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(共65張PPT)
第六章
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第1課時(shí)
組合與組合數(shù)
1.理解組合的定義，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.
2.掌握組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)用組合知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
小明五一到某地旅游，要從A，B，C，D4處景點(diǎn)中選擇2處，上午選1處，下午選1處，有多少種不同的旅游方案？如果僅從A，B，C，D4處景點(diǎn)中選擇2處，又有多少種不同的旅游方案呢？
導(dǎo) 語(yǔ)
一、組合概念的理解
二、利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值與證明
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
組合概念的理解
從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？這一問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？
問(wèn)題1
提示　從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，不同的選法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3種；由于只需將選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮順序，不是排列問(wèn)題.
組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
作為一組
(1)排列與組合的共同點(diǎn)：都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)；
不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無(wú)關(guān).
(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.
注 意 點(diǎn)
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　 (1)(多選)下列四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是
A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列
B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌
C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀(guān)眾中選出2名幸運(yùn)之星
D.將3本相同的書(shū)分給10人中的3人，每人1本
例 1
A，B與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題，而C，D與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.
√
√
(2)從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)作為對(duì)數(shù)式logab的底數(shù)與真數(shù)，試寫(xiě)出得到的所有對(duì)數(shù)；若從四個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)相乘，試寫(xiě)出所有的乘積.
得到的對(duì)數(shù)有l(wèi)og23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12個(gè)，
所有的乘積有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6個(gè).
判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題.
反
思
感
悟
　(1)下列各事件中，屬于組合問(wèn)題的是
A.從3名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)
B.從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車(chē)上
C.某同學(xué)從4門(mén)課程中選修2門(mén)
D.從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員
跟蹤訓(xùn)練 1
√
從3名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車(chē)上與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；某同學(xué)從4門(mén)課程中選修2門(mén)，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.
(2)寫(xiě)出從a，b，c，d，e五個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有組合；
從a，b，c，d，e五個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有組合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
二
利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值與證明
提示　從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).
類(lèi)比排列數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出組合數(shù)的概念.
問(wèn)題2
提示　“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)”可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：
第1步，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為一組，設(shè)共有x種不同的取法；
第2步，將取出的m個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.
我們前面學(xué)習(xí)了排列和組合的關(guān)系，請(qǐng)利用這種關(guān)系，用排列數(shù)表示組合數(shù).
問(wèn)題3
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有=x·，即x=.
(1)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的___________________，
叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)_____表示.
(2)組合數(shù)公式：
==____________________或=(n，m∈N*，且m≤n).
(3)規(guī)定：=1.
(4)性質(zhì)1：=_________，
性質(zhì)2：=+.
所有不同組合的個(gè)數(shù)
(1)m≤n，m，n∈N*；
(2)==常用于計(jì)算；
=常用于證明.
(3)性質(zhì)1(互補(bǔ)性質(zhì))多用于當(dāng)m≥時(shí)的化簡(jiǎn)求值；性質(zhì)2(組合恒等式)的特征為：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與原組合數(shù)上標(biāo)較大的相同的一個(gè)組合數(shù)，多用于恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算.
注 意 點(diǎn)
<<<
　(1)+等于
A.25 B.30 C.35 D.40
例 2
√
+=+=10+20=30.
(2)若=，則+++…+的值為
A.45 B.55 C.120 D.165
√
因?yàn)?，則m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=
+++…+=++…+=++…+=…=+==165.
(1)在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，必須注意隱含條件n≥m.求出方程或不等式的解后，要進(jìn)行檢驗(yàn).
(2)合理選用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)=，=-能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，需熟練掌握.
反
思
感
悟
　(1)(多選)下列等式正確的是
A.若=，則n=8
B.=+
C.++=7
D.7-4=0
跟蹤訓(xùn)練 2
√
√
√
對(duì)于A，由=，得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，解得n=2或n=8(舍去)，A不正確；
對(duì)于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知B正確；
對(duì)于C，++=1+3+3=7，C正確；
對(duì)于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正確.
(2)計(jì)算：++++++=　　　.
++++++=++++++-5=-5
=-5=-5=490.
490
三
組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
　從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.
(1)如果4人中男生、女生各選2人，那么有多少種選法？
例 3
4人中男生和女生各選2人，共有×=10×6=60(種)選法.
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有多少種選法？
除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，則男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)共有=21(種)選法.
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法？
方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，包含兩種情況，第一種情況：甲和乙都在內(nèi)，有=21(種)選法，第二種情況：甲、乙只有1人在內(nèi)，有=70(種)選法，則男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)共有21+70=91(種)選法.
方法二　(間接法)男生中的甲和女生中的乙都不在內(nèi)，共有=35(種)選法，則可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內(nèi)共有-=126-35=91(種)選法.
(4)如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？
方法一　(直接法)如果4人中必須既有男生又有女生，可以按含有女生的人數(shù)分成三類(lèi)：1男3女；2男2女；3男1女.則4人中必須既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(種)選法.
方法二　(間接法)如果4人中必須既有男生又有女生，先從所有9人中選4人，再去掉只有男生和只有女生的情況，故共有--=120(種)選法.
反
思
感
悟
解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題.與兩個(gè)基本原理的應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題，在分類(lèi)與分步時(shí)，一定要注意有無(wú)重復(fù)和遺漏.
一個(gè)口袋內(nèi)裝有7個(gè)白球和1個(gè)黑球.
(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？
跟蹤訓(xùn)練 3
從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，
取法種數(shù)是==56.
(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？
從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是==21.
(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？
由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是==35.
1.知識(shí)清單：
(1)組合與組合數(shù)的定義.
(2)組合數(shù)的計(jì)算與證明.
(3)組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2.方法歸納：公式法、間接法.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有
A.種 B.種
C.種 D.30種
√
三張票沒(méi)區(qū)別，從10人中選3人即可，即.
2.若=36，則n的值為
A.7 B.8 C.9 D.10
1
2
3
4
√
∵=36，∴=36，
即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0.
∵n∈N*，∴n=9.
3.學(xué)生可從本年級(jí)開(kāi)設(shè)的6門(mén)選修課中任意選擇3門(mén)，并從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，則不同的選法有
A.200種 B.400種 C.100種 D.300種
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√
從6門(mén)選修課中任意選擇3門(mén)有種方法，從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種有=20×10=200(種)，所以不同的選法有200種.
4.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的選法種數(shù)為
A.28 B.49 C.56 D.85
1
2
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4
依題意，滿(mǎn)足條件的選法種數(shù)為+=49.
√
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
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基礎(chǔ)鞏固
1.下列問(wèn)題中不是組合問(wèn)題的是
A.10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，一共握手多少?br/>B.平面上有2 024個(gè)點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成
多少條直線(xiàn)
C.集合｛a1，a2，a3，…，an｝的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)
D.從高二(6)班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)
舞節(jié)目，有多少種選法
√
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選項(xiàng)A，B，C與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；
選項(xiàng)D與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.
2.(多選)方程=的解為
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=9
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√
由題意，得x=3x-8或x+3x-8=28，且x滿(mǎn)足不等式組解得x=4或x=9.
√
3.(多選)在10件產(chǎn)品中，有2件次品，若從中任取3件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有
A.“其中恰有2件次品”的取法有8種
B.“其中恰有1件次品”的取法有28種
C.“其中沒(méi)有次品”的取法有56種
D.“其中至少有1件次品”的取法有56種
√
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抽到的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的取法有=8(種)，A正確；
抽到的3件產(chǎn)品中恰好有1件次品的取法有=56(種)，B錯(cuò)誤；
抽到的3件產(chǎn)品中沒(méi)有次品的取法有=56(種)，C正確；
抽到的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的取法有+=64(種)，D錯(cuò)誤.
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4.如圖，在正三角形的12個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，能構(gòu)成三角形的數(shù)量為
A.220 B.200 C.190 D.170
√
任取三個(gè)點(diǎn)有種，其中三點(diǎn)共線(xiàn)的有3
-3=190.
5.若>，則n的取值集合是
A.｛6，7，8，9｝ B.｛6，7，8｝
C.｛n∈N*|n≥6｝ D.｛7，8，9｝
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∵>，
∴
即解得6≤n<10.
∵n∈N*，∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合為.
6.某中學(xué)從4名男生和3名女生中選4人參加某高校自主招生考試，若這4人
中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
A.140種 B.120種 C.35種 D.34種
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√
從7人中選4人，共有=35(種)選法，4人全是男生的選法有=1(種).故4人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為35-1=34.
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7.10個(gè)人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為　　　.(用數(shù)字作答)
從10人中任選出4人作為甲組，
則剩下的人即為乙組，這是組合問(wèn)題，
共有=210(種)分法.
210
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8.計(jì)算：+++=　　　.
128
+++=2(+)=2×=2×(8+56)=128.
9.(1)求值：+；
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由+可得
解得n=10，
則+=+=+=466.
(2)若+++…+=55，求正整數(shù)n.
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+++…+
=++++…+-1
=+++…+-1
=++…+-1=-1=55，
故=56=，解得n=7.
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10.某旅行團(tuán)要從8個(gè)景點(diǎn)中選2個(gè)作為當(dāng)天的旅游地，滿(mǎn)足下列條件的選法各有多少種？
(1)甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)必須選一個(gè)且只能選一個(gè)；
甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)必須選1個(gè)且只能選1個(gè)，有=12(種)選法.
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(2)甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)至多選一個(gè)；
若甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)都不去有=15(種)選法，甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)只去一個(gè)有=12(種)選法.
則甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)至多選1個(gè)有15+12=27(種)選法.
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(3)甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)至少選一個(gè).
甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)都不去有種選法，
則甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)至少選1個(gè)的選法有-=28-15=13(種).
11.新課程改革后，某地區(qū)普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門(mén)學(xué)科中選三門(mén)參加考試，某考生計(jì)劃從物理、歷史兩科中至少選一門(mén)，那么該考生選科的種類(lèi)有
A.14種 B.15種 C.16種 D.17種
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綜合運(yùn)用
物理、歷史兩科中選一門(mén)有=12(種)選法；
物理和歷史都選有=4(種)選法，
所以物理、歷史兩科中至少選一門(mén)，該考生選科的種類(lèi)有12+4=16(種).
12.甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分別值班2天，若甲不在周一值班，則不同的排班方案有
A.15種 B.30種 C.45種 D.60種
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√
甲從周二至周六5天中選2天值班，有種選法；乙可從剩下的4天中任選2天值班，有種選法；丙選剩下的2天即可，有=60(種).
13.從5名男生和2名女生中選出3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有　　　種.
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從5名男生和2名女生中，選出3名代表的方法總數(shù)為=35，從5名男生和2名女生中，選出3名代表全是男生的方法數(shù)為=10，所以從5名男生和2名女生中選出至少包含1名女生的方法數(shù)為35-10=25.
25
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14.4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去1名，則不同的保送方案有　　　種.
36
把4名學(xué)生分成3組有種方法，再把3組學(xué)生分配到3所學(xué)校有=36(種)保送方案.
15.某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)(圖中黑線(xiàn)表示道路)，則從西南角A地到東北角B地的最短路線(xiàn)共有　　　條.
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拓廣探究
126
要使路線(xiàn)最短，只能向東或向北走，途中不能向西或向南走.因此，從A地到B地歸結(jié)為走完5條橫線(xiàn)段和4條縱線(xiàn)段.設(shè)每走一段橫線(xiàn)段或縱線(xiàn)段為一個(gè)行走時(shí)段，從9個(gè)行走時(shí)段中任取4個(gè)時(shí)段走縱線(xiàn)段，其余5個(gè)時(shí)段走橫線(xiàn)段，共有=126(種)走法，故從A地到B地的最短路線(xiàn)共有126條.
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16.如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，C3，C4，C5，C6，直徑AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.
(1)以這10個(gè)點(diǎn)(不包括A，B)中的3個(gè)點(diǎn)為
頂點(diǎn)作三角形可作出多少個(gè)？其中含點(diǎn)C1
的有多少個(gè)？
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可分三種情況處理：
①在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)構(gòu)成
一個(gè)三角形，有個(gè)；
②在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，D1，D2，D3，D4這四個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，有個(gè)；
③在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，D1，D2，D3，D4這四個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，有個(gè).
所以共有++=116(個(gè)).
其中含點(diǎn)C1的三角形有=36(個(gè)).
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(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？
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構(gòu)成一個(gè)四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，
因此可分三種情況處理：
①在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取四點(diǎn)構(gòu)成
一個(gè)四邊形，有個(gè)；
②在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn)，D1，D2，D3，D4，A，B這六個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，有個(gè)；
③在C1，C2，…，C6這六個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，D1，D2，D3，D4，A，B這六個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，有個(gè).
所以共有++=360(個(gè)).6.2.3　組　合
6.2.4　組合數(shù)
第1課時(shí)　組合與組合數(shù)
［學(xué)習(xí)目標(biāo)］　1.理解組合的定義，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.掌握組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)用組合知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題.
一、組合概念的理解
問(wèn)題1　從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？這一問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？
知識(shí)梳理
組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素　　　　　　　　，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.
例1　(1)(多選)下列四個(gè)問(wèn)題中，屬于組合問(wèn)題的是 (　　)
A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列
B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌
C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀(guān)眾中選出2名幸運(yùn)之星
D.將3本相同的書(shū)分給10人中的3人，每人1本
(2)從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)作為對(duì)數(shù)式logab的底數(shù)與真數(shù)，試寫(xiě)出得到的所有對(duì)數(shù)；若從四個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)相乘，試寫(xiě)出所有的乘積.
反思感悟　判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列各事件中，屬于組合問(wèn)題的是 (　　)
A.從3名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)
B.從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車(chē)上
C.某同學(xué)從4門(mén)課程中選修2門(mén)
D.從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員
(2)寫(xiě)出從a，b，c，d，e五個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有組合；
二、利用組合數(shù)公式化簡(jiǎn)、求值與證明
問(wèn)題2　類(lèi)比排列數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出組合數(shù)的概念.
問(wèn)題3　我們前面學(xué)習(xí)了排列和組合的關(guān)系，請(qǐng)利用這種關(guān)系，用排列數(shù)表示組合數(shù).
知識(shí)梳理
(1)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的　　　　　　　　　　　　　，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)　　　　　　表示.
(2)組合數(shù)公式：
==　　　　　　　　或=　　　　　　　　(n，m∈N*，且m≤n).
(3)規(guī)定：=1.
(4)性質(zhì)1：=　　　　　　　　　　，
性質(zhì)2：=+.
例2　(1)+等于 (　　)
A.25 B.30 C.35 D.40
(2)若=，則+++…+的值為 (　　)
A.45 B.55 C.120 D.165
反思感悟　(1)在解有關(guān)組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，必須注意隱含條件n≥m.求出方程或不等式的解后，要進(jìn)行檢驗(yàn).
(2)合理選用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)=，=-能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，需熟練掌握.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)下列等式正確的是 (　　)
A.若=，則n=8
B.=+
C.++=7
D.7-4=0
(2)計(jì)算：++++++=　　　　.
三、組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例3　從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.
(1)如果4人中男生、女生各選2人，那么有多少種選法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有多少種選法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有多少種選法？
(4)如果4人中必須既有男生又有女生，那么有多少種選法？
反思感悟　解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題.與兩個(gè)基本原理的應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題，在分類(lèi)與分步時(shí)，一定要注意有無(wú)重復(fù)和遺漏.
跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)口袋內(nèi)裝有7個(gè)白球和1個(gè)黑球.
(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？
(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？
(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？
1.知識(shí)清單：
(1)組合與組合數(shù)的定義.
(2)組合數(shù)的計(jì)算與證明.
(3)組合數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2.方法歸納：公式法、間接法.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”.
1.把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有 (　　)
A.種 B.種
C.種 D.30種
2.若=36，則n的值為 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
3.學(xué)生可從本年級(jí)開(kāi)設(shè)的6門(mén)選修課中任意選擇3門(mén)，并從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種，則不同的選法有 (　　)
A.200種 B.400種 C.100種 D.300種
4.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的選法種數(shù)為 (　　)
A.28 B.49 C.56 D.85
答案精析
問(wèn)題1　從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，不同的選法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3種；由于只需將選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮順序，不是排列問(wèn)題.
知識(shí)梳理
作為一組
例1　(1)CD　［A，B與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題，而C，D與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題.］
(2)解　得到的對(duì)數(shù)有l(wèi)og23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12個(gè)，
所有的乘積有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6個(gè).
跟蹤訓(xùn)練1　(1)C?。蹚?名教師中，選出2名分別去北京、上海學(xué)習(xí)與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；從10名司機(jī)中選出4名，分配到4輛汽車(chē)上與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題；某同學(xué)從4門(mén)課程中選修2門(mén)，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題；從13位同學(xué)中任選出兩位擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、體育委員與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題.］
(2)解　從a，b，c，d，e五個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有組合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
問(wèn)題2　從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).
問(wèn)題3　“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)”可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：
第1步，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為一組，設(shè)共有x種不同的取法；
第2步，將取出的m個(gè)元素作全排列，共有種不同的排法.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有=x·，即x=.
知識(shí)梳理
(1)所有不同組合的個(gè)數(shù)　　
(2)　　(4)
例2　(1)B　［+=+=10+20=30.］
(2)D　［因?yàn)?，
則m+m+2=22，解得m=10，
故+++…+
=+++…+=++…+
=++…+=…=+==165.］
跟蹤訓(xùn)練2　(1)BCD?。蹖?duì)于A，由=，
得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，
解得n=2或n=8(舍去)，A不正確；
對(duì)于B，由組合數(shù)的性質(zhì)知B正確；
對(duì)于C，++=1+3+3=7，C正確；
對(duì)于D，7-4=7×-4×
=140-140=0，D正確.］
(2)490
解析　++++++=++++++-5=-5
=-5=-5=490.
例3　解　(1)4人中男生和女生各選2人，共有×=10×6=60(種)選法.
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，則男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)共有=21(種)選法.
(3)方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，包含兩種情況，第一種情況：甲和乙都在內(nèi)，有=21(種)選法，第二種情況：甲、乙只有1人在內(nèi)，有=70(種)選法，則男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)共有21+70=91(種)選法.
方法二　(間接法)男生中的甲和女生中的乙都不在內(nèi)，共有=35(種)選法，則可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在內(nèi)共有-=126-35=91(種)選法.
(4)方法一　(直接法)如果4人中必須既有男生又有女生，可以按含有女生的人數(shù)分成三類(lèi)：1男3女；2男2女；3男1女.則4人中必須既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(種)選法.
方法二　(間接法)如果4人中必須既有男生又有女生，先從所有9人中選4人，再去掉只有男生和只有女生的情況，故共有--=120(種)選法.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，
取法種數(shù)是==56.
(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是==21.
(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是==35.
隨堂演練
1.B?。廴龔埰睕](méi)區(qū)別，從10人中選3人即可，即.］
2.C?。邸?36，∴=36，
即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0.
∵n∈N*，∴n=9.］
3.A?。蹚?門(mén)選修課中任意選擇3門(mén)有種方法，從5種課外活動(dòng)小組中選擇2種有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得=20×10=200(種)，所以不同的選法有200種.］
4.B?。垡李}意，滿(mǎn)足條件的選法種數(shù)為+=49.］

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