資源簡介

(共64張PPT)
第六章
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第2課時
排列、組合的綜合應用
1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.
2.理解排列、組合中的多面手問題、分組分配等問題.
學習目標
一、有限制條件的排列、組合問題
二、多面手問題
課時對點練
三、分組、分配問題
隨堂演練
內容索引
一
有限制條件的排列、組合問題
　已知8件不同的產品中有3件次品，現對它們一一進行測試，直至找到所有次品.
(1)若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
例 1
若在第5次檢測出最后一件次品，則前4次中有2件次品2件正品，第5次為次品.
則不同的測試方法共有=720(種).
(2)若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？
檢測3次可測出3件次品，不同的測試方法有=6(種)；
檢測4次可測出3件次品，不同的測試方法有=90(種)；
檢測5次測出3件次品，分為兩類：一類是恰好第5次測到最后一件次品，一類是前5次測到的都是正品，不同的測試方法共有+=840(種).
所以共有6+90+840=936(種)測試方法.
(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數.
(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.
反
思
感
悟
有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類
　(1)某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數為
A.12 B.30 C.34 D.60
跟蹤訓練 1
√
分兩種情況：①高一年級選1人，高二年級選2人，共有=18(種)選法；②高一年級選2人，高二年級選1人，共有=12(種)選法，共有18+12=30(種)選法.
(2)由0，1，2，3，4，5這六個數字組成的無重復數字的五位數，其中含有2，3的五位數的個數為
A.120 B.240 C.408 D.960
若五位數中含有0，則共有個數；若五位數中不含0，則共有個數，
則共有+=408(個)五位數.
√
二
多面手問題
　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區支教，有多少種不同的選法？
例 2
由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.
方法一　分兩類.
第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2+1=3(種)選法.此時共有6×3=18(種)選法.
第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則教日語的有2種選法，此時有1×2=2(種)選法.
所以由分類加法計數原理知，共有18+2=20(種)不同的選法.
方法二　設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語.
第一類：甲入選.
(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×2=2(種)選法；
(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×6=6(種)選法.
故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).
第二類：甲不入選，可分兩步：
第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法.由分步乘法計數原理知，有6×2=12(種)不同的選法.
綜上，共有8+12=20(種)不同的選法.
解決多面手問題時，依據多面手參加的人數和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理.
反
思
感
悟
　某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？
跟蹤訓練 2
分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，
此時選法有=75(種)；
第二類，選出的4名鉗工中有1名“多面手”，
此時選法為=100(種)；
第三類，選出的4名鉗工中有2名“多面手”，
此時選法為=10(種).
由分類加法計數原理得，共有75+100+10=185(種)不同的選法.
三
分組、分配問題
　 6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1)每組2本(平均分組)；
例 3
每組2本，均分為3組的分組種數為==15.
角度1　不同元素分組、分配問題
(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；
一組1本，一組2本，一組3本的分組種數為=20×3=60.
(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).
一組4本，另外兩組各1本的分組種數為==15.
反
思
感
悟
(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.
(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.
“分組”與“分配”問題的解法
　將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數.
(1)每個盒子都不空；
例 4
先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有=10(種)放法.
角度2　相同元素分配問題
(2)恰有一個空盒子.
恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，由分步乘法計數原理得，共有·=40(種)放法.
反
思
感
悟
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此方法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有種方法.可描述為(n-1)個空中插入(m-1)塊隔板.
相同元素分配問題的處理策略
　(1)某社區服務站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個不同的社區宣傳腎臟日的主題：“盡快行動，盡快預防”，則不同的分配方案有　　　種.(用數字作答)
跟蹤訓練 3
90
·=90(種).
(2)將12枝相同的鮮花放入編號為1，2，3，4的花瓶中，要求每個花瓶中的鮮花的數量不小于其編號數，則不同的放法種數為　　　.
10
先給每個花瓶放入數量與其編號數相同的鮮花，則還剩2枝鮮花.這2枝鮮花可以放在1個或2個花瓶中，
所以不同的放法共有+=10(種).
1.知識清單：
(1)有限制條件的排列、組合問題.
(2)多面手問題.
(3)分組、分配問題.
2.方法歸納：分類討論、插空法、隔板法、均分法.
3.常見誤區：分類不當；平均分組理解不到位.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數是
A.30 B.60 C.120 D.240
√
先將4個熟悉道路的人平均分成兩組，有種，再將余下的6人平均分成兩組，有
=60(種).
2.空間中有10個點，無三點共線，其中有5個點在同一個平面內，其余點無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為
A.205 B.110 C.204 D.200
1
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3
4
√
方法一　可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則可構成四面體的個數為+++=205.
方法二　從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為-=205.
3.某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現有3人在一層乘坐電梯上樓，其中恰有2人乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有　　種.(用數字作答)
1
2
3
4
由題意得，不同的乘坐方式有=36(種).
36
4.某校從8名教師中選派4名去某個偏遠地區支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有　　　種.(用數字作答)
1
2
3
4
方法一　由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：
第一類，甲去乙不去，有種選派方案；
第二類，乙去甲不去，有種選派方案；
第三類，甲、乙都不去，有種選派方案.
故共有++=55(種)不同的選派方案.
方法二　從8名教師中任意選派4名的方法數中去掉甲、乙都去的方法數，得到不同的選派方案共有-=55(種).
55
課時對點練
五
1.甲、乙兩人計劃從A，B，C三個景點中各選擇兩個游玩，則兩人所選景點不全相同的選法共有
A.3種 B.6種 C.9種 D.12種
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基礎鞏固
√
本題用排除法，甲、乙兩人從A，B，C三個景點中各選兩個游玩，共有·=9(種)，但兩人所選景點不能完全相同，所以排除3種完全相同的選擇，故共有6種選法.
2.假如某大學給我市某三所重點中學7個自主招生的推薦名額，則每所中學至少分到一個名額的方法數為
A.30 B.21 C.10 D.15
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√
用“隔板法”.在7個名額中間的6個空位上選2個位置加2個隔板，有=15(種)分配方法.
3.若將9名會員分成三組討論問題，每組3人，則不同的分組方法種數有
A. B.C. D.
√
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此題為平均分組問題，有種分法.
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4.已知直線a，直線b，且a∥b，a上有5個點，b上有4個點，則以這九個點為頂點的三角形的個數為
A.+ B.(+)(+)
C.-9 D.-
√
可以分為兩類：a上取兩點，b上取一點，則可構成三角形的個數為；a上取一點，b上取兩點，則可構成三角形的個數為
+.
5.從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為
A.300 B.216 C.180 D.162
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依題意知，可以分兩類：
第一類，不取0，從1，2，3，4，5中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為=72；
第二類，取數字0，取2和4中的一個數字，再取2個奇數，組成無重復數字的四位數有
=108(個).
由分類加法計數原理，得組成沒有重復數字的四位數共有72+108=
180(個).
6.如圖是由6個正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個頂點中任取3個頂點作為一組.其中可以構成三角形的組數為
A.208 B.204 C.200 D.196
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√
任取的3個頂點不能構成三角形的情形有3種：一是3條橫線上的4個點，其組數為3；二是4條豎線上的3個點，其組數為4；三是4條對角線上的3個點，其組數為4-3-8=200.
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7.某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方法共有　　　種.(用數字作答)
甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有種方法.乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有種方法.丙傳第一棒，共有·種方法.由分類加法計數原理得，共有++·=96(種)方法.
96
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8.某地區安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區開展消防安全宣傳活動，每個地區至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區，C，D兩人不安排在同一個地區，則不同的分配方法共有　　　種.
30
①將5人分為3組，要求A，B兩人在同一組而C，D不在同一組，有+(-1)=5(種)分組方法；
②將分好的3組全排列，安排到三個地區，
有=6(種)安排方法；
由分步乘法計數原理，則有5×6=30(種)不同的分配方法.
9.高二年級某班要準備一個節目在學校藝術節里表演，報名參加的同學中有5人只會唱歌，2人只會跳舞，另外還有1人既會唱歌又會跳舞，現在節目需要2人唱歌，2人跳舞，不同的選人方案共有多少種？
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不同的選人方案可分為3類，
既會唱歌又會跳舞的人不選有=10(種)，
既會唱歌又會跳舞的人選去唱歌有=5(種)，
既會唱歌又會跳舞的人選去跳舞有=20(種)，
由分類加法計數原理得10+5+20=35，
所以不同的選人方案共有35種.
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10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學，求：
(1)5名同學站成一排，有多少種不同的方法？
有=120(種)不同的方法.
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(2)5名同學站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法？
5名同學站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，則先將甲、乙捆綁，看成一個整體，有種方法；
再將甲、乙看成整體(不考慮甲乙內部排列)，與戊排列，有種方法；
最后利用插空法，將丙、丁插入3個空隙中，有種方法.
故有=24(種)不同的方法.
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(3)將5名同學分配到三個班，每班至少1人，共有多少種不同的分配方法？
按人數分配方式分類：
①3，1，1，有=60(種)方法；
②2，2，1，有=90(種)方法.
故共有60+90=150(種)分配方法.
11.中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內做實驗，則不同的安排方案共有
A.8種 B.14種 C.20種 D.116種
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綜合運用
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按照甲是否在天和核心艙劃分，
①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲、乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個艙位，則有·=6(種)安排方案；
②若甲不在天和核心艙，需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個，剩下四人中選取三人進入天和核心艙即可，則有·=8(種)安排方案，
根據分類加法計數原理，共有6+8=14(種)安排方案.
12.甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學參加A，B，C三個企業的調研工作，每個企業去2人，且甲去B企業，乙不去C企業，則不同的派遣方案共有
A.42種 B.30種 C.24種 D.18種
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若甲、乙去同一企業，則甲、乙只能去B企業，剩下的4人平均分去兩個企業，共有×=6(種)派遣方案；
若甲、乙不去同一企業，分兩步，第一步：先給甲、乙兩人選同伴，有種，
第二步：將這三組分去三個企業，因為甲去B企業，乙不去C企業，所以共有1種分法，由分步乘法計數原理可得共有×1=12(種)派遣方案，
所以不同的派遣方案共有6+12=18(種).
13.有16個相同的玩具球全部發給6名同學，每名同學至少發兩個，則不同的發放方法有　　　種.
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每位同學先發1個，剩下的10個玩具球有9個間隙，插入5塊板子分成6份，所以不同的發放方法有=126(種).
126
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14.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12，則不定方程正整數解的組數為　　　.
165
問題相當于將12個完全相同的小球放入4個不同的盒子，且每個盒子中至少放入1個小球，使用“隔板法”得不定方程正整數解的組數為
=165.
15.(多選)某醫院派出甲、乙、丙、丁4名醫生到A，B，C三家企業開展“面對面”義診活動，每名醫生只能到一家企業工作，每家企業至少派1名醫生，則下列結論正確的是
A.所有不同分派方案共43種
B.所有不同分派方案共36種
C.若甲必須到A企業，則所有不同分派方案共12種
D.若甲、乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共30種
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拓廣探究
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由題意，所有不同分派方案共·=36(種)，故A錯誤，B正確；
對于C，甲必須到A企業，
若A企業有兩人，則將其余三人安排到三家企業，每家企業一人，
則不同分派方案有=6(種)，
若A企業只有一人，則不同分派方案有=6(種)，
所以所有不同分派方案共6+6=12(種)，故C正確；
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對于D，若甲、乙安排到同一家企業，
則將剩下的兩人安排到另外兩家企業，每家企業一人，
則有=6(種)不同的分派方法，
所以若甲、乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共36-6=30(種)，故D正確.
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16.設有99本不同的書(用排列數、組合數作答).
(1)分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？
甲得96本，有方法種；乙得2本，有方法種；丙得1本，有方法種.不同的分法共有種.
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(2)分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？
與(1)類似，不同的分法共有種.
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(3)平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？
不同的分法共有種.
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(4)分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？
先把99本不同的書分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再將甲、乙、丙3人全排列，這是因為3人中誰都有得到96本、2本、1本的可能.不同的分法共有(種.
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(5)分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？
99本不同的書，分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，3人中，誰都有得到93本的可能.不同的分法共有種.
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(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？
99本不同的書，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的數量互不相同.不同的分法共有種.
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(7)平均分成3份，共有多少種不同的分法？
99本不同的書，平均分成3份，每份33本.本問題是典型的平均分組問題，要排除重復.不同的分法共有種.
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(8)分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？
99本不同的書，分成3份，一份93本，另兩份各3本，兩份3本的有重復，不同的分法共有種.6.2.3　組　合
6.2.4　組合數
第2課時　排列、組合的綜合應用
［學習目標］　1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.2.理解排列、組合中的多面手問題、分組分配等問題.
一、有限制條件的排列、組合問題
例1　已知8件不同的產品中有3件次品，現對它們一一進行測試，直至找到所有次品.
(1)若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
(2)若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？
反思感悟　有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類
(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數.
(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.
跟蹤訓練1　(1)某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數為 (　　)
A.12 B.30 C.34 D.60
(2)由0，1，2，3，4，5這六個數字組成的無重復數字的五位數，其中含有2，3的五位數的個數為 (　　)
A.120 B.240 C.408 D.960
二、多面手問題
例2　某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區支教，有多少種不同的選法？
反思感悟　解決多面手問題時，依據多面手參加的人數和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理.
跟蹤訓練2　某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當車工又能當鉗工，現在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？
三、分組、分配問題
角度1　不同元素分組、分配問題
例3　6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？
(1)每組2本(平均分組)；
(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；
(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組).
反思感悟　“分組”與“分配”問題的解法
(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：
①完全均勻分組，每組的元素個數均相等，均勻分成n組，最后必須除以n！；
②部分均勻分組，應注意不要重復，有n組均勻，最后必須除以n！；
③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.
(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.
角度2　相同元素分配問題
例4　將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數.
(1)每個盒子都不空；
(2)恰有一個空盒子.
反思感悟　相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此方法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有種方法.可描述為(n-1)個空中插入(m-1)塊隔板.
跟蹤訓練3　(1)某社區服務站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個不同的社區宣傳腎臟日的主題：“盡快行動，盡快預防”，則不同的分配方案有　　　　種.(用數字作答)
(2)將12枝相同的鮮花放入編號為1，2，3，4的花瓶中，要求每個花瓶中的鮮花的數量不小于其編號數，則不同的放法種數為　　　.
1.知識清單：
(1)有限制條件的排列、組合問題.
(2)多面手問題.
(3)分組、分配問題.
2.方法歸納：分類討論、插空法、隔板法、均分法.
3.常見誤區：分類不當；平均分組理解不到位.
1.登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數是 (　　)
A.30 B.60 C.120 D.240
2.空間中有10個點，無三點共線，其中有5個點在同一個平面內，其余點無四點共面，則以這些點為頂點，共可構成四面體的個數為 (　　)
A.205 B.110 C.204 D.200
3.某大廈一層有A，B，C，D四部電梯，現有3人在一層乘坐電梯上樓，其中恰有2人乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有　　　　種.(用數字作答)
4.某校從8名教師中選派4名去某個偏遠地區支教，其中甲和乙不能都去，則不同的選派方案共有　　　　種.(用數字作答)
答案精析
例1　解　(1)若在第5次檢測出最后一件次品，則前4次中有2件次品2件正品，第5次為次品.
則不同的測試方法共有=720(種).
(2)檢測3次可測出3件次品，不同的測試方法有=6(種)；
檢測4次可測出3件次品，不同的測試方法有=90(種)；
檢測5次測出3件次品，分為兩類：一類是恰好第5次測到最后一件次品，一類是前5次測到的都是正品，不同的測試方法共有+=840(種).
所以共有6+90+840=936(種)測試方法.
跟蹤訓練1　(1)B　［分兩種情況：①高一年級選1人，高二年級選2人，共有=18(種)選法；②高一年級選2人，高二年級選1人，共有=12(種)選法，共有18+12=30(種)選法.］
(2)C　［若五位數中含有0，則共有個數；若五位數中不含0，則共有個數，
則共有+=408(個)五位數.］
例2　解　由題意知，有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.
方法一　分兩類.
第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2+1=3(種)選法.此時共有6×3=18(種)選法.
第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則教日語的有2種選法，此時有1×2=2(種)選法.
所以由分類加法計數原理知，共有18+2=20(種)不同的選法.
方法二　設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語.
第一類：甲入選.
(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×2=2(種)選法；
(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數原理知，有1×6=6(種)選法.
故甲入選的不同選法共有2+6=8(種).
第二類：甲不入選，可分兩步：
第一步，從只會英語的6人中選1人，有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人，有2種選法.由分步乘法計數原理知，有6×2=12(種)不同的選法.
綜上，共有8+12=20(種)不同的選法.
跟蹤訓練2　解　分三類：第一類，選出的4名鉗工中無“多面手”，
此時選法有=75(種)；
第二類，選出的4名鉗工中有1名“多面手”，
此時選法為=100(種)；
第三類，選出的4名鉗工中有2名“多面手”，
此時選法為=10(種).
由分類加法計數原理得，共有75+100+10=185(種)不同的選法.
例3　解　(1)每組2本，均分為3組的分組種數為==15.
(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數為=20×3=60.
(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數為==15.
例4　解　(1)先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有=10(種)放法.
(2)恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，由分步乘法計數原理得，共有·=40(種)放法.
跟蹤訓練3　(1)90
解析　·=90(種).
(2)10
解析　先給每個花瓶放入數量與其編號數相同的鮮花，則還剩2枝鮮花.這2枝鮮花可以放在1個或2個花瓶中，
所以不同的放法共有+=10(種).
隨堂演練
1.B　［先將4個熟悉道路的人平均分成兩組，有種，再將余下的6人平均分成兩組，有種，然后這四個組自由搭配還有種，故最終分配方法有=60(種).］
2.A　［方法一　可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類，則可構成四面體的個數為+++=205.
方法二　從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的個數為-=205.］
3.36
解析　由題意得，不同的乘坐方式有=36(種).
4.55
解析　方法一　由于“甲和乙不能都去”，故要分三類完成：
第一類，甲去乙不去，有種選派方案；
第二類，乙去甲不去，有種選派方案；
第三類，甲、乙都不去，有種選派方案.
故共有++=55(種)不同的選派方案.
方法二　從8名教師中任意選派4名的方法數中去掉甲、乙都去的方法數，得到不同的選派方案共有-=55(種).

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