
說明：吸煙者和非吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大.
吸煙 肺癌 合計(jì)
非肺癌患者 肺癌患者
非吸煙者 7 775 42 7 817
吸煙者 2 099 49 2 148
合計(jì) 9 874 91 9 965
2×2列聯(lián)表
定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如表所示：
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛Y=0｝和｛Y=1｝的 ；最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛X=0｝和｛X=1｝的 ；中間的四個(gè)數(shù)a，b，c，d是事件｛X=x，Y=y｝(x，y=0，1)的 ；右下角格中的數(shù)n是 .
頻數(shù)
頻數(shù)
頻數(shù)
樣本容量
　在研究某種藥物對“H1N1”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)：對150只動(dòng)物進(jìn)行藥物治療，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，對150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表.
例 1
2×2列聯(lián)表如表所示：
治療方法 治療效果 合計(jì)
存活 死亡
藥物治療 132 18 150
常規(guī)治療 114 36 150
合計(jì) 246 54 300
作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別.計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤.
反
思
感
悟
　為了解對某班學(xué)生經(jīng)常打籃球和性別是否有關(guān)，對該班40名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表.
跟蹤訓(xùn)練 1
性別 打籃球 合計(jì)
經(jīng)常 不經(jīng)常
男生 m 4 20
女生 8 20
合計(jì) n 40
則m=　　　，n=　　　.
16
16
依題意可得列聯(lián)表如下.
性別 打籃球 合計(jì)
經(jīng)常 不經(jīng)常
男生 16 4 20
女生 8 12 20
合計(jì) 24 16 40
故m=n=16.
二
等高堆積條形圖的應(yīng)用
問題1中“為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響”，我們還能夠從圖形中得到吸煙與患肺癌之間的關(guān)系嗎？
問題2
提示　從圖形中可得出吸煙者患肺癌的可能性大.
1.等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果.
2.觀察等高堆積條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.
　為了解鉛中毒與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如表所示.
例 2
試畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，分析鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系.
組別 尿棕色素 合計(jì)
陽性數(shù) 陰性數(shù)
鉛中毒病人組 29 7 36
對照組 9 28 37
合計(jì) 38 35 73
等高堆積條形圖如圖所示.
其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒
病人組和對照組樣本中尿棕色素為陽
性的頻率.
由圖可以直觀地看出鉛中毒病人組與對照組的尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒與尿棕色素為陽性有關(guān)系.
反
思
感
悟
(1)收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果.
(2)列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算頻率.
(3)畫等高堆積條形圖，直觀分析.
利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián)的步驟
　某礦石粉廠生產(chǎn)一種礦石粉時(shí)，數(shù)天內(nèi)就有部分工人患職業(yè)性皮膚炎.在生產(chǎn)季節(jié)期間，隨機(jī)抽取車間工人抽血化驗(yàn)，75名穿新防護(hù)服的工人中5例陽性，70例陰性，28名穿舊防護(hù)服的工人中10例陽性，18例陰性，請用等高堆積條形圖判斷這種新防護(hù)服對預(yù)防工人職業(yè)性皮膚炎是否有效.(注：顯陰性即未患皮膚炎)
跟蹤訓(xùn)練 2
2×2列聯(lián)表如表所示.
防護(hù)服 皮膚炎 合計(jì)
陽性例數(shù) 陰性例數(shù)
穿新防護(hù)服 5 70 75
穿舊防護(hù)服 10 18 28
合計(jì) 15 88 103
相應(yīng)的等高堆積條形圖
如圖所示.
圖中兩個(gè)深色條的高分別表示穿新、舊防護(hù)服樣本中呈陽性的頻率，從圖中可以看出，穿舊防護(hù)服呈陽性的頻率明顯高于穿新防護(hù)服呈陽性的頻率.因此，可以認(rèn)為新防護(hù)服對預(yù)防這種皮膚炎有效.
三
獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
提示　假設(shè)H0表示｛X=1｝和｛Y=1｝無關(guān)(通常稱H0為零假設(shè)).
由2×2列聯(lián)表，如何假設(shè)事件｛X=1｝和｛Y=1｝之間的關(guān)系？
問題3
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
提示　相互獨(dú)立.
在問題3中，假若分類變量X與Y沒有關(guān)聯(lián)，則｛X=1｝與｛Y=1｝，｛X=0｝與｛Y=1｝，｛X=0｝與｛Y=0｝，｛X=1｝與｛Y=0｝有什么關(guān)系？
問題4
1.獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“ ”，簡稱 .
2.χ2=__________________，其中n=a+b+c+d.
卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)
獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)χ2越小，獨(dú)立性越強(qiáng)，相關(guān)性越弱；χ2越大，獨(dú)立性越弱，相關(guān)性越強(qiáng).
(2)當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；
當(dāng)χ2注 意 點(diǎn)
<<<
　(1)有關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險(xiǎn)大幅降低，對保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.某市針對電動(dòng)自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1 000名騎行人員中，年齡低于40歲的占60%，記錄其年齡和是否佩戴安全頭盔的情況，得到2×2列聯(lián)表如表所示.
例 3
①完成上面的列聯(lián)表；
年齡 安全頭盔 合計(jì)
佩戴 未佩戴
低于40歲 540
不低于40歲
合計(jì) 880 1 000
年齡低于40歲的有1000×60%=600(人)，
完成2×2列聯(lián)表如表所示.
年齡 安全頭盔 合計(jì)
佩戴 未佩戴
低于40歲 540 60 600
不低于40歲 340 60 400
合計(jì) 880 120 1 000
②依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)？
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
零假設(shè)為H0：遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān)，
由公式得χ2==≈5.682<6.635=x0.01，
∴根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，
因此可以認(rèn)為H0成立，
即認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān).
(2)為了了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.
已知從這30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖學(xué)生的概率為.
①請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
肥胖 碳酸飲料 合計(jì)
常喝 不常喝
肥胖者 2
不肥胖者 18
合計(jì) 30
因?yàn)閺倪@30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖學(xué)生的概率為，
所以這30名學(xué)生中，肥胖學(xué)生的人數(shù)為30×=8，完善2×2列聯(lián)表如表所示.
肥胖 碳酸飲料 合計(jì)
常喝 不常喝
肥胖者 6 2 8
不肥胖者 4 18 22
合計(jì) 10 20 30
②依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
零假設(shè)為H0：肥胖與常喝碳酸飲料無關(guān)，
由公式得χ2=≈8.523>7.879=x0.005，
依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān).
反
思
感
悟
(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量無關(guān).
(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值.
(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.
(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論.
獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
　某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人.
①根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；
跟蹤訓(xùn)練 3
2×2列聯(lián)表如表所示：
教師年齡 對新課程教學(xué)模式的態(tài)度 合計(jì)
贊同 不贊同
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計(jì) 34 16 50
②試根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡是否有關(guān)系.
附表：
α 0.05 0.01 0.005
xα 3.841 6.635 7.879
零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡無關(guān).
由公式得
χ2=≈4.963<6.635=x0.01，
根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡無關(guān).
1.知識清單：
(1)分類變量.
(2)2×2列聯(lián)表，等高堆積條形圖.
(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)、χ2公式.
2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū)：對獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問題.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.某廠家為了解顧客對改進(jìn)后產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男、女顧客，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有的男顧客“不滿意”，有的女顧客“不滿意”，若依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對產(chǎn)品是否滿意與性別有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為
參考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.150 B.168 C.192 D.156
√
1
2
3
4
依題意，設(shè)男、女顧客的人數(shù)各為12x.
建立2×2列聯(lián)表如表所示：
χ2==，
由題意可知≥6.635，所以24x≥179.145.
滿意 不滿意 合計(jì)
男生 10x 2x 12x
女生 8x 4x 12x
合計(jì) 18x 6x 24x
2.(多選)如圖是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡數(shù)學(xué)的百分比，由圖可以看出
A.性別與喜歡數(shù)學(xué)無關(guān)
B.女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為80%
C.男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大
D.男生中不喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為40%
1
2
3
4
√
√
1
2
3
4
由題圖知女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為20%，男生中不喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為40%，男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大，故A，B不正確，C，D正確.
3.考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到如表中的數(shù)據(jù)：
1
2
3
4
依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出
A.種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)
B.種子經(jīng)過處理與生病無關(guān)
C.種子經(jīng)過處理決定生病
D.種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)的推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1
生病 棉花種子 合計(jì)
處理 未處理
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合計(jì) 93 314 407
√
1
2
3
4
χ2=≈0.164<2.706=x0.1，依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為種子經(jīng)過處理與生病無關(guān).
4.在如表所示的2×2列聯(lián)表中，d=　　　.
1
2
3
4
24
性別 外語 合計(jì)
會(huì) 不會(huì)
男 a b 20
女 6 d
合計(jì) 18 50
1
2
3
4
由題意得
所以a=12，b=8，d=24.
課時(shí)對點(diǎn)練
五
1.對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2，下列說法正確的是
A.χ2越大，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小
B.χ2越小，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小
C.χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)聯(lián)”的可信程度越小
D.χ2越大，“X與Y無關(guān)聯(lián)”的可信程度越大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
基礎(chǔ)鞏固
√
對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2，χ2越大，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越大；χ2越小，“X與Y有關(guān)聯(lián)”的可信程度越小.
2.某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
年齡 體檢 合計(jì)
每年體檢 未每年體檢
老年人 a 7 c
年輕人 6 b d
合計(jì) e f 50
已知抽取的老年人、年輕人各25名，則對列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是
A.a=18 B.b=19 C.c+d=50 D.e-f=2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由題意得，a+7=c=25，6+b=d=25，a+6=e，7+b=f，e+f=50，
所以a=18，b=19，c+d=50，e=24，f=26，
則e-f=-2.
3.為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高堆積條形圖.根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說法最佳的一項(xiàng)是
A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防
效果
B.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防
效果
C.藥物A，B對該疾病均有顯著的預(yù)防
效果
D.藥物A，B對該疾病均沒有預(yù)防效果
√
1
2
3
4
5
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8
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11
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15
1
2
3
4
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11
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13
14
15
根據(jù)兩個(gè)表中的等高堆積條形圖知，藥物A實(shí)驗(yàn)顯示不服藥與服藥時(shí)患病差異明顯比藥物B實(shí)驗(yàn)大，所以藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果.
1
2
3
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14
15
4.某課外興趣小組通過隨機(jī)調(diào)查，利用2×2列聯(lián)表和χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān).計(jì)算得χ2=6.748，經(jīng)查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)=0.01，則下列判斷正確的是
A.每100個(gè)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中就會(huì)有1名是女生
B.若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.01
C.依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別無關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
∵χ2=6.748≥6.635=x0.01，∴依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.
5.(多選)有兩個(gè)分類變量X，Y，其2×2列聯(lián)表如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
其中a，15-a均為大于5的整數(shù)，若依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為
A.6 B.7 C.8 D.9
√
X Y 合計(jì)
Y1 Y2
X1 a 20-a 20
X2 15-a 30+a 45
合計(jì) 15 50 65
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由題意可知
χ2=
=≥3.841=x0.05，根據(jù)a>5，
且15-a>5，a∈Z，得當(dāng)a=8或a=9時(shí)滿足題意.
6.(多選)某校計(jì)劃在課外活動(dòng)中新增攀巖項(xiàng)目，為了解學(xué)生喜歡攀巖和性別是否有關(guān)聯(lián)，面向?qū)W生開展了一次隨機(jī)調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡攀巖的占80%，女生中不喜歡攀巖的占70%，則
參考公式：χ2=.
A.參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多
B.參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多
C.若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，則依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，
認(rèn)為喜歡攀巖和性別有關(guān)聯(lián)
D.從樣本估計(jì)總體的角度看，參與調(diào)查的男、女生人數(shù)越多，得出“喜歡攀巖與
性別有關(guān)聯(lián)”這一結(jié)論的可信度越高
1
2
3
4
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√
√
√
1
2
3
4
5
6
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11
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15
由題意設(shè)參加調(diào)查的男、女生人數(shù)均為m，則得到如下2×2列聯(lián)表：
所以參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多，參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)少，故A正確，B錯(cuò)誤；
性別 攀巖 合計(jì)
喜歡 不喜歡
男生 0.8m 0.2m m
女生 0.3m 0.7m m
合計(jì) 1.1m 0.9m 2m
1
2
3
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8
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15
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到
χ2==，
當(dāng)m=100時(shí)，
χ2==≈50.505>10.828=x0.001，
所以當(dāng)參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100時(shí)，依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡攀巖和性別有關(guān)聯(lián)，故C正確；
根據(jù)公式，m越大，χ2也越大，所以得出“喜歡攀巖與性別有關(guān)聯(lián)”這一結(jié)論的可信度越高，D正確.
1
2
3
4
5
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15
7.如圖是調(diào)查某學(xué)校高一年級男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動(dòng)而得到的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級男生500人、女生400人(假設(shè)所有學(xué)生都參加了調(diào)查)，現(xiàn)從所有
喜歡徒步的學(xué)生中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方
法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為　　.
15
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2
3
4
5
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15
根據(jù)等高堆積條形圖可知，喜歡徒步的男生人數(shù)為0.6×500=300，喜歡徒步的女生人數(shù)為0.4×400=160，所以喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為300+160=460，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為×23=15.
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8.在第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)中，為了解運(yùn)動(dòng)員的飲食習(xí)慣，對30名運(yùn)動(dòng)員的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，依據(jù)統(tǒng)計(jì)所得數(shù)據(jù)可得到如下的2×2列聯(lián)表：
根據(jù)以上列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值α=　　　　的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員飲食習(xí)慣與性別有關(guān).
0.005
性別 飲食習(xí)慣 合計(jì)
中餐 西餐
女性 d 8 c
男性 16 2 18
合計(jì) a b 30
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15
參考公式：χ2=，
其中n=a+b+c+d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1
2
3
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15
由列聯(lián)表可得a=20，b=10，c=12，d=4，
可得χ2==10>7.879=x0.005，所以依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員飲食習(xí)慣與性別有關(guān).
性別 飲食習(xí)慣 合計(jì)
中餐 西餐
女性 d 8 c
男性 16 2 18
合計(jì) a b 30
9.某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式的對比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測，試驗(yàn)班與對照班成績統(tǒng)計(jì)如表所示(單位：人)：
1
2
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4
5
6
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15
班級 成績 合計(jì)
80及80分以上 80分以下
試驗(yàn)班 35 15 50
對照班 20 m 50
合計(jì) 55 45 n
(1)求m，n的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
班級 成績 合計(jì)
80及80分以上 80分以下
試驗(yàn)班 35 15 50
對照班 20 m 50
合計(jì) 55 45 n
1
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5
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由表得，m=50-20=30，n=55+45=100，即m=30，n=100.
班級 成績 合計(jì)
80及80分以上 80分以下
試驗(yàn)班 35 15 50
對照班 20 m 50
合計(jì) 55 45 n
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系？
參考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
附表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
1
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3
4
5
6
7
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零假設(shè)為H0：教學(xué)方式與成績無關(guān).
由表得χ2=≈9.091>7.879=x0.005，依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系.
1
2
3
4
5
6
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8
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15
10.某校對有心理障礙的學(xué)生進(jìn)行測試得到如下列聯(lián)表：
性別 心理障礙 合計(jì)
焦慮 說謊 懶惰
女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合計(jì) 25 20 65 110
試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大？
1
2
3
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15
對于題中三種心理障礙焦慮、說謊、懶惰分別構(gòu)造三個(gè)隨機(jī)變量.
由表中數(shù)據(jù)列出焦慮是否與性別有關(guān)的2×2列聯(lián)表：
性別 焦慮 合計(jì)
焦慮 不焦慮
女生 5 25 30
男生 20 60 80
合計(jì) 25 85 110
1
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3
4
5
6
7
8
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15
零假設(shè)為H0：焦慮與性別無關(guān).
可得=
≈0.863<2.706=x0.1，
根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為焦慮與性別無關(guān).
同理得=≈6.366>3.841=x0.05，
依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為說謊與性別有關(guān).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
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15
同理得=≈1.410<2.706=x0.1.
依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為懶惰與性別無關(guān).
綜上，三種心理障礙中說謊與性別關(guān)系最大.
11.(多選)某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測部門對該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度(單位：μg/m3)，得到如下所示的2×2列聯(lián)表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
綜合運(yùn)用
PM2.5 SO2 合計(jì)
[0，150] (150，475]
[0，75] 64 16 80
(75，115] 10 10 20
合計(jì) 74 26 100
經(jīng)計(jì)算χ2=≈7.484 4，則可以推斷出
附：χ2=，n=a+b+c+d.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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15
A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75 μg/m3，且SO2濃度不超過150 μg/m3的概率估
計(jì)值是0.64
B.若2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來的10倍，χ2的值不會(huì)發(fā)生變化
C.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度
有關(guān)
D.在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
對于A，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75 μg/m3，且SO2濃度不超過150 μg/m3的概率估計(jì)值是P==0.64，選項(xiàng)A正確；
對于B，2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來的10倍，計(jì)算得到
(χ2)'==10χ2，
所以χ2的值變?yōu)樵瓉淼?0倍，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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14
15
對于C，D，因?yàn)棣?≈7.484 4>6.635，根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)的概率不超過0.01，選項(xiàng)C，D正確.
12.(多選)為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，某調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下的2×2列聯(lián)表(個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示)：
1
2
3
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6
7
8
9
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11
12
13
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15
閱讀量 幸福感 合計(jì)
幸福感強(qiáng) 幸福感弱
閱讀量多 m 18 72
閱讀量少 36 n 78
合計(jì) 90 60 150
計(jì)算得χ2≈12.981，參照下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
下列選項(xiàng)中正確的有
A.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感
強(qiáng)弱無關(guān)”
B.m=54
C.根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感
強(qiáng)弱有關(guān)”
D.n=52
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
零假設(shè)為H0：閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無關(guān)，
∵ χ2≈12.981>6.635=x0.01，且χ2≈12.981>7.879=x0.005，
∴根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，
根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，∴A錯(cuò)，C對；
∵m+36=90，18+n=60，∴m=54，n=42，∴B對，D錯(cuò).
13.(多選)在一次惡劣氣候的飛行航程中，調(diào)查男女乘客在飛機(jī)上暈機(jī)的情況如表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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14
15
性別 暈機(jī)情況 合計(jì)
暈機(jī) 不暈機(jī)
男 a 15 a+b
女 6 d c+d
合計(jì) a+c 28 46
參考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
附表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
則下列說法中正確的是
A.>
B.χ2<2.706
C.依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為在惡劣氣候飛行中，暈機(jī)與性別有關(guān)
D.沒有理由認(rèn)為在惡劣氣候飛行中，暈機(jī)與性別有關(guān)
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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14
15
由列聯(lián)表數(shù)據(jù)，得d=28-15=13，
c+d=6+13=19，a+b=46-19=27，
a=27-15=12，a+c=12+6=18.
填表如下：
性別 暈機(jī)情況 合計(jì)
暈機(jī) 不暈機(jī)
男 12 15 27
女 6 13 19
合計(jì) 18 28 46
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以===，
>，所以A正確；
計(jì)算χ2=≈0.775<2.706=x0.1，所以B正確；
則沒有理由認(rèn)為在惡劣氣候飛行中，暈機(jī)與性別有關(guān)，所以C錯(cuò)誤，D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.某種疾病可分為A，B兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者的，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者的.若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為所患疾病的類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，則被調(diào)查的男性患者至少有　　人.
參考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
設(shè)男性患者有x人，則女性患者有2x人，得2×2列聯(lián)表如下.
性別 疾病類型 合計(jì)
A型疾病 B型疾病
男 x
女 2x
合計(jì) 3x
1
2
3
4
5
6
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零假設(shè)為H0：患者所患疾病類型與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
經(jīng)計(jì)算得到χ2==，
要使在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān)，
則≥7.879，解得x≥11.818 5，
因?yàn)椤蔔*，∈N*，所以x的最小整數(shù)值為12，
因此，男性患者至少有12人.
15.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖所示：
1
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拓廣探究
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，填寫下面的2×2列聯(lián)表；
1
2
3
4
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6
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15
養(yǎng)殖法 箱產(chǎn)量 合計(jì)
箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
合計(jì)
1
2
3
4
5
6
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15
由頻率分布直方圖，知舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50 kg的箱數(shù)為5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×100=
0.62×100=62，
不低于50 kg的箱數(shù)為100-62=38；
新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50 kg的箱數(shù)為(0.004+0.020+0.044)×5×100=34，不低于50 kg
的箱數(shù)為100-34=66.
1
2
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14
15
由此可得列聯(lián)表如下.
養(yǎng)殖法 箱產(chǎn)量 合計(jì)
箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法 62 38 100
新養(yǎng)殖法 34 66 100
合計(jì) 96 104 200
(2)根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān).
附：P(χ2≥6.635)=0.01，
χ2=，n=a+b+c+d.
1
2
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6
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4
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15
零假設(shè)為H0：箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無關(guān).
結(jié)合(1)中列聯(lián)表得χ2=≈15.705>6.635=x0.01，
所以根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟.2.能利用等高堆積條形圖、2×2列聯(lián)表探討兩個(gè)分類變量的關(guān)聯(lián).3.了解隨機(jī)變量χ2的含義及作用.4.通過對數(shù)據(jù)的處理，提高解決實(shí)際問題的能力.
一、分類變量與列聯(lián)表
知識梳理
數(shù)值變量：數(shù)值變量的取值為　　　　　，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.
分類變量：我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為　　　　　　　　，分類變量的取值可以用　　　　表示.
問題1　為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9 965人，其中，不吸煙的7 817人中有42人患肺癌，吸煙的2 148人中有49人患肺癌，試分析吸煙是否對患肺癌有影響.
我們在研究“吸煙與患肺癌的關(guān)系”時(shí)，需要關(guān)注哪些量呢？請補(bǔ)全表格，并完成問題(1)(2).
吸煙 肺癌 合計(jì)
非肺癌患者 肺癌患者
非吸煙者 42 7 817
吸煙者 49 2 148
合計(jì) 9 965
(1)在非吸煙者中患肺癌的比例為 　；
(2)在吸煙者中患肺癌的比例為　　　　.
知識梳理
2×2列聯(lián)表
定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如表所示：
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛Y=0｝和｛Y=1｝的　　　　　；最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛X=0｝和｛X=1｝的　　　　；中間的四個(gè)數(shù)a，b，c，d是事件｛X=x，Y=y｝(x，y=0，1)的　　　　；右下角格中的數(shù)n是　　　　　　　　.
例1　在研究某種藥物對“H1N1”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)：對150只動(dòng)物進(jìn)行藥物治療，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，對150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表.
反思感悟　作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別.計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤.
跟蹤訓(xùn)練1　為了解對某班學(xué)生經(jīng)常打籃球和性別是否有關(guān)，對該班40名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表.
性別 打籃球 合計(jì)
經(jīng)常 不經(jīng)常
男生 m 4 20
女生 8 20
合計(jì) n 40
則m=　　　　，n=　　　　.
二、等高堆積條形圖的應(yīng)用
問題2　問題1中“為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響”，我們還能夠從圖形中得到吸煙與患肺癌之間的關(guān)系嗎？
知識梳理
1.等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果.
2.觀察等高堆積條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.
例2　為了解鉛中毒與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如表所示.
組別 尿棕色素 合計(jì)
陽性數(shù) 陰性數(shù)
鉛中毒病人組 29 7 36
對照組 9 28 37
合計(jì) 38 35 73
試畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，分析鉛中毒病人組和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系.
反思感悟　利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)聯(lián)的步驟
(1)收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果.
(2)列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算頻率.
(3)畫等高堆積條形圖，直觀分析.
跟蹤訓(xùn)練2　某礦石粉廠生產(chǎn)一種礦石粉時(shí)，數(shù)天內(nèi)就有部分工人患職業(yè)性皮膚炎.在生產(chǎn)季節(jié)期間，隨機(jī)抽取車間工人抽血化驗(yàn)，75名穿新防護(hù)服的工人中5例陽性，70例陰性，28名穿舊防護(hù)服的工人中10例陽性，18例陰性，請用等高堆積條形圖判斷這種新防護(hù)服對預(yù)防工人職業(yè)性皮膚炎是否有效.(注：顯陰性即未患皮膚炎)
三、獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
問題3　由2×2列聯(lián)表，如何假設(shè)事件｛X=1｝和｛Y=1｝之間的關(guān)系？
X Y 合計(jì)
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合計(jì) a+c b+d n=a+b+c+d
問題4　在問題3中，假若分類變量X與Y沒有關(guān)聯(lián)，則｛X=1｝與｛Y=1｝，｛X=0｝與｛Y=1｝，｛X=0｝與｛Y=0｝，｛X=1｝與｛Y=0｝有什么關(guān)系？
知識梳理
1.獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“　　　　　　　　　　　　　”，簡稱　　　　　　　　.
2.χ2= 　，
其中n=a+b+c+d.
例3　(1)有關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險(xiǎn)大幅降低，對保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.某市針對電動(dòng)自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1 000名騎行人員中，年齡低于40歲的占60%，記錄其年齡和是否佩戴安全頭盔的情況，得到2×2列聯(lián)表如表所示.
年齡 安全頭盔 合計(jì)
佩戴 未佩戴
低于40歲 540
不低于40歲
合計(jì) 880 1 000
①完成上面的列聯(lián)表；
②依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)？
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
(2)為了了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對30名六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.
肥胖 碳酸飲料 合計(jì)
常喝 不常喝
肥胖者 2
不肥胖者 18
合計(jì) 30
已知從這30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖學(xué)生的概率為.
①請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
②依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
反思感悟　獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量無關(guān).
(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值.
(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.
(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練3　某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人.
①根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；
②試根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡是否有關(guān)系.
附表：
α 0.05 0.01 0.005
xα 3.841 6.635 7.879
1.知識清單：
(1)分類變量.
(2)2×2列聯(lián)表，等高堆積條形圖.
(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)、χ2公式.
2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.
3.常見誤區(qū)：對獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問題.
1.某廠家為了解顧客對改進(jìn)后產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男、女顧客，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有的男顧客“不滿意”，有的女顧客“不滿意”，若依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對產(chǎn)品是否滿意與性別有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為 (　　)
參考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.150 B.168 C.192 D.156
2.(多選)如圖是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生對數(shù)學(xué)的態(tài)度的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡數(shù)學(xué)的百分比，由圖可以看出 (　　)
A.性別與喜歡數(shù)學(xué)無關(guān)
B.女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為80%
C.男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大
D.男生中不喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為40%
3.考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到如表中的數(shù)據(jù)：
生病 棉花種子 合計(jì)
處理 未處理
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合計(jì) 93 314 407
依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出 (　　)
A.種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)
B.種子經(jīng)過處理與生病無關(guān)
C.種子經(jīng)過處理決定生病
D.種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)的推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1
4.在如表所示的2×2列聯(lián)表中，d=　　　.
性別 外語 合計(jì)
會(huì) 不會(huì)
男 a b 20
女 6 d
合計(jì) 18 50
答案精析
知識梳理
實(shí)數(shù)　分類變量　實(shí)數(shù)
問題1　吸煙患肺癌的人數(shù)；不吸煙患肺癌的人數(shù)；吸煙不患肺癌的人數(shù)；不吸煙不患肺癌的人數(shù).
吸煙 肺癌 合計(jì)
非肺癌患者 肺癌患者
非吸煙者 7 775 42 7 817
吸煙者 2 099 49 2 148
合計(jì) 9 874 91 9 965
(1)0.54%　(2)2.28%
說明：吸煙者和非吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大.
知識梳理
頻數(shù)　頻數(shù)　頻數(shù)　樣本容量
例1　解　2×2列聯(lián)表如表所示：
治療方法 治療效果 合計(jì)
存活 死亡
藥物治療 132 18 150
常規(guī)治療 114 36 150
合計(jì) 246 54 300
跟蹤訓(xùn)練1　16　16
解析　依題意可得列聯(lián)表如下.
性別 打籃球 合計(jì)
經(jīng)常 不經(jīng)常
男生 16 4 20
女生 8 12 20
合計(jì) 24 16 40
故m=n=16.
問題2　
從圖形中可得出吸煙者患肺癌的可能性大.
例2　解　等高堆積條形圖如圖所示.
其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人組和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率.
由圖可以直觀地看出鉛中毒病人組與對照組的尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒與尿棕色素為陽性有關(guān)系.
跟蹤訓(xùn)練2　解　2×2列聯(lián)表如表所示.
防護(hù)服 皮膚炎 合計(jì)
陽性例數(shù) 陰性例數(shù)
穿新防護(hù)服 5 70 75
穿舊防護(hù)服 10 18 28
合計(jì) 15 88 103
相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示.
圖中兩個(gè)深色條的高分別表示穿新、舊防護(hù)服樣本中呈陽性的頻率，從圖中可以看出，穿舊防護(hù)服呈陽性的頻率明顯高于穿新防護(hù)服呈陽性的頻率.因此，可以認(rèn)為新防護(hù)服對預(yù)防這種皮膚炎有效.
問題3　假設(shè)H0表示｛X=1｝和｛Y=1｝無關(guān)(通常稱H0為零假設(shè)).
問題4　相互獨(dú)立.
知識梳理
1.卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)
2.
例3　(1)解　①年齡低于40歲的有1000×60%=600(人)，
完成2×2列聯(lián)表如表所示.
年齡 安全頭盔 合計(jì)
佩戴 未佩戴
低于40歲 540 60 600
不低于40歲 340 60 400
合計(jì) 880 120 1 000
②零假設(shè)為H0：遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān)，
由公式得χ2==≈5.682<6.635=x0.01，
∴根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，
因此可以認(rèn)為H0成立，
即認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡無關(guān).
(2)解　①因?yàn)閺倪@30名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖學(xué)生的概率為，
所以這30名學(xué)生中，肥胖學(xué)生的人數(shù)為30×=8，完善2×2列聯(lián)表如表所示.
肥胖 碳酸飲料 合計(jì)
常喝 不常喝
肥胖者 6 2 8
不肥胖者 4 18 22
合計(jì) 10 20 30
②零假設(shè)為H0：肥胖與常喝碳酸飲料無關(guān)，
由公式得χ2=≈8.523>7.879=x0.005，
依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān).
跟蹤訓(xùn)練3　解　①2×2列聯(lián)表如表所示：
教師年齡 對新課程教學(xué)模式的態(tài)度 合計(jì)
贊同 不贊同
老教師 10 10 20
青年教師 24 6 30
合計(jì) 34 16 50
②零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡無關(guān).
由公式得
χ2=≈4.963<6.635=x0.01，
根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的態(tài)度與教師年齡無關(guān).
隨堂演練
1.C　［依題意，設(shè)男、女顧客的人數(shù)各為12x.
建立2×2列聯(lián)表如表所示：
滿意 不滿意 合計(jì)
男生 10x 2x 12x
女生 8x 4x 12x
合計(jì) 18x 6x 24x
χ2==，
由題意可知≥6.635，
所以24x≥179.145.］
2.CD　［由題圖知女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為20%，男生中不喜歡數(shù)學(xué)的百分比約為40%，男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大，故A，B不正確，C，D正確.］
3.B　［χ2=≈0.164<2.706=x0.1，依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為種子經(jīng)過處理與生病無關(guān).］
4.24
解析　由題意得
所以a=12，b=8，d=24.

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