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第七章
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§7.5
正態(tài)分布
1.利用實(shí)際問(wèn)題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)曲線所表示的意義.
2.了解變量落在區(qū)間[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)的概率大小.
3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一所學(xué)校同年級(jí)的同學(xué)的身高，特別高的同學(xué)比較少，特別矮的同學(xué)也不多，大都集中在某個(gè)高度左右；某種電子產(chǎn)品的使用壽命也都接近某一個(gè)數(shù)，使用期過(guò)長(zhǎng)，或過(guò)短的產(chǎn)品相對(duì)較少.生活中這樣的現(xiàn)象很多，是否可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)呢？
導(dǎo) 語(yǔ)
一、正態(tài)曲線及其特征
二、利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、正態(tài)分布的應(yīng)用
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
正態(tài)曲線及其特征
下列隨機(jī)變量哪個(gè)是離散型隨機(jī)變量：
(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點(diǎn)數(shù)；
問(wèn)題1
提示　是，
(2)白熾燈的使用時(shí)間.
提示　不是.
教材P74例2的高爾頓板試驗(yàn)中，隨著重復(fù)次數(shù)的增加，頻率分布直方圖的形狀會(huì)越來(lái)越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢？
問(wèn)題2
提示　存在.
1.我們稱f(x)=_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為_(kāi)_____________，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱 .
2.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為_(kāi)____________.特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從________
_________.
3.若X~N(μ，σ2)，則E(X)=μ，D(X)=σ2.
正態(tài)密度函數(shù)
正態(tài)曲線
X~N(μ，σ2)
標(biāo)準(zhǔn)正
態(tài)分布
4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)：
(1)非負(fù)性：對(duì) x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的 .
(2)定值性：曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為 .
(3)對(duì)稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線 對(duì)稱.
(4)最大值：曲線在 處達(dá)到峰值.
(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近 軸.
(6)當(dāng) 一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，正態(tài)曲線
隨著 的變化而沿x軸平移，如圖①.
上方
1
x=μ
x=μ
x
σ
μ
(7)當(dāng)μ一定時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.
5.正態(tài)分布的幾何意義：若X~N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為圖中區(qū)域B的面積.
　(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線
如圖所示，則總體的均值μ=　　　，方差σ2=　　.
例 1
20
2
從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱，最大值是=，解得σ=，因此總體的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
(2)(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)曲線如圖所示，下列說(shuō)法中不正確的是
A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小
B.丙科總體的平均數(shù)最小
C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同
√
√
√
由題圖可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，σ越小，正態(tài)曲線越“瘦高”.
故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.
(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.
(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.
反
思
感
悟
利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ
　(1)(多選)下面關(guān)于正態(tài)曲線的敘述中，正確的有
A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交
B.當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降，當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升
C.當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中
D.曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，且當(dāng)x=μ時(shí)，位于最高點(diǎn)
跟蹤訓(xùn)練 1
√
只有C錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散.
√
√
(2)(多選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=，x∈R的正態(tài)曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是
A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4 kg
B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平
均值左右
C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小
D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99
√
√
√
由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正確；
因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；
因?yàn)橐覉D象的最大值為1.99，
即=1.99，σ2≠1.99，故D錯(cuò)誤.
二
利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率
正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ ；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ ；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .
0.682 7
0.954 5
0.997 3
盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞，+∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.
注 意 點(diǎn)
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　設(shè)ξ~N(1，22)，試求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；
例 2
∵ξ~N(1，22)，
∴μ=1，σ=2，
P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)P(3<ξ≤5).
∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)，
∴P(3<ξ≤5)=[P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)]
=[P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)]
=[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
若本例條件不變，求P(ξ>5).
P(ξ>5)=P(ξ<-3)=[1-P(-3≤ξ≤5)]
=[1-P(1-4≤ξ≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)]
≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
延伸探究
反
思
感
悟
利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法
(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的區(qū)間概率相等.如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ-σ，μ+σ]，[μ-2σ，μ+2σ]，[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)的概率分別是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，則P(0<ξ<2)等于
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
跟蹤訓(xùn)練 2
√
由已知可得正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，P(ξ<2)=0.6，
所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2.
(2)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，則μ等于
A.3 B.4 C.5 D.6
√
∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，
∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2，
即P(ξ<2)=P(ξ>6)，∴μ==4.
三
正態(tài)分布的應(yīng)用
　(1)現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差Xn ~N，則為使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為(附：若隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈
0.997 3)
A.32 B.64 C.128 D.256
例 3
√
根據(jù)題意，P≤0.045 5 P=P≥1-0.045 5=0.954 5，
而μ=0，則P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.
(2)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1 000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7 cm，試問(wèn)：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？
由于外直徑X~N(4，0.52)，
則X在[4-3×0.5，4+3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.002 7，
而5.7 [2.5，5.5]，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.
反
思
感
悟
解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ-3σ，μ+3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.
　已知某平臺(tái)某次促銷活動(dòng)期間，某小區(qū)居民網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)金額X(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600，10 000)，則該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)800元的人數(shù)大約為(附：若隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)
≈0.997 3)
A.16 B.18 C.20 D.25
跟蹤訓(xùn)練 3
√
∵小區(qū)居民網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)金額X(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600，10 000)，
∴P=≈=0.022 75，
∴該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)800元的人數(shù)大約為0.022 75×
800=18.2≈18.
1.知識(shí)清單：
(1)正態(tài)曲線及其特征.
(2)利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率.
(3)正態(tài)分布的應(yīng)用.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià).
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.設(shè)有一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)=，則這個(gè)隨機(jī)變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是
A.10與8 B.10與2
C.8與10 D.2與10
√
由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，均值μ=10，方差σ2=4，即標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.
2.某學(xué)校共1 000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績(jī)?chǔ)谓品恼龖B(tài)分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，則估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為
A.25 B.50 C.75 D.100
1
2
3
4
√
由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5.
又P(80≤ξ≤100)=0.45，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得P(100≤ξ≤120)
=0.45，
所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05.
所以，可估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為1 000×0.05=50.
3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，22)，則D(3X-1)等于
A.6 B.11 C.12 D.36
1
2
3
4
√
因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，22)，
所以D(X)=22=4，
所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36.
4.在正態(tài)分布N中，數(shù)據(jù)落在(-∞，-2)∪(2，+∞)內(nèi)的概率是　　　　.
1
2
3
4
0.002 7
設(shè)X~N，則μ=0，σ=.
因?yàn)镻(-2≤X≤2)=P≈0.997 3，
所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)≈1-0.997 3=0.002 7.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
1.已知隨機(jī)變量X~N(6，1)，且P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ
+2σ)≈0.954 5，則P(7A.0.135 8 B.0.271 6
C.0.135 9 D.0.271 8
1
2
3
4
5
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10
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14
15
16
基礎(chǔ)鞏固
√
由題設(shè)可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，
P(4≤X≤8)≈0.954 5，
則P(72.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是
A.σ越小，該物理量在一次測(cè)量中測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大
B.該物理量在一次測(cè)量中測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5
C.該物理量在一次測(cè)量中測(cè)量結(jié)果小于9.99與大于10.01的概率相等
D.該物理量在一次測(cè)量中測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)與落在(10，10.3)內(nèi)
的概率相等
1
2
3
4
5
6
7
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√
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3
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15
16
因?yàn)樵撐锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，所以測(cè)量結(jié)果的分布關(guān)于直線x=10對(duì)稱，且方差σ2越小，分布越集中.
對(duì)于A，σ越小，測(cè)量結(jié)果的分布越集中在10左右，則該物理量在一次測(cè)量中測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，不管σ取何值，測(cè)量結(jié)果大于10的概率均為0.5，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，由于測(cè)量結(jié)果的分布關(guān)于直線x=10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C正確；
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對(duì)于D，由于測(cè)量結(jié)果的分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10，10.3)分布在10附近的區(qū)域，故測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率大于落在(10，10.3)內(nèi)的概率，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
3.已知隨機(jī)變量X~B(6，p)，Y~N(μ，σ2)，且P(Y≥2)=，E(X)=E(Y)，則p等于
A. B. C. D.
√
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16
因?yàn)殡S機(jī)變量X~B(6，p)，
所以E(X)=6p，
因?yàn)閅~N(μ，σ2)，P(Y≥2)=，所以μ=2，
即E(Y)=2，
又E(X)=E(Y)，所以6p=2，即p=.
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16
4.某中學(xué)抽取了1 600名同學(xué)進(jìn)行身高調(diào)查，已知樣本的身高(單位：cm)服從正態(tài)分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人數(shù)占樣本總數(shù)的，則樣本中不高于165 cm的人數(shù)約為
A.80 B.160 C.240 D.320
√
P(X≤165)=×=，則樣本中不高于165 cm的人數(shù)約為1 600
×=160.
5.(多選)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)fi(x)=·(x∈R，i=1，2，3)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3
C.μ2=μ3 D.σ2<σ3
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，且μ越大，圖象越靠近右邊，所以μ1<μ2=μ3，故B錯(cuò)誤，C正確；
又σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，所以σ1=σ2<σ3，故A，D正確.
6.(多選)(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口，為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(，s2)，則
(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
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依題可知，=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正確，D錯(cuò)誤；
因?yàn)閄~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7，所以B正確，A錯(cuò)誤.
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7.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，3)，若P(ξa+1)，則實(shí)數(shù)a=　　.
由題意，隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4，3)，可得μ=4，σ2=3，又P(ξa+1)，所以a-5+a+1=8，解得a=6.
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8.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，4)，若P(m∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，4)，
∴P(98≤X≤102)≈0.682 7，
P(96≤X≤104)≈0.954 5，
∴P(102又P(m9.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5，1)；第二條路線較長(zhǎng)不擁擠，X服從N(6，0.16).若有一天他出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有6.5分鐘，問(wèn)他應(yīng)選哪一條路線？
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還有7分鐘時(shí)：
若選第一條路線，即X~N(5，1)，能及時(shí)到達(dá)的概率P1=P(X≤7)=P(X≤5)
+P(5若選第二條路線，即X~N(6，0.16)，能及時(shí)到達(dá)的概率P2=P(X≤7)=
P(X≤6)+P(6=+P(μ-2.5σ≤X≤μ+2.5σ).
因?yàn)镻1同理，還有6.5分鐘時(shí)，應(yīng)選第一條路線.
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10.某單位為了解職工對(duì)垃圾回收知識(shí)的重視情況，對(duì)本單位的200名職工進(jìn)行考核，然后通過(guò)隨機(jī)抽樣抽取其中的50名，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)(單位：分)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這50名職工考核成績(jī)的平均數(shù)(同
一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代
表)及中位數(shù)t(精確到0.01)；
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依題意，這50名職工考核成績(jī)的平均數(shù)=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80(分)，
由頻率分布直方圖得t∈[84，88)，
∴0.01×4+0.03×4+0.07×4+0.09×(t-84)
=0.5，
∴中位數(shù)t≈84.67分.
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(2)若該單位職工的考核成績(jī)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為50名職工考核成績(jī)的平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2=27.68，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該單位200名職工考核成績(jī)高于90.06分的有多少名？(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
參考數(shù)據(jù)：≈5.26，若X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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由題意得X~N(84.80，27.68)，
μ+σ=84.80+≈90.06，
∴P(X>μ+σ)≈-≈0.158 7，
∴200×0.158 7≈32(名)，
∴估計(jì)該單位200名職工考核成績(jī)高
于90.06分的有32名.
11.已知某批零件的長(zhǎng)度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(60，σ2)，且P(X<62)=0.8，從中隨機(jī)取一個(gè)零件，其長(zhǎng)度落在區(qū)間(58，60)內(nèi)的概率為
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
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綜合運(yùn)用
√
由題意知X~N(60，σ2)，所以μ=60，
所以P(X<62)=0.8=P(X≤60)+P(60所以P(6012.已知某節(jié)假日期間，某高速公路收費(fèi)站的四個(gè)高速收費(fèi)口每天通過(guò)的小汽車數(shù)Xi(i=1，2，3，4)(單位：輛)均服從正態(tài)分布N(600，σ2)，若P(500A. B. C. D.
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根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，每個(gè)收費(fèi)口有不低于700輛小汽車通過(guò)的概率P(Xi≥700)=×[1-P(500所以這四個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)不低于700輛小汽車通過(guò)的概率P=1-=.
13.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且一元二次方程x2+4x+ξ=0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為，則μ=　　.
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因?yàn)榉匠蘹2+4x+ξ=0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為，由Δ=16-4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)==1-P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)=，所以μ=4.
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14.某校高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N，若X的值在[160，176]內(nèi)的概率約為0.84，則n的值約為　　.
參考數(shù)據(jù)：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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因?yàn)閄~N，所以μ=172，σ=，
因?yàn)镻(160≤X≤176)=P(172-12≤X≤172+4)≈0.84， ①
而P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3，
所以P(172-3σ≤X≤172+σ)≈×(0.682 7+0.997 3)=0.84， ②
對(duì)比①②兩式可知σ=4，
所以=4，解得n=6.
15.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，以單次最大續(xù)航里程500公里為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)試，且每輛汽車是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立，設(shè)每輛新能源汽車達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率為p(0A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.8
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拓廣探究
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設(shè)100輛汽車中恰有80輛達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)的概率為f(p)，則f(p)=p80(1-p)20
(00，所以f(p)在(0，0.8)上單調(diào)遞增；當(dāng)p∈(0.8，1)時(shí)，f'(p)<0，所以f(p)在(0.8，1)上單調(diào)遞減.所以f(p)在p=0.8處取得最大值.所以P(X≥600)=
P(X≤500)=1-P(X≥500)=1-0.8=0.2.
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16.已知某軍區(qū)新兵50 m步槍射擊個(gè)人平均成績(jī)X(單位：環(huán))服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，從中隨機(jī)抽取100名新兵的個(gè)人平均成績(jī)，得到如下的頻數(shù)分布表：
X 4 5 6 7 8 9
頻數(shù) 1 2 26 40 29 2
(1)求μ和σ2的值(用樣本的均值和方差代替總體的均值和方差)；
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由題意，得隨機(jī)抽取的100名新兵的個(gè)人平均成績(jī)的分布列為(用頻率估計(jì)概率)：
X 4 5 6 7 8 9
P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02
均值E(X)=4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02=7，
方差D(X)=(4-7)2×0.01+(5-7)2×0.02+(6-7)2×0.26+(7-7)2×0.40+(8-7)2×
0.29+(9-7)2×0.02=0.8.
用樣本的均值和方差代替總體的均值和方差，得μ=7，σ2=0.8.
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(2)從這個(gè)軍區(qū)隨機(jī)抽取1名新兵，求此新兵的50 m步槍射擊個(gè)人平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間(7.9，8.8]的概率.
參考數(shù)據(jù)：≈0.9.
X 4 5 6 7 8 9
頻數(shù) 1 2 26 40 29 2
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由(1)知X~N(7，0.8)，因?yàn)椤?.9，
所以σ≈0.9，
因?yàn)镻(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，
所以P(7.9即從這個(gè)軍區(qū)隨機(jī)抽取1名新兵，此新兵的50 m步槍射擊個(gè)人平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間(7.9，8.8]的概率約為0.135 9.［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.利用實(shí)際問(wèn)題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］內(nèi)的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題.
一、正態(tài)曲線及其特征
問(wèn)題1　下列隨機(jī)變量哪個(gè)是離散型隨機(jī)變量：
(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點(diǎn)數(shù)；
(2)白熾燈的使用時(shí)間.
問(wèn)題2　教材P74例2的高爾頓板試驗(yàn)中，隨著重復(fù)次數(shù)的增加，頻率分布直方圖的形狀會(huì)越來(lái)越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢？
知識(shí)梳理
1.我們稱f(x)=　　　　　　，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為　　　　　　　　，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱　　　　　　　　.
2.若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為　　　　　　　　.特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從　　　　　　　　.
3.若X~N(μ，σ2)，則E(X)=μ，D(X)=σ2.
4.正態(tài)曲線的特點(diǎn)：
(1)非負(fù)性：對(duì) x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的　　　　.
(2)定值性：曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為　　　　.
(3)對(duì)稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線　　　　對(duì)稱.
(4)最大值：曲線在　　　　處達(dá)到峰值.
(5)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近　　軸.
(6)當(dāng)　　　　一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，正態(tài)曲線隨著　　　　的變化而沿x軸平移，如圖①.
(7)當(dāng)μ一定時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.
5.正態(tài)分布的幾何意義：若X~N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為圖中區(qū)域B的面積.
例1　(1)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ=　　　，方差σ2=　　　　.
(2)(多選)一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)曲線如圖所示，下列說(shuō)法中不正確的是 (　　)
A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小
B.丙科總體的平均數(shù)最小
C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同
反思感悟　利用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求參數(shù)μ，σ
(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象求出μ.
(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值，由此特點(diǎn)結(jié)合圖象可求出σ.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)下面關(guān)于正態(tài)曲線的敘述中，正確的有 (　　)
A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交
B.當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降，當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升
C.當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中
D.曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，且當(dāng)x=μ時(shí)，位于最高點(diǎn)
(2)(多選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=，x∈R的正態(tài)曲線如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4 kg
B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右
C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小
D.乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99
二、利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率
知識(shí)梳理
正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　　　　；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　　　　；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈　　　　.
例2　設(shè)ξ~N(1，22)，試求：
(1)P(-1≤ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5).
延伸探究　若本例條件不變，求P(ξ>5).
反思感悟　利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法
(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的區(qū)間概率相等.如：
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］內(nèi)的概率分別是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)=0.6，則P(0<ξ<2)等于 (　　)
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
(2)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，則μ等于 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
三、正態(tài)分布的應(yīng)用
例3　(1)現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差X通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差Xn ~N，則為使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為(附：若隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　　)
A.32 B.64 C.128 D.256
(2)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4，0.52).質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1 000件零件中隨機(jī)抽查1件，測(cè)得它的外直徑為5.7 cm，試問(wèn)：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？
反思感悟　解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在［μ-3σ，μ+3σ］之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格.判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格.
跟蹤訓(xùn)練3　已知某平臺(tái)某次促銷活動(dòng)期間，某小區(qū)居民網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)金額X(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600，10 000)，則該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)800元的人數(shù)大約為(附：若隨機(jī)變量X~N(μ，σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　　)
A.16 B.18 C.20 D.25
1.知識(shí)清單：
(1)正態(tài)曲線及其特征.
(2)利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率.
(3)正態(tài)分布的應(yīng)用.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價(jià).
1.設(shè)有一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)=，則這個(gè)隨機(jī)變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 (　　)
A.10與8 B.10與2
C.8與10 D.2與10
2.某學(xué)校共1 000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，考試成績(jī)?chǔ)谓品恼龖B(tài)分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)=0.45，則估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為 (　　)
A.25 B.50 C.75 D.100
3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，22)，則D(3X-1)等于 (　　)
A.6 B.11 C.12 D.36
4.在正態(tài)分布N中，數(shù)據(jù)落在(-∞，-2)∪(2，+∞)內(nèi)的概率是　　　　.
答案精析
問(wèn)題1　(1)是，(2)不是.
問(wèn)題2　存在.
知識(shí)梳理
1.　正態(tài)密度函數(shù)　正態(tài)曲線
2.X~N(μ，σ2)　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
4.(1)上方　(2)1　(3)x=μ　(4)x=μ　(5)x　(6)σ　μ
例1　(1)20　2
解析　從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對(duì)稱，最大值是，所以=，解得σ=，因此總體的均值μ=20，方差σ2=()2=2.
(2)BCD　［由題圖可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，σ越小，正態(tài)曲線越“瘦高”.
故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙.］
跟蹤訓(xùn)練1　(1)ABD　［只有C錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散.］
(2)ABC　［由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，
所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A，C正確；
因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；
因?yàn)橐覉D象的最大值為1.99，
即=1.99，σ2≠1.99，故D錯(cuò)誤.］
知識(shí)梳理
0.682 7　0.954 5　0.997 3
例2　解　∵ξ~N(1，22)，
∴μ=1，σ=2，
(1)P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)
=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3≤ξ<-1)，
∴P(3<ξ≤5)=［P(-3≤ξ≤5)-P(-1≤ξ≤3)］
=［P(1-4≤ξ≤1+4)-P(1-2≤ξ≤1+2)］
=［P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)］
≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
延伸探究　解　P(ξ>5)=P(ξ<-3)
=［1-P(-3≤ξ≤5)］
=［1-P(1-4≤ξ≤1+4)］
=［1-P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)］
≈×(1-0.954 5)=0.022 75.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)C　［由已知可得正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，P(ξ<2)=0.6，
所以P(ξ≥2)=P(ξ≤0)=0.4，
故P(0<ξ<2)=1-0.4-0.4=0.2.］
(2)B　［∵P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，
∴P(ξ>6)=1-0.2-0.6=0.2，
即P(ξ<2)=P(ξ>6)，
∴μ==4.］
例3　(1)C　［根據(jù)題意，P≤0.045 5
P=P≥1-0.045 5
=0.954 5，
而μ=0，則P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.］
(2)解　由于外直徑X~N(4，0.52)，
則X在［4-3×0.5，4+3×0.5］之內(nèi)取值的概率為0.997 3，在［2.5，5.5］之外取值的概率為0.002 7，
而5.7 ［2.5，5.5］，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認(rèn)為這批零件是不合格的.
跟蹤訓(xùn)練3　B　［∵小區(qū)居民網(wǎng)上購(gòu)物的消費(fèi)金額X(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600，10 000)，
∴P=
≈=0.022 75，
∴該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購(gòu)金額超過(guò)800元的人數(shù)大約為0.022 75×800=18.2≈18.］
隨堂演練
1.B　［由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，均值μ=10，方差σ2=4，即標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.］
2.B　［由已知可得，μ=100，所以P(ξ≥100)=0.5.
又P(80≤ξ≤100)=0.45，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得P(100≤ξ≤120)=0.45，
所以P(ξ>120)=P(ξ≥100)-P(100≤ξ≤120)=0.5-0.45=0.05.
所以，可估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為1 000×0.05=50.］
3.D　［因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(10，22)，
所以D(X)=22=4，
所以D(3X-1)=32D(X)=9×4=36.］
4.0.002 7
解析　設(shè)X~N，則μ=0，σ=.
因?yàn)镻(-2≤X≤2)=P
≈0.997 3，
所以P(X<-2或X>2)=1-P(-2≤X≤2)
≈1-0.997 3=0.002 7.

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