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(共78張PPT)
第七章
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7.1.1
條件概率
1.結合古典概型，掌握條件概率的定義，能計算簡單隨機事件的條件概率.
2.掌握概率的乘法公式.
3.會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質.
學習目標
擲一枚質地均勻的骰子，出現2點的概率是多少？在已知是偶數點的前提下，出現2點的概率是多少？這兩個事件的概率一樣嗎？
導 語
一、條件概率的概念與計算
二、概率的乘法公式
課時對點練
三、互斥事件的條件概率
隨堂演練
內容索引
一
條件概率的概念與計算
拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次.
(1)兩次都是正面向上的概率是多少？
問題1
提示　兩次拋擲硬幣，試驗結果的樣本點組成樣本空間Ω=｛正正，正反，反正，反反｝，用B表示事件“兩次都是正面向上”，則B=｛正正｝，故P(B)=.
(2)在已知有一次出現正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是多少？
提示　用A表示事件“兩次試驗中有一次正面向上”，則A=｛正正，正反，反正｝，那么，在A發生的條件下，B發生的概率為.在事件A發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化.
(3)在第一次出現正面向上的條件下，第二次出現正面向上的概率是多少？
提示　用C表示事件“第一次出現正面向上”，則C=｛正正，正反｝，那么，在C發生的條件下，B發生的概率為.在事件C發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化.
1.條件概率：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)
=_________為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.
2.條件概率的計算方法
(1)定義法：P(B|A)=_______.
(2)縮小樣本空間法：P(B|A)=.
(1)P(B|A)與P(A|B)意義不同.由條件概率的定義可知，P(B|A)表示在事件A已經發生的條件下事件B發生的概率；而P(A|B)表示在事件B已經發生的條件下事件A發生的概率.
(2)當事件A與B相互獨立時，可得P(AB)=P(A)P(B)，則P(B|A)=P(B).
注 意 點
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　 (1)判斷下列幾種概率哪些是條件概率：
①某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，則該名女生是高一學生的概率；
②擲一枚骰子，求擲出的點數為3的概率；
③在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，抽到的是梅花5的概率.
例 1
由條件概率定義可知①③是，②不是.
(2)集合A=｛1，2，3，4，5，6｝，甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率.
方法一　設A=“甲抽到奇數”，B=“乙抽到的數比甲抽到的數大”，試驗的樣本空間記為Ω，則n(Ω)==6×5=30，n(A)=3×5=15，n(AB)=9.
∴P(A)===，
P(AB)===，
∴P(B|A)==.
方法二　將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記作(a，b)，甲抽到奇數的樣本點有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個.在這15個樣本點中，乙抽到的數比甲抽到的數大的樣本點有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個，∴所求概率P==.
(1)判斷是不是條件概率主要看一個事件的發生是否是在另一個事件發生的條件下進行的.
(2)計算條件概率的方法
①定義法：分別計算概率P(AB)和P(A)，將它們相除得到條件概率P(B|A)=.
②縮小樣本空間法：
縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB.
數：數出A中事件AB所包含的樣本點個數.
算：利用古典概型求P(B|A)=，n(AB)與n(A)是縮小樣本空間的計數.
反
思
感
悟
　(1)下面幾種概率是條件概率的是
A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率
B.一個盒子中有5個白球、3個紅球，從中任取2個球，則在所取的球中
有一個是紅球的條件下，另一個也是紅球的概率
C.有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品
的概率
D.小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明
在一次上學中遇到紅燈的概率
跟蹤訓練 1
√
由條件概率的定義知B為條件概率.
(2)10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲、乙兩人先后參加抽獎活動，每人從中不放回抽取一張獎券，甲先抽，乙后抽，在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率為
A. B. C. D.
√
方法一　甲中獎的概率P1==，甲中獎，乙沒中獎的概率P2==，
則在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率
P===.
方法二　10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲先抽，并且中獎，此時還有9張獎券，其中3張為“中獎”獎券，則在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率P==.
二
概率的乘法公式
提示　將條件概率公式P(B|A)=變形為P(AB)=P(A)P(B|A)即可.
對于任意兩個事件A和B，如果已知P(A)(P(A)>0)和P(B|A)，如何計算P(AB)？
問題2
概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)= .
P(A)P(B|A)
(1)P(AB)表示A，B同時發生的概率，P(B|A)表示A先發生，然后B發生的概率.
(2)在P(B|A)中，事件A成為樣本空間，而在P(AB)中，樣本空間為所有事件的總和.
(3)當P(B|A)=P(B)時，事件A與事件B是相互獨立事件.
注 意 點
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　一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
例 2
設A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，則=“第一次取得黑球”，由題意，得
P(A)==.
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
P(B)=P()P(B|)=×=.
反
思
感
悟
(1)功能：是一種計算“積事件”概率的方法，即當不容易直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推廣：設A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).
應用乘法公式求概率的關注點
　 10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
跟蹤訓練 2
記事件A，B分別表示甲、乙抽到難簽，則
P(A)==.
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率.
P(B)=P()P(B|)=×=.
三
互斥事件的條件概率
條件概率的性質：
設P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)= .
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)= .
(3)設和B互為對立事件，則P(|A)= .
1
P(B|A)+P(C|A)
1-P(B|A)
(1)A與B互斥，即A，B不同時發生，則P(AB)=0，故P(B|A)=0.
(2)互斥事件的條件概率公式可以將復雜事件分解為簡單事件的概率和.
注 意 點
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　在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率.
例 3
設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，則P(A)=，
P(AB)==，P(AC)==.
∴P(B|A)===，P(C|A)===.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
∴所求概率為.
反
思
感
悟
(1)利用互斥事件的條件概率加法公式可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質的使用前提是“兩個事件互斥”.
(2)為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率.
　拋擲兩顆質地均勻的骰子各一次.
(1)兩顆骰子向上的點數之和為7時，其中有一個的點數是2的概率是多少？
跟蹤訓練 3
記事件A表示“兩顆骰子中，向上的點數有一個是2”，事件B表示“兩顆骰子向上的點數之和為7”，則事件AB表示“向上的點數之和為7，其中有一個的點數是2”，
則P(B)==，P(AB)==，
所以P(A|B)==.
(2)兩顆骰子向上的點數不相同時，向上的點數之和為4或6的概率是多少？
記事件Mi表示“兩顆骰子向上的點數之和為i”，則事件“向上的點數之和為4或6”可表示為M=M4∪M6，其中事件M4與M6互斥，記事件N表示“兩顆骰子向上的點數不相同”，則事件MiN表示“兩顆骰子向上的點數不相同，且向上的點數之和為i”.
因為P(N)==，P(M4N)==，P(M6N)==，
所以P(M|N)=P(M4∪M6|N)=P(M4|N)+P(M6|N)=+=+=.
1.知識清單：
(1)條件概率的概念與計算.
(2)概率的乘法公式.
(3)互斥事件的條件概率.
2.方法歸納：定義法、縮小樣本空間法、正難則反.
3.常見誤區：
(1)分不清在“誰的條件”下，求“誰的概率”.
(2)判斷兩個事件是否是互斥事件.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.把一枚骰子連續拋擲兩次，記事件M=“兩次所得點數均為奇數”，N=“至少有一次點數是3”，則P(N|M)等于
A. B. C. D.
√
事件M=“兩次所得點數均為奇數”，則事件M包含的樣本點有(1，1)，
(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，故n(M)=9；N=“至少有一次點數是3”，則事件MN包含的樣本點有(1，3)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，3)，故n(MN)=5，所以P(N|M)=.
2.設A，B為兩個事件，已知P(A|B)=，P()=，則P(AB)等于
A. B. C. D.
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4
√
由題意知P(B)=1-P()=1-=，則P(AB)=P(A|B)P(B)=×=.
3.若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，則P(B∪C|A)等于
A. B. C. D.
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4
√
因為B，C是互斥事件，所以
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
4.有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為　　.
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設事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，
則D=B∪C，且B與C互斥.
又P(A)==，P(AB)==，
P(AC)==，
故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=+=.
課時對點練
五
1.已知A與B是兩個事件，P(B)=，P(AB)=，則P(A|B)等于
A. B. C. D.
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基礎鞏固
√
由條件概率的計算公式，可得
P(A|B)===.
2.某校開展了課后延時服務，要求張老師在每個星期的周一至周五選兩天參加課后延時服務，則張老師在周二參加課后延時服務的條件下，周三也參加課后延時服務的概率為
A. B. C. D.
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張老師在周二參加課后延時服務的條件下，周一至周五還剩余4天，張老師周三也參加課后延時服務的概率P=.
3.設A，B為兩個事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，則P(A|B)等于
A.0.24 B.0.375 C.0.4 D.0.5
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由P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，
得P(AB)=P(B|A)P(A)=0.15，
所以P(A|B)===0.375.
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4.在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標有編號1，2，3，4，5，6，現從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為
A. B. C. D.
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設事件A為第一次抽到卡片中獎，事件B為第二次抽到卡片中獎，則P(A)==，P(AB)==，故P(B|A)==.
5.經統計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環的概率為0.6，在第一次擊中9環的條件下，第二次也擊中9環的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環的概率為
A.0.24 B.0.36 C.0.48 D.0.75
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設該射擊運動員“第一次擊中9環”為事件A，“第二次擊中9環”為事件B，則由題意得P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，所以她兩次均擊中9環的概率為P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.8=0.48.
6.有歌唱道：“江西是個好地方，山清水秀好風光.”現有甲、乙兩位游客慕名來到江西旅游，分別準備從廬山、三清山、龍虎山和明月山這4個著名的旅游景點中隨機選擇1個景點游玩，記事件A=“甲和乙至少有一人選擇廬山”，事件B=“甲和乙選擇的景點不同”，則P(|A)等于
A. B. C. D.
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由題意知，因為n(A)=·+1=7，
n(AB)=6，
所以P(|A)=1-P(B|A)=1-=1-=.
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7.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，當事件A，B相互獨立時，P(A∪B)=　　　，
P(A|B)=　　　.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65；
因為A，B相互獨立，所以P(A|B)=P(A)=0.3.
0.65
0.3
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8.已知事件A和B是互斥事件，P(C)=，P(BC)=，P(A∪B|C)=，則P(A|C)=　　.
由題意知，
P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)=，
P(B|C)===，
則P(A|C)=P(A∪B|C)-P(B|C)=-=.
9.某校從學校文藝部7名成員(4名男生和3名女生)中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.
(1)求男生甲被選中的概率；
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從7名成員中挑選2名成員，
共有=21(種)情況，
記“男生甲被選中”為事件A，事件A所包含的樣本點數為=6，故P(A)==.
(2)在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；
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記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P(AB)=，
由(1)知P(A)=，
故P(B|A)===.
(3)在要求被選中的兩人中必須是一名男生和一名女生的條件下，求女生乙被選中的概率.
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記“被選中的兩人為一名男生和一名女生”為事件C，事件C所包含的樣本點數為×=12，
則P(C)==，
“女生乙被選中”為事件B，則P(BC)==，
故P(B|C)===.
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10.某支付密碼由6位數字組成.某人在付款時，忘記了密碼的最后1位數字，求：
(1)若任意按最后1位數字，則不超過3次就按對的概率；
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設Ai(i=1，2，3)表示第i次按對密碼，A表示不超過3次就按對，
則有A=A1∪A2∪A3，
因為事件A1，A2，A3兩兩互斥，
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)，
=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(A3|)
=P(A1)+P()P(A2|)+P()P(|)P(A3|)
=+×+××=.
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(2)如果記得密碼的最后1位是偶數，則不超過3次就按對的概率.
記事件B表示最后1位是偶數，
則P(A|B)=P[(A1∪A2∪A3)|B]
=P(A1|B)+P(A2|B)+P(A3|B)
=++=.
11.已知桌上放有3本語文書和3本數學書.小明現從這6本書中任意抽取3本書，事件A表示“至少抽到1本數學書”，事件B表示“抽到語文書和數學書”，則P(B|A)等于
A. B. C. D.
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綜合運用
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由題意得n(A)=-=20-1=19，
n(AB)=+=18，
由條件概率的公式得P(B|A)==.
12.(多選)一次“智力測試”活動，在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，測試時從備選的10道題中隨機抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對2題者評為“智答能手”.設甲評為“智答能手”為事件A，乙評為“智答能手”為事件B，若P(B|A)=P(B)，則下列結論正確的是
A.P(A|B)=P(A)
B.P(|A)=
C.甲、乙至多有一人評為“智答能手”的概率為
D.甲、乙至少有一人評為“智答能手”的概率為
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由題意，可得P(A)===，P(B)===，由P(B|A)==P(B)，得P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A，B相互獨立，所以P(A|B)===P(A)，故A正確；
P(B|A)=P(B)=，由條件概率的性質得P(|A)=1-P(B|A)=1-=，故B正確；
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因為事件A，B相互獨立，所以A與與B，也都相互獨立.甲、乙都評為“智答能手”的概率P(AB)=P(A)P(B)=×=，
所以甲、乙至多有一人評為“智答能手”的概率為1-P(AB)=1-=，故C錯誤；
甲、乙都沒有被評為“智答能手”的概率P()=P()P()=×
=×=，所以甲、乙至少有一人評為“智答能手”的概率為1-P()=1-=，故D正確.
13.甲、乙、丙三人報考A，B，C三所大學，每人限報一所，設事件A為“三人報考的大學均不相同”，事件B為“甲報考的大學與其他兩人均不相同”，則P(A|B)等于
A. B. C. D.
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每人報考大學有3種選擇，故總的報考方法共有33=27(種)，三人報考的大學均不相同的報考方法有=6(種)，故P(AB)==，
甲報考的大學與其他兩人均不相同的報考方法有=12(種)，故P(B)==，
所以P(A|B)===.
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14.(2024·天津)A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.
甲選到A的概率為　　；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為　　.
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方法一　(列舉法)
從五個活動中選三個的情況有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10種，
其中甲選到A有6種情況：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
則甲選到A的概率為=；
乙選A活動有6種情況：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
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其中再選擇B活動有3種情況：
ABC，ABD，ABE，
故乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為=.
方法二　設選到A為事件M，
選到B為事件N，
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則甲選到A的概率為P(M)==；
乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為
P(N|M)===.
15.春季是鼻炎和感冒的高發期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，則此人在患鼻炎的條件下患感冒的概率為
A. B. C. D.
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拓廣探究
√
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設“此人在春季里患鼻炎”為事件A，“此人在春季里患感冒”為事件B，
則P(A)=，P(B)=，P(A∪B)=1-=，
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，
可得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=，
則此人在患鼻炎的條件下患感冒的概率為P(B|A)===.
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16.在某次考試中，要從20道題中隨機抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優秀.已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經通過，求他獲得優秀成績的概率.
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記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，有一道題答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，有2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D=A∪B∪C，E=A∪B，
可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=，
P(AD)=P(A)，P(BD)=P(B)，
P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=.
故所求的概率為.7.1.1　條件概率
［學習目標］　1.結合古典概型，掌握條件概率的定義，能計算簡單隨機事件的條件概率.2.掌握概率的乘法公式.3.會求互斥事件的條件概率，理解條件概率的性質.　　　　　　　　　　　　　　　　
一、條件概率的概念與計算
問題1　拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次.
(1)兩次都是正面向上的概率是多少？
(2)在已知有一次出現正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是多少？
(3)在第一次出現正面向上的條件下，第二次出現正面向上的概率是多少？
知識梳理
1.條件概率：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)=　　　　　為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率，簡稱條件概率.
2.條件概率的計算方法
(1)定義法：P(B|A)=　　　　　.
(2)縮小樣本空間法：P(B|A)=.
例1　(1)判斷下列幾種概率哪些是條件概率：
①某校高中三個年級各派一名男生和一名女生參加市里的中學生運動會，每人參加一個不同的項目，已知一名女生獲得冠軍，則該名女生是高一學生的概率；
②擲一枚骰子，求擲出的點數為3的概率；
③在一副撲克的52張(去掉兩張王牌后)中任取1張，已知抽到梅花的條件下，抽到的是梅花5的概率.
(2)集合A=｛1，2，3，4，5，6｝，甲、乙兩人各從A中任取一個數，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數的條件下，求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率.
反思感悟　(1)判斷是不是條件概率主要看一個事件的發生是否是在另一個事件發生的條件下進行的.
(2)計算條件概率的方法
①定義法：分別計算概率P(AB)和P(A)，將它們相除得到條件概率P(B|A)=.
②縮小樣本空間法：
縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB.
數：數出A中事件AB所包含的樣本點個數.
算：利用古典概型求P(B|A)=，n(AB)與n(A)是縮小樣本空間的計數.
跟蹤訓練1　(1)下面幾種概率是條件概率的是 (　　)
A.甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率
B.一個盒子中有5個白球、3個紅球，從中任取2個球，則在所取的球中有一個是紅球的條件下，另一個也是紅球的概率
C.有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率
D.小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是，小明在一次上學中遇到紅燈的概率
(2)10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲、乙兩人先后參加抽獎活動，每人從中不放回抽取一張獎券，甲先抽，乙后抽，在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、概率的乘法公式
問題2　對于任意兩個事件A和B，如果已知P(A)(P(A)>0)和P(B|A)，如何計算P(AB)？
知識梳理
概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)= 　.
例2　一個盒子中有6個白球、4個黑球，從中不放回地每次任取1個，連取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
反思感悟　應用乘法公式求概率的關注點
(1)功能：是一種計算“積事件”概率的方法，即當不容易直接計算P(AB)時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
(2)推廣：設A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)·P(B|A)P(A).
跟蹤訓練2　10個考簽中有4個難簽，2人參加抽簽(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到難簽的概率；
(2)甲、乙都抽到難簽的概率；
(3)甲沒有抽到難簽，而乙抽到難簽的概率.
三、互斥事件的條件概率
知識梳理
條件概率的性質：
設P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)=　　　　.
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)=　　　　　　　　.
(3)設和B互為對立事件，則P(|A)=　　　　　　.
例3　在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率.
反思感悟　(1)利用互斥事件的條件概率加法公式可使條件概率的計算較為簡單，但應注意這個性質的使用前提是“兩個事件互斥”.
(2)為了求復雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復雜事件的概率.
跟蹤訓練3　拋擲兩顆質地均勻的骰子各一次.
(1)兩顆骰子向上的點數之和為7時，其中有一個的點數是2的概率是多少？
(2)兩顆骰子向上的點數不相同時，向上的點數之和為4或6的概率是多少？
1.知識清單：
(1)條件概率的概念與計算.
(2)概率的乘法公式.
(3)互斥事件的條件概率.
2.方法歸納：定義法、縮小樣本空間法、正難則反.
3.常見誤區：
(1)分不清在“誰的條件”下，求“誰的概率”.
(2)判斷兩個事件是否是互斥事件.
1.把一枚骰子連續拋擲兩次，記事件M=“兩次所得點數均為奇數”，N=“至少有一次點數是3”，則P(N|M)等于 (　　)
A. B. C. D.
2.設A，B為兩個事件，已知P(A|B)=，P()=，則P(AB)等于 (　　)
A. B. C. D.
3.若B，C是互斥事件且P(B|A)=，P(C|A)=，則P(B∪C|A)等于 (　　)
A. B. C. D.
4.有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為　　　　.
答案精析
問題1　(1)兩次拋擲硬幣，試驗結果的樣本點組成樣本空間Ω=｛正正，正反，反正，反反｝，用B表示事件“兩次都是正面向上”，則B=｛正正｝，故P(B)=.
(2)用A表示事件“兩次試驗中有一次正面向上”，則A=｛正正，正反，反正｝，那么，在A發生的條件下，B發生的概率為.在事件A發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化.
(3)用C表示事件“第一次出現正面向上”，則C=｛正正，正反｝，那么，在C發生的條件下，B發生的概率為.在事件C發生的條件下，事件B發生的概率產生了變化.
知識梳理
1.
2.(1)
例1　(1)解　由條件概率定義可知①③是，②不是.
(2)解　方法一　設A=“甲抽到奇數”，B=“乙抽到的數比甲抽到的數大”，試驗的樣本空間記為Ω，
則n(Ω)==6×5=30，n(A)=3×5=15，n(AB)=9.
∴P(A)===，
P(AB)===，
∴P(B|A)==.
方法二　將甲抽到數字a，乙抽到數字b，記作(a，b)，甲抽到奇數的樣本點有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個.
在這15個樣本點中，乙抽到的數比甲抽到的數大的樣本點有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個，
∴所求概率P==.
跟蹤訓練1　(1)B　［由條件概率的定義知B為條件概率.］
(2)B　［方法一　甲中獎的概率P1==，甲中獎，乙沒中獎的概率P2==，
則在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率
P===.
方法二　10張獎券中有4張“中獎”獎券，甲先抽，并且中獎，此時還有9張獎券，其中3張為“中獎”獎券，則在甲中獎的條件下，乙沒有中獎的概率P==.］
問題2　將條件概率公式P(B|A)=變形為P(AB)=P(A)P(B|A)即可.
知識梳理
P(A)P(B|A)
例2　解　設A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，則=“第一次取得黑球”，由題意，得
(1)P(A)==.
(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)P(B)=P()P(B|)=×=.
跟蹤訓練2　解　記事件A，B分別表示甲、乙抽到難簽，則
(1)P(A)==.
(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)P(B)=P()P(B|)=×=.
知識梳理
(1)1　(2)P(B|A)+P(C|A)　(3)1-P(B|A)
例3　解　設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，
則P(A)=，
P(AB)==，P(AC)==.
∴P(B|A)===，
P(C|A)===.
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
∴所求概率為.
跟蹤訓練3　解　(1)記事件A表示“兩顆骰子中，向上的點數有一個是2”，事件B表示“兩顆骰子向上的點數之和為7”，則事件AB表示“向上的點數之和為7，其中有一個的點數是2”，
則P(B)==，P(AB)==，
所以P(A|B)==.
(2)記事件Mi表示“兩顆骰子向上的點數之和為i”，則事件“向上的點數之和為4或6”可表示為M=M4∪M6，其中事件M4與M6互斥，記事件N表示“兩顆骰子向上的點數不相同”，則事件MiN表示“兩顆骰子向上的點數不相同，且向上的點數之和為i”.
因為P(N)==，
P(M4N)==，
P(M6N)==，
所以P(M|N)=P(M4∪M6|N)=P(M4|N)+P(M6|N)=+=+=.
隨堂演練
1.B　［事件M=“兩次所得點數均為奇數”，則事件M包含的樣本點有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，故n(M)=9；N=“至少有一次點數是3”，
則事件MN包含的樣本點有(1，3)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，3)，故n(MN)=5，所以P(N|M)=.］
2.A　［由題意知P(B)=1-P()=1-=，
則P(AB)=P(A|B)P(B)=×=.］
3.D　［因為B，C是互斥事件，
所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.］
4.
解析　設事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，
則D=B∪C，且B與C互斥.
又P(A)==，P(AB)==，
P(AC)==，
故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
=+=+=.

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