資源簡介

(共69張PPT)
第六章
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第2課時
排列的綜合問題
1.掌握幾種有限制條件的排列.
2.能應用排列數公式解決簡單的實際問題.
學習目標
一、特殊元素或特殊位置問題
二、“相鄰”與“不相鄰”問題
課時對點練
三、定序問題
隨堂演練
內容索引
一
特殊元素或特殊位置問題
　從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.
(1)甲不在首位的排法有多少種？
例 1
方法一　把元素作為研究對象.
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名排在5個位置上，有種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個排甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在另外4個位置上，有種排法.根據分步乘法計數原理，有4×種排法.
由分類加法計數原理知，共有+4×=2 160(種)排法.
方法二　把位置作為研究對象.
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有種排法；
第二步，從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有種排法.
由分步乘法計數原理知，共有=2 160(種)排法.
方法三　(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉.
不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有種，
所以符合要求的排法有-=2 160(種).
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
把位置作為研究對象.
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有種排法.
根據分步乘法計數原理，共有=1 800(種)排法.
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
把位置作為研究對象.
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有種排法.
根據分步乘法計數原理，共有=1 200(種)排法.
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
間接法.
總的可能情況有
-2+=1 860(種)排法.
解決排列問題，常用的思考方法有直接法和間接法.把特殊元素或特殊位置作為研究對象，需優先考慮.
反
思
感
悟
　某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排課程表的方法？
跟蹤訓練 1
6門課總的排法有
種排法.因此符合條件的排法有-2+=504(種).
二
“相鄰”與“不相鄰”問題
3名男生，4名女生共7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
例 2
(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有種排法，女生必須站一起，即把4名女生進行全排列，有
··=288(種)排法.
(2)男生必須站在一起；
(捆綁法)把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，
故有·=720(種)不同的排法.
(3)男生不能站在一起；
(不相鄰問題插空法)先排女生有種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有·=1 440(種)不同的排法.
(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.
先排男生有·=144(種)不同的排法.
反
思
感
悟
處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則.元素相鄰問題一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列.元素不相鄰問題一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.
　(1)小陳準備將新買的《尚書·禮記》《左傳》《孟子》《論語》《詩經》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》《詩經》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有
A.18種 B.24種
C.36種 D.48種
跟蹤訓練 2
√
先將《論語》《詩經》兩本書捆綁看作一個整體，則可以看作共4個位置.
先排《尚書·禮記》，排法種數為；然后剩余3個位置全排列，排法種數為.所以不同的擺放方法有=2×6×2=24(種).
(2)永定土樓位于中國東南沿海的福建省龍巖市，它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧.土樓具體有長方形樓、正方形樓、紗帽樓、吊腳樓、五鳳樓、五角樓、八角樓等多種類型.現有某大學建筑系學生要重點對包含五鳳樓、長方形樓、五角樓共七種類型的土樓依次進行調查研究.要求調查順序中，五鳳樓要排在第一個或最后一個，長方形樓、五角樓相鄰，則不同的排法共有
A.480種 B.240種 C.384種 D.1 440種
√
當五鳳樓排在第一個時，因為長方形樓、五角樓相鄰，所以捆在一起與其他類型全排列，且長方形樓、五角樓內部排列，有=240(種)
不同的排法，
同理當五鳳樓排在最后一個時，有=240(種)不同的排法.
綜上，五鳳樓要排在第一個或最后一個，長方形樓、五角樓相鄰，則共有480種不同的排法.
三
定序問題
將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
例 3
方法一　(整體法)5個元素無約束條件的全排列有種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(種).
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入形成的4個空中，
分兩類：
第一類，若字母D，E相鄰，則有·種排法；
第二類，若字母D，E不相鄰，則有種排法.
所以有·+=20(種)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法.
因此滿足條件的排列有20+20=40(種).
將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B順序已確定，D，E順序也已確定，則有多少種不同的排列方法？
將A，B，C，D，E這五個字母排成一列，共有種不同方法，
將A，B排成一列，共有種不同方法，將D，E排成一列，共有種不同方法，
設滿足條件的方法有x種，則有x=，所以x==30，即有30種不同的排列方法.
延伸探究
反
思
感
悟
在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰).解決這類問題的基本方法有兩個：
(1)整體法，即若有(m+n)個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這(m+n)個元素排成一列，有種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法；
(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中.
某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.
(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
跟蹤訓練 3
5位嘉賓無約束條件的出場順序有種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有=20(種).
(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
設符合條件的出場順序共有x種，
用(1)的方法可得x··=，
解得x==10.
1.知識清單：
(1)有限制條件的排列問題.
(2)“相鄰”與“不相鄰”、“在”與“不在”、定序問題.
2.方法歸納：捆綁法、插空法、定序問題除法處理、間接法.
3.常見誤區：分類討論時，出現重復或遺漏，各種方法使用不當.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.五聲音階(漢族古代音律)是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮、商、角、徵、羽.若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，則可排成不同的音序的種數為
A.12 B.48 C.72 D.120
√
先排其他三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為=72.
2.(多選)若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是
A.共計有720種不同的排法
B.男生甲排在兩端的排法種數為120
C.男生甲、乙相鄰的排法種數為120
D.男、女生相間的排法種數為72
1
2
3
4
√
3男3女排成一排共計有=720(種)不同的排法；男生甲排在兩端的排法種數為2=240；男生甲、乙相鄰的排法種數為=240；男、女生相間的排法種數為2=72.
√
3.有五名學生站成一排拍畢業紀念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有
A.66種 B.60種 C.36種 D.24種
1
2
3
4
√
五名學生進行全排列共有
=60(種).
4.某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來5個節目的出場順序不變，則有　　種不同排法.(用數字作答)
1
2
3
4
①當2個教師節目相鄰時，利用插空法有6=12(種)不同的排法，
②當2個教師節目不相鄰時，有=30(種)不同的排法，
所以共有12+30=42(種)不同的排法.
42
課時對點練
五
1.要為5名游客和2名導游拍照留念，要求排成一排，且2名導游相鄰，不同的排法共有
A.1 440種 B.960種 C.720種 D.240種
1
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基礎鞏固
√
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3
4
5
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16
因為兩名導游要相鄰，因此將兩名導游看作一個整體，內部排列有種排法，
因此根據分步乘法計數原理，
共有=1 440(種)排法.
2.4名運動員參加4×100米接力賽，根據平時隊員訓練的成績，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則不同的出場順序有
A.12種 B.14種 C.16種 D.24種
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√
若不考慮限制條件，4名隊員全排列共有=24(種)排法，減去甲跑第一棒的=6(種)排法，乙跑第4棒的=6(種)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的=2(種)排法，共有-2+=14(種)不同的出場順序.
3.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有2人，現將這4人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，不同的排法共有
A.4種 B.6種 C.8種 D.12種
√
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由題意得，先排穿紅色衣服的2人，構成三個空，再把一個穿黃色衣服的安排在最中間的空中，把另一個穿黃色衣服的安排在兩邊的空中，所以共有=8(種).
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4.一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數為
A.3×3！ B.3×(3！)3 C.(3！)4 D.9！
√
利用“捆綁法”求解，滿足題意的坐法種數為·()3=(3！)4.
5.同宿舍六位同學在食堂排隊取餐，其中A，B，C三人兩兩不相鄰，A和D是雙胞胎，必須相鄰，則不同的排法種數為
A.288 B.144 C.96 D.72
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√
第一步，先將除A，B，C三人外的其余三人進行排序，有種方法，第二步，因為A和D必須相鄰，所以A只能插入與D相鄰的兩個空位，有2種方法，第三步，將B，C插入剩余三個空位，有×2×=72(種)排法.
6.(多選)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是
A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種
B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種
C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種
D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種
1
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√
√
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甲、乙、丙按從左到右的順序排列有=20(種)情況，故A錯誤；
先安排丙，丁，戊三人，有=6(種)情況，再將甲、乙兩人插空，則有=12(種)情況，故甲、乙不相鄰的排法有6×12=72(種)情況，故B正確；
若最左端排乙，此時其余四人可進行全排列，故有=24(種)；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊中選出1人，又乙不能在最右端，則有=54(種)情況，則共有24+54=78(種)排法，故C錯誤；
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將甲與乙捆綁，看作一個整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有=24(種)排法，故D正確.
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7.某次演出有6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定(可不相鄰)，則不同的排法有　　　種.
120
演出中的6個節目全排列有=6×5×4×3×2×1=720(種)排法，
甲、乙、丙3個節目全排列有=3×2×1=6(種)排法，
所以演出中的6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有==120(種).
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8.兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩，購票后排隊依次入園.為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數為　　　.
24
分3步進行分析，
①先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有=2(種)排法，
②兩個小孩一定要排在一起，將其看成一個元素，考慮其順序有=2(種)排法，
③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列，有=6(種)排法.
則共有2×2×6=24(種)排法.
9.一場晚會有5個演唱節目和3個舞蹈節目，要求排出一個節目單.
(1)3個舞蹈節目不排在開始和結尾，有多少種排法？
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先從5個演唱節目中選兩個排在首尾兩個位置，有種排法，再將剩余的3個演唱節目，3個舞蹈節目排在中間6個位置上，有=14 400(種).
(2)前四個節目要有舞蹈節目，有多少種排法？
1
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先不考慮排列要求，有種排法，其中前四個節目沒有舞蹈節目的情況，可先從5個演唱節目中選4個節目排在前四個位置，然后將剩余四個節目排列在后四個位置，有
-=37 440(種).
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10.三個女生和五個男生排成一排.
(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
(捆綁法)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有
種不同的排法.因此共有·=4 320(種)不同的排法.
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3
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(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
(插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有
·=
14 400(種)不同的排法.
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(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
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方法一　(位置分析法)因為兩端都不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有
·=14 400(種)不同的排法.
方法二　(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有
··
·-2·+·=
14 400(種)不同的排法.
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方法三　(元素分析法)從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，有·=14 400(種)不同的排法.
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(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
方法一　(位置分析法)因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有·
··
·+··=36 000(種)不同的排法.
方法二　(間接法)三個女生和五個男生排成一排共有
·種，就得到兩端不都是女生的排法種數.因此共有-·=36 000(種)不同的排法.
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16
(5)如果男生甲、乙之間能且僅能站兩個女生，可有多少種不同的排法？
男生甲、乙站好有種站法，從三個女生中選2人站在甲、乙之間有種站法，
再把甲、乙及中間兩個女生看成一個整體捆綁在一起，和另外4人排成一隊有種站法，
所以共有··=1 440(種)不同的排法.
11.甲、乙、丙、丁和戊5名同學進行數學應用知識比賽，決出第一名至第五名(沒有并列名次).已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，則5人的名次排列情況有
A.27種 B.48種 C.54種 D.72種
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√
綜合運用
由題意知，乙的限制最多，故先排乙，有3種排法；再排甲，也有3種排法；余下3人有種排法.故共有3×3×=54(種)不同的排法.
12.某校迎春晚會由6個節目組成，為考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求，節目甲不排在第一位和最后一位，節目丙、丁必須排在一起，則該校迎春晚會節目演出順序的編排方案共有
A.112種 B.120種 C.144種 D.180種
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利用間接法求解，先考慮將丙、丁排在一起，將這兩個節目進行捆綁，形成一個大元素，共有=240(種)編排方案.若甲排在第一位或最后一位，且丙、丁排在一起，將這兩個節目進行捆綁，形成一個大元素，此時共有=96(種)編排方案.綜上所述，符合條件的編排方案共有240-96=144(種).
13.中國古代教育中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每門安排一次講座，共講六次，講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“數”相鄰，“射”和“御”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有
A.36種 B.48種 C.64種 D.84種
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由題意，“禮”排第一，當“射”排第二或第六時，“數”只有一種次序，其余全排列，有2種次序；當“射”排第三、四、五時，“數”有兩種次序可選，“御”也有兩種次序可選，其余全排列，有3種次序.故“六藝”講座不同的次序共有2+3=12+
24=36(種).
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14.某次燈謎大會共設置6個不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個謎題.并規定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個謎題，則一名參與者一共有　　　種不同的答題順序.
60
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2
3
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5
6
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9
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16
將6只燈籠全排列，即種，
因為每次只能取其中一串最下面的一只燈籠內
的謎題，每次取燈的順序確定，
取謎題的方法有=60(種).
15.將0，1，2，9，19，20六個數按任意次序排成一行，拼成一個8位數，則產生的不同的8位數的個數是
A.498 B.516 C.534 D.546
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓廣探究
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
將0，1，2，9，19，20六個數按任意次序排成一行，拼成一個8位數，由于首位不能為0，則有5×=600(個)，其中“20”出現2次，即“2”
與“0”相鄰且“2”在“0”前的排法有=60(種)，“19”出現2次，即“1”與“9”相鄰且“1”在“9”前的排法有=48(種)，“20”
和“19”都出現2次的排法有=6(種)，因此滿足條件的8位數的個
數為600-60-48+6=498.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.高一年級某班的數學、語文、英語、物理、化學、體育六門課安排在同一天，每門課一節，上午四節，下午兩節，數學課必須在上午，體育課必須在下午，數學、物理、化學三門課中任意兩門不相鄰，但上午第四節和下午第一節不叫相鄰，則不同的排法種數為多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
分兩類：
第1類，數學課安排在上午第一節或第四節，共
種排法；物理、化學課安排在上午一節、下午一節，有2種排法.
由分步乘法計數原理知，共有××2×=32(種)排法；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
第2類，數學課安排在上午第二節或第三節，共
種排法.
由分步乘法計數原理知，共有×××=16(種)排法.
綜上，由分類加法計數原理知，排法種數為32+16=48.第2課時　排列的綜合問題
［學習目標］　1.掌握幾種有限制條件的排列.2.能應用排列數公式解決簡單的實際問題.
一、特殊元素或特殊位置問題
例1　從包括甲、乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列，求解下列問題.
(1)甲不在首位的排法有多少種？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？
(4)甲不在首位，同時乙不在末位的排法有多少種？
反思感悟　解決排列問題，常用的思考方法有直接法和間接法.把特殊元素或特殊位置作為研究對象，需優先考慮.
跟蹤訓練1　某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排課程表的方法？
二、“相鄰”與“不相鄰”問題
例2　3名男生，4名女生共7個人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必須站在一起；
(3)男生不能站在一起；
(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.
反思感悟　處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應遵循“先整體，后局部”的原則.元素相鄰問題一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內部全排列.元素不相鄰問題一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.
跟蹤訓練2　(1)小陳準備將新買的《尚書·禮記》《左傳》《孟子》《論語》《詩經》五本書立起來放在書架上，若要求《論語》《詩經》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有 (　　)
A.18種 B.24種 C.36種 D.48種
(2)永定土樓位于中國東南沿海的福建省龍巖市，它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧.土樓具體有長方形樓、正方形樓、紗帽樓、吊腳樓、五鳳樓、五角樓、八角樓等多種類型.現有某大學建筑系學生要重點對包含五鳳樓、長方形樓、五角樓共七種類型的土樓依次進行調查研究.要求調查順序中，五鳳樓要排在第一個或最后一個，長方形樓、五角樓相鄰，則不同的排法共有 (　　)
A.480種 B.240種
C.384種 D.1 440種
三、定序問題
例3　將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？
延伸探究　將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B順序已確定，D，E順序也已確定，則有多少種不同的排列方法？
反思感悟　在有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的(不一定相鄰).解決這類問題的基本方法有兩個：
(1)整體法，即若有(m+n)個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這(m+n)個元素排成一列，有種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種滿足條件的不同排法；
(2)插空法，即m個元素之間的先后順序確定不變，因此先排這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空中.
跟蹤訓練3　某電視節目的主持人邀請年齡互不相同的5位嘉賓逐個出場亮相.
(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場，出場順序有多少種？
(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場，順序有多少種？
1.知識清單：
(1)有限制條件的排列問題.
(2)“相鄰”與“不相鄰”、“在”與“不在”、定序問題.
2.方法歸納：捆綁法、插空法、定序問題除法處理、間接法.
3.常見誤區：分類討論時，出現重復或遺漏，各種方法使用不當.
1.五聲音階(漢族古代音律)是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮、商、角、徵、羽.若將這五個音階排成一列，形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，則可排成不同的音序的種數為 (　　)
A.12 B.48
C.72 D.120
2.(多選)若3男3女排成一排，則下列說法錯誤的是 (　　)
A.共計有720種不同的排法
B.男生甲排在兩端的排法種數為120
C.男生甲、乙相鄰的排法種數為120
D.男、女生相間的排法種數為72
3.有五名學生站成一排拍畢業紀念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有 (　　)
A.66種 B.60種
C.36種 D.24種
4.某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來5個節目的出場順序不變，則有　　　種不同排法.(用數字作答)
答案精析
例1　解　(1)方法一　把元素作為研究對象.
第一類，不含甲，此時只需從甲以外的其他6名同學中選出5名排在5個位置上，有種排法；
第二類，含有甲，甲不在首位，先從除首位以外的其他4個位置中選出1個排甲，再從甲以外的6名同學中選出4名排在另外4個位置上，有種排法.根據分步乘法計數原理，有4×種排法.
由分類加法計數原理知，共有+4×=2 160(種)排法.
方法二　把位置作為研究對象.
第一步，從甲以外的6名同學中選1名排在首位，有種排法；
第二步，從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上，有種排法.
由分步乘法計數原理知，共有=2 160(種)排法.
方法三　(間接法)先不考慮限制條件，從7人中選出5人進行排列，然后把不滿足條件的排列去掉.
不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有種，甲在首位的情況有種，
所以符合要求的排法有-=2 160(種).
(2)把位置作為研究對象.
第一步，從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上，有種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選3名排在中間3個位置上，有種排法.
根據分步乘法計數原理，共有=1 800(種)排法.
(3)把位置作為研究對象.
第一步，從甲、乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置，有種排法；
第二步，從剩下的5名同學中選出3名排在中間3個位置上，有種排法.
根據分步乘法計數原理，共有=1 200(種)排法.
(4)間接法.
總的可能情況有種，減去甲在首位的種排法，再減去乙在末位的種排法，注意到甲在首位，同時乙在末位的排法數被減去了兩次，所以還需補回一次種排法，所以共有-2+=1 860(種)排法.
跟蹤訓練1　解　6門課總的排法有種，其中不符合要求的可分為體育排在第一節，有種排法；數學排在最后一節，有種排法，但這兩種情況都包括體育排在第一節且數學排在最后一節的情況，這種情況有種排法.因此符合條件的排法有-2+=504(種).
例2　解　(1)(相鄰問題捆綁法)男生必須站在一起，即把3名男生進行全排列，有種排法，女生必須站一起，即把4名女生進行全排列，有種排法，全體男生和全體女生各看作一個元素全排列有種排法，由分步乘法計數原理知，共有··=288(種)排法.
(2)(捆綁法)把所有男生看作一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，
故有·=720(種)不同的排法.
(3)(不相鄰問題插空法)先排女生有種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五個空中，有種排法，
故有·=1 440(種)不同的排法.
(4)先排男生有種排法，讓女生插空，
有·=144(種)不同的排法.
跟蹤訓練2　(1)B　［先將《論語》《詩經》兩本書捆綁看作一個整體，則可以看作共4個位置.
先排《尚書·禮記》，排法種數為；然后剩余3個位置全排列，排法種數為；最后排好《論語》《詩經》，兩本書的排法種數為.所以不同的擺放方法有=2×6×2=24(種).］
(2)A　［當五鳳樓排在第一個時，因為長方形樓、五角樓相鄰，所以捆在一起與其他類型全排列，且長方形樓、五角樓內部排列，有=240(種)不同的排法，
同理當五鳳樓排在最后一個時，有=240(種)不同的排法.
綜上，五鳳樓要排在第一個或最后一個，長方形樓、五角樓相鄰，則共有480種不同的排法.］
例3　解　方法一　(整體法)5個元素無約束條件的全排列有種，由于字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(種).
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列順序為“A，B，C”，將字母D，E插入形成的4個空中，
分兩類：
第一類，若字母D，E相鄰，則有·種排法；
第二類，若字母D，E不相鄰，則有種排法.
所以有·+=20(種)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列順序為“C，B，A”，也有20種不同的排列方法.
因此滿足條件的排列有20+20=40(種).
延伸探究　解　將A，B，C，D，E這五個字母排成一列，共有種不同方法，
將A，B排成一列，共有種不同方法，將D，E排成一列，共有種不同方法，
設滿足條件的方法有x種，則有x=，
所以x==30，即有30種不同的排列方法.
跟蹤訓練3　解　(1)5位嘉賓無約束條件的出場順序有種，由于3位老者的排列順序已定，因此滿足3位老者按年齡從大到小的順序出場，出場順序有=20(種).
(2)設符合條件的出場順序共有x種，
用(1)的方法可得x··=，
解得x==10.
隨堂演練
1.C　［先排其他三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為=72.］
2.BC　［3男3女排成一排共計有=720(種)不同的排法；男生甲排在兩端的排法種數為2=240；男生甲、乙相鄰的排法種數為=240；男、女生相間的排法種數為2=72.］
3.B　［五名學生進行全排列共有種站法，而甲站在乙的左邊，或乙的右邊，故甲不排在乙的左邊的情況共有=60(種).］
4.42
解析　①當2個教師節目相鄰時，利用插空法有6=12(種)不同的排法，
②當2個教師節目不相鄰時，有=30(種)不同的排法，
所以共有12+30=42(種)不同的排法.

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