資源簡介

(共61張PPT)
第六章
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第1課時
二項式系數的性質
1.理解二項式系數的性質并靈活運用.
2.掌握“賦值法”并會靈活應用.
學習目標
被譽為“世界七大奇跡”之一的古埃及的金字塔，以其宏偉的氣勢、嚴密的結構、精美絕倫的整體外觀讓世界嘆服.而數學上也有“金字塔”，這就是二項式(a+b)n的展開式在n=1，2，…時的二項式系數而壘成的金字塔，稱為楊輝三角，它是我國南宋數學家楊輝首先發現的，比歐洲的帕斯卡早發現了600年左右.
導 語
一、二項式系數的對稱性、增減性與最大值
二、各二項式系數的和
課時對點練
三、二項展開式的各項系數的和
隨堂演練
內容索引
一
二項式系數的對稱性、增減性與最大值
將(a+b)n展開式的二項式系數，，…，，…，寫成如圖所示的形式，請寫出你發現的二項式系數的規律.
問題1
提示　每行兩端都是1；每一行中的系數具有對稱性；每一行中的系數都是先增后減，中間一項或兩項的系數最大；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.
1.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數 ，即=.
2.增減性與最大值：
(1)若n為奇數，當k≤時，，此時遞增，當k≥時，，此時遞減；若n為偶數，當k≤時，，此時遞增，當k≥時，，此時遞減.
(2)當n是偶數時，中間的一項_____取得最大值；當n是奇數時，中間的
兩項______與______相等，且同時取得最大值.
相等
<
<
>
>
　 已知在(x-2)n(n∈N*)的展開式中，第2項與第8項的二項式系數相等.
(1)求n的值；
例 1
依題意得，=，解得n=8.
(2)求展開式中二項式系數最大的項.
因為n=8，展開式中共有9項，根據二項式系數的性質，可得第5項的二項式系數最大，于是展開式中二項式系數最大的項為x4(-2)4=1 120x4.
通過二項式系數的性質，利用對稱性二項式系數相等；利用對(a+b)n的n的值進行討論，求解二項式系數最大問題.
反
思
感
悟
　 (1)已知(a+b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則(2x-1)n的展開式中x3的系數為
A.80 B.40 C.-40 D.-80
跟蹤訓練 1
√
由題意=，所以3+7=2n，解得n=5，
則(2x-1)5的展開式的通項為
Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k，
由5-k=3，得k=2，所以x3的系數為(-1)2××23=80.
(2)如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a=7時，b等于
A.20 B.21
C.22 D.23
√
由a=7，可知b左肩上的數為6，右肩上的數為11+5=16，所以b=6+16=22.
二
各二項式系數的和
提示　+++…+=2n；
+++…=+++…=2n-1.
在二項展開式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn
中，令a=b=1，可得到什么結論？令a=1，b=-1，可得到什么結論？
問題2
1.++…+=_____.
2.+++…=+++…=_______.
2n
2n-1
　 (1)的展開式中所有二項式系數的和是　　　；展開式
中所有偶數項的二項式系數和是　　　.(用數字作答)
例 2
的展開式中所有二項式系數的和是28=256，展開式中所有偶數項的二項式系數和是27=128.
256
128
(2)已知(x-my)n的展開式中二項式系數之和為64，x3y3的系數為-160，則實數m=　　　.
由題意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通項公式為Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系數為(-m)3=-160，解得m=2.
2
反
思
感
悟
(a+b)n的展開式的各二項式系數的和為2n.
　已知(1+2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為
A.512 B.210 C.211 D.212
跟蹤訓練 2
√
∵(1+2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，
∴=，解得n=10，各二項式系數之和為210，
∵奇數項的二項式系數與偶數項的二項式系數的和相等，
∴(1+2x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為×210=29=512.
三
二項展開式的各項系數的和
　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：
(1)a1+a2+…+a7；
例 3
令x=0，得a0=-1.
令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ①
∴a1+a2+…+a7=129.
(2)a1+a3+a5+a7；
令x=-1，則a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ②
由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，
∴a1+a3+a5+a7=8 256.
(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.
∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k，
∴|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384.
反
思
感
悟
(1)對形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=，偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=.
求展開式的各項系數之和常用賦值法
　設(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值；
跟蹤訓練 3
在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1.
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值；
令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，
∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
分別令x=-1，x=1，
得
②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
1.知識清單：
(1)二項式系數的對稱性、增減性與最大值.
(2)各二項式系數的和.
(3)二項展開式的各項系數的和.
2.方法歸納：賦值法.
3.常見誤區：系數與二項式系數的區別，中間項的個數，含絕對值的系數.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.在(a-b)20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是
A.第15項 B.第16項
C.第17項 D.第18項
√
第6項的二項式系數為=，所以第16項符合條件.
2.的展開式中二項式系數最大的項是
A.第3項 B.第6項
C.第6，7項 D.第5，7項
1
2
3
4
√
+1項和+1項，即第6，7項的二項式系數相等，且最大.
3.若的展開式中所有二項式系數的和為64，則展開式中的常數項是
A.240 B.-240 C.160 D.-160
1
2
3
4
√
由二項式系數的性質可知，二項式系數和為2n=64，所以n=6，的展開式的通項為Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k，
令6-3k=0，則k=2，
則常數項為T3=(-1)224=240.
4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，則a0+a1+a2+…+a6+a7的值為　　　.
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4
令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128.
128
課時對點練
五
1.已知的二項展開式中，第3項與第9項的二項式系數相等，則所有項的系數之和為
A.212 B.312 C.310 D.210
1
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基礎鞏固
√
因為的二項展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，所以=，解得n=10，令x=1，得所有項的系數之和為310.
2.若(x+3y)n展開式的各項系數和等于(7a+b)10展開式中的二項式系數之和，則n的值為
A.5 B.8 C.10 D.15
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√
(7a+b)10的展開式的二項式系數之和為210，令x=1，y=1，得(x+3y)n展開式的各項系數之和為4n，則由題意知，4n=210，解得n=5.
3.(多選)(1+x)n展開式中，是最大的二項式系數，則n可以是
A.8 B.9 C.10 D.11
√
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√
√
當n=9時，=均為最大；當n=10時，最大；當n=11時，=均為最大.
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4.已知關于x的二項式展開式的二項式系數之和為32，常數項為80，則a的值為
A.1 B.±1 C.2 D.±2
√
由題意知2n=32，即n=5，在二項展開式的通項Tk+1=)5-k=
ak中，令15-5k=0，得k=3.
所以a3=80，解得a=2.
5.已知的展開式中，第3項的系數與倒數第3項的系數之比為1∶4，則展開式中二項式系數最大的項為
A.第3項 B.第4項 C.第5項 D.第6項
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的展開式的通項為Tk+1=)n-k·=·2k·，
第3項為T3=·22··22，
倒數第3項為Tn-1=·2n-2··2n-2，
由題意得，=24-n==2-2，所以n=6，
所以展開式中二項式系數最大的項為第4項.
6.(多選)設(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，則下列結論正確的是
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
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√
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因為(2x-1)7展開式的通項為
Tk+1=(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k，
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，
所以a2=(-1)527-5=-84，
a5=(-1)227-2=672，則a2+a5=588，故A正確；
令x=1，則(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1，
令x=0，則(0-1)7=a0=-1；
令x=-1，則(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37，
故a1+a2+…+a7=1-a0=2，故B錯誤；
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a1+a3+a5+a7=-=，故C正確；
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37
-1，故D正確.
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7.若展開式的各項系數之和為32，則其展開式中的常數項是　　　.
令x=1，得2n=32，故n=5.
Tk+1=(x2)5-k=x10-2k-3k=x10-5k，
令10-5k=0，得k=2.
故展開式中的常數項為T3==10.
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8.設(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6，則=　　　.
-
令x=1，得a0+a1+a2+…+a6=1；令x=0，得a0-a1+a2-…+a6=64，兩式相減得2(a1+a3+a5)=-63，兩式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65，故=-.
9.在二項式的展開式中，若第4項的系數與第7項的系數比為
-1∶14，求：
(1)二項展開式中的各項的二項式系數之和；
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Tk+1=)n-k=(-2)k，
∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14，∴n=10.
++…+=210=1 024.
二項式的展開式的通項為
(2)二項展開式中的各項的系數之和.
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令x=1，得各項系數之和為(-1)10=1.
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10.設(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求：
(1)a1+a2+a3+a4；
在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4=1，
令x=0，得(0-3)4=a0=81，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0
=1-81=-80.
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(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2；
在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4. ①
令x=-1，得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4. ②
所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.
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(3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|.
由展開式知a0，a2，a4為正，a1，a3為負，
所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4
=a0-a1+a2-a3+a4-a0
=625-81=544.
11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R)，則++…+的值為
A.2 B.0 C.-2 D.-1
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綜合運用
(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024，
令x=0，得a0=1，
令x=，得a0+++…+=0，
所以++…+=-1.
12.(多選)若的二項展開式共有8項，則該二項展開式中
A.各項二項式系數和為128
B.項數為奇數的各項系數和為-64
C.有理項共有4項
D.第4項與第5項的系數相等且最大
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因為的二項展開式共有8項，故n=7，則二項式系數和為2n=27=128，故A正確；
的展開式的通項為Tk+1=(-1)k
+++=64，故B錯誤；
根據Tk+1=(-1)k，當k取0，2，4，6時，Tk+1=(-1)k為有理項，共有4項，故C正確；
T4=-，T5=x，第4項與第5項的系數互為相反數，故D錯誤.
13.已知(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3).若a1+a2+
a3+…+an=134，則a3=　　　.
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對于(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3)，
令x=0，得a0=2；
令x=1，得(1+1)3+(1+1)n=a0+a1+a2+a3+…+an=2+134，
即2n=128，n=7，故a3=×10+×14=36.
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14.已知(2x-1)n的二項展開式中，奇次項系數的和比偶次項系數的和小38，則+++…+=　　　.
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設(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次項的系數和為A，偶次項的系數和為B.
則A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+….
由已知，B-A=38.
令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n，
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n，
即B-A=(-3)n.
∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8.
由二項式系數的性質，可得+++…+=2n-=28-1=255.
15.已知(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024，則a2 023+2a2 022+3a2 021+
4a2 020+…+2 023a1+2 024a0等于
A.2 024×22 024 B.2 023×22 023
C.2 024×22 023 D.2 023×22 022
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拓廣探究
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令x=1，則a0+a1+a2+a3+…+a2 024=22 024，
故2 024(a0+a1+a2+a3+…+a2 024)=2 024×22 024， ①
等式(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024兩邊求導得
2 024(1+x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023，
令x=1，則2 024×22 023=a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024， ②
由①②得a2 023+2a2 022+3a2 021+4a2 020+…+2 023a1+2 024a0
=2 024(a0+a1+a2+…+a2 024)-(a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024)
=2 024×22 024-2 024×22 023=2 024×22 023.
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16.楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律，如圖是一個11階楊輝三角.
(1)求第20行中從左到右的第4個數；
=1 140.
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(2)在第2斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5個數為35.顯然，1+3+6+10+15=35.事實上，一般地有這樣的結論：第m-1斜列中(從右上到左下)前k個數之和，一定等于第m斜列中第k個數.
試用含有m，k(m，k∈N*)的數學公式表示上述結論，并給予證明.
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++…+=.
證明如下：
左邊=++…+
=++…+
=…=+==右邊.6.3.2　二項式系數的性質
第1課時　二項式系數的性質
［學習目標］　1.理解二項式系數的性質并靈活運用.2.掌握“賦值法”并會靈活應用.
一、二項式系數的對稱性、增減性與最大值
問題1　將(a+b)n展開式的二項式系數，，…，，…，寫成如圖所示的形式，請寫出你發現的二項式系數的規律.
知識梳理
1.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數　　　　，即=.
2.增減性與最大值：
(1)若n為奇數，當k≤時，　　 ，此時遞增，當k≥時，　　　 ，此時遞減；若n為偶數，當k≤時，　　　　 ，此時遞增，當k≥時，　　　 ，此時遞減.
(2)當n是偶數時，中間的一項　　　　　　　　取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項　　　　　　　　與　　　　　　　相等，且同時取得最大值.
例1　已知在(x-2)n(n∈N*)的展開式中，第2項與第8項的二項式系數相等.
(1)求n的值；
(2)求展開式中二項式系數最大的項.
反思感悟　通過二項式系數的性質，利用對稱性二項式系數相等；利用對(a+b)n的n的值進行討論，求解二項式系數最大問題.
跟蹤訓練1　(1)已知(a+b)2n的展開式的第4項與第8項的二項式系數相等，則(2x-1)n的展開式中x3的系數為 (　　)
A.80 B.40 C.-40 D.-80
(2)如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a=7時，b等于 (　　)
A.20 B.21 C.22 D.23
二、各二項式系數的和
問題2　在二項展開式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn中，令a=b=1，可得到什么結論？令a=1，b=-1，可得到什么結論？
知識梳理
1.++…+=　　　　.
2.+++…=+++…=　　　　　.
例2　(1)的展開式中所有二項式系數的和是　　　　；展開式中所有偶數項的二項式系數和是　　　　.(用數字作答)
(2)已知(x-my)n的展開式中二項式系數之和為64，x3y3的系數為-160，則實數m=　　　　　　.
反思感悟　(a+b)n的展開式的各二項式系數的和為2n.
跟蹤訓練2　已知(1+2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為 (　　)
A.512 B.210 C.211 D.212
三、二項展開式的各項系數的和
例3　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：
(1)a1+a2+…+a7；
(2)a1+a3+a5+a7；
(3)|a0|+|a1|+…+|a7|.
反思感悟　求展開式的各項系數之和常用賦值法
(1)對形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f(x)的展開式中各項系數之和為f(1)，奇數項系數之和為a0+a2+a4+…=，偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=.
跟蹤訓練3　設(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值；
(3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值.
1.知識清單：
(1)二項式系數的對稱性、增減性與最大值.
(2)各二項式系數的和.
(3)二項展開式的各項系數的和.
2.方法歸納：賦值法.
3.常見誤區：系數與二項式系數的區別，中間項的個數，含絕對值的系數.
1.在(a-b)20的二項展開式中，二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是 (　　)
A.第15項 B.第16項
C.第17項 D.第18項
2.的展開式中二項式系數最大的項是 (　　)
A.第3項 B.第6項
C.第6，7項 D.第5，7項
3.若的展開式中所有二項式系數的和為64，則展開式中的常數項是 (　　)
A.240 B.-240
C.160 D.-160
4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，則a0+a1+a2+…+a6+a7的值為　　　　.
答案精析
問題1　每行兩端都是1；每一行中的系數具有對稱性；每一行中的系數都是先增后減，中間一項或兩項的系數最大；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.
知識梳理
1.相等
2.(1)<　>　<　>　(2)　　
例1　解　(1)依題意得，=，解得n=8.
(2)因為n=8，展開式中共有9項，根據二項式系數的性質，可得第5項的二項式系數最大，于是展開式中二項式系數最大的項為x4(-2)4=1 120x4.
跟蹤訓練1　(1)A　［由題意=，
所以3+7=2n，解得n=5，
則(2x-1)5的展開式的通項為
Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k，
由5-k=3，得k=2，所以x3的系數為(-1)2××23=80.］
(2)C　［由a=7，可知b左肩上的數為6，右肩上的數為
11+5=16，所以b=6+16=22.］
問題2　+++…+=2n；
+++…=+++…=2n-1.
知識梳理
1.2n　2n-1
例2　(1)256　128
解析　的展開式中所有二項式系數的和是28=256，展開式中所有偶數項的二項式系數和是27=128.
(2)2
解析　由題意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通項公式為Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，
所以x3y3的系數為(-m)3=-160，解得m=2.
跟蹤訓練2　A　［∵(1+2x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，
∴=，解得n=10，各二項式系數之和為210，
∵奇數項的二項式系數與偶數項的二項式系數的和相等，
∴(1+2x)10的展開式中奇數項的二項式系數和為
×210=29=512.］
例3　解　(1)令x=0，得a0=-1.
令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ①
∴a1+a2+…+a7=129.
(2)令x=-1，則a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ②
由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7，
∴a1+a3+a5+a7=8 256.
(3)∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k，
∴|a0|+|a1|+…+|a7|
=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384.
跟蹤訓練3　解　(1)在(1-2x)2 024
=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，
令x=0，得1=a0，
∴a0=1.
(2)令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024，
∴a1+a2+a3+…+a2 024=0.
(3)分別令x=-1，x=1，得
②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023).
∴a1+a3+a5+…+a2 023=.
隨堂演練
1.B　［第6項的二項式系數為，又=，
所以第16項符合條件.］
2.C　［的展開式中第+1項和+1項，即第6，7項的二項式系數相等，且最大.］
3.A　［由二項式系數的性質可知，二項式系數和為2n=64，
所以n=6，的展開式的通項為
Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k，
令6-3k=0，則k=2，
則常數項為T3=(-1)224=240.］
4.128
解析　令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128.

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