資源簡介

(共64張PPT)
第八章
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第2課時
非線性回歸模型
1.用擬合效果分析非線性回歸問題.
2.了解非線性回歸模型，掌握非線性回歸模型的求解過程.
學習目標
一、用擬合效果分析非線性回歸問題
二、非線性回歸模型
隨堂演練
內容索引
課時對點練
一
用擬合效果分析非線性回歸問題
經濟學專業(yè)的學生們?yōu)檠芯苛魍ㄙM率y和銷售額x(單位：千萬元)的關系，對同類型10家企業(yè)的相關數據(i=1，2，…，10)進行整理，并得到如下散點圖：
例 1
根據此散點圖，在2千萬元至1億元之間，下面四個回歸模型中最適宜作為流通費率y和銷售額x的回歸模型的是
A.y=ax+b B.y=ax2+b C.y=aex+b D.y=aln x+b
√
根據散點圖，可以知道各點基本
上是沿著一條具有遞減趨勢的曲
線分布，并且變化趨勢較平緩，
A中，y=ax+b表示直線，變化趨勢是定的，不符合題意；
B中，y=ax2+b表示的曲線在(2，10)內隨x的增大而上升或下降的越來越快，不符合題意；
C中，y=aex+b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較快，曲線較“陡峭”，不符合題意；
D中，y=aln x+b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較平緩，符合題意.
(1)根據散點圖可以判斷兩個變量之間的相關關系，根據樣本點的分布選取合適的函數模型.
(2)兩個變量Y與x的回歸模型中，決定系數R2越大，擬合效果越好.
反
思
感
悟
　2021年8月27日教育部在其網站發(fā)布了2020年全國教育事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計公報，其中“十三五”時期全國高等教育在學總規(guī)模和毛入學率如圖所示，則下列四個回歸模型中最適合作為毛入學率y和年份數x的回歸模型是
A.y=a+bx
B.y=a+bx2
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
跟蹤訓練 1
√
根據圖象可知，函數圖象隨著自變量的變大，函數值增長速度基本不變，再由圖象的形狀結合選項，可判定函數y=a+bx符合要求.
二
非線性回歸模型
　噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了了解聲音強度D(單位：dB)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關系，將測量得到的聲音強度Di和聲音能量Ii(i=1，2，…，10)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
例 2
(Ii-)2 (Wi-)2 (Ii-)·(Di-) (Wi-)·(Di-)
1.04×10-11 45.7 -11.5 1.56×10-21 0.51 6.88×10-11 5.1
表中Wi=lg Ii，=Wi.
(Ii-)2 (Wi-)2 (Ii-)·(Di-) (Wi-)·(Di-)
1.04×10-11 45.7 -11.5 1.56×10-21 0.51 6.88×10-11 5.1
(1)根據表中數據，求聲音強度D關于聲音能量I的非線性經驗回歸方程=+·lg I；
附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經驗回歸直線=
+u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=，=- .
由Wi=lg Ii，先建立D關于W的經驗回歸方程，
由于===10，
∴=- =45.7-10×(-11.5)=160.7，
∴D關于W的經驗回歸方程是=10W+160.7，
即D關于I的非線性經驗回歸方程是
=10·lg I+160.7.
(2)當聲音強度大于60 dB時屬于噪音，會產生噪聲污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是I1和I2，且+=1010.已知點P的聲音能量等于聲音能量I1與I2之和，請根據①中的非線性經驗回歸方程，判斷點P是否受到噪聲污染的干擾，并說明理由.
點P的聲音能量I=I1+I2，
∵+=1010，
∴I=I1+I2=10-10·(I1+I2)=10-10·≥9×10-10(當且僅當=，即I2=2I1時等號成立)，
根據(1)中的非線性經驗回歸方程，點P的聲音強度D的最小預測值為
=10·lg(9×10-10)+160.7=10·lg 9+60.7>60，
∴點P會受到噪聲污染的干擾.
反
思
感
悟
(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應變量為y.
(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(冪函數、指數函數、對數函數、二次函數)圖象作比較，選取擬合效果好的函數模型.
(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題.
(4)分析擬合效果：通過計算決定系數來判斷擬合效果.
(5)寫出非線性經驗回歸方程.
解決非線性回歸問題的方法步驟
　 黃河鯉是我國華北地區(qū)的主要淡水養(yǎng)殖品種之一，其鱗片金黃、體形梭長，尤以色澤鮮麗、肉質細嫩、氣味清香而著稱.為研究黃河鯉早期生長發(fā)育的規(guī)律，豐富黃河鯉早期養(yǎng)殖經驗，某院校研究小組以當地某水產養(yǎng)殖基地的黃河鯉仔魚為研究對象，從出卵開始持續(xù)觀察20天，試驗期間，每天固定時段從試驗水體中隨機取出同批次9尾黃河鯉仔魚測量體長，取其均值作為第ti天的觀測值yi(單位：mm)，其中ti=i，i=1，2，3，…，20.根據以往的統(tǒng)計資料，該組數據可以用Logistic
跟蹤訓練 2
曲線擬合模型y=或Logistic非線性回歸模型y=進行統(tǒng)計分析，其中a，b，u為參數.基于這兩個模型，繪制得到如右的散點圖和殘差圖.
(1)你認為哪個模型的擬合效果更好？分別結合散點圖和殘差圖進行說明；
附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸方程=+x的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
=，=-；參考數據：e-4≈0.018 3.
Logistic非線性回歸模型y=擬合效果更好.
從散點圖看，散點更均勻地分布在該模型擬合曲線附近；
從殘差圖看，該模型下的殘差更均勻地集中在以殘差為0的直線為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內.
(2)假定u=12.5，且黃河鯉仔魚的體長y與天數t具有很強的相關關系.現(xiàn)對數據進行初步處理，得到如下統(tǒng)計量的值：
=ti=10.5，=zi=-3.83，
=wi=-1.608，
=665，=-109.06，=
-138.32，其中zi=ln，wi=ln，根據(1)的判斷結果及給定數據，求y關于t的經驗回歸方程，并預測第22天時仔魚的體長(結果精確到小數點后2位).
附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸方程=+x的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=，=-；參考數據：e-4≈0.018 3.
將y=轉化為ln=a-bt，
則-===-0.208，
所以=0.208，
所以=-·=-1.608+0.208×10.5=0.576.
所以y關于t的經驗回歸方程為
=.
當t=22時，體長=
=≈12.28(mm).
1.知識清單：
(1)用擬合效果分析非線性回歸問題.
(2)非線性回歸模型.
2.方法歸納：轉化思想.
3.常見誤區(qū)：非線性經驗回歸方程轉化為線性經驗回歸方程時的轉化方法.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.營養(yǎng)學家對某地區(qū)居民的身高y與營養(yǎng)攝入量x的幾組數據進行研究后發(fā)現(xiàn)兩個變量存在相關關系，該營養(yǎng)學家按照不同的曲線擬合y與x之間的經驗回歸方程，并算出決定系數R2如表所示.
擬合曲線 直線 指數曲線 拋物線 三次曲線
y與x的經驗回歸方程 =f1(x) =f2(x) =f3(x) =f4(x)
決定系數R2 0.893 0.986 0.931 0.312
則這組數據模型的經驗回歸方程的最好選擇應是
A.=f1(x) B.=f2(x) C.=f3(x) D.=f4(x)
√
1
2
3
4
決定系數R2的值越大，說明模型的擬合效果越好，觀察可知，指數曲線的R2最大，故經驗回歸方程的最好選擇應是=f2(x).
2.某校數學學習興趣小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，由試驗數據得到如圖所示的散點圖. 由此散點圖，可以得出最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是
A.y=a+bx B.y=a+bln x
C.y=a+bex D.y=a+bx2
1
2
3
4
√
1
2
3
4
由散點圖可知，數據分布成遞增趨勢，但是
呈現(xiàn)上凸效果，即增加越來越緩慢.
A中，y=a+bx是直線型，均勻增長，不符合
要求；
B中，y=a+bln x是對數型，增長越來越緩慢，符合要求；
C中，y=a+bex是指數型，爆炸式增長，增長越來越快，不符合要求；
D中，y=a+bx2是二次函數型，增長越來越快，不符合要求.
3.若一函數模型為y=ax2+bx+c(a≠0)，將y轉化為t的經驗回歸方程，則需做變換t等于
A.x2 B.(x+a)2
C. D.以上都不對
1
2
3
4
√
1
2
3
4
y=ax2+bx+c=a+(a≠0)，可令t=，則y=at+為y關于t的經驗回歸方程.
4.在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數曲線y=ebx+a的周圍.令z=ln y，求得經驗回歸方程為=0.25x-2.58，則該模型的非線性經驗回歸方程為　　　　　　.
1
2
3
4
=e0.25x-2.58
因為=0.25x-2.58，z=ln y，
所以=e0.25x-2.58.
課時對點練
四
1.某互聯(lián)網公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數據如表：
1
2
3
4
月份 1 2 3 4 5 6
廣告投入量x/萬元 2 4 6 8 10 12
收益y/萬元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
1
2
3
4
他們用兩種模型(ⅰ)y=bx+a，(ⅱ)y=aebx分別進行擬合，得到相應的經驗回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值.
xiyi
7 30 1 464.24 364
(1)根據殘差圖，比較模型(ⅰ)，(ⅱ)的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；
1
2
3
4
應該選擇模型(ⅰ)，因為模型(ⅰ)的帶狀區(qū)域比模型(ⅱ)的帶狀區(qū)域窄，所以模型(ⅰ)的擬合效果好，經驗回歸方程的預測精度高.
1
2
3
4
(2)殘差絕對值大于2的數據被認為是異常數據，需要剔除：
①剔除異常數據后，求出(1)中所選模型的經驗回歸方程；
xiyi
7 30 1 464.24 364
1
2
3
4
剔除異常數據即3月份的數據后，得
=×(7×6-6)=7.2，
=×(30×6-31.8)=29.64.
xiyi=1 464.24-6×31.8=1 273.44，
=364-62=328.
1
2
3
4
====3，
=-=29.64-3×7.2=8.04.
所以y關于x的經驗回歸方程為=3x+8.04.
②當廣告投入量x=18時，(1)中所選模型收益的預測值是多少
附：對于一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經驗回歸直線= x
xiyi
7 30 1 464.24 364
+的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為==，=-.
1
2
3
4
1
2
3
4
把x=18代入①中所求經驗回歸方程，
得=3×18+8.04=62.04(萬元)，
故收益的預測值為62.04萬元.
2.某大型現(xiàn)代化農場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產量，積極開展技術創(chuàng)新活動.該農場采用了延長光照時間的方案，該農場選取了20間大棚(每間一畝)進行試點，得到各間大棚產量數據并繪制成如圖所示的散點圖.光照時長為x(單位：小時)，大棚蔬菜產量為y(單位：千斤每畝)，記w=ln x.
1
2
3
4
(1)根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dln x，哪一個更適合作為大棚蔬菜產量y關于光照時長x的回歸模型(給出判斷即可，不必說明理由)；
1
2
3
4
根據散點圖知，開始的點在某條直線附近，但后面的點會越來越偏離這條直線，因此y=c+dln x更適合作為y關于x的回歸模型.
1
2
3
4
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的經驗回歸方程(結果保留小數點后兩位)；
參考數據：
xi yi wi xiyi wiyi
290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1
參考公式：β關于α的經驗回歸方程=α+中，=，=-.
1
2
3
4
因為w=ln x，
所以y=c+dln x，即y=c+dw，
===5.12，===2.6，
==≈3.26，
=5.12-×2.6≈-3.34，
所以=3.26w-3.34，即=3.26ln x-3.34.
1
2
3
4
(3)根據實際種植情況，發(fā)現(xiàn)上述經驗回歸方程在光照時長位于6~14小時內擬合程度良好，利用(2)中所求方程估計當光照時長為e2小時時(自然對數的底數e≈2.718 28)，大棚蔬菜畝產量約為多少？
1
2
3
4
當x=e2時，=3.26ln e2-3.34=3.18.
所以大棚蔬菜畝產量約為3.18千斤.
3.某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進行改進.如圖是2014年至2023年，該果園每年的投資金額x(單位：萬元)與年利潤增量y(單位：萬元)的散點圖.
1
2
3
4
該果園為了預測2024年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了y關于x的兩個經驗回歸模型.
模型①：由最小二乘法求得y關于x的經驗回歸方程為=2.50x-2.50；
模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線y=bln x+a的
附近，令t=ln x，則y=bt+a，且有ti=22，yi=230，tiyi=569，=50.92.
1
2
3
4
(1)根據所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關于x的非線性經驗回歸方程；
附：==，=-；
決定系數R2=1-.
參考數據：ln 2≈0.693 1，ln 5≈1.609 4.
1
2
3
4
1
2
3
4
由ti=22， yi=230，
得=2.2，=23，
所以====25，
=-=23-25×2.2=-32，
所以模型②中，y關于x的非線性經驗回歸方程為=25ln x-32.
1
2
3
4
(2)根據下列表格中的數據，比較兩種模型的決定系數R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測投資金額為20萬元時的年利潤增量(結果保留兩位小數).
回歸模型 模型① 模型②
經驗回歸方程 =2.50x-2.50 =ln x+
102.28 36.19
附：==，=-；
決定系數R2=1-.
參考數據：ln 2≈0.693 1，ln 5≈1.609 4.
1
2
3
4
1
2
3
4
由表中的數據，有102.28>36.19，
則1-<1-，
回歸模型 模型① 模型②
經驗回歸方程 =2.50x-2.50 =ln x+
102.28 36.19
1
2
3
4
所以模型①的R2小于模型②的R2，說明回歸模型②的擬合效果更好；
當x=20時，模型②的年利潤增量的預測值為=25ln 20-32=25×(2ln 2+
ln 5)-32≈25×(2×0.693 1+1.609 4)-32=42.89.
故預測投資金額為20萬元時的年利潤增量為42.89萬元.
回歸模型 模型① 模型②
經驗回歸方程 =2.50x-2.50 =ln x+
102.28 36.19
1
2
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4
4.某高科技公司對其產品研發(fā)年投資額x(單位：百萬元)與其年銷售量y(單位：千件)的數據進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表和散點圖.
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 1 1.5 3 6 12
z=ln y -0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5
1
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3
4
(1)該公司科研團隊通過分析散點圖的特征，計劃分別用①y=bx+a和②y=edx+c兩種模型作為年銷售量y關于年投資額x的回歸模型，請根據統(tǒng)計表的數據，確定方案①和②的經驗回歸方程(注：系數b，a，d，c按四舍五入保留一位小數)；
1
2
3
4
參考公式及數據：==，=-，
R2=1-=1-，xizi≈28.9，e3.4≈30.
1
2
3
4
由題可得=×=3.5，
=×=4，
xiyi=1×0.5+2×1+3×1.5+4×3+5×6+6×12=121，=1+4+9+16+25+36=91，
1
2
3
4
所以==≈
≈2.1，
=- =4-×3.5=-3.4，
方案①的經驗回歸方程為=2.1x-3.4，
對=兩邊取對數得ln =x+，令=ln ，則=x+.
1
2
3
4
≈×=0.85，
=≈=
≈0.6，
=- ≈0.85-×3.5=-1.36≈-1.4，
方案②的非線性經驗回歸方程為=e0.6x-1.4.
1
2
3
4
(2)根據下表中數據，用決定系數R2(不必計算，只比較大小)比較兩種模型的擬合效果哪個更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測當研發(fā)年投資額為8百萬元時，產品的年銷售量是多少？
經驗回歸方程 =x+ =
18.29 10.06
1
2
3
4
參考公式及數據：==，=-，
R2=1-=1-，xizi≈28.9，e3.4≈30.
1
2
3
4
方案①的決定系數=1-；
方案②的決定系數=1-，
則<，
故模型②的擬合效果更好，精度更高.
預測當研發(fā)年投資額為8百萬元時，產品的年銷售量為=e4.8-1.4=e3.4
≈30(千件).第2課時　非線性回歸模型
［學習目標］　1.用擬合效果分析非線性回歸問題.2.了解非線性回歸模型，掌握非線性回歸模型的求解過程.
一、用擬合效果分析非線性回歸問題
例1　經濟學專業(yè)的學生們?yōu)檠芯苛魍ㄙM率y和銷售額x(單位：千萬元)的關系，對同類型10家企業(yè)的相關數據(i=1，2，…，10)進行整理，并得到如下散點圖：
根據此散點圖，在2千萬元至1億元之間，下面四個回歸模型中最適宜作為流通費率y和銷售額x的回歸模型的是 (　　)
A.y=ax+b B.y=ax2+b
C.y=aex+b D.y=aln x+b
反思感悟　(1)根據散點圖可以判斷兩個變量之間的相關關系，根據樣本點的分布選取合適的函數模型.
(2)兩個變量Y與x的回歸模型中，決定系數R2越大，擬合效果越好.
跟蹤訓練1　2021年8月27日教育部在其網站發(fā)布了2020年全國教育事業(yè)發(fā)展統(tǒng)計公報，其中“十三五”時期全國高等教育在學總規(guī)模和毛入學率如圖所示，則下列四個回歸模型中最適合作為毛入學率y和年份數x的回歸模型是 (　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
二、非線性回歸模型
例2　噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了了解聲音強度D(單位：dB)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關系，將測量得到的聲音強度Di和聲音能量Ii(i=1，2，…，10)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
(Ii-)2 (Wi-)2 (Ii-)·(Di-) (Wi-)·(Di-)
1.04×10-11 45.7 -11.5 1.56×10-21 0.51 6.88×10-11 5.1
表中Wi=lg Ii，=Wi.
(1)根據表中數據，求聲音強度D關于聲音能量I的非線性經驗回歸方程=+·lg I；
(2)當聲音強度大于60 dB時屬于噪音，會產生噪聲污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是I1和I2，且+=1010.已知點P的聲音能量等于聲音能量I1與I2之和，請根據①中的非線性經驗回歸方程，判斷點P是否受到噪聲污染的干擾，并說明理由.
附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經驗回歸直線=+u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=，=- .
反思感悟　解決非線性回歸問題的方法步驟
(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應變量為y.
(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(冪函數、指數函數、對數函數、二次函數)圖象作比較，選取擬合效果好的函數模型.
(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題.
(4)分析擬合效果：通過計算決定系數來判斷擬合效果.
(5)寫出非線性經驗回歸方程.
跟蹤訓練2　黃河鯉是我國華北地區(qū)的主要淡水養(yǎng)殖品種之一，其鱗片金黃、體形梭長，尤以色澤鮮麗、肉質細嫩、氣味清香而著稱.為研究黃河鯉早期生長發(fā)育的規(guī)律，豐富黃河鯉早期養(yǎng)殖經驗，某院校研究小組以當地某水產養(yǎng)殖基地的黃河鯉仔魚為研究對象，從出卵開始持續(xù)觀察20天，試驗期間，每天固定時段從試驗水體中隨機取出同批次9尾黃河鯉仔魚測量體長，取其均值作為第ti天的觀測值yi(單位：mm)，其中ti=i，i=1，2，3，…，20.根據以往的統(tǒng)計資料，該組數據可以用Logistic曲線擬合模型y=或Logistic非線性回歸模型y=進行統(tǒng)計分析，其中a，b，u為參數.基于這兩個模型，繪制得到如下的散點圖和殘差圖.
(1)你認為哪個模型的擬合效果更好？分別結合散點圖和殘差圖進行說明；
(2)假定u=12.5，且黃河鯉仔魚的體長y與天數t具有很強的相關關系.現(xiàn)對數據進行初步處理，得到如下統(tǒng)計量的值：=ti=10.5，=zi=-3.83，=wi=-1.608，
=665，=-109.06，=-138.32，其中zi=ln，wi=ln，根據(1)的判斷結果及給定數據，求y關于t的經驗回歸方程，并預測第22天時仔魚的體長(結果精確到小數點后2位).
附：對于一組數據，，…，，其經驗回歸方程=+x的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=，=-；參考數據：e-4≈0.018 3.
1.知識清單：
(1)用擬合效果分析非線性回歸問題.
(2)非線性回歸模型.
2.方法歸納：轉化思想.
3.常見誤區(qū)：非線性經驗回歸方程轉化為線性經驗回歸方程時的轉化方法.
1.營養(yǎng)學家對某地區(qū)居民的身高y與營養(yǎng)攝入量x的幾組數據進行研究后發(fā)現(xiàn)兩個變量存在相關關系，該營養(yǎng)學家按照不同的曲線擬合y與x之間的經驗回歸方程，并算出決定系數R2如表所示.
擬合曲線 直線 指數曲線 拋物線 三次曲線
y與x的經驗回歸方程 =f1(x) =f2(x) =f3(x) =f4(x)
決定系數R2 0.893 0.986 0.931 0.312
則這組數據模型的經驗回歸方程的最好選擇應是 (　　)
A.=f1(x) B.=f2(x)
C.=f3(x) D.=f4(x)
2.某校數學學習興趣小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，由試驗數據得到如圖所示的散點圖. 由此散點圖，可以得出最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸模型的是 (　　)
A.y=a+bx B.y=a+bln x
C.y=a+bex D.y=a+bx2
3.若一函數模型為y=ax2+bx+c(a≠0)，將y轉化為t的經驗回歸方程，則需做變換t等于 (　　)
A.x2 B.(x+a)2
C. D.以上都不對
4.在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數曲線y=ebx+a的周圍.令z=ln y，求得經驗回歸方程為=0.25x-2.58，則該模型的非線性經驗回歸方程為________.
答案精析
例1　D　［根據散點圖，可以知道各點基本上是沿著一條具有遞減趨勢的曲線分布，并且變化趨勢較平緩，
A中，y=ax+b表示直線，變化趨勢是定的，不符合題意；
B中，y=ax2+b表示的曲線在(2，10)內隨x的增大而上升或下降的越來越快，不符合題意；
C中，y=aex+b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較快，曲線較“陡峭”，不符合題意；
D中，y=aln x+b表示的曲線不論是上升還是下降，都比較平緩，符合題意.］
跟蹤訓練1　A　［根據圖象可知，函數圖象隨著自變量的變大，函數值增長速度基本不變，再由圖象的形狀結合選項，可判定函數y=a+bx符合要求.］
例2　解　(1)由Wi=lg Ii，先建立D關于W的經驗回歸方程，
由于===10，
∴=- =45.7-10×(-11.5)=160.7，
∴D關于W的經驗回歸方程是=10W+160.7，
即D關于I的非線性經驗回歸方程是=10·lg I+160.7.
(2)點P的聲音能量I=I1+I2，
∵+=1010，
∴I=I1+I2=10-10·(I1+I2)
=10-10·≥9×10-10(當且僅當=，即I2=2I1時等號成立)，
根據(1)中的非線性經驗回歸方程，點P的聲音強度D的最小預測值為=10·lg(9×10-10)+160.7=10·lg 9+60.7>60，
∴點P會受到噪聲污染的干擾.
跟蹤訓練2　解　(1)Logistic非線性回歸模型y=擬合效果更好.
從散點圖看，散點更均勻地分布在該模型擬合曲線附近；
從殘差圖看，該模型下的殘差更均勻地集中在以殘差為0的直線為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內.
(2)將y=轉化為ln=a-bt，
則-===-0.208，
所以=0.208，
所以=-·=-1.608+0.208×10.5=0.576.
所以y關于t的經驗回歸方程為=.
當t=22時，體長==≈12.28(mm).
隨堂演練
1.B　［決定系數R2的值越大，說明模型的擬合效果越好，觀察可知，指數曲線的R2最大，故經驗回歸方程的最好選擇應是=f2(x).］
2.B　［由散點圖可知，數據分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加越來越緩慢.
A中，y=a+bx是直線型，均勻增長，不符合要求；
B中，y=a+bln x是對數型，增長越來越緩慢，符合要求；
C中，y=a+bex是指數型，爆炸式增長，增長越來越快，不符合要求；
D中，y=a+bx2是二次函數型，增長越來越快，不符合要求.］
3.C　［y=ax2+bx+c=a+(a≠0)，可令t=，則y=at+為y關于t的經驗回歸方程.］
4.=e0.25x-2.58
解析　因為=0.25x-2.58，z=ln y，
所以=e0.25x-2.58.

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