資源簡介

(共62張PPT)
第六章
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第2課時
計數原理的綜合應用
1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.
2.會正確應用這兩個計數原理計數.
學習目標
隨著人們生活水平的提高，車輛擁有量迅速增長，汽車牌號僅用一個字母和數字表示已經不能滿足需求，再加上許多車主還希望車牌號“個性化”，因此，汽車號碼需要進行擴容，這樣就需要“數出”某種方案下的所有號碼數，號碼的個數是如何進行計算的呢？
導 語
一、組數問題
二、抽取與分配問題
課時對點練
三、涂色與種植問題
隨堂演練
內容索引
一
組數問題
用0，1，2，3，4五個數字.
(1)可以排出多少個不同的三位數字的密碼？
例 1
三位數字的密碼，首位可以是0，數字也可以重復，
每個位置都有5種排法，故共可排成5×5×5=125(個)不同的三位數字的密碼.
(2)可以排成多少個不同的三位數？
三位數的百位不能為0，但可以有重復數字，
首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個位都可以排0，有5種排法，
因此，共可排成4×5×5=100(個)不同的三位數.
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
能被2整除的數即偶數，個位數字可取0，2，4，
因此，可以分兩類，一類是個位數字為0，則有4×3=12(種)排法；
一類是個位數字不為0，則個位有2種排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3種排法，十位有3種排法，
則有2×3×3=18(種)排法.
故共有12+18=30(種)排法，
即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.
　 由本例中的五個數字可以組成多少個無重復數字的四位奇數？
完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種取法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個數，在剩下的3個數中任取一個，有3種取法；第三步、第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位，有3種排法，再排十位，有2種排法.由分步乘法計數原理知，共能組成2×3×3×2=36(個)無重復數字的四位奇數.
延伸探究
(1)常見的組數問題：奇數、偶數、整除數、各數位上的和或數字間滿足某種特殊關系等.
(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數；其次注意特殊數字對各數位上數字的要求，如偶數的個位數字為偶數、兩位及其以上的數首位數字不能是0、被3整除的數各數位上的數字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數字或特殊位置進行組數.
反
思
感
悟
常見的組數問題及解題原則
　(1)從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為
A.24 B.18 C.12 D.6
跟蹤訓練 1
√
由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種“奇偶奇”的情況，個位有3種情況，十位有2種情況，百位有2種情況，共12種；如果是第二種“偶奇奇”的情況，個位有3種情況，十位有2種情況，百位不能是0，只有一種情況，共6種，因此總共有12+6=18(個)奇數.
(2)用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為
A.243 B.252 C.261 D.279
√
0，1，2，…，9共能組成9×10×10=900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8=648(個)，
∴有重復數字的三位數有900-648=252(個).
二
抽取與分配問題
　(1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有
A.360種 B.420種 C.369種 D.396種
例 2
√
方法一　(直接法)
以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：
第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；
第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的一個班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4=16(種)；
第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4=96(種)；
第四類，有一個班級去甲工廠，其他三個班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4=256(種).
綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369(種).
方法二　(間接法)
先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即5×5×5×5-4×4×4×4=369(種)方案.
(2)甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數為　　.
2
方法一　不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1=2(種).
方法二　(枚舉法)滿足不同的取法有：乙丙甲、丙甲乙，共2種.
反
思
感
悟
(1)當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.
(2)當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：
①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.
②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可.
抽取與分配問題的常見類型及其解法
　(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數學，在數學考試時，要求每位老師均不在本班監考，則安排監考的方法種數是
A.11 B.10 C.9 D.8
跟蹤訓練 2
√
方法一　設四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設a監考的是B，則剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監考C，D時，剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計數原理知共有3+3+3=9(種)不同的安排方法.
方法二　讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法.若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據分步乘法計數原理知，共有3×3×1×1=9(種)不同的安排方法.
(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有
A.280種 B.240種
C.180種 D.96種
由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3=240(種)選派方案.
√
三
涂色與種植問題
　(1)如圖所示，有A，B，C，D四個區域，用紅、黃、藍三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區域的顏色各不相同，共有　　　種不同的涂法.
例 3
①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3，2，1，2，
則有3×2×1×2=12(種)不同的涂法.
②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1=6(種)不同的涂法.
所以根據分類加法計數原理，共有12+6=18(種)不同的涂法.
18
(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在三塊不同土質的土地上，其中黃瓜必須種植，則有　　種不同的種植方法.
方法一　(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2=6(種)不同的種植方法.
同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2=6(種)不同的種植方法.
故共有6×3=18(種)不同的種植方法.
方法二　(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，共有4×3×2=24(種)不同的種植方法，其中不種黃瓜有3×2×1=6(種)不同的種植方法，故共有24-6=18(種)不同的種植方法.
18
反
思
感
悟
(1)按區域的不同以區域為主分步計數，并用分步乘法計數原理計算.
(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理計算.
(3)將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題.
(4)對于不相鄰的區域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準.
涂色與種植問題的四個解答策略
　(1)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數為　　　.
跟蹤訓練 3
按照S→A→B→C→D的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：
第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3=180(種)不同的染色方法；
第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2=240(種)不同的染色方法.
根據分類加法計數原理，共有180+240=420(種)不同的染色方法.
420
(2)如圖，一個地區分為5個區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有______種(以數字作答).
72
②當使用3種顏色時，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色區域1，有3種方法，剩下2種顏色涂其他4個區域，只能是一種顏色涂區域2，4，另一種顏色涂區域3，5，有2種著色方法.由分步乘法計數原理得有4×3×2=24(種)不同的著色方法.
綜上，共有48+24=72(種)不同的著色方法.
①當使用4種顏色時，先著色區域1，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個區域，即有1種顏色涂相對的2塊區域，有3×2×2=12(種)，由分步乘法計數原理得，有4×12=48(種)不同的著色方法.
1.知識清單：
(1)兩個計數原理的區別與聯系.
(2)兩個計數原理的應用：組數問題、抽取與分配問題、涂色與種植問題.
2.方法歸納：分類討論、正難則反.
3.常見誤區：分類標準不明確，會出現重復或遺漏問題.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.某乒乓球隊里有6名男隊員，5名女隊員，從中選取男、女隊員各1名組成混合雙打隊，則不同的組隊方法的種數為
A.11 B.30 C.56 D.65
√
先選1名男隊員，有6種方法，再選1名女隊員，有5種方法，故共有6×5=30(種)不同的組隊方法.
2.由數字1，2，3組成的無重復數字的整數中，偶數的個數為
A.15 B.12 C.10 D.5
1
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3
4
√
分三類，第一類組成一位整數，偶數有1個；第二類組成兩位整數，其中偶數有2個；第三類組成三位整數，其中偶數有2個.由分類加法計數原理知共有5個偶數.
3.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有
A.4種 B.5種 C.6種 D.12種
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√
若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3+3=6(種)不同的傳法.
4.如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有　　　種.
1
2
3
4
先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種涂法，而為了讓C與A，B都不一樣，則C有2種涂法，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種涂法，所以一共有4×3×2×3=72(種)涂法.
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課時對點練
五
1.某城市的電話號碼由七位升為八位(首位數字均不為零)，則該城市可增加的電話部數是
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97
C.9×107 D.8.1×107
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基礎鞏固
√
當電話號碼是七位數字時，該城市可安裝電話9×106部，同理升為八位時為9×107部，所以可增加的電話部數是9×107-9×106=8.1×107.
2.某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定左數第2個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0~9這10個數字中選擇(數字可以重復).若某車主左數第1個號碼只想在數字3，5，6，8，9中選擇，后三個號碼只想在1，3，6，9中選擇，則他可選的車牌號碼的所有可能情況有
A.180種 B.360種 C.720種 D.960種
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√
按照車主的要求，左數第1個號碼有5種選法，第2個號碼有3種選法，其余3個號碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4=960(種)情況.
3.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有
A.6種 B.8種 C.36種 D.48種
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選擇參觀路線分步完成：第一步選擇三個“環形”路線中的一個，有3種方法，再按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；第二步選擇余下兩個“環形”
路線中的一個，有2種方法，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法；最后一個“環形”路線，也按逆時針或順時針方向參觀有2種方法.由分步乘法計數原理知，共有3×2×2×2×2=48(種)參觀路線.
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4.有6種不同的顏色，給圖中的6個區域涂色，要求相鄰區域不同色，則不同的涂色方法共有
A.4 320種 B.2 880種
C.1 440種 D.720種
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第1個區域有6種不同的涂色方法，第2個區域有5種不同的涂色方法，第3個區域有4種不同的涂色方法，第4個區域有3種不同的涂色方法，第
5個區域有4種不同的涂色方法，第6個區域有3種不同的涂色方法，根據分步乘法計數原理，共有6×5×4×3×4×3=4 320(種)不同的涂色方法.
5.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現有十二生肖的吉祥物各一個，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，三位同學按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物，如果讓三位同學選取的禮物都滿意，那么不同的選法有
A.360種 B.50種 C.60種 D.90種
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①甲同學選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，不同的選法有1×2×10=20(種)，②甲同學選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，不同的選法有1×3×10=30(種)，所以共有20+30=50(種)選法.
6.(多選)某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每名同學只能選擇一個社區進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區進行實踐活動，則下列說法正確的有
A.如果社區A沒有同學選擇，則不同的安排方法有64種
B.如果甲同學必須選擇社區A，則不同的安排方法有50種
C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種
D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種
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如果社區A沒有同學選擇，則這三位同學應從其余四個社區中選擇，不同的安排方法有43=64(種)，故A正確；
如果甲同學必須選擇社區A，則不同的安排方法有52=25(種)，故B錯誤；
如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有5×4×3=60(種)，故C正確；
甲、乙兩名同學必須在同一個社區，第一步，將甲、乙視作一個整體，第二步，兩個整體挑選社區，則不同的安排方法共有52=25(種)，故D錯誤.
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7.現有五種不同的顏色，要對圖形中的四個部分進行著色，要求相鄰兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有　　　種.
依次給區域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ涂色分別有5，4，3，3種方法，根據分步乘法計數原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180(種).
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8.現有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數為　　　.
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方法一　除100元人民幣以外的3張人民幣中，每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取1張和取2張3種情況，再減去5張人民幣全不取的1種情況，所以共有23×3-1=24-1=23(種)不同的幣值.
方法二　分為三類：(1)不含100元，從其他3張中分別取1張、2張、3張，共有7種方法；
(2)含1張100元，從其他3張中分別取0張、1張、2張、3張，共有8種方法；
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(3)含2張100元，從其他3張中分別取0張、1張、2張、3張，共有8種方法.所以總共有7+8+8=23(種)抽取方法，即有23種不同的幣值.
9.將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中.求：
(1)1號盒中無球的不同放法種數；
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1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有33=27(種)放法.
(2)1號盒中有球的不同放法種數.
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1號盒中有球可分三類：第一類是1號盒中有一個球，共有3×32=27(種)放法；第二類是1號盒中有兩個球，共有3×3=9(種)放法；第三類是1號盒中有三個球，有1種放法.
共有27+9+1=37(種)放法.
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10.用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求A，B，C，D四個區域中的相鄰(有公共邊的)區域不用同一種顏色，共有多少種不同的涂色方法？
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方法一　(分類計數)
第一類，A，D涂同一種顏色，有6×5×4=120(種)涂法，
第二類，A，D涂不同顏色，有6×5×4×3=360(種)涂法，
共有120+360=480(種)涂法.
方法二　(分步計數)
先涂B區，有6種涂法，再涂C區，有5種涂法，最后涂A，D區域，各有4種涂法，
所以共有6×5×4×4=480(種)涂法.
11.將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，如圖是一種填法，則不同的填寫方法共有
A.6種 B.12種
C.24種 D.48種
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綜合運用
假設第一行為1，2，3，則第二行第一列可為2或3，此時其他剩余的空格都只有一種填法，又第一行有3×2×1=6(種)填法.故不同的填寫方法共有6×2=12(種).
12.某公司新招聘進8名員工，平均分給甲、乙兩個部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一個部門，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個部門，則不同的分配方案種數是
A.18 B.24 C.36 D.72
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由題意可得，分兩類：①甲部門要2名電腦編程人員，則有3種方法；英語翻譯人員的分配有2種方法；再從剩下的3個人中選1人，有3種方法，共3×2×3=18(種)分配方案.②甲部門要1名電腦編程人員，則有3種方法；英語翻譯人員的分配有2種方法；再從剩下的3個人中選2人，有3種方法，共3×2×3=18(種)分配方案.由分類加法計數原理，可得不同的分配方案共有18+18=36(種).
13.(多選)用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的三位自然數，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301，423等都是“凹數”，則下列結論中正確的是
A.組成的三位數的個數為60
B.在組成的三位數中，偶數的個數為30
C.在組成的三位數中，“凹數”的個數為20
D.在組成的三位數中，“凹數”的個數為30
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對于A，因為百位數上的數字不能為零，所以組成的三位數的個數為4×4×3=48，故A錯誤；
對于B，將組成的三位數中的偶數分為兩類，①個位為0，則有4×3=12(個)，②個位為2或4，則有2×3×3=18(個)，所以在組成的三位數中，偶數的個數為12+18=30，故B正確；
對于C，D，將這些“凹數”分為三類，①十位為0，則有4×3=12(個)，②十位為1，則有3×2=6(個)，③十位為2，則有2×1=2(個)，所以在組成的三位數中，“凹數”的個數為12+6+2=20，故C正確，D錯誤.
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14.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有　　　個.
40
滿足條件的有兩類：
第一類，與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個；
第二類，與正八邊形有一條公共邊的三角形有
8×4=32(個).
所以滿足條件的三角形共有8+32=40(個).
15.現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，
則不同的選取種數為　　　，m，n都取到奇數的概率為　　　.
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拓廣探究
63
因為正整數m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9=63(種)，其中m，n都取到奇數的情況有4×5=20(種)，因此所求概率為.
　
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16.某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)，要在如圖所示的6個點A，B，C，A1，B1，C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有多少種？
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第一步：在點A1，B1，C1上安裝燈泡.A1有4種方法，B1有3種方法，C1有2種方法，共有4×3×2=24(種)方法.
第二步：從A，B，C中選一個點安裝第4種顏色的燈泡，有3種方法.
第三步：給剩余的兩個點安裝燈泡，共有3種方法.
由分步乘法計數原理可得，共有24×3×3=216(種)方法.第2課時　計數原理的綜合應用
［學習目標］　1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.2.會正確應用這兩個計數原理計數.
一、組數問題
例1　用0，1，2，3，4五個數字.
(1)可以排出多少個不同的三位數字的密碼？
(2)可以排成多少個不同的三位數？
(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？
延伸探究　由本例中的五個數字可以組成多少個無重復數字的四位奇數？
反思感悟　常見的組數問題及解題原則
(1)常見的組數問題：奇數、偶數、整除數、各數位上的和或數字間滿足某種特殊關系等.
(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數字的要求，針對這一要求通過分類、分步進行組數；其次注意特殊數字對各數位上數字的要求，如偶數的個位數字為偶數、兩位及其以上的數首位數字不能是0、被3整除的數各數位上的數字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數字或特殊位置進行組數.
跟蹤訓練1　(1)從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為 (　　)
A.24 B.18
C.12 D.6
(2)用0，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為 (　　)
A.243 B.252
C.261 D.279
二、抽取與分配問題
例2　(1)高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有 (　　)
A.360種 B.420種
C.369種 D.396種
(2)甲、乙、丙三人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數為　　　　.
反思感悟　抽取與分配問題的常見類型及其解法
(1)當涉及對象數目不大時，一般選用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.
(2)當涉及對象數目很大時，一般有兩種方法：
①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行.
②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數，然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可.
跟蹤訓練2　(1)有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數學，在數學考試時，要求每位老師均不在本班監考，則安排監考的方法種數是 (　　)
A.11 B.10
C.9 D.8
(2)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有 (　　)
A.280種 B.240種
C.180種 D.96種
三、涂色與種植問題
例3　(1)如圖所示，有A，B，C，D四個區域，用紅、黃、藍三種顏色涂色，要求任意兩個相鄰區域的顏色各不相同，共有　　　　種不同的涂法.
(2)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在三塊不同土質的土地上，其中黃瓜必須種植，則有　　　種不同的種植方法.
反思感悟　涂色與種植問題的四個解答策略
(1)按區域的不同以區域為主分步計數，并用分步乘法計數原理計算.
(2)以顏色(種植作物)為主分類討論法，適用于“區域、點、線段”問題，用分類加法計數原理計算.
(3)將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題.
(4)對于不相鄰的區域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準.
跟蹤訓練3　(1)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數為　　　　.
(2)如圖，一個地區分為5個區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　　　　種(以數字作答).
1.知識清單：
(1)兩個計數原理的區別與聯系.
(2)兩個計數原理的應用：組數問題、抽取與分配問題、涂色與種植問題.
2.方法歸納：分類討論、正難則反.
3.常見誤區：分類標準不明確，會出現重復或遺漏問題.
1.某乒乓球隊里有6名男隊員，5名女隊員，從中選取男、女隊員各1名組成混合雙打隊，則不同的組隊方法的種數為 (　　)
A.11 B.30 C.56 D.65
2.由數字1，2，3組成的無重復數字的整數中，偶數的個數為 (　　)
A.15 B.12 C.10 D.5
3.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有 (　　)
A.4種 B.5種 C.6種 D.12種
4.如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有　　　　種.
答案精析
例1　解　(1)三位數字的密碼，首位可以是0，數字也可以重復，
每個位置都有5種排法，故共可排成
5×5×5=125(個)不同的三位數字的密碼.
(2)三位數的百位不能為0，但可以有重復數字，
首先考慮百位的排法，除0外共有4種排法，十位、個位都可以排0，有5種排法，
因此，共可排成4×5×5=100(個)不同的三位數.
(3)能被2整除的數即偶數，個位數字可取0，2，4，
因此，可以分兩類，一類是個位數字為0，則有4×3=12(種)排法；
一類是個位數字不為0，則個位有2種排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3種排法，十位有3種排法，
則有2×3×3=18(種)排法.
故共有12+18=30(種)排法，
即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數.
延伸探究　解　完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種取法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個數，在剩下的3個數中任取一個，有3種取法；第三步、第四步把剩下的包括0在內的3個數字先排百位，有3種排法，再排十位，有2種排法.由分步乘法計數原理知，共能組成2×3×3×2=36(個)無重復數字的四位奇數.
跟蹤訓練1　(1)B　［由于題目要求是奇數，那么對于此三位數可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一種“奇偶奇”的情況，個位有3種情況，十位有2種情況，百位有2種情況，共12種；如果是第二種“偶奇奇”的情況，個位有3種情況，十位有2種情況，百位不能是0，只有一種情況，共6種，因此總共有12+6=18(個)奇數.］
(2)B　［0，1，2，…，9共能組成9×10×10=900(個)三位數，其中無重復數字的三位數有9×9×8=648(個)，
∴有重復數字的三位數有900-648=252(個).］
例2　(1)C　［方法一　(直接法)
以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：
第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；
第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的一個班級去另外四個工廠，其分配方案共有4×4=16(種)；
第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6×4×4=96(種)；
第四類，有一個班級去甲工廠，其他三個班級去另外四個工廠，其分配方案有4×4×4×4=256(種).
綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369(種).
方法二　(間接法)
先計算四個班自由選擇去何工廠的總數，再扣除甲工廠無人去的情況，即5×5×5×5-4×4×4×4=369(種)方案.］
(2)2
解析　方法一　不妨由甲先來取，共2種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，余下來的人，都只有了一種選擇，所以不同取法共有2×1×1=2(種).
方法二　(枚舉法)滿足不同的取法有：乙丙甲、丙甲乙，共2種.
跟蹤訓練2　(1)C　［方法一　設四個班級分別是A，B，C，D，它們的老師分別是a，b，c，d，并設a監考的是B，則剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監考C，D時，剩下的三個老師分別監考剩下的三個班級也各有3種不同的方法.這樣，由分類加法計數原理知共有3+3+3=9(種)不同的安排方法.
方法二　讓a先選，可從B，C，D中選一個，即有3種選法.若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據分步乘法計數原理知，共有3×3×1×1=9(種)不同的安排方法.］
(2)B　［由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3=240(種)選派方案.］
例3　(1)18
解析　①若A，C涂色相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3，2，1，2，
則有3×2×1×2=12(種)不同的涂法.
②若A，C涂色不相同，則A，B，C，D可涂顏色的種數依次是3，2，1，1，則有3×2×1×1=6(種)不同的涂法.
所以根據分類加法計數原理，共有12+6=18(種)不同的涂法.
(2)18
解析　方法一　(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，
則有3×2=6(種)不同的種植方法.
同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2=6(種)不同的種植方法.
故共有6×3=18(種)不同的種植方法.
方法二　(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，共有4×3×2=24(種)不同的種植方法，其中不種黃瓜有3×2×1=6(種)不同的種植方法，故共有24-6=18(種)不同的種植方法.
跟蹤訓練3　(1)420　［按照S→A→B→C→D的順序進行染色，按照A，C是否同色分類：
第一類，A，C同色，則有5×4×3×1×3=180(種)不同的染色方法；
第二類，A，C不同色，則有5×4×3×2×2=240(種)不同的染色方法.
根據分類加法計數原理，共有180+240=420(種)不同的染色方法.］
(2)72
解析　①當使用4種顏色時，先著色區域1，有4種方法，剩下3種顏色涂其他4個區域，即有1種顏色涂相對的2塊區域，有3×2×2=12(種)，由分步乘法計數原理得，有4×12=48(種)不同的著色方法.
②當使用3種顏色時，從4種顏色中選取3種，有4種方法，先著色區域1，有3種方法，剩下2種顏色涂其他4個區域，只能是一種顏色涂區域2，4，另一種顏色涂區域3，5，有2種著色方法.由分步乘法計數原理得有4×3×2=24(種)不同的著色方法.
綜上，共有48+24=72(種)不同的著色方法.
隨堂演練
1.B　［先選1名男隊員，有6種方法，再選1名女隊員，有5種方法，故共有6×5=30(種)不同的組隊方法.］
2.D　［分三類，第一類組成一位整數，偶數有1個；第二類組成兩位整數，其中偶數有2個；第三類組成三位整數，其中偶數有2個.由分類加法計數原理知共有5個偶數.］
3.C　［若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳法；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳法，故共有3+3=6(種)不同的傳法.］
4.72
解析　先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種涂法，而為了讓C與A，B都不一樣，則C有2種涂法，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種涂法，所以一共有4×3×2×3=72(種)涂法.

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