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第七章
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章末復習課
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一、條件概率與全概率公式
二、離散型隨機變量的分布列、均值和方差
三、正態分布的綜合應用
內容索引
條件概率與全概率公式
一
1.求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)=求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率.
2.掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數學運算的核心素養.
采購員要購買10個一包的電器元件.他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如果這3個元件都是好的，他才買下這一包.假定含有4個次品的包數占30%，而其余包中各含1個次品.求：
(1)采購員拒絕購買的概率；
例 1
設B1=“取到的一包含4個次品”，
B2=“取到的一包含1個次品”，
A=“采購員拒絕購買”，則P(B1)=，P(B2)=.
P(A|B1)=1-=，
P(A|B2)=1-=.
由全概率公式得到
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=.
(2)在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個次品的概率.
P(B1|A)===.
(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率.
(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關系，實現三者間的互化.
反
思
感
悟
計算條件概率要注意以下三點
(3)理解全概率公式P(A)= P(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想.
跟蹤訓練 1
　為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習.如果他前一球投進，則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進，則后一球投進的概率為.若他第1球投進的概率為，則他第2球投進的概率為
A. B. C. D.
√
記事件A為“第1球投進”，事件B為“第2球投進”，P(B|A)=，P(B|)=，P(A)=，
由全概率公式可得
P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=+=.
二
離散型隨機變量的分布列、均值和方差
1.均值和方差都是隨機變量的重要的數字特征，方差是建立在均值的基礎之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯系密切，在現實生產生活中的應用比較廣泛.
2.掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養.
例 2
　某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為.
(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%？
角度1　二項分布的均值、方差
設“機器出現故障需要維修”為事件A，則P(A)=.
設出現故障的機器臺數為X，則X~B，
P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××==，
P(X=3)=××=，
P(X=4)=×=.
故X的分布列為
設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為X≤n，即為X=0，X=1，X=2，…，X=n這n+1個互斥事件的和事件，則
X 0 1 2 3 4
P
n 0 1 2 3 4
P(X≤n) 1
因為<90%<，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%.
(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值.
設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18，13，8，
P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=，P(Y=13)=P(X=3)=，
P(Y=8)=P(X=4)=.
故Y的分布列為
Y 18 13 8
P
所以E(Y)=18×+13×+8×=
萬元.
　“雙減”政策的出臺對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為規避風險、尋求發展制定科學方案，工作人員對前200名報名學員的消費金額進行了統計整理，其中數據如表.
例 3
角度2　超幾何分布的均值、方差
消費金額 (千元) [3，5) [5，7) [7，9) [9，11) [11，13) [13，15]
人數 30 50 60 20 30 10
該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用比例分配的分層隨機抽樣的方法在消費金額為[9，11)和[11，13)的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為[11，13)的人數的分布列和均值.
由題意得，抽中的5人中消費金額為[9，11)的人數為×5=2，
消費金額為[11，13)的人數為×5=3，
設抽取的3人消費金額為[11，13)的人數為X，則X=1，2，3，
所以P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=.
(1)關于二項分布的應用
把握二項分布的關鍵是理解隨機試驗中n次、獨立、重復這些字眼，即試驗是多次進行，試驗之間是相互獨立的，每次試驗的概率是相同的，判定隨機變量符合二項分布后結合相應的公式進行計算.
(2)關于超幾何分布的應用
不放回取次品是超幾何分布的典型試驗，可以將取球、選隊員等試驗歸入超幾何分布問題，再利用其概率、均值公式進行計算.
反
思
感
悟
　(1)從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取1個球，記X為取得紅球的次數，則D(X)等于
A. B. C. D.
跟蹤訓練 2
√
由題意得，從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出一個球，取出的是紅球的概率為=，因為是有放回地取球，所以X~B，所以D(X)=5××=.
(2)隨著現代社會物質生活水平的提高，中學生的零花錢越來越多，消費水平也越來越高，也因此滋生了一些不良的攀比現象.某學校為幫助學生培養正確的消費觀念，對該校學生進行了隨機調查，詢問他們每周的零花錢數額，將統計數據按照[0，20)，
[20，40)，…，[120，140]分組后繪制
成如圖所示的頻率分布直方圖，已知
a=3b.
①求圖中a，b的值；
由題意知(a+0.012 5+0.007 5+2b+2×0.002 5)×20=1，
化簡得a+2b=0.025，
又a=3b，所以a=0.015，b=0.005.
②若按比例分配的分層隨機抽樣的方法從每周零花錢在[60，120)內的人中抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人，記這3人中每周零花錢在[80，100)內的人數為X，求X的分布列與均值.
每周零花錢在[60，80)，[80，100)，[100，120)內的頻率分別為0.015×
20=0.3，0.007 5×20=0.15，0.005×20=0.1，
則頻率之比為6∶3∶2，
則從每周零花錢在[60，80)，[80，100)，[100，120)內抽取的人數分別為6，3，2，
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)==，P(X=1)===，
P(X=2)===，P(X=3)==.
所以X的分布列為
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
X 0 1 2 3
P
正態分布的綜合應用
三
1.解決正態分布的實際應用題，關鍵是如何轉化，同時要注意“3σ”原則及正態曲線的對稱性.
2.掌握正態分布的實際應用，重點提升直觀想象和數學建模的核心素養.
　為保障全民閱讀權利，培養全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設，某高校為了解全校學生的閱讀情況，隨機調查了200名學生的每周閱讀時間x(單位：小時)并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
例 4
(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數和樣本方差s2(同一組的數據用該組區間中點值代表)；
根據頻率分布直方圖知，=6×0.03
+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+
11×0.09+12×0.04=9，
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×
0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+
(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78，
所以樣本平均數和樣本方差s2分別為9，1.78.
(2)由頻率分布直方圖可以看出，目前該校學生每周的閱讀時間x大致服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2.
①一般正態分布N(μ，σ2)的概率都可以轉化為標準正態分布N(0，1)的概率進行計算：若X~N(μ，σ2)，令Y=，
則Y~N(0，1)，且P(X≤a)=P.
利用頻率分布直方圖得到的正態分布，
求P；
由題意知μ=9，σ2=1.78，
則有X~N(9，1.78)，
σ==≈，
P(X≤10)=P=P(Y≤0.75)
=0.773 4.
②從該高校的學生中隨機抽取20名，記Z表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數，求Z的均值.
參考數據：≈，若Y~N(0，1)，則P(Y≤0.75)=0.773 4.
由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6，
可得Z~B(20，0.226 6)，
所以Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532.
反
思
感
悟
利用正態曲線解決實際問題時常利用其對稱性解題，并注意借助[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]三個區間內的概率值求解，要注意正態曲線與頻率分布直方圖的結合.
　為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了100個蘋果.經整理分析后發現，蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態分布N，如圖所示，已知P=0.1，P=0.3.
跟蹤訓練 3
(1)若從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，求該蘋果的重量在內的概率；
已知蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態
分布N，
由正態分布的對稱性可知，
P=P
=P-P=0.3-0.1=0.2，
所以從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，該蘋果的重量在(0.5，0.7]內的概率為0.2.
(2)從這100個蘋果中隨機挑出8個，這8個蘋果的重量情況如下：
重量范圍(單位：kg)
個數 2 4 2
為進一步了解蘋果的甜度，從這8個蘋果中隨機選出3個，記隨機選出的3個蘋果中重量在內的個數為X，求隨機變量X的分布列和均值.
由題意可知，隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，
P==，P==，
P==，
所以隨機變量X的分布列為
所以E=1×+2×+3×=.
X 1 2 3
P一、條件概率與全概率公式
1.求條件概率有兩種方法：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)=求解；另一種是縮小樣本空間，即以A為樣本空間計算AB的概率.
2.掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數學運算的核心素養.
例1　采購員要購買10個一包的電器元件.他的采購方法是：從一包中隨機抽查3個，如果這3個元件都是好的，他才買下這一包.假定含有4個次品的包數占30%，而其余包中各含1個次品.求：
(1)采購員拒絕購買的概率；
(2)在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個次品的概率.
反思感悟　計算條件概率要注意以下三點
(1)明白是在誰的條件下，計算誰的概率.
(2)明確P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者間的關系，實現三者間的互化.
(3)理解全概率公式P(A)=P(Bi)P(A|Bi)中化整為零的計算思想.
跟蹤訓練1　為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習.如果他前一球投進，則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進，則后一球投進的概率為.若他第1球投進的概率為，則他第2球投進的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、離散型隨機變量的分布列、均值和方差
1.均值和方差都是隨機變量的重要的數字特征，方差是建立在均值的基礎之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯系密切，在現實生產生活中的應用比較廣泛.
2.掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養.
角度1　二項分布的均值、方差
例2　某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現故障需要維修的概率為.
(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%？
(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障能及時維修，能使該廠產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤.若該廠現有2名工人，求該廠每月獲利的均值.
角度2　超幾何分布的均值、方差
例3　“雙減”政策的出臺對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為規避風險、尋求發展制定科學方案，工作人員對前200名報名學員的消費金額進行了統計整理，其中數據如表.
消費金額 (千元) ［3，5) ［5，7) ［7，9) ［9，11) ［11，13) ［13，15］
人數 30 50 60 20 30 10
該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用比例分配的分層隨機抽樣的方法在消費金額為［9，11)和［11，13)的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為［11，13)的人數的分布列和均值.
反思感悟　(1)關于二項分布的應用
把握二項分布的關鍵是理解隨機試驗中n次、獨立、重復這些字眼，即試驗是多次進行，試驗之間是相互獨立的，每次試驗的概率是相同的，判定隨機變量符合二項分布后結合相應的公式進行計算.
(2)關于超幾何分布的應用
不放回取次品是超幾何分布的典型試驗，可以將取球、選隊員等試驗歸入超幾何分布問題，再利用其概率、均值公式進行計算.
跟蹤訓練2　(1)從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取1個球，記X為取得紅球的次數，則D(X)等于 (　　)
A. B. C. D.
(2)隨著現代社會物質生活水平的提高，中學生的零花錢越來越多，消費水平也越來越高，也因此滋生了一些不良的攀比現象.某學校為幫助學生培養正確的消費觀念，對該校學生進行了隨機調查，詢問他們每周的零花錢數額，將統計數據按照［0，20)，［20，40)，…，［120，140］分組后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知a=3b.
①求圖中a，b的值；
②若按比例分配的分層隨機抽樣的方法從每周零花錢在［60，120)內的人中抽取11人，再從這11人中隨機抽取3人，記這3人中每周零花錢在［80，100)內的人數為X，求X的分布列與均值.
三、正態分布的綜合應用
1.解決正態分布的實際應用題，關鍵是如何轉化，同時要注意“3σ”原則及正態曲線的對稱性.
2.掌握正態分布的實際應用，重點提升直觀想象和數學建模的核心素養.
例4　為保障全民閱讀權利，培養全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設，某高校為了解全校學生的閱讀情況，隨機調查了200名學生的每周閱讀時間x(單位：小時)并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數和樣本方差s2(同一組的數據用該組區間中點值代表)；
(2)由頻率分布直方圖可以看出，目前該校學生每周的閱讀時間x大致服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2.
①一般正態分布N(μ，σ2)的概率都可以轉化為標準正態分布N(0，1)的概率進行計算：若X~N(μ，σ2)，令Y=，則Y~N(0，1)，且P(X≤a)=P.利用頻率分布直方圖得到的正態分布，求P；
②從該高校的學生中隨機抽取20名，記Z表示這20名學生中每周閱讀時間超過10小時的人數，求Z的均值.
參考數據：≈，若Y~N(0，1)，則P(Y≤0.75)=0.773 4.
反思感悟　利用正態曲線解決實際問題時常利用其對稱性解題，并注意借助［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］三個區間內的概率值求解，要注意正態曲線與頻率分布直方圖的結合.
跟蹤訓練3　為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了100個蘋果.經整理分析后發現，蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態分布N，如圖所示，已知P=0.1，P=0.3.
(1)若從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，求該蘋果的重量在內的概率；
(2)從這100個蘋果中隨機挑出8個，這8個蘋果的重量情況如下：
重量范圍(單位：kg)
個數 2 4 2
為進一步了解蘋果的甜度，從這8個蘋果中隨機選出3個，記隨機選出的3個蘋果中重量在內的個數為X，求隨機變量X的分布列和均值.
答案精析
例1　解　設B1=“取到的一包含4個次品”，
B2=“取到的一包含1個次品”，
A=“采購員拒絕購買”，則P(B1)=，P(B2)=.
P(A|B1)=1-=，
P(A|B2)=1-=.
(1)由全概率公式得到
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)
=×+×=.
(2)P(B1|A)===.
跟蹤訓練1　B　［記事件A為“第1球投進”，事件B為“第2球投進”，P(B|A)=，P(B|)=，P(A)=，
由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
=+=.］
例2　解　(1)設“機器出現故障需要維修”為事件A，
則P(A)=.
設出現故障的機器臺數為X，則X~B，
P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××==，
P(X=3)=××=，
P(X=4)=×=.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
設該廠有n名工人，則“每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修”為X≤n，即為X=0，X=1，X=2，…，X=n這n+1個互斥事件的和事件，則
n 0 1 2 3 4
P(X≤n) 1
因為<90%<，所以至少要3名工人，才能保證每臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%.
(2)設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18，13，8，
P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=，
P(Y=13)=P(X=3)=，
P(Y=8)=P(X=4)=.
故Y的分布列為
Y 18 13 8
P
所以E(Y)=18×+13×+8×=(萬元)，故該廠每月獲利的均值為萬元.
例3　解　由題意得，抽中的5人中消費金額為［9，11)的人數為×5=2，
消費金額為［11，13)的人數為×5=3，
設抽取的3人消費金額為［11，13)的人數為X，
則X=1，2，3，
所以P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=.
跟蹤訓練2　(1)D　［由題意得，從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出一個球，取出的是紅球的概率為=，因為是有放回地取球，所以X~B，
所以D(X)=5××=.］
(2)解　①由題意知
(a+0.012 5+0.007 5+2b+2×0.002 5)×20=1，
化簡得a+2b=0.025，
又a=3b，所以a=0.015，b=0.005.
②每周零花錢在［60，80)，［80，100)，［100，120)內的頻率分別為0.015×20=0.3，0.007 5×20=0.15，0.005×20=0.1，
則頻率之比為6∶3∶2，
則從每周零花錢在［60，80)，［80，100)，［100，120)內抽取的人數分別為6，3，2，所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)==，P(X=1)===，
P(X=2)===，P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
例4　解　(1)根據頻率分布直方圖知，=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9，
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78，
所以樣本平均數和樣本方差s2分別為9，1.78.
(2)①由題意知μ=9，σ2=1.78，
則有X~N(9，1.78)，
σ==≈，
P(X≤10)=P=P(Y≤0.75)=0.773 4.
②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6，
可得Z~B(20，0.226 6)，
所以Z的均值E(Z)=20×0.226 6=4.532.
跟蹤訓練3　解　(1)已知蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態分布N，
由正態分布的對稱性可知，
P=P
=P-P=0.3-0.1=0.2，
所以從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，
該蘋果的重量在(0.5，0.7］內的概率為0.2.
(2)由題意可知，隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，
P==，P==，
P==，
所以隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
所以E=1×+2×+3×=.

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