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第七章
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7.1.2
全概率公式
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)全概率公式.
2.理解全概率公式，并會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.
3.了解貝葉斯公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
王先生從家到公司有兩條路可以選擇，其中第一條路擁堵的概率是0.3，第二條路擁堵的概率是0.4，王先生選擇第一條路的概率是0.7，選擇第二條路的概率是0.3，那么王先生上班路上擁堵的概率是多少？這個(gè)概率怎么計(jì)算呢？
導(dǎo) 語
一、全概率公式
二、多個(gè)事件的全概率問題
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
*三、貝葉斯公式
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
全概率公式
從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？
問題
提示　因?yàn)槌楹灳哂泄叫?，所以?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是，但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).
用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1，2.如圖所示.
事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍(lán)球)
表示為兩個(gè)互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=×+×=.
全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，
有_______________________.
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
全概率公式的主要用途在于它將一個(gè)復(fù)雜事件的概率問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題，即P(B)=P(A1B)+P(A2B)
+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).
注 意 點(diǎn)
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　某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05，求：
(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；
例 1
記事件A，B分別為“甲廠、乙廠的產(chǎn)品”，事件C為“廢品”，則Ω=A∪B，且A，B互斥，
由題意，得P(A)==，P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，
得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=×+×=.
(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個(gè)為廢品的概率.
P(A)==，
P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.
(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分，如A1，A2(或A與).
(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
反
思
感
悟
兩個(gè)事件的全概率問題求解策略
　某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.
跟蹤訓(xùn)練 1
如果用事件A1，A2分別表示“居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學(xué)是女生”，則Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由題意可知，P(A1)=，P(A2)=，
且P(B|A1)=，P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
二
多個(gè)事件的全概率問題
　甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛盤進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛盤被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛盤必定被擊落，求飛盤被擊落的概率.
例 2
設(shè)B=“飛盤被擊落”，Ai=“飛盤被i人擊中”，i=1，2，3，則B=A1B∪A2B∪A3B，
依題意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，P(B|A3)=1.
設(shè)Hi=“飛盤被第i人擊中”，i=1，2，3，
則P(A1)=P(H1∪H2∪H3)，
P(A2)=P(H1H2∪H1H3∪H2H3)，
P(A3)=P(H1H2H3)，
又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
所以P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
即飛盤被擊落的概率為0.458.
反
思
感
悟
(1)如圖，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情
形Ai(i=1，2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和.
“化整為零”求多事件的全概率問題
　假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表所示：
跟蹤訓(xùn)練 2
品牌 甲 乙 其他
市場(chǎng)占有率 50% 30% 20%
優(yōu)質(zhì)率 95% 90% 70%
在該市場(chǎng)中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率.
用A1，A2，A3分別表示事件“買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“買到的是優(yōu)質(zhì)品”，則Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依題意，可得P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)=70%，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%.
*三
貝葉斯公式
*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)=______________=________________，i=1，2，…，n.
如果所求事件的概率是由多個(gè)原因引起的，此時(shí)應(yīng)用全概率公式；如果所求概率為條件概率P(A|B)，而B由多個(gè)原因引起，此時(shí)應(yīng)用貝葉斯公式.
注 意 點(diǎn)
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　設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個(gè)車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%，35%，40%，它們的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
例 3
設(shè)事件B1，B2，B3分別表示“取到的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的”，A表示“取到的是次品”.
易知B1，B2，B3兩兩互斥，根據(jù)全概率公式，
可得P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.034 5.
故取到次品的概率為0.034 5.
(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率.(精確到0.01)
P(B1|A)===≈0.36.
故已知取到的是次品，則它是甲車間生產(chǎn)的概率約為0.36.
反
思
感
悟
(1)公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系.
(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事件A1發(fā)生的可能性在各種可能原因中的比重.
貝葉斯公式的內(nèi)涵
　某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機(jī)不會(huì)遲到.
(1)求這個(gè)人遲到的概率；
跟蹤訓(xùn)練 3
設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，
則P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.
由全概率公式，此人遲到的概率
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18.
(2)如果這個(gè)人遲到了，求他乘輪船遲到的概率.
如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得他乘輪船遲到的概率為
P(B|D)====.
1.知識(shí)清單：
(1)全概率公式.
(2)多個(gè)事件的全概率問題.
(3)貝葉斯公式.
2.方法歸納：化整為零、轉(zhuǎn)化化歸.
3.常見誤區(qū)：事件拆分不合理或不全面.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，則P(B)的值為
A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5
√
P(B)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6.
2.某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫，假設(shè)第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為
A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88
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√
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設(shè)從倉庫中隨機(jī)提出的一臺(tái)產(chǎn)品是合格品為事件B，事件Ai表示提出的一臺(tái)產(chǎn)品是第i車間生產(chǎn)的，i=1，2，
由題意可得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6，P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868.
3.已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對(duì)其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道題完全沒有思路，有思路的題做對(duì)的概率為，沒有思路的題只好從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案.小王從這8道題中任選1題，則他做對(duì)的概率為　　　.
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2
3
4
設(shè)“小王從這8道題中任選1題且做對(duì)”為事件A，“選到能完整做對(duì)的5道題”為事件B，“選到有思路的2道題”為事件C，“選到完全沒有思路的1道題”為事件D，則P(B)=，P(C)==，P(D)=，由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×
=.
4.甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球，今從甲袋中任取兩球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為　　.
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1
2
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4
設(shè)A=“從乙袋中取出的是白球”，Bi=“從甲袋中取出的兩球恰有i個(gè)白球”，i=0，1，2.
則Ω=B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0兩兩互斥.
由全概率公式，得
P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
1.某種疾病的患病率為0.5%，通過驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽性，患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性，隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽性的概率為
A.0.068 9 B.0.049 C.0.024 8 D.0.02
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基礎(chǔ)鞏固
√
設(shè)“驗(yàn)血結(jié)果為陽性”為事件B，“是患者”為事件A1，“非患者”為事件A2，
則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.5%×(1-2%)+(1-0.5%)×2%=0.024 8.
2.播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子.播種一、二、三、四等種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為
A.0.8 B.0.532 C.0.482 5 D.0.312 5
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設(shè)“從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子”分別為事件A1，A2，A3，A4，則Ω=A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥，
設(shè)B表示“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥?！?，則
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=
0.482 5.
3.已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是
A.0.012 45 B.0.057 86 C.0.028 65 D.0.037 45
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用事件A，B分別表示“隨機(jī)選1人為男性或女性”，用事件C表示“此人是色盲”，
則Ω=A∪B，且A，B互斥，
故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×7%+×0.49%=0.037 45.
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4.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份，7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份，則先取到的一份為女生報(bào)名表的概率為
A. B. C. D.
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設(shè)A=“先取到的是女生報(bào)名表”，Bi=“取到第i個(gè)地區(qū)的報(bào)名表”，i=1，2，3，
則Ω=B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，
∴P(A)= P(Bi)P(A|Bi)=×+×+×=.
5.(多選)箱子中有6個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球.每次從箱子中隨機(jī)地摸出一個(gè)球，摸出的球不放回.設(shè)A=“第1次摸球，摸到紅球”，B=“第2次摸球，摸到紅球”，則下列結(jié)論正確的是
A.P(A)= B.P(B)=C.P(B|A)= D.P(B|)=
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P(A)==，A正確；
P(B|A)===，
P(B|)===.
由全概率公式可知，P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
所以B，C錯(cuò)誤，D正確.
6.深受廣大球迷喜愛的某支足球隊(duì)在對(duì)球員的使用上進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2.當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為
A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7
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設(shè)A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”，A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”，A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”，A4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”，B表示“當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，球隊(duì)輸球”.
則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)
=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32，
所以當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為1-0.32=0.68.
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7.有兩箱同一種產(chǎn)品，第一箱內(nèi)裝50件，其中10件優(yōu)質(zhì)品，第二箱內(nèi)裝30件，其中18件優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)隨意地打開一箱，然后從箱中隨意取出一件，則取到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是　　　.
設(shè)A=“取到的是優(yōu)質(zhì)品”，Bi=“打開的是第i箱”(i=1，2)，
則P(B1)=P(B2)=，
P(A|B1)==，P(A|B2)==，
由全概率公式，得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=.
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8.已知小明每天步行上學(xué)的概率為0.6，騎自行車上學(xué)的概率為0.4，且步行上學(xué)有0.05的概率遲到，騎自行車上學(xué)有0.02的概率遲到.若小明今天上學(xué)遲到了，則他今天騎自行車上學(xué)的概率為　　.
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設(shè)A=“小明步行上學(xué)”，B=“小明騎自行車上學(xué)”，C=“小明遲到”，
由已知得P(A)=0.6，P(B)=0.4，
P(C|A)=0.05，P(C|B)=0.02，
由全概率公式可知P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.02
=0.038，
利用條件概率可得P(B|C)====，
即所求的概率為.
9.某同學(xué)買了7個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒中都有一支筆，有4支鋼筆和3支圓珠筆.
(1)一次取出2個(gè)盲盒，求2個(gè)盲盒為同一種筆的概率；
1
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15
16
設(shè)事件A=“2個(gè)盲盒中都是鋼筆”，事件B=“2個(gè)盲盒中都是圓珠筆”，則A與B為互斥事件，
因?yàn)镻(A)==，P(B)==，
所以2個(gè)盲盒為同一種筆的概率P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒，求第1次、第2次取到的都是鋼筆盲盒的概率；
1
2
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16
設(shè)事件Ai=“第i次取到的是鋼筆盲盒”，i=1，2.
因?yàn)镻(A1)==，P(A2|A1)==，
所以P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=，
即第1次、第2次取到的都是鋼筆盲盒的概率為.
(3)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒，求第2次取到的是圓珠筆盲盒的概率.
1
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設(shè)事件Bi=“第i次取到的是圓珠筆盲盒”，i=1，2.
因?yàn)镻(B1)==，P(B2|B1)==，
P(B2|A1)==，
所以由全概率公式可知第2次取到的是圓珠筆盲盒的概率為P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(A1)·P(B2|A1)=×+×=.
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10.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2個(gè)次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱任意抽查5只，若無次品，則購買該箱玻璃杯，否則退回.求顧客買下該箱玻璃杯的概率.
1
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設(shè)Ai=“該箱玻璃杯有i個(gè)次品”(i=0，1，2)，B=“顧客買下該箱玻璃杯”，
則Ω=A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2兩兩互斥，
由題意知，P(A0)=0.8，P(A1)=0.1，
P(A2)=0.1，
P(B|A0)=1，P(B|A1)==，
P(B|A2)==.
∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.8×1+0.1×+0.1×=.
11.(多選)若0A.P(A|B)=
B.P(AB)=P(A)P(B|A)
C.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)
D.P(A|B)=
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√
綜合運(yùn)用
√
√
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16
由條件概率的計(jì)算公式知A錯(cuò)誤；
B，C顯然正確；
D選項(xiàng)中，因?yàn)镻(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)，
所以P(A|B)===，
故D正確.
12.把外形相同的球分裝在三個(gè)盒子中，每盒10個(gè).其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球，那么稱試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)成功的概率為
A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64
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設(shè)A=“從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球”，B=“從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球”，R=“第二次取出的是紅球”，
則P(A)=，P(B)=，P(R|A)=，
P(R|B)=，
故P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=×+×=0.59.
13.若甲盒中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有x個(gè)白球(x∈N)、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則x的最大值為
A.4 B.5 C.6 D.7
1
2
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4
5
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√
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7
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16
設(shè)第一次從甲盒取出白球、紅球、黑球分別為事件A1，A2，A3，從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同為事件B，
則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=·+·+·=≥，
解得x≤6，則x的最大值為6.
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14.某學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行答題比賽，已知共有4道A類試題，8道B類試題，12道C類試題，學(xué)生從中任選1道試題作答，學(xué)生甲答對(duì)A，B，C這3類試題的概率分別為，，.若學(xué)生甲答對(duì)了所選試題，則這道試題是B類試題的概率為　　.
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設(shè)“學(xué)生選1道A類試題”為事件A，“學(xué)生選1道B類試題”為事件B，“學(xué)生選1道C類試題”為事件C，“學(xué)生答對(duì)試題”為事件D，
則P(A)==，P(B)==，
P(C)==，P(D|A)=，
P(D|B)=，P(D|C)=，
所以P(D)=×+×+×=，所以P(B|D)===.
15.甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進(jìn)行答題測(cè)試，每套測(cè)試題可從題庫中隨機(jī)抽取.在一輪答題中，如果甲單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的概率是，如果乙單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的概率是.現(xiàn)在甲、乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試，則通過測(cè)試的概率是
A. B. C. D.
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拓廣探究
√
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設(shè)“選中甲”為事件B，“選中乙”為事件C，“通過測(cè)試”為事件D，
根據(jù)題意得，P(B)=P(C)=，P(D|B)=，P(D|C)=，
則P(D)=P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×=，
所以在甲、乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試，則通過測(cè)試的概率是.
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16.如圖，有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1，2，3，其中1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同.某人先從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率以及該球取自幾號(hào)箱的可能性最大.
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設(shè)事件Bi=“球取自i號(hào)箱”(i=1，2，3)，事件A=“取得紅球”.
顯然有P(B1)=P(B2)=P(B3)=，
P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=1，
由全概率公式，可得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=，
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再由貝葉斯公式知，
P(B1|A)==，
P(B2|A)==，
P(B3|A)==，
因此，該球是取自1號(hào)箱的概率為，該球取自3號(hào)箱的可能性最大.7.1.2　全概率公式
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)全概率公式.2.理解全概率公式，并會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.3.了解貝葉斯公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
一、全概率公式
問題　從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？
知識(shí)梳理
全概率公式：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，有 　.
例1　某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率為0.05，求：
(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；
(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個(gè)為廢品的概率.
反思感悟　兩個(gè)事件的全概率問題求解策略
(1)拆分：將樣本空間拆分成互斥的兩部分，如A1，A2(或A與).
(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
跟蹤訓(xùn)練1　某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.
二、多個(gè)事件的全概率問題
例2　甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛盤進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛盤被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛盤必定被擊落，求飛盤被擊落的概率.
反思感悟　“化整為零”求多事件的全概率問題
(1)如圖，P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
(2)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i=1，2，…，n)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形Ai發(fā)生的可能性與已知在Ai發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的可能性的乘積之和.
跟蹤訓(xùn)練2　假設(shè)某市場(chǎng)供應(yīng)的智能手機(jī)中，市場(chǎng)占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如表所示：
品牌 甲 乙 其他
市場(chǎng)占有率 50% 30% 20%
優(yōu)質(zhì)率 95% 90% 70%
在該市場(chǎng)中任意買一部智能手機(jī)，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率.
*三、貝葉斯公式
知識(shí)梳理
*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=　　　　　　　
=　　　　　　　　　　　，i=1，2，…，n.
例3　設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間，它們生產(chǎn)同一種工件，每個(gè)車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%，35%，40%，它們的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲車間生產(chǎn)的概率.(精確到0.01)
反思感悟　貝葉斯公式的內(nèi)涵
(1)公式P(A1|B)==反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之間的互化關(guān)系.
(2)P(A1)稱為先驗(yàn)概率，P(A1|B)稱為后驗(yàn)概率，其反映了事件A1發(fā)生的可能性在各種可能原因中的比重.
跟蹤訓(xùn)練3　某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機(jī)不會(huì)遲到.
(1)求這個(gè)人遲到的概率；
(2)如果這個(gè)人遲到了，求他乘輪船遲到的概率.
1.知識(shí)清單：
(1)全概率公式.
(2)多個(gè)事件的全概率問題.
(3)貝葉斯公式.
2.方法歸納：化整為零、轉(zhuǎn)化化歸.
3.常見誤區(qū)：事件拆分不合理或不全面.
1.已知P(BA)=0.4，P(B)=0.2，則P(B)的值為 (　　)
A.0.08 B.0.8
C.0.6 D.0.5
2.某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫，假設(shè)第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為 (　　)
A.0.6 B.0.85
C.0.868 D.0.88
3.已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對(duì)其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道題完全沒有思路，有思路的題做對(duì)的概率為，沒有思路的題只好從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案.小王從這8道題中任選1題，則他做對(duì)的概率為　　　　.
4.甲袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球，今從甲袋中任取兩球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則該球是白球的概率為　　　　.
答案精析
問題　因?yàn)槌楹灳哂泄叫裕缘?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是，但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).
用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1，2.如圖所示.
事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍(lán)球)表示為兩個(gè)互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)
=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
=×+×=.
知識(shí)梳理
P(B)= P(Ai)P(B|Ai)
例1　解　記事件A，B分別為“甲廠、乙廠的產(chǎn)品”，事件C為“廢品”，則Ω=A∪B，且A，B互斥，
(1)由題意，得P(A)==，P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=×+×=.
(2)P(A)==，
P(B)==，
P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05，
由全概率公式，得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=.
跟蹤訓(xùn)練1　解　如果用事件A1，A2分別表示“居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學(xué)是女生”，
則Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由題意可知，P(A1)=，P(A2)=，
且P(B|A1)=，P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
例2　解　設(shè)B=“飛盤被擊落”，Ai=“飛盤被i人擊中”，i=1，2，3，則B=A1B∪A2B∪A3B，
依題意，得P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.6，
P(B|A3)=1.
設(shè)Hi=“飛盤被第i人擊中”，i=1，2，3，
則P(A1)=P(H1∪H2∪H3)，
P(A2)=P(H1H2∪H1H3∪H2H3)，
P(A3)=P(H1H2H3)，
又P(H1)=0.4，P(H2)=0.5，P(H3)=0.7，
所以P(A1)=0.36，P(A2)=0.41，P(A3)=0.14，
則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
即飛盤被擊落的概率為0.458.
跟蹤訓(xùn)練2　解　用A1，A2，A3分別表示事件“買到的智能手機(jī)為甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“買到的是優(yōu)質(zhì)品”，則Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，依題意，可得P(A1)=50%，P(A2)=30%，P(A3)=20%，且P(B|A1)=95%，P(B|A2)=90%，P(B|A3)=70%，由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%.
知識(shí)梳理
　
例3　解　(1)設(shè)事件B1，B2，B3分別表示“取到的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的”，A表示“取到的是次品”.
易知B1，B2，B3兩兩互斥，根據(jù)全概率公式，
可得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)
=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.034 5.
故取到次品的概率為0.034 5.
(2)P(B1|A)===≈0.36.
故已知取到的是次品，則它是甲車間生產(chǎn)的概率約為0.36.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，
則P(A)=0.2，P(D|A)=0.5，P(B)=0.4，
P(D|B)=0.2，P(C)=0.4，P(D|C)=0.
由全概率公式，此人遲到的概率
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18.
(2)如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得他乘輪船遲到的概率為P(B|D)====.
隨堂演練
1.C　［P(B)=P(BA)+P(B)=0.4+0.2=0.6.］
2.C?。墼O(shè)從倉庫中隨機(jī)提出的一臺(tái)產(chǎn)品是合格品為事件B，事件Ai表示提出的一臺(tái)產(chǎn)品是第i車間生產(chǎn)的，i=1，2，
由題意可得P(A1)==0.4，P(A2)==0.6，P(B|A1)=0.85，P(B|A2)=0.88，
由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.
所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868.］
3.
解析　設(shè)“小王從這8道題中任選1題且做對(duì)”為事件A，“選到能完整做對(duì)的5道題”為事件B，“選到有思路的2道題”為事件C，“選到完全沒有思路的1道題”為事件D，
則P(B)=，P(C)==，P(D)=，
由全概率公式可得
P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=.
4.
解析　設(shè)A=“從乙袋中取出的是白球”，Bi=“從甲袋中取出的兩球恰有i個(gè)白球”，i=0，1，2.
則Ω=B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0兩兩互斥.
由全概率公式，得
P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=.

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