資源簡介

(共61張PPT)
第六章
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第1課時
排列與排列數
1.理解并掌握排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列.
2.掌握排列數公式并會應用.
學習目標
唐僧師徒取經路經平頂山時，遇到蓮花洞的金角大王和銀角大王兩個妖怪，銀角大王用寶貝葫蘆裝孫悟空時，孫悟空用“孫”“行”
“者”三個字的不同排序報了姓名，你能列舉出這三個字排成的所有姓名嗎？
導 語
一、排列概念的理解
二、排列數公式
課時對點練
三、排列數公式的簡單應用
隨堂演練
內容索引
一
排列概念的理解
從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
問題1
提示　如圖所示，共有6種不同的選法.
1.排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照_______
_______排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.根據排列的定義，兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素_____
_______；(2)元素的排列 也相同.
一定的
順序
完全
相同
順序
(1)要求m≤n.
(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.
注 意 點
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　 (1)(多選)下列問題是排列問題的是
A.北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來
回的票價相同)
B.選2個小組分別去植樹和種菜
C.選10人組成一個學習小組
D.選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員
例 1
√
√
三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格，不存在順序問題，所以A選項不是排列問題；
植樹和種菜是不同的，存在順序問題，所以B選項是排列問題；
C選項中不存在順序問題，所以不是排列問題；
每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，所以D選項是排列問題.
(2)某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？請寫出所有結果.
第一類：用1面旗表示的信號有紅、黃、藍，共3種；
第二類：用2面旗表示的信號有紅黃、黃紅、紅藍、藍紅、黃藍、藍黃，共6種；
第三類：用3面旗表示的信號有紅黃藍、紅藍黃、黃紅藍、黃藍紅、藍紅黃、藍黃紅，共6種.
由分類加法計數原理，所求的信號共有3+6+6=15(種).
(1)“取”，檢驗取出的m個元素是否重復；
(2)“排”，檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.
反
思
感
悟
判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮
　(1)下列問題是排列問題的是
A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法
B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信
C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線
D.從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種
跟蹤訓練 1
√
對于A，8名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；
對于B，10個人互相通信，涉及順序問題，是排列問題，B正確；
對于C，5個點中任取2點，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；
對于D，4個數字中任取2個，根據乘法交換律知，結果不涉及順序，不是排列問題，D錯誤.
(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.
如圖所示.
所有的四位數為1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復數字的四位數.
二
排列數公式
從n個不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)個元素的排列的個數是多少？
問題2
提示　我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)個元素的排列，看成從n個不同的球中取出m個球，放入排好的m個盒子中，每個盒子里放一個球，我們根據分步乘法計數原理排列這些球：
第1步，從全體n個球中任選一個放入第1個盒子，有n種方法；
第2步，從剩下的(n-1)個球中任選一個放入第2個盒子，有(n-1)種方法；
第3步，從剩下的(n-2)個球中任選一個放入第3個盒子，有(n-2)種方法；
…
第m步，從剩下的[n-(m-1)]個球中任
選一個放入第m個盒子，有[n-(m-1)]
種方法，如表所示.
因此，根據分步乘法計數原理，從n個不同的球中取出m個球的排列，共有
n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]種方法.
盒子 1 2 3 … m
方法數 n n-1 n-2 … n-(m-1)
排列數定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有_________
的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數
排列數表示法
排列數 公式 乘積式 =____________________
階乘式 =__________
備注 n，m∈N*，m≤n
1.
不同排列
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
2.全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列.
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用 表示，于是，n個元素的全排列數公式可以寫成________.
規定：0！=1.
n！
=n！
(1)乘積式是m個連續正整數的乘積，第一個數最大，是A的下標n，第m個數最小，是n-m+1.
(2)階乘式的分子是的下標的階乘，分母是下標與上標差的階乘.
注 意 點
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(1)計算：；
例 2
=
===.
(2)解方程：=140.
因為所以x≥3，x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化簡得4x2-35x+69=0，
解得x1=3，x2=(舍去).
所以原方程的解為x=3.
反
思
感
悟
排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算.
(1)不等式<6的解集為
A.[2，8] B.[2，6] C.(7，12) D.｛8｝
跟蹤訓練 2
√
由<6<6×，
化簡得x2-19x+84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x=8.
(2)求證：+m=.
+m=+===.
三
排列數公式的簡單應用
用0~9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？
例 3
方法一　分兩步完成：
(1)從1到9這九個數中任選一個占據百位，有種方法.
(2)從余下的9個數(包括數字0)中任選2個占據十位、個位，有種方法.
由分步乘法計數原理可得，所求的三位數的個數為=9×9×8=648.
方法二　符合條件的三位數可以分三類：
(1)每一位數字都不是0的三位數有個；
(2)個位數字是0的三位數有個；
(3)十位數字是0的三位數有個.
由分類加法計數原理可得，所求的三位數的個數為++=648.
方法三　不考慮任何限制條件求出所有的三位數的個數，再減去不符合條件的三位數的個數，
即-=648.
反
思
感
悟
(1)對于簡單的排列問題，可直接帶入排列數公式；
(2)對于情況較多的情形，可以先進行分類討論，再計算；
(3)正難則反，可考慮間接法.
已知有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機和1名售票員，則不同的分配方法有
A.種 B.種 C.種 D.2種
跟蹤訓練 3
司機、售票員各有種不同的分配方法.
√
1.知識清單：
(1)排列、排列數的定義.
(2)排列的簡單應用.
(3)排列數公式的應用.
2.方法歸納：樹狀圖法.
3.常見誤區：忽視中“m，n∈N*”這個條件.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.(多選)下列問題中是排列問題的是
A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組
B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動
C.從a，b，c，d中選出3個字母
D.從1，2，3，4，5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數
√
由排列的定義知AD是排列問題.
√
2.-的值是
A.480 B.520 C.600 D.1 320
1
2
3
4
√
=12×11×10=1 320，
=10×9×8=720，
故-=1 320-720=600.
3.3個學生在4本不同的參考書中各挑選1本，不同的選法種數為
A.3 B.24 C.34 D.43
1
2
3
4
√
3個學生在4本不同的參考書中各挑選一本，相當于從4個不同元素中選3個的排列，其選法種數為=4×3×2=24.
4.從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文藝委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文藝委員，則不同的選法共有____種.
(用數字作答)
1
2
3
4
文藝委員有3種選法，則安排學習委員、體育委員有=12(種)方法，由分步乘法計數原理知，共有3×12=36(種)選法.
36
課時對點練
五
1.(多選)下面問題中，是排列問題的是
A.由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B.從40人中選5人組成籃球隊
C.從100人中選2人分別參加數學、物理競賽
D.從1，2，3，4，5中選2個數組成集合
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基礎鞏固
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
對于A，由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數，符合排列的定義，是排列問題；
對于B，從40人中選5人組成籃球隊，與順序無關，不是排列問題；
對于C，從100人中選2人分別參加兩科競賽，存在順序問題，是排列問題；
對于D，從1，2，3，4，5中選2個數組成集合，與順序無關，不是排列問題.
2.若a∈N*，且a<20，則(27-a)(28-a)…(34-a)等于
A. B. C. D.
1
2
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13
14
15
16
√
==(27-a)(28-a)·…·(34-a).
3.將《步步高》《創新設計》等三本不同的書按如圖所示的方式放在一起，則《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有
A.2種 B.4種 C.6種 D.9種
√
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16
《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有=4(種).
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4.某高校有4名志愿者參加社區志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，則值班當天不同的排班種數為
A.12 B.18 C.24 D.144
√
由題意知，值班當天不同的排班種數為=24.
5.已知3=4，則x等于
A.6 B.13 C.6或13 D.12
1
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6
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14
15
16
√
由題意得0所以1所以=，整理得x2-19x+78=0，
解得x=6或x=13(舍去).
6.從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個，分別記為a，b，共可得到lg a-lg b的不同的值的個數是
A.9 B.10 C.18 D.20
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16
√
lg a-lg b=lg ，從1，3，5，7，9中任取兩個數分別記為a，b，共有=20(種)，其中lg =lg ，lg =lg ，故可得到18種結果.
1
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16
7.從a，b，c，d，e 5個元素中每次取出3個元素，可組成　　　個以b為首的不同的排列，它們分別是____________________________________
__________________________.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，
bdc，bde，bea，bec，bed
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16
畫出樹狀圖如圖.
可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，
bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
1
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16
8.若把英語單詞“pear”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有___種.
23
因為“p，e，a，r”四個字母組成的全排列共有=4×3×2×1=24(種)，
其中只有排列“pear”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現的錯誤共有24-1=23(種).
9.(1)解不等式：3≤2+6；
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16
由題意可知，x∈N*且x≥3，
因為=x(x-1)(x-2)，=(x+1)x，
=x(x-1)，
所以原不等式可化為3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，整理得(3x-2)(x-5)
≤0，
所以3≤x≤5，所以原不等式的解集為｛3，4，5｝.
(2)求證：=.
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左邊==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！，
右邊==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！，
所以=.
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16
10.已知一條鐵路有8個車站，假設列車往返運行且每個車站均停靠上下客，記從A車站上車到B車站下車為1種車票(A≠B).
(1)該鐵路的客運車票有多少種？
鐵路的客運車票有=8×7=56(種).
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(2)為滿足客運需要，在該鐵路上新增了n個車站，客運車票增加了54種，求n的值.
在新增了n個車站后，共有(n+8)個車站，因為客運車票增加了54種，則-56=54，
所以=(n+8)(n+7)=110，解得n=3.
11.(多選)下列等式正確的是
A.(n+1)= B.=
C.=(n-2)！ D.=
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16
√
綜合運用
√
√
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16
對于A，(n+1)=(n+1)·==，A正確；
對于B，==，B錯誤；
對于C，==(n-2)！，C正確；
對于D，=·==，D正確.
12.將4名志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小明不去花樣滑冰項目，則不同的分配方案共有
A.12種 B.18種 C.24種 D.30種
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√
志愿者小明不去花樣滑冰項目，則小明有3種分配方案，將另外3名志愿者分配剩下的3個項目，有種分配方案，根據分步乘法計數原理可得不同的分配方案共有3=18(種).
13.現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有
A.120種 B.60種 C.30種 D.20種
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√
先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有5種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有種安排方式.所以不同的安排方式共有5=60(種).
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14.將4位司機、4位售票員分配到4輛不同班次的公共汽車上，每輛汽車分別有1位司機和1位售票員，則共有　　　種不同的分配方案.
576
可以分為兩步：第1步，把4位司機分配到4輛不同班次的公共汽車上，即從4個不同元素中取出4個元素排成一列，有種方法；第2步，把4位售票員分配到4輛不同班次的公共汽車上，也有種方法.由分步乘法計數原理知，分配方案共有·=576(種).
15.由四個不同的數字1，2，4，x組成無重復數字的三位數.
(1)若x=9，則其中能被3整除的共有　　　個；
1
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拓廣探究
12
因為當各數位上的數字之和能被3整除時，該數就能被3整除，
所以這種三位數只能由2，4，9或1，2，9排列組成，
所以共有2×=12(個).
(2)若所有這些三位數的各位數字之和是252，則x=　　.
1
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16
7
顯然x≠0，因為1，2，4，x在各個數位上出現的次數都相同，且各自出現·次，
所以這樣的數字之和是(1+2+4+x)··，
即(1+2+4+x)··=252，
所以7+x=14，解得x=7.
1
2
3
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15
16
16.用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字且大于201 345的六位數的個數為多少？
用數字0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的六位數的個數為5=600.
以1為十萬位的沒有重復數字的六位數的個數為=120，
由于201 345是以2為十萬位的沒有重復數字的六位數中最小的一個，所以沒有重復數字且大于201 345的六位數的個數為600-120-1=479.6.2.1　排　列
6.2.2　排列數
第1課時　排列與排列數
［學習目標］　1.理解并掌握排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列.2.掌握排列數公式并會應用.
一、排列概念的理解
問題1　從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？
知識梳理
1.排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照　　　　　　　　排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
2.根據排列的定義，兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素　　　　　　　　；(2)元素的排列　　　　也相同.
例1　(1)(多選)下列問題是排列問題的是 (　　)
A.北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)
B.選2個小組分別去植樹和種菜
C.選10人組成一個學習小組
D.選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員
(2)某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？請寫出所有結果.
反思感悟　判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮
(1)“取”，檢驗取出的m個元素是否重復；
(2)“排”，檢驗取出的m個元素是否有順序性，其關鍵方法是，交換兩個位置看其結果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.
跟蹤訓練1　(1)下列問題是排列問題的是 (　　)
A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法
B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信
C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線
D.從1，2，3，4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種
(2)由1，2，3，4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.
二、排列數公式
問題2　從n個不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)個元素的排列的個數是多少？
知識梳理
1.
排列數定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有　　　　　　　　的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數
排列數表示法
排列數公式 乘積式 =　　　　　　　　　
階乘式 =　　　　　　　
備注 n，m∈N*，m≤n
2.全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列.
正整數1到n的連乘積，叫做n的階乘，用　　　　表示，于是，n個元素的全排列數公式可以寫成 　.
規定：0！=1.
例2　(1)計算：；
(2)解方程：=140.
反思感悟　排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算.
跟蹤訓練2　(1)不等式<6的解集為 (　　)
A.［2，8］ B.［2，6］ C.(7，12) D.｛8｝
(2)求證：+m=.
三、排列數公式的簡單應用
例3　用0~9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？
反思感悟　(1)對于簡單的排列問題，可直接帶入排列數公式；
(2)對于情況較多的情形，可以先進行分類討論，再計算；
(3)正難則反，可考慮間接法.
跟蹤訓練3　已知有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有1名司機和1名售票員，則不同的分配方法有 (　　)
A.種 B.種
C.種 D.2種
1.知識清單：
(1)排列、排列數的定義.
(2)排列的簡單應用.
(3)排列數公式的應用.
2.方法歸納：樹狀圖法.
3.常見誤區：忽視中“m，n∈N*”這個條件.
1.(多選)下列問題中是排列問題的是 (　　)
A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組
B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動
C.從a，b，c，d中選出3個字母
D.從1，2，3，4，5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數
2.-的值是 (　　)
A.480 B.520 C.600 D.1 320
3.3個學生在4本不同的參考書中各挑選1本，不同的選法種數為 (　　)
A.3 B.24 C.34 D.43
4.從班委會的5名成員中選出3名分別擔任班級學習委員、文藝委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文藝委員，則不同的選法共有　　　　種.(用數字作答)
答案精析
問題1　
如圖所示，共有6種不同的選法.
知識梳理
1.一定的順序
2.(1) 完全相同　(2)順序
例1　(1)BD　［三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格，不存在順序問題，所以A選項不是排列問題；植樹和種菜是不同的，存在順序問題，所以B選項是排列問題；C選項中不存在順序問題，所以不是排列問題；每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，所以D選項是排列問題.］
(2)解　第一類：用1面旗表示的信號有紅、黃、藍，共3種；
第二類：用2面旗表示的信號有紅黃、黃紅、紅藍、藍紅、黃藍、藍黃，共6種；
第三類：用3面旗表示的信號有紅黃藍、紅藍黃、黃紅藍、黃藍紅、藍紅黃、藍黃紅，共6種.
由分類加法計數原理，所求的信號共有3+6+6=15(種).
跟蹤訓練1　(1)B　［對于A，8名同學中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯誤；
對于B，10個人互相通信，涉及順序問題，是排列問題，B正確；
對于C，5個點中任取2點，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯誤；
對于D，4個數字中任取2個，根據乘法交換律知，結果不涉及順序，不是排列問題，D錯誤.］
(2)解　如圖所示.
所有的四位數為1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個沒有重復數字的四位數.
問題2　我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)個元素的排列，看成從n個不同的球中取出m個球，放入排好的m個盒子中，每個盒子里放一個球，我們根據分步乘法計數原理排列這些球：
第1步，從全體n個球中任選一個放入第1個盒子，有n種方法；
第2步，從剩下的(n-1)個球中任選一個放入第2個盒子，有(n-1)種方法；
第3步，從剩下的(n-2)個球中任選一個放入第3個盒子，有(n-2)種方法；
…
第m步，從剩下的［n-(m-1)］個球中任選一個放入第m個盒子，有［n-(m-1)］種方法，如表所示.
盒子 1 2 3 … m
方法數 n n-1 n-2 … n-(m-1)
因此，根據分步乘法計數原理，從n個不同的球中取出m個球的排列，共有n(n-1)(n-2)…［n-(m-1)］種方法.
知識梳理
1.不同排列　n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　
2.n！　=n！
例2　解　(1)=
===.
(2)因為所以x≥3，x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化簡得4x2-35x+69=0，
解得x1=3，x2=(舍去).
所以原方程的解為x=3.
跟蹤訓練2　(1)D　［由<6，
得<6×，
化簡得x2-19x+84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x=8.］
(2)證明　+m=+
===.
例3　解　方法一　分兩步完成：
(1)從1到9這九個數中任選一個占據百位，有種方法.
(2)從余下的9個數(包括數字0)中任選2個占據十位、個位，有種方法.
由分步乘法計數原理可得，所求的三位數的個數為
=9×9×8=648.
方法二　符合條件的三位數可以分三類：
(1)每一位數字都不是0的三位數有個；
(2)個位數字是0的三位數有個；
(3)十位數字是0的三位數有個.
由分類加法計數原理可得，所求的三位數的個數為
++=648.
方法三　不考慮任何限制條件求出所有的三位數的個數，再減去不符合條件的三位數的個數，
即-=648.
跟蹤訓練3　C　［司機、售票員各有種分配方法，由分步乘法計數原理知，共有種不同的分配方法.］
隨堂演練
1.AD　［由排列的定義知AD是排列問題.］
2.C　［=12×11×10=1 320，
=10×9×8=720，
故-=1 320-720=600.］
3.B　［3個學生在4本不同的參考書中各挑選一本，相當于從4個不同元素中選3個的排列，其選法種數為=4×3×2=24.］
4.36
解析　文藝委員有3種選法，則安排學習委員、體育委員有=12(種)方法，由分步乘法計數原理知，共有3×12=36(種)選法.

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