資源簡介

(共72張PPT)
第七章
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7.4.2
超幾何分布
1.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布的概念與特征.
2.會求超幾何分布的概率及分布列.
3.掌握超幾何分布的均值的求解方法.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
為促進(jìn)各學(xué)校的共同發(fā)展，學(xué)校之間派部分老師相互交流.已知一學(xué)校派出16名一級教師，4名高級教師組成一隊(duì)伍去相互交流學(xué)習(xí)，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去甲學(xué)校，設(shè)X表示其中高級教師的人數(shù)，則X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X=2時(shí)對應(yīng)的概率嗎？這里的X的分布列有怎樣的規(guī)律？
導(dǎo) 語
一、超幾何分布的概念與特征
二、超幾何分布的概率及分布列
課時(shí)對點(diǎn)練
三、超幾何分布的均值
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
超幾何分布的概念與特征
已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫出X的分布列.
問題1
提示　若采用有放回抽樣，則X服從二項(xiàng)分布，即X~B(3，0.4)，其分布列為P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k，k=0，1，2，3.
若采用不放回抽樣，“X=k”，k=0，1，2，3表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再從6件正品中取出(3-k)件，共有種取法，故X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，3.
超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的
分布列為P(X=k)=____________，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n次”.
(2)超幾何分布的特點(diǎn)：①不放回抽樣；②考察對象分兩類；③實(shí)質(zhì)是古典概型.
注 意 點(diǎn)
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下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(3)盒子中有紅球3個(gè)，黃球4個(gè)，藍(lán)球5個(gè)(除顏色外無區(qū)別)，任取3個(gè)球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(4)某班級有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列.
例 1
(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題.
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n個(gè)樣本中某類樣本被抽取的個(gè)數(shù)，是超幾何分布問題.
判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)：
(1)總體是否可分為兩類明確的對象.
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類被抽取的個(gè)體的個(gè)數(shù).
反
思
感
悟
　下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是
A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X
B.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)
為X
C.某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為X
D.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸
出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X
跟蹤訓(xùn)練 1
√
由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
二
超幾何分布的概率及分布列
　(1)現(xiàn)有來自甲、乙兩班的學(xué)生共7名，從中任選2名參加某活動，若2名學(xué)生都是甲班的概率為.
①求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；
例 2
設(shè)甲班的學(xué)生數(shù)為M，
則==，M2-M-6=0，
解得M=3或M=-2(舍去).
∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為3.
②設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求｛ξ≥1｝的概率.
由題意可知，ξ服從超幾何分布，且ξ=0，1，2，
∴P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)
=+=+=.
(2)在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題.甲能正確完成其中的4道題，且每道題完成與否互不影響.規(guī)定至少正確完成其中2道題便可過關(guān).記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，求X的分布列.
由題意得X的可能取值為1，2，3，
P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，
故X的分布列為
X 1 2 3
P
反
思
感
悟
求超幾何分布的分布列的步驟
　(1)袋中有7個(gè)球，其中3個(gè)黑球，4個(gè)紅球，從袋中任取3個(gè)球，記紅球個(gè)數(shù)為X，求至少有一個(gè)紅球的概率.
跟蹤訓(xùn)練 2
由題意知X服從超幾何分布，且X=0，1，2，3，其中N=7，M=4，n=3.
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
∴至少有一個(gè)紅球的概率P=++=(或P=1-=).
(2)在10個(gè)乒乓球中有8個(gè)正品，2個(gè)次品.從中任取3個(gè)，求其中所含次品數(shù)的分布列.
記任取的3個(gè)乒乓球中，所含次品的個(gè)數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2.
有P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
三
超幾何分布的均值
若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，那么X的均值是什么？
問題2
提示　設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想E=p，即E(X)=np.
實(shí)際上，令m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝，由隨機(jī)變量均值的定義：
當(dāng)m>0時(shí)，E(X)= k=M. (1)
因?yàn)?，
所以E(X)====np.
當(dāng)m=0時(shí)，注意到(1)式中間求和的第一項(xiàng)為0，類似可以證明結(jié)論依然成立.
　某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；
例 3
設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)==.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為.
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值.
依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N=10，M=4，n=3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3.P(X=k)=，k=0，1，2，3.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機(jī)變量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=.
反
思
感
悟
(1)求解超幾何分布的分布列與均值
①驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，代入公式計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率.
②求分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值.
(2)若一個(gè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則E(X)=.
　袋中有3個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，取得1個(gè)白球得0分，取得1 個(gè)紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X的均值E(X)等于
A.0 B.1 C.2 D.4
跟蹤訓(xùn)練 3
√
由題意，得X的可能取值為0或2，其中“X=0”表示取得2個(gè)白球，“X=2”表示取得1個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1.
1.知識清單：
(1)超幾何分布的概念及特征.
(2)超幾何分布的概率及分布列.
(3)超幾何分布的均值.
2.方法歸納：公式法.
3.常見誤區(qū)：超幾何分布的判斷錯(cuò)誤.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到
的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型電腦和2臺乙型電腦中任取2臺，記X表示所取的2臺電腦中甲
型電腦的臺數(shù)
C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)紅綠燈，記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)數(shù)
為X
D.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X
√
√
√
1
2
3
4
依據(jù)超幾何分布模型定義可知，A，B，D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故C中隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.
2.在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從這100張獎(jiǎng)券中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是
A. B. C. D.
1
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√
記X為2張獎(jiǎng)券中的中獎(jiǎng)數(shù)，則P(X=2)==.
3.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中任取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為
A. B. C. D.
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4
正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品.由超幾何分布的概率可知，取出0個(gè)正品4個(gè)次品的概率P1==，取出1個(gè)正品3個(gè)次品的概率P2===，所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為P1+P2=+=.
4.袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個(gè)，取出幾個(gè)紅球就得幾分，則得分的均值為　　　.
1
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4
1.5
用X表示所得分?jǐn)?shù)，則X也是取得的紅球數(shù)，X服從超幾何分布，且N=10，M=3，n=5，于是E(X)=n·=5×=1.5.
課時(shí)對點(diǎn)練
五
1.一個(gè)袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)大小相同的白球，編號為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量，其中服從超幾何分布的變量是
A.X表示取出的最大號碼
B.X表示取出的最小號碼
C.取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分
D.X表示取出的黑球個(gè)數(shù)
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基礎(chǔ)鞏固
√
由超幾何分布的概念知D符合.
2.(多選)某企業(yè)生產(chǎn)的12個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)一等品、2個(gè)二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取4個(gè)，則其中恰好有1個(gè)二等品的概率為
A.1- B.
C.1- D.
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從12個(gè)產(chǎn)品中任意抽取4個(gè)，樣本點(diǎn)總數(shù)為；
其中恰好有1個(gè)二等品的樣本點(diǎn)有個(gè)，
∴恰好有1個(gè)二等品的概率P=；
也可由對立事件計(jì)算可得P=1-.
3.(多選)在一個(gè)袋中裝有大小相同的4個(gè)黑球、6個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)取出的3個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是
A.隨機(jī)變量X服從超幾何分布
B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布
C.P(X=2)=
D.E(X)=
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由題意知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且N=10，M=6，n=3，故A正確，B錯(cuò)誤；
P(X=2)==，故C正確；
E(X)===，故D正確.
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4.一個(gè)盒子里裝有大小相同的黑球10個(gè)，紅球12個(gè)，白球4個(gè)，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率中等于的是
A.P(0C.P(X=2) D.P(X=1)
√
由已知得X的所有可能取值為0，1，2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.
5.盒中有10個(gè)螺絲釘，其中3個(gè)是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個(gè)，則概率是的事件為
A.恰有1個(gè)是壞的 B.4個(gè)全是好的
C.恰有2個(gè)是好的 D.至多有2個(gè)是壞的
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對于A，事件的概率為=；
對于B，事件的概率為=；
對于C，事件的概率為=；
對于D，事件的概率為=.
6.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是，則語文課本有
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
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設(shè)語文課本有n(n≥2)本，則數(shù)學(xué)課本有(7-n)本，則2本都是語文課本的概率是=.所以n2-n-12=0，
解得n=4或n=-3(舍去)，所以n=4.
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7.袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅球得3分，
取到1個(gè)黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≥8)=　　　.
由題意知X的所有可能取值為4，6，8，10，12，則P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=.
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8.莫高窟坐落在甘肅的敦煌，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游.已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開放洞窟，在這8個(gè)洞窟中，莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被譽(yù)為非常值得參觀的洞窟.某游客為了節(jié)省時(shí)間，需從套票包含的開放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)非常值得參觀的洞窟的概率是　　　.
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已知8個(gè)開放洞窟中有3個(gè)非常值得參觀，隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，至少包含2個(gè)非常值得參觀洞窟包括2個(gè)或3個(gè)兩種情況.
則所求概率P==.
9.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：
(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；
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設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，
X的可能取值為0，1，2，3，且服從超幾何分布，
則P(X=k)=，k=0，1，2，3，
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)該同學(xué)能及格的概率.
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該同學(xué)能及格的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
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10.為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，張老師對自己的教學(xué)方法進(jìn)行改革，經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，張老師所教的80名學(xué)生參加一次測試，數(shù)學(xué)學(xué)科成績(單位：分)都在[50，100]內(nèi)，按區(qū)間分組為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制)
為優(yōu)秀.
(1)求這80名學(xué)生的平均成績(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)
用該區(qū)間中點(diǎn)值作代表)；
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80名學(xué)生的平均成績?yōu)?55×0.01+65×0.03+75
×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5(分).
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(2)按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法隨機(jī)抽取10名學(xué)生座談，再在這10名學(xué)生中，選3名學(xué)生發(fā)言，記優(yōu)秀學(xué)生發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和均值.
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根據(jù)頻率分布直方圖知，優(yōu)秀學(xué)生對應(yīng)的頻率為(0.025+0.005)×10=0.3，
則非優(yōu)秀學(xué)生對應(yīng)的頻率為1-0.3=0.7，
所以抽取的10名學(xué)生中，有優(yōu)秀學(xué)生10×0.3=3(人)，非優(yōu)秀學(xué)生10×0.7=7(人).
則X所有可能的取值為0，1，2，3，
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
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所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
11.搖獎(jiǎng)器內(nèi)有10個(gè)小球，其中8個(gè)小球上標(biāo)有數(shù)字2，2個(gè)小球上標(biāo)有數(shù)字5，現(xiàn)搖出3個(gè)小球，規(guī)定所得獎(jiǎng)金X(元)為這3個(gè)小球上所標(biāo)數(shù)字之和，則獲得12元獎(jiǎng)金的概率是
A. B. C. D.
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綜合運(yùn)用
√
當(dāng)搖出的3個(gè)小球中有1個(gè)標(biāo)有數(shù)字2，2個(gè)標(biāo)有數(shù)字5時(shí)，X=12，故P(X=12)==.
12.已知在10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為ξ，已知P(ξ=1)=，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為
A.10% B.20% C.30% D.40%
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設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，
則P(ξ=1)===，
所以x=2或x=8.
因?yàn)榇纹仿什怀^40%，所以x=2，
所以這10件產(chǎn)品的次品率為=20%.
13.(多選)盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，η表示取到黑球的個(gè)數(shù)，則下列說法中正確的是
A.E(X)=，E(η)=
B.E(X2)=E(η)
C.E(η2)=E(X)
D.D(X)=D(η)=
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√
√
√
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由題意可知X服從超幾何分布，η也服從超幾何分布.
∴E(X)==，E(η)==.
由題意知X的分布列為
X 0 1 2
P
∴E(X2)=02×+12×+22×=，
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D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=.
η的分布列為
∴E(η2)=12×+22×+32×=，
D(η)=E(η2)-[E(η)]2=-=.
∴E(X2)=E(η)，E(η2)≠E(X)，D(X)=D(η)=.
η 1 2 3
P
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14.把半圓弧分成4等份，以這些分點(diǎn)(包括直徑的兩端點(diǎn))為頂點(diǎn)，作出三角形，從這些三角形中任取3個(gè)不同的三角形，則這3個(gè)不同的三角形中
鈍角三角形的個(gè)數(shù)X的均值為　　　.
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以這些分點(diǎn)(包括直徑的兩端點(diǎn))為頂點(diǎn)，一共能畫出=10(個(gè))三角形，
其中鈍角三角形有7個(gè)，所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)==，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=3)===，
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
15.50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，則n至少為　　　.
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拓廣探究
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用X表示中獎(jiǎng)票數(shù)，P(X≥1)=+>0.5，化簡得n2-99n+25×49<0，解得1
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16.某城市的垃圾分類標(biāo)準(zhǔn)為廚余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四類.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1噸廢紙可再造出0.8噸好紙，降低造紙的污染排放，節(jié)省造紙能源消耗.某環(huán)保小組調(diào)查了該城市某垃圾處理廠2023年6月至12月生活垃圾回收情況，其中可回收物中廢紙和塑料品的回收量(單位：噸)的折線圖如圖所示.
(1)現(xiàn)從2023年6月至12月中隨機(jī)選取1個(gè)月，求該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸的概率；
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記“該垃圾處理廠可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸”為事件A，
由圖知，只有8月份的可回收物中廢紙和塑料品的回收量均超過4.0噸，
∴P(A)=.
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(2)從2023年6月至12月中任意選取2個(gè)月，記X為選取的這2個(gè)月中廢紙的回收量超過3.7噸的月份的個(gè)數(shù).求X的分布列及均值.
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6月至12月廢紙的回收量超過3.7噸的月份有7月、8月、10月，共3個(gè)月.
∴X的所有可能取值為0，1，2.
P(X=0)===，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
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∴X的分布列為
X 0 1 2
P
∴均值E(X)=0×+1×+2×=.7.4.2　超幾何分布
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布的概念與特征.2.會求超幾何分布的概率及分布列.3.掌握超幾何分布的均值的求解方法.
一、超幾何分布的概念與特征
問題1　已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫出X的分布列.
知識梳理
超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=　　　　　　　　　　，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
例1　下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.
(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(3)盒子中有紅球3個(gè)，黃球4個(gè)，藍(lán)球5個(gè)(除顏色外無區(qū)別)，任取3個(gè)球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；
(4)某班級有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列.
反思感悟　判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)：
(1)總體是否可分為兩類明確的對象.
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類被抽取的個(gè)體的個(gè)數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是 (　　)
A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X
B.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為X
C.某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為X
D.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為X
二、超幾何分布的概率及分布列
例2　(1)現(xiàn)有來自甲、乙兩班的學(xué)生共7名，從中任選2名參加某活動，若2名學(xué)生都是甲班的概率為.
①求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；
②設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求｛ξ≥1｝的概率.
(2)在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題.甲能正確完成其中的4道題，且每道題完成與否互不影響.規(guī)定至少正確完成其中2道題便可過關(guān).記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為X，求X的分布列.
反思感悟　求超幾何分布的分布列的步驟
跟蹤訓(xùn)練2　(1)袋中有7個(gè)球，其中3個(gè)黑球，4個(gè)紅球，從袋中任取3個(gè)球，記紅球個(gè)數(shù)為X，求至少有一個(gè)紅球的概率.
(2)在10個(gè)乒乓球中有8個(gè)正品，2個(gè)次品.從中任取3個(gè)，求其中所含次品數(shù)的分布列.
三、超幾何分布的均值
問題2　若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，那么X的均值是什么？
例3　某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率；
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及均值.
反思感悟　(1)求解超幾何分布的分布列與均值
①驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，代入公式計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率.
②求分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的均值.
(2)若一個(gè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則E(X)=.
跟蹤訓(xùn)練3　袋中有3個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，取得1個(gè)白球得0分，取得1個(gè)紅球得2分，則所得分?jǐn)?shù)X的均值E(X)等于 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
1.知識清單：
(1)超幾何分布的概念及特征.
(2)超幾何分布的概率及分布列.
(3)超幾何分布的均值.
2.方法歸納：公式法.
3.常見誤區(qū)：超幾何分布的判斷錯(cuò)誤.
1.(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有 (　　)
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型電腦和2臺乙型電腦中任取2臺，記X表示所取的2臺電腦中甲型電腦的臺數(shù)
C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)紅綠燈，記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)數(shù)為X
D.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X
2.在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從這100張獎(jiǎng)券中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中任取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為 (　　)
A. B. C. D.
4.袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無放回地任取5個(gè)，取出幾個(gè)紅球就得幾分，則得分的均值為　　　　.
答案精析
問題1　若采用有放回抽樣，則X服從二項(xiàng)分布，
即X~B(3，0.4)，
其分布列為P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k，k=0，1，2，3.
若采用不放回抽樣，“X=k”，k=0，1，2，3表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再從6件正品中取出(3-k)件，共有種取法，故X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，3.
知識梳理
例1　解　(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題.
(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n個(gè)樣本中某類樣本被抽取的個(gè)數(shù)，是超幾何分布問題.
跟蹤訓(xùn)練1　B　［由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.］
例2　(1)解　①設(shè)甲班的學(xué)生數(shù)為M，
則==，M2-M-6=0，
解得M=3或M=-2(舍去).
∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為3.
②由題意可知，ξ服從超幾何分布，且ξ=0，1，2，
∴P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2)
=+=+=.
(2)解　由題意得X的可能取值為1，2，3，
P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==，
故X的分布列為
X 1 2 3
P
跟蹤訓(xùn)練2　(1)解　由題意知X服從超幾何分布，
且X=0，1，2，3，其中N=7，M=4，n=3.
P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
∴至少有一個(gè)紅球的概率P=++=(或P=1-=).
(2)解　記任取的3個(gè)乒乓球中，所含次品的個(gè)數(shù)為X，
則X的所有可能取值為0，1，2.
有P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
問題2　設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想E=p，即E(X)=np.
實(shí)際上，令m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝，由隨機(jī)變量均值的定義：
當(dāng)m>0時(shí)，E(X)= k=M. (1)
因?yàn)?，
所以E(X)====np.
當(dāng)m=0時(shí)，注意到(1)式中間求和的第一項(xiàng)為0，類似可以證明結(jié)論依然成立.
例3　解　(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)==.所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為.
(2)依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N=10，M=4，n=3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3.
P(X=k)=，k=0，1，2，3.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以隨機(jī)變量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=.
跟蹤訓(xùn)練3　B　［由題意，得X的可能取值為0或2，其中“X=0”表示取得2個(gè)白球，“X=2”表示取得1個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1.］
隨堂演練
1.ABD　［依據(jù)超幾何分布模型定義可知，A，B，D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故C中隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.］
2.C　［記X為2張獎(jiǎng)券中的中獎(jiǎng)數(shù)，
則P(X=2)==.］
3.A　［正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品.由超幾何分布的概率可知，取出0個(gè)正品4個(gè)次品的概率P1==，取出1個(gè)正品3個(gè)次品的概率P2===，所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為P1+P2=+=.］
4.1.5
解析　用X表示所得分?jǐn)?shù)，則X也是取得的紅球數(shù)，X服從超幾何分布，且N=10，M=3，n=5，
于是E(X)=n·=5×=1.5.

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