資源簡介

(共88張PPT)
第七章
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7.3.1
離散型隨機變量的均值
1.掌握離散型隨機變量的均值的概念和性質.
2.掌握兩點分布的均值.
3.會利用離散型隨機變量的均值和性質，解決一些相關的實際問題.
學習目標
在射擊運動中，射擊選手的每次射擊成績是一個非常典型的隨機事件.
(1)如何刻畫每個選手射擊的技術水平與特點？
(2)如何比較兩個選手的射擊情況？
(3)如何選擇優秀的射擊運動員代表國家參加奧運會才能使得獲勝的概率較大？這些問題的解決都需要離散型隨機變量的知識.
導 語
一、離散型隨機變量的均值
二、均值的性質
課時對點練
三、均值的應用
隨堂演練
內容索引
一
離散型隨機變量的均值
某人射擊10次，所得環數分別是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，則所得的平均環數是多少？
問題1
提示　==7×+8×+9×+10×=8.
(1)均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)= =xipi為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱 .
(2)兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=
.
x1p1+x2p2+…+xnpn
期望
0×(1-p)+1×p=p
分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平.
注 意 點
<<<
　(1)某射擊運動員在比賽中每次擊中10環得1分，擊不中10環得0分.已知他擊中10環的概率為0.8，則射擊一次得分X的期望是
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
例 1
因為P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
√
(2)某地最近出臺一項機動車駕照考試規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.
如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數ξ的分布列和均值，并求李明在一年內領到駕照的概率.
ξ的所有可能取值為1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，
故P(ξ=1)=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，
故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
ξ=3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，
故P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
則ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年內領到駕照的概率為
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.997 6.
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.
(2)求出X取每個值的概率P(X=k).
(3)寫出X的分布列.
(4)利用均值的定義求E(X).
反
思
感
悟
求隨機變量X的均值的方法和步驟
　從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中隨機逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完紅球所需的次數為X，求X的分布列及均值.
跟蹤訓練 1
由題意知X的所有可能取值為2，3，4，5.
當X=2時，表示前2次取的都是紅球，
∴P(X=2)==；
當X=3時，表示前2次中取得1個紅球，1個白球或黑球，第3次取紅球，
∴P(X=3)==；
當X=4時，表示前3次中取得1個紅球，2個不是紅球，第4次取得紅球，
∴P(X=4)==；
當X=5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球，
∴P(X=5)==.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
二
均值的性質
提示　X，η的分布列為
若X，η都是離散型隨機變量，且η=aX+b(其中a，b是常數)，那么E(η)與E(X)有怎樣的關系？
問題2
X x1 x2 … xi … xn
η ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
則E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
離散型隨機變量的均值的性質
若Y=aX+b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且E(aX+b)
= .
aE(X)+b
　已知隨機變量X的分布列為
例 2
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X，則E(Y)=　　　.
由分布列的性質，得
+++m+=1，
解得m=，
所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X，得E(Y)=-2E(X)，
即E(Y)=-2×=.
1.本例條件不變，若Y=2X-3，求E(Y).
由本例知E(X)=-，
則E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3
=2×-3=-.
延伸探究
2.本例條件不變，若Y=aX+3，且E(Y)=-，求a的值.
由本例知E(X)=-，
則E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3
=-a+3=-，
所以a=15.
反
思
感
悟
(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性質法：直接套用公式，E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b，求解即可.
求線性關系的隨機變量η=aξ+b的均值的方法
　(1)已知Y=5X+1，E(Y)=6，則E(X)的值為
A. B.5 C.1 D.31
跟蹤訓練 2
因為E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6，所以E(X)=1.
√
(2)已知隨機變量ξ和η，其中η=12ξ+7，且E(η)=34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
√
因為η=12ξ+7，E(η)=34，
則E(η)=12E(ξ)+7，
即E(η)=12×+7=34.
所以2m+3n=， ①
又+m+n+=1，
所以m+n=， ②
由①②，解得m=.
三
均值的應用
　某地盛產臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優級和一級(每箱重量為5 kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數據如表所示：
例 3
等級 珍品 特級 優級 一級
箱數 10 15 15 10
(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數為10×=3，非特級品的箱數為10-3=7，所以ξ的所有可能取值為0，1，2，3.
則P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；
方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表所示：
從采購商節約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？
等級 珍品 特級 優級 一級
售價(元/kg) 25 20 15 10
方案一的單價為20元/kg，
設方案二的單價為η，則η的均值為
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5，
因為17.5<20，所以從采購商節約資金的角度考慮，應該采用方案二.
反
思
感
悟
解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應均值.
　某超市為了促銷，規定每位顧客購物總金額超過88元可免費參加一次抽獎活動.活動規則如下：在一個不透明的紙箱中放入9個大小相同的小球，其中3個小球上標有數字1，3個小球上標有數字2，3個小球上標有數字3.每位顧客從該紙箱中一次性取出3個球，若取到的3個球上標有的數字都一樣，則獲得一張8元的代金券；若取到的3個球上標有的數字都不一樣，則獲得一張4元的代金券；若是其他情況，則獲得一張1元的代金券.然后將取出的3個小球放回紙箱，等待下一位顧客抽獎.
(1)記隨機變量X為某位顧客在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數，求隨機變量X的分布列和數學期望；
跟蹤訓練 3
由題意可知隨機變量X的可能取值為1，4，8.
P(X=8)==，P(X=4)==，P(X=1)=1--=.
所以隨機變量X的分布列為
X 1 4 8
P
所以隨機變量X的數學期望E(X)=1×+4×+8×=.
(2)該超市規定，若某位顧客購物總金額不足88元，則每抽獎一次需支付2元，若您是該位顧客，從收益的角度考慮，您是否愿意參加一次抽獎活動？請說明理由.
由>2，故從收益的角度考慮，我愿意參加一次抽獎活動.
1.知識清單：
(1)離散型隨機變量的均值.
(2)均值的性質.
(3)均值的應用.
2.方法歸納：函數與方程、轉化化歸.
3.常見誤區：不會應用均值對實際問題作出正確分析.
隨堂演練
四
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3
4
1.已知隨機變量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
則E(X)的值為
A.2 B.2.4 C.3.6 D.不確定
√
依題意和分布列的性質得，0.1+0.2+m+0.2=1，解得m=0.5，所以E(X)
=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.
2.若隨機變量Y=aX+3，且E(Y)=，E(X)=-，則a=　　.
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4
∵E(X)=-，E(Y)=且Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3，則=3-，∴a=2.
2
3.若對于某個數學問題，甲、乙兩人都在研究，甲解出該題的概率為，乙解出該題的概率為，甲、乙兩人解題互不影響，設解出該題的人數為X，則E(X)=　　　.
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4
記“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，則X的所有可能取值為0，1，2.
P(X=0)=P()=P()P()=×=，
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=，
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=×=，
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所以X的分布列為
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
4.利用下列盈利表中的數據進行決策，應選擇的方案是　　　.
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自然狀況 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 -20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 -10
A3
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A1的均值為50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7；
A2的均值為70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5；
A3的均值為-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7；
A4的均值為98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6，
因為A3的均值最大，所以應選擇的方案是A3.
課時對點練
五
1.拋擲一枚硬幣，規定正面向上得1分，反面向上得-1分，則得分X的均值為
A.0 B. C.1 D.-1
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基礎鞏固
√
因為P(X=1)=，P(X=-1)=，所以由均值的定義得E(X)=1×+(-1)×=0.
2.若離散型隨機變量X的分布列為
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X 0 1
P
則X的均值E(X)等于
A.2 B.2或 C. D.1
√
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由分布列的性質知，+=1，解得a=1或a=-2(舍去).
所以E(X)=0×+1×=.
3.今有兩臺獨立工作在兩地的雷達，每臺雷達發現飛行目標的概率分別為0.9和0.85，設發現目標的雷達數為ξ，則E(ξ)的值為
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
√
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由題意可得，ξ的所有可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015；
P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+(1-0.9)×0.85=0.22；
P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
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4.(多選)已知某一隨機變量X的分布列如表所示，且E(X)=6.3，則
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
√
√
√
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由題意和分布列的性質得，0.5+0.1+b=1，
∴b=0.4，
又E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3，
解得a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1，
E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
5.“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.為弘揚中國優秀傳統文化，某校計劃開展“四書”經典誦讀比賽活動.某班有4位同學參賽，每人從《大學》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同.比賽時，若這4位同學從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內容誦讀，則抽到自己準備的書的人數的均值為
A. B.1 C. D.2
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記抽到自己準備的書的學生數為X，
則X的所有可能取值為0，1，2，4，
P(X=0)===，
P(X=1)===，
P(X=2)===，
P(X=4)==，
則E(X)=0×+1×+2×+4×=1.
6.射手用手槍進行射擊，擊中目標就停止，否則繼續射擊，他射中目標的概率是0.8.若槍內只有3顆子彈，則他射擊次數的數學期望是
A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24
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由題意知，射擊次數X的可能取值為1，2，3，
P(X=1)=0.8，
P(X=2)=0.2×0.8=0.16，
P(X=3)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.2×0.2=0.04，
∴他射擊次數的數學期望E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24.
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7.隨機變量X的取值為0，1，2，若P(X=0)=，E(X)=1，則P(X=1)=　　.
設P(X=1)=p，因為P(X=0)=，E(X)=1，
故0×+1×p+2×=1，
所以p+-2p=1，解得p=.
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8.若隨機拋擲一顆質地均勻的正方體骰子1次，則所得點數X的均值是　　.
3.5
由題意得，X的所有可能取值為1，2，3，4，5，6，且P(X=i)=，i=1，2，3，4，5，6，
所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5.
9.新高考數學試卷增加了多項選擇題，每小題有A，B，C，D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項.題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.”
其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分.
(1)若某道多項選擇題的正確答案是AB，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機選擇至少一個選項，至多三個選項，請寫出該考生所有選擇結果所構成的樣本空間，并求該考生得分的概率；
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由題意，該考生所有選擇結果構成的樣本空間為｛A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD｝，
設A1=“該題的答案是AB，該考生得分”，則P(A1)=.
(2)若多項選擇題的正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出某道多項選擇題的A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數學期望作為判斷依據，幫該考生選出恰當方案：
方案一：只選擇A選項；
方案二：選擇A選項的同時，再隨機選擇一個選項；
方案三：選擇A選項的同時，再隨機選擇兩個選項.
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設方案一、二、三的得分分別為X，Y，Z.
①∵P(X=2)=，P(X=3)=.
∴X的分布列為
X 2 3
P
則E(X)=2×+3×=.
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②∵P(Y=0)=×+×=，P(Y=4)=×=，P(Y=6)=×=，
∴Y的分布列為
則E(Y)=0×+4×+6×=.
Y 0 4 6
P
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③∵P(Z=0)=×+×1=，P(Z=6)=×=，
∴Z的分布列為
則E(Z)=0×+6×=1.
∵E(X)>E(Y)>E(Z)，∴以數學期望為依據選擇方案一更恰當.
Z 0 6
P
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10.足球運動是備受學生喜愛的體育運動，某校開展足球技能測試，甲、乙、丙三人參加點球測試，每人有兩次點球機會，若第一次點球成功，則測試合格，不再進行第二次點球；若第一次點球失敗，則再點球一次，若第二次點球成功，則測試合格，若第二次點球失敗，則測試不合格，已知甲、乙、丙三人點球成功的概率分別為，，，且三人每次點球的結果互不影響.
(1)求甲、乙、丙三人共點球4次的概率；
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設甲、乙、丙三人第i次點球成功分別為事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，
則P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.
甲、乙、丙三人共點球4次，根據測試規則，有2人第一次點球成功，剩下的1人第一次點球失敗，
則甲、乙、丙三人共點球4次的概率
P=P(A1B1+A1C1+B1C1)=P(A1B1)+P(A1C1)+P(B1C1)
=P(A1)P(B1)P()+P(A1)P()P(C1)+P()P(B1)P(C1)
=××+××+××=.
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(2)設X表示甲、乙、丙三人中測試合格的人數，求X的分布列和均值.
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16
甲測試合格的概率P1=P(A1+A2)
=+×=，
乙測試合格的概率P2=P(B1+B2)
=+×=，
丙測試合格的概率
P3=P(C1+C2)=+×=.
易知X的所有可能取值為0，1，2，3，
1
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P(X=0)=××=，
P(X=1)=××+××+×
×=，
P(X=2)=××+××+××=，
P(X=3)=××=，
1
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所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
11.已知實數a，b，c成等差數列，隨機變量X的分布列為
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綜合運用
X 0 1 2
P a b c
當a增大時，則下列說法中正確的是
A.E(X)增大 B.E(X)減小
C.E(X)先增大后減小 D.E(X)先減小后增大
√
1
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3
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因為實數a，b，c成等差數列，所以a+c=2b.又由分布列的性質可得a+b+c=1，所以a+c=，b=，所以0≤a≤，所以E(X)=0·a+1×+2c=+2×=-2a+，所以當a增大時，E(X)減小.
12.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為， 乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數ξ的均值為
A. B. C. D.
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√
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依題意知，ξ的所有可能取值為2，4，6，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為+=.若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(ξ=2)=，P(ξ=4)=×=，P(ξ=6)==，故E(ξ)=2×+4×+6×=.
13.已知隨機變量X的分布列為
1
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X 1 2 3
P
且Y=aX+3，若E(Y)=-2，則a的值為　　　.
-3
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E(X)=1×+2×+3×=.
∵Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2.
解得a=-3.
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14.甲、乙、丙三人參加某次招聘會，甲應聘成功的概率為，乙、丙應聘成功的概率均為(01
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依題意，得甲、乙、丙三人都應聘成功的概率是××=，解得t=2(負值舍去)，
所以乙應聘成功的概率為，則ξ的所有可能的取值為0，1，2，
可得P(ξ=2)=×=，
P(ξ=1)=×+×=，
P(ξ=0)=×=，
所以E(ξ)=2×+1×+0×=.
15.甲同學有3本故事書和1本科普書，乙同學有1本故事書和3本科普書，若甲、乙兩位同學各取出i(i=1，2，3)本書進行交換，記交換后甲同學故事書的本數為X，X的均值為Ei(X)，則E1(X)+E3(X)等于
A.1 B.2 C.3 D.4
1
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3
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16
拓廣探究
√
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3
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16
當i=1時，X的取值可能是2，3，4，
且P(X=2)==，
P(X=3)==，
P(X=4)==，
則E1(X)=2×+3×+4×=.
1
2
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5
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15
16
當i=3時，X的取值可能是0，1，2，
且P(X=0)==，
P(X=1)===，
P(X=2)==，
則E3(X)=0×+1×+2×=.
故E1(X)+E3(X)=4.
1
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16.甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數，得到如下頻數表：
甲公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 10 15 10 10 5
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16
乙公司送餐員送餐單數頻數表：
送餐單數 38 39 40 41 42
天數 5 10 10 20 5
若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：
(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和均值；
1
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設乙公司送餐員送餐單數為a，
當a=38時，X=38×6=228，P==；
當a=39時，X=39×6=234，P==；
當a=40時，X=40×6=240，P==；
當a=41時，X=40×6+1×7=247，P==；
當a=42時，X=40×6+2×7=254，P==，
故X的所有可能取值為228，234，240，247，254，
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故X的分布列為
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8.
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16
(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為小王作出選擇，并說明理由.
1
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3
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5
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15
16
甲公司送餐員日平均送餐單數為
38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7，
則甲公司送餐員日平均工資為80+4×39.7=238.8(元)，
因為乙公司送餐員日平均工資為241.8元，
238.8<241.8，
所以推薦小王去乙公司應聘.7.3.1　離散型隨機變量的均值
［學習目標］　1.掌握離散型隨機變量的均值的概念和性質.2.掌握兩點分布的均值.3.會利用離散型隨機變量的均值和性質，解決一些相關的實際問題.
一、離散型隨機變量的均值
問題1　某人射擊10次，所得環數分別是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，則所得的平均環數是多少？
知識梳理
(1)均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)=　　　　　　　　　　　　　　　　=xipi為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱　　　　.
(2)兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=　　　　　　　　　　.
例1　(1)某射擊運動員在比賽中每次擊中10環得1分，擊不中10環得0分.已知他擊中10環的概率為0.8，則射擊一次得分X的期望是 (　　)
A.0.2 B.0.8 C.1 D.0
(2)某地最近出臺一項機動車駕照考試規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.
如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數ξ的分布列和均值，并求李明在一年內領到駕照的概率.
反思感悟　求隨機變量X的均值的方法和步驟
(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.
(2)求出X取每個值的概率P(X=k).
(3)寫出X的分布列.
(4)利用均值的定義求E(X).
跟蹤訓練1　從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中隨機逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完紅球所需的次數為X，求X的分布列及均值.
二、均值的性質
問題2　若X，η都是離散型隨機變量，且η=aX+b(其中a，b是常數)，那么E(η)與E(X)有怎樣的關系？
知識梳理
離散型隨機變量的均值的性質
若Y=aX+b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且E(aX+b)=　　　　　　　　.
例2　已知隨機變量X的分布列為
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X，則E(Y)=　　　　.
延伸探究
1.本例條件不變，若Y=2X-3，求E(Y).
2.本例條件不變，若Y=aX+3，且E(Y)=-，求a的值.
反思感悟　求線性關系的隨機變量η=aξ+b的均值的方法
(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.
(2)性質法：直接套用公式，E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b，求解即可.
跟蹤訓練2　(1)已知Y=5X+1，E(Y)=6，則E(X)的值為 (　　)
A. B.5 C.1 D.31
(2)已知隨機變量ξ和η，其中η=12ξ+7，且E(η)=34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為 (　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
三、均值的應用
例3　某地盛產臍橙，該地銷售臍橙按照等級分為四類：珍品、特級、優級和一級(每箱重量為5 kg)，某采購商打算在該地采購一批臍橙銷往外地，并從采購的這批臍橙中隨機抽取50箱，利用臍橙的等級分類標準得到的數據如表所示：
等級 珍品 特級 優級 一級
箱數 10 15 15 10
(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：
方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；
方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表所示：
等級 珍品 特級 優級 一級
售價(元/kg) 25 20 15 10
從采購商節約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？
反思感悟　解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應均值.
跟蹤訓練3　某超市為了促銷，規定每位顧客購物總金額超過88元可免費參加一次抽獎活動.活動規則如下：在一個不透明的紙箱中放入9個大小相同的小球，其中3個小球上標有數字1，3個小球上標有數字2，3個小球上標有數字3.每位顧客從該紙箱中一次性取出3個球，若取到的3個球上標有的數字都一樣，則獲得一張8元的代金券；若取到的3個球上標有的數字都不一樣，則獲得一張4元的代金券；若是其他情況，則獲得一張1元的代金券.然后將取出的3個小球放回紙箱，等待下一位顧客抽獎.
(1)記隨機變量X為某位顧客在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數，求隨機變量X的分布列和數學期望；
(2)該超市規定，若某位顧客購物總金額不足88元，則每抽獎一次需支付2元，若您是該位顧客，從收益的角度考慮，您是否愿意參加一次抽獎活動？請說明理由.
1.知識清單：
(1)離散型隨機變量的均值.
(2)均值的性質.
(3)均值的應用.
2.方法歸納：函數與方程、轉化化歸.
3.常見誤區：不會應用均值對實際問題作出正確分析.
1.已知隨機變量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
則E(X)的值為 (　　)
A.2 B.2.4
C.3.6 D.不確定
2.若隨機變量Y=aX+3，且E(Y)=，E(X)=-，則a=　　　　.
3.若對于某個數學問題，甲、乙兩人都在研究，甲解出該題的概率為，乙解出該題的概率為，甲、乙兩人解題互不影響，設解出該題的人數為X，則E(X)=　　　　.
4.利用下列盈利表中的數據進行決策，應選擇的方案是　　　　.
自然狀況 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 -20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 -10
答案精析
問題1　=
=7×+8×+9×+10×=8.
知識梳理
(1)x1p1+x2p2+…+xnpn　期望　
(2)0×(1-p)+1×p=p
例1　(1)B　［因為P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.］
(2)解　ξ的所有可能取值為1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，
故P(ξ=1)=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，
故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
ξ=3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故
P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故
P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
則ξ的分布列為
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年內領到駕照的概率為
1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.997 6.
跟蹤訓練1　解　由題意知X的所有可能取值為2，3，4，5.
當X=2時，表示前2次取的都是紅球，
∴P(X=2)==；
當X=3時，表示前2次中取得1個紅球，1個白球或黑球，第3次取紅球，
∴P(X=3)==；
當X=4時，表示前3次中取得1個紅球，2個不是紅球，第4次取得紅球，
∴P(X=4)==；
當X=5時，表示前4次中取得1個紅球，3個不是紅球，第5次取得紅球，
∴P(X=5)==.
∴X的分布列為
X 2 3 4 5
P
∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4.
問題2　X，η的分布列為
X x1 x2 … xi … xn
η ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P p1 p2 … pi … pn
則E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
知識梳理
aE(X)+b
例2　
解析　由分布列的性質，得+++m+=1，
解得m=，
所以E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X，得E(Y)=-2E(X)，
即E(Y)=-2×=.
延伸探究
1.解　由本例知E(X)=-，
則E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3
=2×-3=-.
2.解　由本例知E(X)=-，
則E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-，
所以a=15.
跟蹤訓練2　(1)C　［因為E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6，所以E(X)=1.］
(2)A　［因為η=12ξ+7，E(η)=34，
則E(η)=12E(ξ)+7，
即E(η)=12×+7=34.
所以2m+3n=， ①
又+m+n+=1，
所以m+n=， ②
由①②，解得m=.］
例3　解　(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，特級品的箱數為10×=3，非特級品的箱數為10-3=7，所以ξ的所有可能取值為0，1，2，3.
則P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，
P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，
則ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
(2)方案一的單價為20元/kg，
設方案二的單價為η，則η的均值為
E(η)=25×+20×+15×+10×=17.5，
因為17.5<20，所以從采購商節約資金的角度考慮，應該采用方案二.
跟蹤訓練3　解　(1)由題意可知隨機變量X的可能取值為1，4，8.
P(X=8)==，
P(X=4)==，
P(X=1)=1--=.
所以隨機變量X的分布列為
X 1 4 8
P
所以隨機變量X的數學期望
E(X)=1×+4×+8×=.
(2)由>2，故從收益的角度考慮，我愿意參加一次抽獎活動.
隨堂演練
1.C　［依題意和分布列的性質得，0.1+0.2+m+0.2=1，
解得m=0.5，
所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.］
2.2
解析　∵E(X)=-，E(Y)=且Y=aX+3，
∴E(Y)=aE(X)+3，則=3-，
∴a=2.
3.
解析　記“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，則X的所有可能取值為0，1，2.
P(X=0)=P( )=P()P()
=×=，
P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=×+×=，
P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=×=，
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
4.A3
解析　A1的均值為50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7；
A2的均值為70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5；
A3的均值為-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7；
A4的均值為98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6，
因為A3的均值最大，所以應選擇的方案是A3.

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