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(共64張PPT)
第六章
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第2課時(shí)
二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
1.熟練掌握二項(xiàng)式定理.
2.能夠利用二項(xiàng)式定理解決兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)問題.
3.掌握二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大(小)問題.
4.能利用二項(xiàng)式定理解決整除(余數(shù))問題.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
假如今天是星期一，7天后是星期幾？16天后是星期幾？ 82 024天后是星期幾？怎樣準(zhǔn)確快速地得到答案？
導(dǎo) 語
一、兩個(gè)二項(xiàng)式積與三項(xiàng)展開式問題
二、整除和余數(shù)問題及近似值問題
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
兩個(gè)二項(xiàng)式積與三項(xiàng)展開式問題
(1)已知(2x-a)的展開式中x2的系數(shù)為-240，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　　　　.
例 1
-640
的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)，
令6-2k=1，得k=(舍去)；
令6-2k=2，得k=2.
故(2x-a)的展開式中x2的系數(shù)為-a22=-240，解得a=4.
令6-2k=-1，得k=(舍去)；令6-2k=0，得k=3.
故(2x-4)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-4×23=-640.
(2)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是　　　　.
方法一　原式=，
∴展開式的通項(xiàng)為=(k1=0，1，2，…，5).
當(dāng)k1=5時(shí)，T6=()5=4，
當(dāng)0≤k1<5時(shí)，的展開式的通項(xiàng)為T =
=(k2=0，1，2，…，5-k1).
令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴
∴常數(shù)項(xiàng)為4+××+××()3
=4++20=.
方法二　原式==·[(x+)2]5=·(x+)10.
求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求(x+)10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即)5.
∴所求的常數(shù)項(xiàng)為=.
求解兩個(gè)二項(xiàng)式積的問題時(shí)，分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析，找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分，分別求解再相乘，求和即得；求解三項(xiàng)展開式時(shí)，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式(或二項(xiàng)式積)來解決.
反
思
感
悟
　 (1)已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為80，則
a=　　　.
跟蹤訓(xùn)練 1
-
展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，令5-2k=0，無整數(shù)解；令5-2k=-1，解得k=3，T4=；令5-2k=1，解得k=2，T3=80x；
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為40-80a=80，解得a=-.
(2)在(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為　　　.
方法一　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，
含y2的項(xiàng)為T3=(x2+x)3y2，
而(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為x4x=x5，
所以x5y2的系數(shù)為=30.
方法二　(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可得含x5y2的項(xiàng)，所以x5y2的系數(shù)為=30.
30
二
整除和余數(shù)問題及近似值問題
(1)實(shí)數(shù)1.9965的近似值為　　　　.(精確到0.001)
例 2
1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043
+×2×0.0044-×0.0045
≈32-0.32+0.001 28=31.681 28，
將1.9965精確到0.001，故近似值為31.681.
31.681
(2)求證：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
32n+2-8n-9
=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82.
上式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.
反
思
感
悟
(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了.
(2)解決求余數(shù)問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.
(3)(1+a)n的近似計(jì)算的處理方法
當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不計(jì)，但是使用這個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)精確度的要求.若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等.
　(1)1.026的近似值(精確到0.01)為　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 2
由二項(xiàng)式定理得，1.026=(1+0.02)6=1+×0.02+×0.022+×0.023
+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13.
1.13
(2)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，則a=　　.
因?yàn)?12 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-…
-×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，又0≤a<13，故a=12.
12
三
二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題
　 (1)在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為
A.-126 B.-70 C.-56 D.-28
例 3
√
因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n=8，的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)，
所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小，為(-1)3=-56.
(2)(2024·全國甲卷)二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是　　.
5
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xk，
0≤k≤10且k∈Z，
設(shè)展開式中第k+1項(xiàng)系數(shù)最大，
則
即≤k≤，又k∈Z，故k=8，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為=5.
反
思
感
悟
(1)求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.
(2)求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An+1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組
求解二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值策略
即得結(jié)果.
　 (多選)已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列結(jié)論正確的是
A.二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36
B.二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為160
C.二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)
D.二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為90x3
跟蹤訓(xùn)練 3
√
√
因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以2n=64，得n=6，
二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=(2x)6-k=26-k，
對(duì)于A，令x=1，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)k=3，
則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4=26-3=160，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，令6-k=0，得k=4，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為26-4
=60，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則≤k≤，
因?yàn)閗∈N*，所以當(dāng)k=2時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
T3=24x3=240x3，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
1.知識(shí)清單：
(1)兩個(gè)二項(xiàng)式積與三項(xiàng)展開式問題.
(2)整除和余數(shù)問題及近似值問題.
(3)二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題.
2.方法歸納：分類討論、方程思想等.
3.常見誤區(qū)：分類不當(dāng)，重復(fù)或遺漏.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.在x(1+x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為
A.30 B.20 C.15 D.10
√
因?yàn)?1+x)6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xk，所以x(1+x)6的展開式中含x3的項(xiàng)為x3=15x3，所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為15.
2.9192被100除所得的余數(shù)為
A.1 B.81 C.-81 D.-1
1
2
3
4
√
9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91項(xiàng)均能被100整除，剩下兩項(xiàng)為92×90+1=8 281，顯然8 281除以100所得的余數(shù)為81.
故9192被100除所得的余數(shù)為81.
3.(x+y+3)5展開式中不含y的各項(xiàng)系數(shù)之和為
A.25 B.35 C.45 D.55
1
2
3
4
√
由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5，則展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(x+3)5-kyk，
當(dāng)k=0時(shí)，不含y的項(xiàng)，
T1=(x+3)5=(x+3)5，
令x=1，可得不含y的各項(xiàng)系數(shù)之和為45.
4.在的展開式中，x3的系數(shù)等于-5，則該展開式各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為　　　.
1
2
3
4
的展開式的通項(xiàng)
Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k，
令5-2k=3，得k=1，所以-a×5=-5，即a=1，
展開式中第2，4，6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，第1，3，5項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，
故各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為=10.
10
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
1.(x2+2)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
A.-3 B.-2 C.2 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基礎(chǔ)鞏固
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
的展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=(-1)k=(-1)k.
令10-2k=2或10-2k=0，
解得k=4或k=5.
故(x2+2)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是
(-1)4×+2×(-1)5×=3.
2.設(shè)n∈N*，則×1n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…
+×11×8n-1+×10×8n除以9的余數(shù)為
A.0 B.8 C.7 D.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
√
因?yàn)椤?n×80+×1n-1×81+×1n-2×82+×1n-3×83+…+×
11×8n-1+×10×8n=(1+8)n=9n，所以除以9的余數(shù)為0.
3.(x3-2x2+x)3的展開式中x6的系數(shù)為
A.-1 B.1 C.-20 D.20
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
16
(x3-2x2+x)3=x3(x-1)6，因此所求x6的系數(shù)即為(x-1)6的展開式中x3的系數(shù)，
由二項(xiàng)式定理知系數(shù)為(-1)3=-20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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16
4.某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%，其初始質(zhì)量為m0，10年后的質(zhì)量為m'，則下列各數(shù)中與最接近的是
A.70% B.65% C.60% D.55%
√
由題意可知m'=m0(1-5%)10，則=(1-5%)10=1-×0.05+×0.052-×0.053+…+×0.0510≈1-0.5+45×0.052=61.25%.
5.已知(3x-1)(x+1)n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為
A.25 B.3 C.5 D.33
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
13
14
15
16
√
令x=1可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2n+1=64，故n=5，
又(x+1)5的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=·x5-k，則展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為3-=5.
6.(x-1)3(1-2x)4的展開式中x3的系數(shù)為
A.-15 B.65 C.81 D.129
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
√
(x-1)3的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)rx3-r，0≤r≤3，r∈Z，
(1-2x)4的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(-2)kxk，0≤k≤4，k∈Z，
則(x-1)3(1-2x)4的展開式中x3的系數(shù)為(-1)3·(-2)3+(-1)2·(-2)2+
(-1)1·(-2)1+(-1)0·(-2)0=32+72+24+1=129.
1
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5
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16
7.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是　　　　.
==
=-20，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-20.
-20
1
2
3
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8.已知(2x+my)(x-y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為-20，則m的值為　　.
3
(2x+my)(x-y)5=2x(x-y)5+my(x-y)5，
因?yàn)?x-y)5的展開式中xy4的系數(shù)為，x2y3的系數(shù)為-，
所以(2x+my)(x-y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為2-m=-20，
解得m=3.
9.用二項(xiàng)式定理證明1110-1能被100整除.
1
2
3
4
5
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7
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16
1110-1=(10+1)10-1
=1010+109+108+…+10+-1
=1010+109+108+…+10
=100(108+107+106+…+1)，
顯然上式括號(hào)內(nèi)的數(shù)是正整數(shù)，
所以1110-1能被100整除.
1
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10.在二項(xiàng)式的展開式中，第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為.
(1)求n的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
1
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二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xn-k=，
因?yàn)榈?項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為，
所以=，整理得10=3，解得n=12，
所以Tk+1=，
令12-k=0，得k=9，
所以常數(shù)項(xiàng)為=.
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(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).
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設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第k+1項(xiàng)，則
即≤k≤，
因?yàn)閗∈N*，所以k=4，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).
11.若二項(xiàng)式(1+ax+x2)(1-x)8的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為21，則a等于
A.3 B.2 C.1 D.-1
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√
綜合運(yùn)用
由題意得x2的系數(shù)為1××(-1)2+a××(-1)+1×=21，解得a=1.
12.若(2+ax)n(a≠0)的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍為
A.(2，3) B. C.[2，3] D.
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√
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由于二項(xiàng)式(2+ax)n(a≠0)的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，
所以2n=512，n=9，即(2+ax)9(a≠0)，
其展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=·29-k·(ax)k=ak·29-k··xk，
依題意可知
解得2≤a≤3.
13.(多選)已知的展開式中第4項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則
A.n=9
B.的展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)
C.的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512
D.(7-a)n除以9余8
1
2
3
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因?yàn)榈?項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以=，由組合數(shù)的性質(zhì)
知n=9，故A正確；
因?yàn)榈恼归_式的各項(xiàng)系數(shù)之和為0，令x=1，得(1+a)9=0，
所以a=-1，
所以的展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=(-1)k.
令18-k為整數(shù)，得k=0，2，4，6，8，
所以展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故B正確；
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展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為++…+=28=256，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)閚=9，a=-1，則(7-a)n=(7+1)9=89=(9-1)9=99-98+…+9-1=9(98-97+…+-1)+8，
所以(7-a)n除以9余8，故D正確.
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14.若(2-x)(x+a)6的展開式中x5的系數(shù)為-3，則實(shí)數(shù)a=　　　　.
-或1
因?yàn)?x+a)6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=x6-kak(0≤k≤6)且k∈Z，
所以(2-x)(x+a)6的展開式中x5的系數(shù)為
2a-a2=12a-15a2=-3，
所以5a2-4a-1=0，即(5a+1)(a-1)=0，
所以a=-或a=1.
15.(多選)對(duì)于二項(xiàng)式(n∈N*)，以下判斷正確的有
A.存在n∈N*，使展開式中有常數(shù)項(xiàng)
B.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)
C.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)
D.存在n∈N*，使展開式中有x的一次項(xiàng)
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拓廣探究
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的展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=·3r·，r=0，1，2，…，n，
的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=·x4k-n，k=0，1，2，…，n.
則二項(xiàng)式(n∈N*)的展開式的通項(xiàng)為·3r··
·x4k-n，
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未知數(shù)x的次數(shù)為+4k-n=--+4k，
令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一組解，此時(shí)，·3r···x4k-n=×3×=75，故展開式中有常數(shù)項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)不為0，故A正確，B錯(cuò)誤；
令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一組解，此時(shí)，·3r···x4k-n=×30×x3××x-2=6x，故展開式中有x的一次項(xiàng)，且一次項(xiàng)的系數(shù)不為0，故D正確，C錯(cuò)誤.
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16.已知二項(xiàng)式=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥3且n∈N*).若|an-2|，|an-1|，|an|成等差數(shù)列.
(1)求的展開式的中間項(xiàng)；
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二項(xiàng)式的通項(xiàng)為
Tk+1=(-x)k=(-1)kxk，k=0，1，2，…，n，
則an=(-1)n=(-1)n，
an-1=(-1)n-1=(-1)n-1，
an-2=(-1)n-2=(-1)n-2，
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由題意知2|an-1|=|an-2|+|an|，
即2×=1+，即n2-9n+8=0，
解得n=1(舍去)或n=8.
則的展開式的中間項(xiàng)是
T5=(-1)4x4=x4.
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(2)求|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值.
設(shè)|ar|最大，則有
即解得5≤r≤6，
又r∈N*，則r=5或6.
所以|ai|(i=0，1，2，…，n)的最大值為|a5|=|a6|==7.第2課時(shí)　二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.熟練掌握二項(xiàng)式定理.2.能夠利用二項(xiàng)式定理解決兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的特定項(xiàng)問題.3.掌握二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大(小)問題.4.能利用二項(xiàng)式定理解決整除(余數(shù))問題.
一、兩個(gè)二項(xiàng)式積與三項(xiàng)展開式問題
例1　(1)已知(2x-a)的展開式中x2的系數(shù)為-240，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為　　　　.
(2)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是　　　　.
反思感悟　求解兩個(gè)二項(xiàng)式積的問題時(shí)，分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析，找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分，分別求解再相乘，求和即得；求解三項(xiàng)展開式時(shí)，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式(或二項(xiàng)式積)來解決.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為80，則a=　　　　.
(2)在(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為　　　　.
二、整除和余數(shù)問題及近似值問題
例2　(1)實(shí)數(shù)1.9965的近似值為　　　　.(精確到0.001)
(2)求證：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
反思感悟　(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了.
(2)解決求余數(shù)問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.
(3)(1+a)n的近似計(jì)算的處理方法
當(dāng)a的絕對(duì)值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不計(jì)，但是使用這個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對(duì)精確度的要求.若精確度要求較高，則可使用更精確的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)1.026的近似值(精確到0.01)為　　　　.
(2)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，則a=　　　　.
三、二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題
例3　(1)在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為 (　　)
A.-126 B.-70
C.-56 D.-28
(2)(2024·全國甲卷)二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是　　　　.
反思感悟　求解二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最值策略
(1)求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，依據(jù)(a+b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.
(2)求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…，An+1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組即得結(jié)果.
跟蹤訓(xùn)練3　(多選)已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36
B.二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為160
C.二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)
D.二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為90x3
1.知識(shí)清單：
(1)兩個(gè)二項(xiàng)式積與三項(xiàng)展開式問題.
(2)整除和余數(shù)問題及近似值問題.
(3)二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題.
2.方法歸納：分類討論、方程思想等.
3.常見誤區(qū)：分類不當(dāng)，重復(fù)或遺漏.
1.在x(1+x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為 (　　)
A.30 B.20 C.15 D.10
2.9192被100除所得的余數(shù)為 (　　)
A.1 B.81 C.-81 D.-1
3.(x+y+3)5展開式中不含y的各項(xiàng)系數(shù)之和為 (　　)
A.25 B.35 C.45 D.55
4.在的展開式中，x3的系數(shù)等于-5，則該展開式各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為　　　.
答案精析
例1　(1)-640
解析　的展開式的通項(xiàng)公式為
Tk+1=x6-k=2kx6-2k(k=0，1，2，3，4，5，6)，
令6-2k=1，得k=(舍去)；
令6-2k=2，得k=2.
故(2x-a)的展開式中x2的系數(shù)為
-a22=-240，解得a=4.
令6-2k=-1，得k=(舍去)；
令6-2k=0，得k=3.
故(2x-4)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
-4×23=-640.
(2)
解析　方法一　原式=，
∴展開式的通項(xiàng)為=(k1=0，1，2，…，5).
當(dāng)k1=5時(shí)，T6=()5=4，
當(dāng)0≤k1<5時(shí)，的展開式的通項(xiàng)為
T =
=(k2=0，1，2，…，5-k1).
令5-k1-2k2=0，即k1+2k2=5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常數(shù)項(xiàng)為4+××+××()3=4++20=.
方法二　原式==·［(x+)2］5
=·(x+)10.
求原式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求(x+)10的展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即)5.
∴所求的常數(shù)項(xiàng)為=.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)-
解析　展開式的通項(xiàng)公式為
Tk+1=(2x)5-k=25-kx5-2k，
令5-2k=0，無整數(shù)解；
令5-2k=-1，解得k=3，T4=；
令5-2k=1，解得k=2，T3=80x；
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為40-80a=80，解得a=-.
(2)30
解析　方法一　(x2+x+y)5=［(x2+x)+y］5，
含y2的項(xiàng)為T3=(x2+x)3y2，
而(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為x4x=x5，
所以x5y2的系數(shù)為=30.
方法二　(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可得含x5y2的項(xiàng)，
所以x5y2的系數(shù)為=30.
例2　(1)31.681
解析　1.9965=(2-0.004)5=×25-×24×0.0041+×23×0.0042-×22×0.0043+×2×0.0044-×0.0045≈32-0.32+0.001 28=31.681 28，
將1.9965精確到0.001，故近似值為31.681.
(2)證明　32n+2-8n-9
=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82.
上式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，
故原式能被64整除.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)1.13
解析　由二項(xiàng)式定理得，1.026=(1+0.02)6
=1+×0.02+×0.022+×0.023+…+0.026
≈1+0.12+0.006≈1.13.
(2)12
解析　因?yàn)?12 024+a=(52-1)2 024+a=522 024-522 023+522 022-…-×521+1+a能被13整除，故1+a能被13整除，
又0≤a<13，故a=12.
例3　(1)C　［因?yàn)橹挥械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以n=8，的展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=(-1)k(k=0，1，2，…，8)，
所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因此展開式中第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等且最小，為(-1)3=-56.］
(2)5
解析　二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=xk，
0≤k≤10且k∈Z，
設(shè)展開式中第k+1項(xiàng)系數(shù)最大，
則
即≤k≤，又k∈Z，故k=8，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，
且該項(xiàng)系數(shù)為=5.
跟蹤訓(xùn)練3　AB　［因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以2n=64，得n=6，
二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為
Tk+1=(2x)6-k=26-k，
對(duì)于A，令x=1，可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)k=3，則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4=26-3=160，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，令6-k=0，得k=4，
所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為26-4=60，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則解得≤k≤，
因?yàn)閗∈N*，
所以當(dāng)k=2時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大，
則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
T3=24x3=240x3，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.］
隨堂演練
1.C　［因?yàn)?1+x)6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=xk，
所以x(1+x)6的展開式中含x3的項(xiàng)為x3=15x3，
所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為15.］
2.B　［9192=(90+1)92=×9092+×9091+…+×902+×90+.
前91項(xiàng)均能被100整除，剩下兩項(xiàng)為92×90+1=8 281，顯然8 281除以100所得的余數(shù)為81.
故9192被100除所得的余數(shù)為81.］
3.C　［由(x+y+3)5=［(x+3)+y］5，
則展開式的通項(xiàng)為Tk+1=(x+3)5-kyk，
當(dāng)k=0時(shí)，不含y的項(xiàng)，
T1=(x+3)5=(x+3)5，
令x=1，可得不含y的各項(xiàng)系數(shù)之和為45.］
4.10
解析　的展開式的通項(xiàng)
Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k，
令5-2k=3，得k=1，
所以-a×5=-5，即a=1，
展開式中第2，4，6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，第1，3，5項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，
故各項(xiàng)的系數(shù)中最大值為=10.

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