資源簡介

(共63張PPT)
第六章
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二項式定理
6.3.1
1.能用計數原理證明二項式定理.
2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.
3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
學習目標
英國科學家艾薩克·牛頓(Isaac Newton，1643-1727)被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一.他不僅是一位物理學家、天文學家，還是一位偉大的數學家.1664年冬，由于
導 語
瘟疫流行迫使牛頓從劍橋回到鄉下，研讀沃利斯博士的《無窮算術》，牛頓開始了對二項式定理的研究，并最終建立了二項式定理.那么，牛頓是如何思考的呢？
一、二項式定理的正用與逆用
二、二項式系數與項的系數
課時對點練
三、二項展開式中的特定項
隨堂演練
內容索引
一
二項式定理的正用與逆用
在初中，我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程呢？
問題
提示　從上述過程可以看到，(a+b)2是2個(a+b)相乘，根據多項式乘法法則，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.于是，由分步乘法計數原理，在合并同類項之前，(a+b)2的展開式共有×=22項，而且每一項都是a2-kbk
(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數.
二項式定理
(a+b)n=___________________________________，n∈N*.
(1)這個公式叫做二項式定理.
(2)展開式：右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式，展開式中一共有______項.
(3)二項式系數：各項的系數(k=0，1，2，…，n)叫做二項式系數.
(4)通項：(a+b)n展開式的第_____項叫做二項展開式的通項，記作Tk+1=__________.
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn
n+1
k+1
an-kbk
(1)每一項中a與b的指數和為n.
(2)各項中a的指數從n起依次減小1，到0為止，各項中b的指數從0起依次增加1，到n為止.
(3)a與b的位置不能交換.
(4)二項式定理對任意的實數a，b都成立，若設a=1，b=x，則有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn.
注 意 點
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(1)求的展開式.
例 1
方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+(3+
=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=[1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4]
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
若將例1(2)中的式子變為“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化簡結果.
逆用二項式定理，將1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
延伸探究
(1)(a+b)n的二項展開式有n+1項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n.②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n.
(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想，注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.
反
思
感
悟
(1)求的展開式.
跟蹤訓練 1
方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+(2x)2
+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4
+(-3)5]=32x5-120x2+-+-.
(2)化簡：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+
(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
二
二項式系數與項的系數
　 在二項式的展開式中，求：
(1)第4項的二項式系數；
例 2
的展開式的通項是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
則展開式的第4項(k=3)的二項式系數為=120.
(2)求展開式中x-1的系數.
令=-1，解得k=4.
所以展開式中x-1的系數為
36=30 240.
反
思
感
悟
二項式系數與項的系數是兩個不同的概念.二項式系數是指，只與項數有關，與a，b的值無關，二項式系數的值恒為正；項的系數是指該項中除變量外的常數部分，不僅與項數有關，還與a，b的值有關，系數的值可正可負.
正確區分二項式系數與項的系數
　 已知的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之
比為1∶3.
(1)求n的值；
跟蹤訓練 2
因為二項式的展開式中第2項、第3項的二項式系數分別為，
所以==，解得n=7.
(2)求展開式中含項的系數.
因為展開式的通項為Tk+1=(3)7-k·=37-k，
當=-1時，k=3，
所以展開式中含34=2 835.
三
二項展開式中的特定項
在二項式的展開式中，求：
(1)第4項；
例 3
的展開式的通項為Tk+1=x12-k·=(-1)k.
令k=3，則T4=(-1)3=-220x8.
(2)常數項；
令12-k=0，解得k=9，
所以常數項為(-1)9=-220.
(3)有理項；
當k=0，3，6，9，12時，Tk+1是有理項，分別為T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)中間項.
因為n=12，所以展開項共有13項，所以中間項為第7項.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
反
思
感
悟
(1)求二項展開式的特定項的常見題型
①求第k項，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項.
(2)求二項展開式的特定項的解題思路
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；
②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解.
　 已知在的展開式中，第6項為常數項.
(1)求n；
跟蹤訓練 3
的展開式的通項為
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
∵第6項為常數項，∴當k=5時，有=0，即n=10.
(2)求含x2項的系數；
令=2，得k=2，
∴所求項的系數為(-3)2=405.
(3)求展開式中所有的有理項.
由題意得
令=t(t∈Z)，則10-2k=3t，
即k=5-t.∵k∈N，∴t應為偶數.
令t=2，0，-2，則k=2，5，8.
∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，-61 236，295 245x-2.
1.知識清單：
(1)二項式定理的正用與逆用.
(2)二項式系數與項的系數.
(3)二項展開式中的特定項.
2.方法歸納：轉化化歸.
3.常見誤區：二項式系數與系數的區別，an-kbk是展開式的第k+1項.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.二項式(a+b)2n的展開式的項數是
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
√
展開式的項數比二項式的指數大1，故選B.
2.(x-y)6的展開式的第3項是
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
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4
√
由題設，(x-y)6的展開式的通項為Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3項為T3=x4y2.
3.(2024·天津)在的展開式中，常數項為　　　.
1
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4
因為的展開式的通項為
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，
所以常數項為30=20.
20
4.代數式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化簡為　　.
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4
(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4
=[(x+1)-1]4=x4.
x4
課時對點練
五
1.(x+2)n的展開式共有16項，則n等于
A.17 B.16 C.15 D.14
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基礎鞏固
√
∵(a+b)n的展開式共有n+1項，而(x+2)n的展開式共有16項，∴n=15.
2.(2024·北京)(x-)4的展開式中，x3的系數為
A.15 B.6 C.-4 D.-13
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√
(x-)4的展開式的通項為Tk+1=x4-k(-)k=(-1)k，k=0，1，2，3，4，
令4-=3，解得k=2，
故所求系數即為(-1)2=6.
3.(多選)在二項式的展開式中，有
A.含x的項 B.含的項
C.含x4的項 D.含的項
√
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二項式的展開式的通項為Tk+1=·35-k·(-2)k·x10-3k，k=0，1，2，3，4，5.當10-3k=1時，k=3，A正確；
當10-3k=-2時，k=4，B正確；
當10-3k=4時，k=2，C正確；
當10-3k=-4時，k=，D錯誤.
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4.(x-y)10的展開式中x6y4的系數是
A.840 B.-840 C.210 D.-210
√
在通項Tk+1=x10-k(-y)k中，令k=4，即得(x-y)10的展開式中x6y4的系數為×(-)4=840.
5.若實數a=2-，則a10-2a9+22a8-…+210等于
A.32 B.-32 C.1 024 D.512
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√
a10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10，
當a=2-時，(a-2)10=32.
6.在(1-x)5-(1-x)6的展開式中，含x3項的系數是
A.-5 B.5 C.-10 D.10
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方法一　(1-x)5中x3項的系數為-=-10，
-(1-x)6中x3項的系數為-·(-1)3=20，
故在(1-x)5-(1-x)6的展開式中，
含x3項的系數為10.
方法二　原式=(1-x)5x，
∴展開式中含x3的項為·x=10x3，即含x3項的系數為10.
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7.若二項式(1+2x)n的展開式中x3的系數等于x2的系數的4倍，則n=　　.
(1+2x)n的展開式的通項為Tk+1=(2x)k=2kxk，又x3的系數等于x2的系數的4倍，所以23=422，所以n=8.
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8.的展開式的中間項為　　　　.
-x3
因為n=6，所以展開式共有7項，所以中間項為第4項，
則展開式的中間項為T4=(x2)3
=x3=-x3.
9.已知的展開式中第3項的系數比第2項的系數大162.
(1)求n的值；
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因為T3=)n-2=4，
T2=)n-1=-2，
依題意得，4+2=162，所以2+=81，
所以n2=81，又n∈N*，故n=9.
(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數.
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二項式的展開式的通項為
Tk+1=)9-k=(-2)k，
令=3，解得k=1，
所以含x3的項為T2=-2x3=-18x3.
二項式系數為=9.
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10.已知(+)n(其中n<15)的展開式中第9項與第11項的二項式系數和是第10項的二項式系數的2倍.
(1)求n的值；
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(+)n(其中n<15)的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數分別是.
依題意得，+
=2·，
化簡得90+(n-9)(n-8)=20(n-8)，
即n2-37n+322=0，
解得n=14或n=23，因為n<15，所以n=14.
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(2)寫出它展開式中的所有有理項.
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二項式(+)14的展開式的通項為
Tk+1==，
當且僅當k是6的倍數時，
展開式中的項是有理項，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展開式中的有理項共3項，分別是
k=0，T1=x7=x7；
k=6，T7=x6=3 003x6；k=12，T13=x5=91x5.
11.對任意實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為
A.3 B.6 C.9 D.21
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綜合運用
∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2×2+(x-2)×22+×23=8+12(x-2)+
6(x-2)2+(x-2)3，∴a2=6.
12.若(ax+y)5的展開式中x2y3項的系數等于80，則實數a等于
A.2 B.±2 C.2 D.±2
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展開式的通項公式是Tk+1=·(ax)5-k·yk，當k=3時，x2y3項的系數為·a2
=80，解得a=±2.
13.(多選)已知(n≥3，n∈N*)的展開式中，第3項的二項式系數是第2項的二項式系數的3倍，則
A.n=7
B.展開式中有理項有且僅有1項
C.第4項為-
D.第3項的二項式系數為21
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第3項的二項式系數是第2項的二項式系數的3倍，故有=3=3n，化簡整理得n2-7n=0，解得n=7或n=0(舍去)，故A正確；
展開式的通項為Tk+1=)7-k==，
當k=2或k=6時，為整數，故當k=2或k=6時展開式為有理項，故B錯誤；
T4==-，故C正確；
第3項的二項式系數為=21，故D正確.
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14.已知在的展開式中，第9項為常數項，則
(1)n的值為　　　；
10
二項展開式的通項為Tk+1=·=(-1)k.
因為第9項為常數項，
所以當k=8時，2n-×8=0，
解得n=10.
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(2)含x的整數次冪的項有　　個.
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要使20-k為整數，需k為偶數，
由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的項有6個.
15.設二項式(a>0)的展開式中，x3的系數為A，常數項為B.若B=4A，則a的值是　　.
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拓廣探究
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二項式(a>0)的展開式的通項為
Tk+1=x6-k=(-a)k，
令6-k=3，得k=2；令6-k=0，得k=4，
∴B=(-a)4，A=(-a)2.
∵B=4A，a>0，∴a=2.
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16.已知(+1)n的展開式中有連續三項的系數之比為1∶2∶3.
(1)這三項分別是第幾項？
展開式各項系數為(k=0，1，2，…，n)，當k≥1時，由題意∶
∶=1∶2∶3，
即==
∴這三項分別是第5，6，7項.
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(2)若展開式的倒數第二項為112，求x的值.
倒數第二項為，
∴=14=112，即=8，
則log2=log28=3，即(log2x)2=3，解得log2x=±，
∴x=或x=.6.3.1　二項式定理
［學習目標］　1.能用計數原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
一、二項式定理的正用與逆用
問題　在初中，我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+
a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程呢？
知識梳理
二項式定理
(a+b)n=______________________________，n∈N*.
(1)這個公式叫做二項式定理.
(2)展開式：右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式，展開式中一共有　　　　　項.
(3)二項式系數：各項的系數(k=0，1，2，…，n)叫做二項式系數.
(4)通項：(a+b)n展開式的第　　　項叫做二項展開式的通項，記作Tk+1=　　　　　　　　　　.
例1　(1)求的展開式.
(2)化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究　若將例1(2)中的式子變為“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化簡結果.
反思感悟　(1)(a+b)n的二項展開式有n+1項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n.②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n.
(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想，注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.
跟蹤訓練1　(1)求的展開式.
(2)化簡：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
二、二項式系數與項的系數
例2　在二項式的展開式中，求：
(1)第4項的二項式系數；
(2)求展開式中x-1的系數.
反思感悟　正確區分二項式系數與項的系數
二項式系數與項的系數是兩個不同的概念.二項式系數是指，只與項數有關，與a，b的值無關，二項式系數的值恒為正；項的系數是指該項中除變量外的常數部分，不僅與項數有關，還與a，b的值有關，系數的值可正可負.
跟蹤訓練2　已知的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為1∶3.
(1)求n的值；
(2)求展開式中含項的系數.
三、二項展開式中的特定項
例3　在二項式的展開式中，求：
(1)第4項；(2)常數項；
(3)有理項；(4)中間項.
反思感悟　(1)求二項展開式的特定項的常見題型
①求第k項，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項.
(2)求二項展開式的特定項的解題思路
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；
②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解.
跟蹤訓練3　已知在的展開式中，第6項為常數項.
(1)求n；
(2)求含x2項的系數；
(3)求展開式中所有的有理項.
1.知識清單：
(1)二項式定理的正用與逆用.
(2)二項式系數與項的系數.
(3)二項展開式中的特定項.
2.方法歸納：轉化化歸.
3.常見誤區：二項式系數與系數的區別，an-kbk是展開式的第k+1項.
1.二項式(a+b)2n的展開式的項數是 (　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.(x-y)6的展開式的第3項是 (　　)
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
3.(2024·天津)在的展開式中，常數項為　　　　.
4.代數式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化簡為　　　　.
答案精析
問題　從上述過程可以看到，(a+b)2是2個(a+b)相乘，根據多項式乘法法則，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.于是，由分步乘法計數原理，在合并同類項之前，(a+b)2的展開式共有×=22項，而且每一項都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數.
知識梳理
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(2)n+1　(4)k+1　an-kbk
例1　(1)解　方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+
(3+=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=［1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4］
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=［(2x+1)-1］5=(2x)5=32x5.
延伸探究　解　逆用二項式定理，將1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
跟蹤訓練1　(1)解　方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+
(2x)2+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=［(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5］
=32x5-120x2+-+-.
(2)解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2·(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n
=［(x+1)+(-1)］n=xn.
例2　解　(1)的展開式的通項是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
則展開式的第4項(k=3)的二項式系數為=120.
(2)令=-1，解得k=4.
所以展開式中x-1的系數為36=30 240.
跟蹤訓練2　解　(1) 因為二項式的展開式中第2項、第3項的二項式系數分別為，，
所以=，即=，解得n=7.
(2)因為展開式的通項為
Tk+1=(3)7-k·=37-k，
當=-1時，k=3，
所以展開式中含項的系數為34=2 835.
例3　解　的展開式的通項為
Tk+1=x12-k·=(-1)k.
(1)令k=3，則T4=(-1)3=-220x8.
(2)令12-k=0，解得k=9，
所以常數項為(-1)9=-220.
(3)當k=0，3，6，9，12時，Tk+1是有理項，分別為T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)因為n=12，所以展開項共有13項，
所以中間項為第7項.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
跟蹤訓練3　解　的展開式的通項為
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
(1)∵第6項為常數項，∴當k=5時，有=0，
即n=10.
(2)令=2，得k=2，
∴所求項的系數為(-3)2=405.
(3)由題意得
令=t(t∈Z)，則10-2k=3t，
即k=5-t.
∵k∈N，∴t應為偶數.
令t=2，0，-2，則k=2，5，8.
∴第3項，第6項與第9項為有理項，
它們分別為405x2，-61 236，295 245x-2.
隨堂演練
1.B　［展開式的項數比二項式的指數大1，故選B.］
2.A　［由題設，(x-y)6的展開式的通項為
Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3項為T3=x4y2.］
3.20
解析　因為的展開式的通項為
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，所以常數項為30=20.
4.x4
解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=［(x+1)-1］4=x4.

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