資源簡介

(共85張PPT)
第七章
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7.4.1
二項分布
1.理解n重伯努利試驗的概念，記住n重伯努利試驗的公式.
2.理解并熟記二項分布的隨機變量的概率、均值以及方差.
3.能利用n重伯努利試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題.
4.掌握二項分布概率最值問題.
學習目標
某學生走在大街上，看見路旁有一群人，他擠進去，見一塊木牌上寫著：只需投擲二十次，便可擁有雙倍財富(恰好10次正面朝上者中獎)，他一陣竊喜：數學老師剛講過，投硬幣時，正面朝上和正面朝下為等可能事件，概率均為，20×不就是10嗎？這簡直是必然事件嘛！于是他走上前去，將僅有的30元押在桌上.那么這個學生的運氣如何呢？
導 語
一、n重伯努利試驗的概念及特征
二、二項分布的概念及表示
課時對點練
三、二項分布的均值與方差
隨堂演練
內容索引
一
n重伯努利試驗的概念及特征
下列試驗有什么共同的特點？
(1)投擲一枚質地均勻的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5；
(2)某同學玩射擊氣球游戲，每個氣球射擊一次，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現有氣球10個；
(3)某籃球隊員罰球命中率為0.8，罰球6次.
問題1
提示　(1)相同條件下的試驗：5次、10次、6次；
(2)每次試驗相互獨立；
(3)每次試驗只有兩種可能的結果：發生或不發生；
(4)每次試驗發生的概率相同，為p，不發生的概率也相同，為1-p.
1.n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗 進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
2.n重伯努利試驗的共同特征：
(1)同一個伯努利試驗 做n次；
(2)各次試驗的結果 .
獨立地重復
重復
相互獨立
(1)在相同條件下，n重伯努利試驗是有放回地抽樣試驗.
(2)“重復”意味著各次試驗成功的概率相同.
注 意 點
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判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
例 1
由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是n重伯努利試驗.
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中.
某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，因此是n重伯努利試驗.
(1)試驗是在相同的條件下重復進行.
(2)每次試驗相互獨立，互不影響.
(3)每次試驗都只有兩種結果，即事件發生或不發生.
反
思
感
悟
n重伯努利試驗的判斷依據
　(多選)下列試驗是n重伯努利試驗的是
A.運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B.甲、乙兩名運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C.一批產品的次品率為1%，有放回地隨機抽取20件
D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
跟蹤訓練 1
√
√
A符合互斥事件的概念，是互斥事件；
B是相互獨立事件；
C，D是n重伯努利試驗.
二
二項分布的概念及表示
提示　連續投擲一枚圖釘3次，就是做3次伯努利試驗，用Ai(i=1，2，3)表示“第i次擲得針尖向上”的事件，用B1表示“僅出現一次針尖向上”的事件，則B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p.
連續投擲一枚圖釘3次，且每次針尖向上的概率為p，針尖向下的概率為q，則僅出現1次針尖向上的概率是多少？
問題2
提示　用Ai(i=1，2，3)表示事件“第i次擲得針尖向上”，
用Bk(k=0，1，2，3)表示事件“出現k次針尖向上”，
P(B0)=P()=q3=p0q3，
P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=3q2p=p1q2，
P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)=3qp2=p2q1，
P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0，
規律：P(Bk)=pkq3-k，k=0，1，2，3.
類似地，連續投擲一枚圖釘3次，出現k(k=0，1，2，3)次針尖向上的概率是多少？有什么規律？
問題3
二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p).
pk(1-p)n-k
(1)由二項式定理可知，二項分布的所有概率和為1.
(2)兩點分布與二項分布的關系：兩點分布是只進行一次的二項分布.
注 意 點
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　“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規則是：用三種不同的手勢分別表示石頭、剪刀、布；兩個玩家同時出示各自手勢1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢相同時，不分勝負.現假設玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的.
(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；
例 2
玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢的所有可能結果是(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(剪刀，石頭)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，(布，剪刀)，(布，布)，共9個樣本點.玩家甲勝玩家乙的樣本點分別是(石頭，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，共3個.
所以在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率P=.
(2)若玩家甲、乙雙方共進行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數記作隨機變量X，求X的分布列.
由題意知，X=0，1，2，3，X~B.
所以P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
反
思
感
悟
(1)判斷：依據n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗.
(2)分析：判斷所求事件是否需要拆分.
(3)計算：就每個事件依據n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算.
求n重伯努利試驗概率的三個步驟
　現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人參加甲游戲，擲出點數大于2的人參加乙游戲.
(1)求這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率；
跟蹤訓練 2
依題意知，這4個人中，每個人參加甲游戲的概率為
.
設“這4個人中恰有k人參加甲游戲”為事件Ak(k=0，1，2，3，4).
則P(Ak)=.
故這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率為
P(A2)=××=.
(2)求這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率.
設“這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數”為事件B，則B=A3+A4.
由于A3與A4互斥，故P(B)=P(A3)+P(A4)=××+×=，
所以這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率為.
三
二項分布的均值與方差
若隨機變量X服從二項分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
問題4
提示　當n=1時，X服從兩點分布，分布列為
X 0 1
P 1-p p
E(X)=p，D(X)=p(1-p).
二項分布的分布列為(q=1-p)
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
則E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+kpkqn-k+…+npnq0，
由k=n，
可得E(X)=n×p1qn-1+n×p2qn-2+…+npkqn-k+…+npnq0
=np(p0qn-1+p1qn-2+…+pk-1qn-k+…+pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np，
同理可得D(X)=np(1-p).
1.若X服從兩點分布，則E(X)= ，D(X)= .
2.若X~B(n，p)，則E(X)= ，D(X)= .
p(1-p)
np
np(1-p)
p
　(1)已知X~B(10，0.5)，Y=2X-8，則E(Y)等于
A.6 B.2 C.4 D.3
例 3
√
由題意，隨機變量X~B(10，0.5)，可得E(X)=10×0.5=5，
因為Y=2X-8，所以E(Y)=2E(X)-8=2×5-8=2.
(2)將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，小球將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是，.
①分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
設M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
則P(M)=××+××=，
所以P(N)=1-P(M)=1-=.
②在容器的入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球的個數，求ξ的分布列、均值和方差.
易知ξ~B，
則ξ的分布列為
P(ξ=k)=(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)=，
P(ξ=4)=.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=4×=，D(ξ)=4××=.
反
思
感
悟
解決此類問題的第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步是代入相應的公式進行求解.
　 某一中學生心理咨詢中心服務電話的接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次.
(1)求他們中成功咨詢的人數X的分布列；
跟蹤訓練 3
依題意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)求E(X)與D(X)的值.
由X~B及二項分布的性質得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
1.知識清單：
(1)n重伯努利試驗的概念及特征.
(2)二項分布的概念及表示.
(3)二項分布的均值與方差.
2.方法歸納：公式法、數學建模.
3.常見誤區：二項分布的判斷錯誤.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.隨機變量X~B，則P(X=2)等于
A. B. C. D.
√
隨機變量X~B，
則P(X=2)=××=.
2.設隨機變量X~B，則D(3X)等于
A.10 B.30 C.15 D.5
1
2
3
4
√
由隨機變量X~B，
得D(X)=5××=，
所以D(3X)=32D(X)=9×=10.
3.某同學參加學校數學知識競賽，規定每個同學答題20道，已知該同學每道題答對的概率為0.6，則該同學答對題目數量的均值和方差分別為
A.16，7.2 B.12，7.2
C.12，4.8 D.16，4.8
1
2
3
4
√
設該同學答對題目的數量為ξ，因為該同學每道題答對的概率為0.6，共答20道題，
所以ξ~B(20，0.6)，所以E(ξ)=20×0.6=12，D(ξ)=20×0.6×(1-0.6)=4.8.
4.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨立，則他能合格
的概率為　　.
1
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3
4
4道題目中，答對的題目數X~B，
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=×+×=.
課時對點練
五
1.若在一次測量中出現正誤差和負誤差的概率都是，則在5次測量中恰好出現2次正誤差的概率是
A. B. C. D.
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基礎鞏固
√
P=××=.
2.(多選)已知隨機變量X+ξ=7，若X~B(10，0.6)，則E(ξ)，D(ξ)分別為
A.E(ξ)=1 B.E(ξ)=2
C.D(ξ)=2.4 D.D(ξ)=5.6
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√
因為X~B(10，0.6)，所以E(X)=10×0.6=6，D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
因為X+ξ=7，所以ξ=7-X，由均值和方差的性質可得，E(ξ)=E(7-X)=7-E(X)=1，D(ξ)=D(7-X)=D(X)=2.4.
√
3.“錦里開芳宴，蘭缸艷早年.”元宵節是中國非常重要的傳統節日，某班級準備進行“元宵福氣到”抽獎活動.福袋中裝有標號分別為1， 2， 3， 4， 5的五個相同的小球，從袋中一次性摸出三個小球，若號碼之和是3的倍數，則獲獎.若有5名同學參與此次活動，則恰好3人獲獎的概率是
A. B. C. D.
√
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每次抽獎中，樣本點總數為=10，獲獎的共有(1，2，3)，(1，3，5)，
(2，3，4)，(3，4，5)這4種，所以p=，設5人中獲獎人數為X，則X~B，
所以P(X=3)=××=.
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4.唐代詩人張若虛在《春江花月夜》中寫道：“春江潮水連海平，海上明月共潮生.”潮水的漲落和月亮的公轉運行有直接的關系，這是一種自然現象.根據歷史數據，已知某沿海地區在某個季節中每天出現大潮的概率均為，則該地在該季節連續三天內，至少有兩天出現大潮的概率為
A. B. C. D.
√
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該地在該季節連續三天內，至少有兩天出現大潮包括兩天出現大潮和三天出現大潮，
有兩天出現大潮的概率為××=，
有三天出現大潮的概率為×=，
所以至少有兩天出現大潮的概率為+=.
5.為響應國家鼓勵青年創業的號召，小王開了兩家店鋪，每家店鋪招收了兩名員工，若某節假日每位員工休假的概率均為，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家店鋪無人休假，則從無人休假的店鋪調劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正常營業，否則該店就停業.則兩家店鋪在該節假日都能正常營業的概率為
A. B. C. D.
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設“兩家店鋪不能都正常營業”為事件A，由題意可知有4人休假的概率為=，有3人休假的概率為××=，
所以兩家店鋪不能都正常營業的概率
P(A)=+=，
所以兩家店鋪在該節假日都能正常營業的概率為1-P(A)=.
6.(多選)拋擲一枚硬幣三次，若記出現“三個正面”“三個反面”“二正一反”“一正二反”的概率分別為P1，P2，P3，P4，則下列結論中正確的是
A.P1=P2=P3=P4
B.P3=2P1
C.P1+P2+P3+P4=1
D.P4=3P2
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由題意知，P1==，P2==，
P3=××=，P4=××=，
P1=P2P3=3P1，故B錯誤；
P1+P2+P3+P4=1，故C正確；
P4=3P2，故D正確.
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7.某學生將參加創新知識大賽，答題環節有6道題目，每答對1道題得2分，答錯一道題減1分，已知該生每道題目答對的概率是，且各題目答對與否相互之間沒有影響，X表示該生得分，則E(X)=　　，D(X)=　　.
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依題意，設Y表示該生答對問題的個數，
則Y~B，
所以E(Y)=6×=4，D(Y)=6××=，
又因為X=2Y-(6-Y)=3Y-6，
所以E(X)=3E(Y)-6=3×4-6=6，
D(X)=32D(Y)=9×=12.
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8.設隨機變量X~B(2，p)，Y~B(4，p)，若P(X≥1)=，則D(Y)=　　.
由隨機變量X~B(2，p)，
且P(X≥1)=，
得P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×(1-p)2=，解得p=.
由Y~B，得隨機變量Y的方差D(Y)=4××=.
9.某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，整理得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若規定小于60分為“不及格”，從該
學校高三年級學生中隨機抽取一人，估
計該學生不及格的概率；
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設“不及格”為事件A，則“及格”為事件，
∴P(A)=1-P()
=1-(0.2+0.4+0.2+0.1)=0.1，
故該學生不及格的概率為0.1.
(2)若規定分數在[80，90)為“良好”，[90，100]為“優秀”.用頻率估計概率，從該校高三年級學生中隨機抽取三人，記該項測試分數為“良好”或“優秀”的人數為X，求X的分布列和均值.
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設“樣本中測試分數為‘良好’或‘優秀’”為事件B，則P(B)=0.2+0.1=0.3，
依題意可知X~B(3，0.3)，
P(X=0)=0.73=0.343，
P(X=1)=×0.31×0.72=0.441，
P(X=2)=×0.32×0.71=0.189，
P(X=3)=0.33=0.027，
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所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
E(X)=3×0.3=0.9.
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10.為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數，均值E(X)為3，標準差為.
(1)求n和p的值，并寫出X的分布列；
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由題意知，X~B(n，p)，
P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n.
由E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=，
解得n=6，p=.
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4 5 6
P
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(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率.
記“需要補種沙柳”為事件A，
則P(A)=P(6-X≥3)=P(X≤3)，
得P(A)=+++=
，
所以需要補種沙柳的概率為.
11.若X~B(10，0.5)，則當P(X=k)取得最大值時，k等于
A.4或5 B.5或6 C.10 D.5
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綜合運用
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因為X~B(10，0.5)，所以P(X=k)=×0.5k×0.510-k=×0.510，
由組合數的性質可知，當k=5時，取得最大值，即當P(X=k)取得最大值時，k=5.
12.王先生家住A小區，他工作在B科技園區，從家開車到公司上班路上有L1，L2兩條路線(如圖)，L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.若分別走L1，L2路線，則王先生遇到紅燈的次數的均值分別為
A.， B.，
C.， D.，
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若走L1路線，設王先生遇到紅燈的次數為隨機變量X，則X的取值可能為0，1，2，3，
且X~B，所以E(X)=3×=.
若走L2路線，設王先生遇到紅燈的次數為隨機變量Y，則Y的取值可能為0，1，2，
則由題意知P(Y=0)=×=，
P(Y=1)=×+×=，
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P(Y=2)=×=，
所以E(Y)=0×+1×+2×=.
13.排球比賽實行“五局三勝制”，根據此前的若干次比賽數據統計可知，在甲、乙兩隊的比賽中，每場比賽甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，則在這場“五局三勝制”的排球比賽中乙隊獲勝的概率為　　　.
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乙隊獲勝可分為乙隊以3∶0或3∶1或3∶2的比分獲勝.
乙隊以3∶0獲勝，即乙隊三場全勝，概率為×=；
乙隊以3∶1獲勝，即乙隊前三場兩勝一負，第四場獲勝，概率為×××=；
乙隊以3∶2獲勝，即乙隊前四場兩勝兩負，第五場獲勝，概率為×××=.
所以在這場“五局三勝制”的排球比賽中乙隊獲勝的概率為++=.
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14.隨著現代科技的不斷發展，手機支付應用越來越廣泛，其中某群體的每位成員使用手機支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用手機支付的人數，已知方差D(X)=2.4，且P(X=4)>P(X=6)，則均值E(X)=　　.
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依題意，知X~B(10，p)，且D(X)=10p(1-p)=2.4，即p2-p+0.24=0，解得p=0.6或p=0.4.又P(X=4)>P(X=6)，所以p4·(1-p)10-4>p6(1-p)10-6，所以(1-p)2>p2，又015.某綜藝節目中有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：
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拓廣探究
用時/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
人數 20 33 31 16
以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數最有可能(即概率最大)是
A.2 B.3 C.4 D.5
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用時/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
人數 20 33 31 16
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根據題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為=，設隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數為ξ，
則ξ~B，
其中P(ξ=k)=，k=0，1，2，…，20，
當k≥1時，由
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得
化簡得
解得≤k≤，又k∈N，所以k=4，所以這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數最有可能是4.
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16.為了比較傳統糧食α與新型糧食β的產量是否有差別，研究人員在若干畝土地上分別種植了傳統糧食α與新型糧食β，并收集統計了β的畝產量，所得數據如圖所示.已知傳統糧食α的產量約為760公斤/畝.
(1)通過計算比較傳統糧食α與新型糧食β的平均畝產量的大小關系；
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依題意，所求新型糧食β的平均畝產量為750×0.05+760×0.1+770×0.2+780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=782(公斤)，
因為782>760，故傳統糧食α的平均畝產量低于新型糧食β的平均畝產量.
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(2)以頻率估計概率，若在4塊不同的1畝的土地上播種新型糧食β，記畝產量不低于785公斤的土地塊數為X，求X的分布列.
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任取1塊土地，新型糧食β的畝產量不低于785公斤的概率為，故X~B，故P(X=0)==，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=××=，
P(X=4)==，
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故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P7.4.1　二項分布
［學習目標］　1.理解n重伯努利試驗的概念，記住n重伯努利試驗的公式.2.理解并熟記二項分布的隨機變量的概率、均值以及方差.3.能利用n重伯努利試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題.4.掌握二項分布概率最值問題.
一、n重伯努利試驗的概念及特征
問題1　下列試驗有什么共同的特點？
(1)投擲一枚質地均勻的硬幣5次，每次正面向上的概率為0.5；
(2)某同學玩射擊氣球游戲，每個氣球射擊一次，每次射擊擊破氣球的概率為0.7，現有氣球10個；
(3)某籃球隊員罰球命中率為0.8，罰球6次.
知識梳理
1.n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗　　　　　　　　進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
2.n重伯努利試驗的共同特征：
(1)同一個伯努利試驗　　　　做n次；
(2)各次試驗的結果　　　　　　　　.
例1　判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：
(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中.
反思感悟　n重伯努利試驗的判斷依據
(1)試驗是在相同的條件下重復進行.
(2)每次試驗相互獨立，互不影響.
(3)每次試驗都只有兩種結果，即事件發生或不發生.
跟蹤訓練1　(多選)下列試驗是n重伯努利試驗的是 (　　)
A.運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B.甲、乙兩名運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C.一批產品的次品率為1%，有放回地隨機抽取20件
D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
二、二項分布的概念及表示
問題2　連續投擲一枚圖釘3次，且每次針尖向上的概率為p，針尖向下的概率為q，則僅出現1次針尖向上的概率是多少？
問題3　類似地，連續投擲一枚圖釘3次，出現k(k=0，1，2，3)次針尖向上的概率是多少？有什么規律？
知識梳理
二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0例2　“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國民間的古老游戲，其規則是：用三種不同的手勢分別表示石頭、剪刀、布；兩個玩家同時出示各自手勢1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢相同時，不分勝負.現假設玩家甲、乙雙方在游戲時出示三種手勢是等可能的.
(1)求在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙雙方共進行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數記作隨機變量X，求X的分布列.
反思感悟　求n重伯努利試驗概率的三個步驟
(1)判斷：依據n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗.
(2)分析：判斷所求事件是否需要拆分.
(3)計算：就每個事件依據n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算.
跟蹤訓練2　現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人參加甲游戲，擲出點數大于2的人參加乙游戲.
(1)求這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率；
(2)求這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率.
三、二項分布的均值與方差
問題4　若隨機變量X服從二項分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知識梳理
1.若X服從兩點分布，則E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
2.若X~B(n，p)，則E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
例3　(1)已知X~B(10，0.5)，Y=2X-8，則E(Y)等于 (　　)
A.6 B.2 C.4 D.3
(2)將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，小球將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是，.
①分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；
②在容器的入口處依次放入4個小球，記ξ為落入B袋中的小球的個數，求ξ的分布列、均值和方差.
反思感悟　解決此類問題的第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步是代入相應的公式進行求解.
跟蹤訓練3　某一中學生心理咨詢中心服務電話的接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次.
(1)求他們中成功咨詢的人數X的分布列；
(2)求E(X)與D(X)的值.
1.知識清單：
(1)n重伯努利試驗的概念及特征.
(2)二項分布的概念及表示.
(3)二項分布的均值與方差.
2.方法歸納：公式法、數學建模.
3.常見誤區：二項分布的判斷錯誤.
1.隨機變量X~B，則P(X=2)等于 (　　)
A. B. C. D.
2.設隨機變量X~B，則D(3X)等于 (　　)
A.10 B.30 C.15 D.5
3.某同學參加學校數學知識競賽，規定每個同學答題20道，已知該同學每道題答對的概率為0.6，則該同學答對題目數量的均值和方差分別為 (　　)
A.16，7.2 B.12，7.2
C.12，4.8 D.16，4.8
4.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為　　　　.
答案精析
問題1　(1)相同條件下的試驗：5次、10次、6次；
(2)每次試驗相互獨立；
(3)每次試驗只有兩種可能的結果：發生或不發生；
(4)每次試驗發生的概率相同，為p，不發生的概率也相同，為1-p.
知識梳理
1.獨立地重復
2.(1)重復　(2)相互獨立
例1　解　(1)由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是n重伯努利試驗.
(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，因此是n重伯努利試驗.
跟蹤訓練1　CD　［A符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨立事件；C，D是n重伯努利試驗.］
問題2　連續投擲一枚圖釘3次，就是做3次伯努利試驗，用Ai(i=1，2，3)表示“第i次擲得針尖向上”的事件，用B1表示“僅出現一次針尖向上”的事件，
則B1=(A1 )∪(A2)∪(A3).
由此可得P(B1)=q2p+q2p+q2p=3q2p.
問題3　用Ai(i=1，2，3)表示事件“第i次擲得針尖向上”，
用Bk(k=0，1，2，3)表示事件“出現k次針尖向上”，
P(B0)=P()=q3=p0q3，
P(B1)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=3q2p=p1q2，
P(B2)=P(A1A2)+P(A2A3)+P(A1A3)
=3qp2=p2q1，
P(B3)=P(A1A2A3)=p3=p3q0，
規律：P(Bk)=pkq3-k，k=0，1，2，3.
知識梳理
pk(1-p)n-k
例2　解　(1)玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢的所有可能結果是(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(剪刀，石頭)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，(布，剪刀)，(布，布)，共9個樣本點.玩家甲勝玩家乙的樣本點分別是(石頭，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，共3個.
所以在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率P=.
(2)由題意知，X=0，1，2，3，X~B.
所以P(X=0)=×=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
跟蹤訓練2　解　(1)依題意知，這4個人中，每個人參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為.
設“這4個人中恰有k人參加甲游戲”為事件Ak(k=0，1，2，3，4).
則P(Ak)=.
故這4個人中恰有2人參加甲游戲的概率為
P(A2)=××=.
(2)設“這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數”為事件B，則B=A3+A4.
由于A3與A4互斥，故P(B)=P(A3)+P(A4)
=××+×=，
所以這4個人中參加甲游戲的人數大于參加乙游戲的人數的概率為.
問題4　當n=1時，X服從兩點分布，分布列為
X 0 1
P 1-p p
E(X)=p，D(X)=p(1-p).
二項分布的分布列為(q=1-p)
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
則E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+kpkqn-k+…+npnq0，
由k=n，
可得E(X)=n×p1qn-1+n×p2qn-2+…+npkqn-k+…+npnq0
=np(p0qn-1+p1qn-2+…+pk-1qn-k+…+pn-1q0)
=np(p+q)n-1=np，
同理可得D(X)=np(1-p).
知識梳理
1.p　p(1-p)
2.np　np(1-p)
例3　(1)B　［由題意，隨機變量X~B(10，0.5)，
可得E(X)=10×0.5=5，
因為Y=2X-8，所以E(Y)=2E(X)-8=2×5-8=2.］
(2)解　①設M=“小球落入A袋”，N=“小球落入B袋”，
則P(M)=××+××=，
所以P(N)=1-P(M)=1-=.
②易知ξ~B，
則ξ的分布列為
P(ξ=k)=(k=0，1，2，3，4)，
故P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)=，
P(ξ=4)=.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=4×=，D(ξ)=4××=.
跟蹤訓練3　解　(1)依題意知X~B，且P(X=k)=××，k=0，1，2，3.
P(X=0)=××=，
P(X=1)=××=，
P(X=2)=××=，
P(X=3)=×=.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
(2)由X~B及二項分布的性質得，
E(X)=np=3×=，
D(X)=np(1-p)=3××=.
隨堂演練
1.A　［隨機變量X~B，
則P(X=2)=××=.］
2.A　［由隨機變量X~B，
得D(X)=5××=，
所以D(3X)=32D(X)=9×=10.］
3.C　［設該同學答對題目的數量為ξ，
因為該同學每道題答對的概率為0.6，共答20道題，
所以ξ~B(20，0.6)，所以E(ξ)=20×0.6=12，
D(ξ)=20×0.6×(1-0.6)=4.8.］
4.
解析　4道題目中，答對的題目數X~B，
所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)
=×+×=.

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