資源簡介

(共83張PPT)
第七章
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7.3.2
離散型隨機變量的方差
1.理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.
2.掌握離散型隨機變量的方差的性質.
3.會用離散型隨機變量的均值和方差解決一些實際應用問題.
學習目標
均值是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，在初中我們也對一組數據的波動情況作過研究，即研究過一組數據的方差.本節我們將對反映隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度的數字特征——方差進行研究.
導 語
一、離散型隨機變量的方差、標準差
二、方差的性質
課時對點練
三、方差的實際應用
隨堂演練
內容索引
一
離散型隨機變量的方差、標準差
要從甲、乙兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績記錄，能否利用均值決定應派哪位同學參賽？
問題1
甲同學擊中目標靶的環數X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同學擊中目標靶的環數X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
提示　通過計算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因為兩個均值相等，所以只根據均值無法判斷這兩名同學的射擊水平.
設離散型隨機變量X的分布列為
(1)方差：D(X)= = (xi-E(X))2pi.
(2)標準差：_________，記為σ(X).
(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)一般地，隨機變量的方差是非負常數.
(2)D(X)越小，隨機變量X越穩定，波動越小.
(3)方差也可以用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2計算.
(4)若X服從兩點分布，則D(X)=p(1-p) .(其中p為成功概率)
注 意 點
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　有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，若從中隨機抽
出3張，記這3張卡片上的數字和為X，則D(X)=　　　.
例 1
由題意得，隨機變量X的可能取值為6，9，12，且P(X=6)==，
P(X=9)==，
P(X=12)==.
因此E(X)=6×+9×+12×=，
D(X)=×+×+×=.
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的取值.
(2)求出X取每個值的概率.
(3)寫出X的分布列.
(4)計算E(X).
(5)計算D(X).
反
思
感
悟
求離散型隨機變量方差的步驟
某旅游公司為三個旅游團提供了a，b，c，d四條旅游線路，每
個旅游團可任選其中一條線路，則選擇a線路的旅游團數X的方差D(X)=　　.
跟蹤訓練 1
由題意知X的可能取值有0，1，2，3，
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=，
D(X)=×+×+×+×=×
+×+×+×=.
二
方差的性質
提示　D=a2D.
你能推導出D與D的關系嗎？
問題2
離散性隨機變量的方差的性質
若Y=aX+b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且D(aX+b)
= .
a2D(X)
已知X的分布列如表所示：
例 2
(1)求X2的分布列；
X -1 0 1
P a
由分布列的性質知++a=1，
解得a=，
所以X2的分布列為
X2 0 1
P
(2)計算X的方差；
方法一　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-，
D(X)=×+×+×=.
方法二　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
因為Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2，
D(Y)=42D(X)=11.
反
思
感
悟
(1)公式：D(aX+b)=a2D(X).
(2)優勢：既避免了求隨機變量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大數的計算，從而簡化了計算過程.
方差性質應用的關注點
　 已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=，k=1，2，3，4，則D(2X-1)等于
A. B. C.4 D.5
跟蹤訓練 2
∵P(X=k)=，k=1，2，3，4，
∴E(X)=×(1+2+3+4)=，
D(X)=×=，
∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5.
√
三
方差的實際應用
有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如表所示：
例 3
其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度(哪一個的穩定性較好).
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，
E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.
D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2
+0.2×(135-125)2=50，
D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2
+0.2×(145-125)2=165.
由此可見E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)故兩種材料的抗拉強度的均值相等，但穩定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩定性較好.
反
思
感
悟
(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩定.
(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷.
均值、方差在決策中的作用
　某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研.項目A：通信設備.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為，，a.項目B：新能源汽車.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發生的概率分別為b，c.
經測算，當投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等.
(1)求a，b，c的值；
跟蹤訓練 3
依題意得，++a=1，解得a=.
設投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
則X1和X2的分布列分別為
X1 0.4x -0.2x 0
P
X2 0.3x -0.1x
P b c
所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x，
E(X2)=0.3bx-0.1cx，
因為E(X1)=E(X2)，
所以0.3bx-0.1cx=0.2x，
即0.3b-0.1c=0.2. ①
又b+c=1， ②
由①②，解得b=，c=，
所以a=，b=，c=.
(2)若將100萬元全部投資其中一個項目，請你從投資回報穩定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
選擇項目B.理由如下：
當投入100萬元資金時，由(1)知x=100，
所以E(X1)=E(X2)=20，
D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600，
D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300.
因為E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩妥，所以從投資回報穩定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B.
1.知識清單
(1)離散型隨機變量的方差、標準差.
(2)方差的性質.
(3)方差的應用.
2.方法歸納：公式法、轉化化歸.
3.常見誤區：方差公式套用錯誤，混淆方差的概念.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.已知隨機變量X滿足D(X)=2，則D(3X+2)等于
A.6 B.8 C.18 D.20
√
∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18.
2.已知離散型隨機變量X的分布列為
1
2
3
4
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
則其方差D(X)等于
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
√
1
2
3
4
由離散型隨機變量的分布列的性質
得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3，
所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4，
所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
3.設隨機試驗的結果只有A發生和A不發生，且P(A)=m，令隨機變量X=則X的方差D(X)等于
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
1
2
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4
√
由題意得X服從兩點分布，P(X=1)=m，P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m).
4.兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱中，則A郵箱的信件數X的方差
D(X)=　　　.
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2
3
4
X的所有可能取值為0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)=，
所以E(X)=0×+1×+2×=，
D(X)=×+×+×=.
課時對點練
五
1.(多選)對于離散型隨機變量X，有關它的均值E(X)和方差D(X)，下列說法正確的是
A.E(X)是反映隨機變量的平均取值
B.D(X)越小，說明X越集中于E(X)
C.E(aX+b)=aE(X)+b
D.D(aX+b)=a2D(X)+b
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基礎鞏固
√
√
√
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離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機變量的取值越集中于均值，即A，B正確；
由均值和方差的性質可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)，即C正確，D錯誤.
2.設X，Y為隨機變量，且E(X)=2，E(X2)=6，Y=2X-1，則D(Y)等于
A.9 B.8 C.5 D.4
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√
由題意，D(X)=E(X2)-(E(X))2=6-4=2，故D(Y)=D(2X-1)=22D(X)=8.
3.已知口袋中裝有編號分別為1，2，3的三個大小和形狀完全相同的小球，從中任取2個球，記取出的球的最大編號為X，則D(X)等于
A. B. C. D.
√
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由題意，得X可能取值為2，3，
X=2表示取出的兩個球為1，2，
所以P(X=2)==，
X=3表示取出的兩個球為1，3或2，3，
所以P(X=3)==，
所以E(X)=2×+3×=，
D(X)=22×+32×-=.
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4.甲、乙兩臺自動機床各生產同種標準產品1 000件，X表示甲機床生產
1 000件產品中的次品數，Y表示乙機床生產1 000件產品中的次品數，經過一段時間的考察，X，Y的分布列分別如表一、表二所示.據此判斷
表一
X 0 1 2 3
P 0.7 0 0.2 0.1
表二
Y 0 1 2 3
P 0.6 0.2 0.1 0.1
A.甲比乙質量好 B.乙比甲質量好
C.甲與乙質量相同 D.無法判定
√
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由分布列可求甲的次品數的均值為E(X)=0×0.7+1×0+2×0.2+3×0.1=0.7，乙的次品數的均值為E(Y)=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7，
D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21，
D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01，
E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲質量好.
5.設a>0，已知隨機變量ξ的分布列為
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ξ -1 0 2
P a 2a 3a
則下列方差值中最大的是
A.D(ξ) B.D(|ξ|)
C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1)
√
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由題意得，a+2a+3a=1，解得a=，
則E(ξ)=-1×+0×+2×=，
E(|ξ|)=1×+0×+2×=，
所以D(ξ)=×+×+×=，
D(|ξ|)=×+×+×=.
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所以D(2ξ-1)=4×=，
D(2|ξ|+1)=4×=.
所以D(2ξ-1)>D(2|ξ|+1)>D(ξ)>D(|ξ|).
6.編號為1，2，3的3位同學隨意入座編號為1，2，3的3個座位，每位同學坐一個座位，設與座位編號相同的學生個數是X，則X的方差為
A. B. C. D.1
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√
X的所有可能取值為0，1，3，
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==，
E(X)=0×+1×+3×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
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7.根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示.
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延誤天數Y 0 2 6 10
歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數Y的方差為　　　　.
9.8
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由題意得，P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以隨機變量Y的分布列為
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延誤天數Y的方差為9.8.
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8.若拋擲一枚質地均勻的骰子，記向上的點數為隨機變量X，則隨機變量
X的方差D(X)=　　　.
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依題意得X的可能取值為1，2，3，4，5，6，
且P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=，
所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=，
則D(X)=×+×+×+×+
×+×=.
9.有甲、乙兩種棉花，從中各抽取等量的樣品進行檢驗，結果分別如表一、表二所示：
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表一
X甲 28 29 30 31 32
P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1
表二
X乙 28 29 30 31 32
P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中X表示纖維長度(單位：mm)，根據纖維長度的均值和方差比較甲、乙兩種棉花的質量.
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由表中的數據得，E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1
=30，
E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.
D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1，
D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+
(32-30)2×0.13=1.38.
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由上面的計算知，盡管甲、乙兩種棉花的纖維長度的均值相等，但D(X甲)=1.11
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10.開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程，某校為確保學生課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩套方案的支持情況，現隨機抽取100個學生進行調查，獲得數據如表所示(用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立).
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
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(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設X為兩人中抽出女生的人數，求X的分布列與均值；
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記“從方案一中抽取到女生”為事件A，“從方案二中抽取到女生”為事件B，
則P(A)==，P(B)==，則X的可能取值為0，1，2，
所以P=×=，
P=×+×=，
P=×=，
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所以X的分布列為
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=.
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(2)在(1)中，設Y表示兩人中抽出男生的人數，試判斷方差D(X)與D(Y)的大小.
依題意可得Y=2-X，所以D(Y)=D=D(X)=D(X)，即D(Y)=D(X).
11.隨機變量ξ的分布列如表：
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綜合運用
ξ 1 a 9
P b 1-2b b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
其中1A.若a=5，則當0B.若a=5，則當0C.若b=，則當a=5時，D(ξ)有最小值
D.若b=，則當a=5時，D(ξ)有最大值
√
ξ 1 a 9
P b 1-2b b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a=5，則E(ξ)=1×b+5×(1-2b)+9×b=5，故A，B錯誤；
若b=，則E(ξ)=1×+a×+9×=，D(ξ)=×+×+×=(6a2-60a+438)，其對稱軸為a=-=5，則當a=5時，D(ξ)有最小值，故C正確，D錯誤.
12.(多選)已知A=B=｛1，2，3｝，分別從集合A，B中各隨機取一個數a，b，得到平面上一個點P(a，b)，事件“點P(a，b)恰好落在直線x+y=n上”對應的隨機變量為X，P(X=n)=Pn，X的均值和方差分別為E(X)，D(X)，則下列結論中正確的是
A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)=
C.E(X)=4 D.D(X)=
1
2
3
4
5
6
7
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16
√
√
√
1
2
3
4
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6
7
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16
因為A=B=｛1，2，3｝，點P(a，b)恰好落在直線x+y=n上，所以X的所有可能取值為2，3，4，5，6.從A，B中分別任取1個數，共有9種情況，所以P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)==，P(X=5)=，P(X=6)=.對于A，P4=3P2，故A不正確；
對于B，P(3≤X≤5)=++=，故B正確；
對于C，E(X)=2×+3×+4×+5×+6×=4，故C正確；
對于D，D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=，故D正確.
13.若X是離散型隨機變量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1=，D(X)=，則x1+x2的值為　　　.
1
2
3
4
5
6
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6
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15
16
由已知得
即
解得又x1所以x1+x2=3.
1
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3
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15
16
14.某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試機會的概率為，得到乙、丙兩個公司面試機會的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.設X為該畢業生得到面試機會的公司個數.若P(X=0)=，則D(X)=　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
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9
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13
14
15
16
由P(X=0)=×(1-p)2=，
得p=，
由題意知X為該畢業生得到面試機會的公司個數，則X的所有可能取值是0，1，2，3，
P(X=1)=×+××+××=，
P(X=2)=××+××+××=，
P(X=3)=×=，
1
2
3
4
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6
7
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16
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=，
所以D(X)=×+×+×+×=.
15.(多選)已知隨機變量ξ的分布列如表所示，則下列說法錯誤的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓廣探究
ξ x y
P y x
A.存在x，y∈(0，1)，E(ξ)>
B.對任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤
C.對任意x，y∈(0，1)，D(ξ)D.存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
依題意可得，E(ξ)=2xy，
因為x+y=1，
所以2xy≤=，當且僅當x=y=時等號成立，即E(ξ)≤，故A，B錯誤；
D(ξ)=(x2y+y2x)-(2xy)2=xy(x+y-4xy)=xy(1-4xy)，
D(ξ)-E(ξ)=xy(1-4xy-2)=-xy(1+4xy)，
由于xy>0，所以D(ξ)-E(ξ)<0，故C正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
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15
16
令t=xy，t∈，則D(ξ)=t(1-4t)=-4+，則D(ξ)≤，故D錯誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
16.某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門.首次到達此門，系統會隨機(即等可能的)為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門.再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的小時數.
(1)求ξ的分布列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
ξ的所有可能取值為1，3，4，6，
當ξ=1時，直接從1號通道走出，則P(ξ=1)=；
當ξ=3時，先走2號通道，再走1號通道，
則P(ξ=3)=×=；
當ξ=4時，先走3號通道，再走1號通道，
則P(ξ=4)=×=；
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
當ξ=6時，先走2號通道，再走3號通道，最后再走1號通道，或者先走3號通道，再走2號通道，最后再走1號通道，則P(ξ=6)=2××1=.
所以ξ的分布列為
ξ 1 3 4 6
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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15
16
(2)求ξ的均值和方差.
E(ξ)=1×+3×+4×+6×=，
D(ξ)=×+×+×+×=.7.3.2　離散型隨機變量的方差
［學習目標］　1.理解離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.掌握離散型隨機變量的方差的性質.3.會用離散型隨機變量的均值和方差解決一些實際應用問題.
一、離散型隨機變量的方差、標準差
問題1　要從甲、乙兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績記錄，能否利用均值決定應派哪位同學參賽？
甲同學擊中目標靶的環數X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同學擊中目標靶的環數X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
知識梳理
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)方差：D(X)=　　　　　　　　　　　　　　　　= (xi-E(X))2pi..
(2)標準差：　　　　，記為σ(X).
例1　有10張卡片，其中8張標有數字2，2張標有數字5，若從中隨機抽出3張，記這3張卡片上的數字和為X，則D(X)=　　　.
反思感悟　求離散型隨機變量方差的步驟
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X的取值.
(2)求出X取每個值的概率.
(3)寫出X的分布列.
(4)計算E(X).
(5)計算D(X).
跟蹤訓練1　某旅游公司為三個旅游團提供了a，b，c，d四條旅游線路，每個旅游團可任選其中一條線路，則選擇a線路的旅游團數X的方差D(X)=　　　　.
二、方差的性質
問題2　你能推導出D與D的關系嗎？
知識梳理
離散性隨機變量的方差的性質
若Y=aX+b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且D(aX+b)=　　　　.
例2　已知X的分布列如表所示：
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)計算X的方差；
(3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差.
反思感悟　方差性質應用的關注點
(1)公式：D(aX+b)=a2D(X).
(2)優勢：既避免了求隨機變量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大數的計算，從而簡化了計算過程.
跟蹤訓練2　已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=，k=1，2，3，4，則D(2X-1)等于 (　　)
A. B. C.4 D.5
三、方差的實際應用
例3　有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如表所示：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度(哪一個的穩定性較好).
反思感悟　均值、方差在決策中的作用
(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高.
(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩定.
(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷.
跟蹤訓練3　某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研.項目A：通信設備.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利40%、虧損20%、不賠不賺，且這三種情況發生的概率分別為，，a.項目B：新能源汽車.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發生的概率分別為b，c.
經測算，當投入A，B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即均值)也相等.
(1)求a，b，c的值；
(2)若將100萬元全部投資其中一個項目，請你從投資回報穩定性的角度考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.
1.知識清單
(1)離散型隨機變量的方差、標準差.
(2)方差的性質.
(3)方差的應用.
2.方法歸納：公式法、轉化化歸.
3.常見誤區：方差公式套用錯誤，混淆方差的概念.
1.已知隨機變量X滿足D(X)=2，則D(3X+2)等于 (　　)
A.6 B.8 C.18 D.20
2.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
則其方差D(X)等于 (　　)
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
3.設隨機試驗的結果只有A發生和A不發生，且P(A)=m，令隨機變量X=則X的方差D(X)等于 (　　)
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
4.兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱中，則A郵箱的信件數X的方差D(X)=　　　　.
答案精析
問題1　通過計算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因為兩個均值相等，所以只根據均值無法判斷這兩名同學的射擊水平.
知識梳理
(1)(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn
(2)
例1　
解析　由題意得，隨機變量X的可能取值為6，9，12，
且P(X=6)==，
P(X=9)==，
P(X=12)==.
因此E(X)=6×+9×+12×=，
D(X)=×+×+×=.
跟蹤訓練1　
解析　由題意知X的可能取值有0，1，2，3，
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(X=2)==，P(X=3)==.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=，
D(X)=×+×+×+×=×+×+×+×=.
問題2　D=a2D.
知識梳理
a2D(X)
例2　解　(1)由分布列的性質知++a=1，
解得a=，
所以X2的分布列為
X2 0 1
P
(2)方法一　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-，
D(X)=×+×+×=.
方法二　由(1)知a=，
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
E(X2)=0×+1×=，
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=.
(3)因為Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2，
D(Y)=42D(X)=11.
跟蹤訓練2　D　［∵P(X=k)=，k=1，2，3，4，
∴E(X)=×(1+2+3+4)=，
D(X)=×
=，
∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5.］
例3　解　E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，
E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125.
D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50，
D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.
由此可見E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)故兩種材料的抗拉強度的均值相等，但穩定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩定性較好.
跟蹤訓練3　解　(1)依題意得，++a=1，
解得a=.
設投到項目A，B的資金都為x萬元，變量X1和X2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
則X1和X2的分布列分別為
X1 0.4x -0.2x 0
P
X2 0.3x -0.1x
P b c
所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x，
E(X2)=0.3bx-0.1cx，
因為E(X1)=E(X2)，
所以0.3bx-0.1cx=0.2x，
即0.3b-0.1c=0.2. ①
又b+c=1， ②
由①②，解得b=，c=，
所以a=，b=，c=.
(2)選擇項目B.理由如下：
當投入100萬元資金時，由(1)知x=100，
所以E(X1)=E(X2)=20，
D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600，
D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300.
因為E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，說明雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩妥，所以從投資回報穩定性的角度考慮，建議該投資公司選擇項目B.
隨堂演練
1.C　［∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18.］
2.C　［由離散型隨機變量的分布列的性質
得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3，
所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4，
所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.］
3.D　［由題意得X服從兩點分布，P(X=1)=m，
P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m).］
4.
解析　X的所有可能取值為0，1，2，
P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)=，
所以E(X)=0×+1×+2×=，
D(X)=×+×+×=.

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