資源簡介

(共65張PPT)
第六章
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第1課時
計數原理及其簡單應用
1.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理.
2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題.
學習目標
從我們班推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？如果把我們班的同學排成一排，又有多少種不同的排法？要解決這些問題，就要運用有關排列、組合的知識.在運用排列、組合方法時，經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計數原理.這節課，我們來學習這兩個原理.
導 語
一、分類加法計數原理
二、分步乘法計數原理
課時對點練
三、兩個原理的簡單應用
隨堂演練
內容索引
一
分類加法計數原理
某人要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘高鐵，假如這天飛機有3個航班可乘，高鐵有4個班次可乘.那么此人從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
問題1
提示　此人共有3+4=7(種)快捷途徑可選.
分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有__________種不同的方法.
N=m+n
(1)完成一件事的若干種方法可以分成兩類不同方案，且這兩類方案中的方法互不相同.
(2)推廣：完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.
注 意 點
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　 (1)設集合A=｛1，2，3，4｝，m，n∈A，則方程+=1表示焦點位于x軸上的橢圓有
A.6個 B.8個
C.12個 D.16個
例 1
因為橢圓的焦點位于x軸上，所以m>n.
當m=4時，n=1，2，3；當m=3時，n=1，2；當m=2時，n=1，即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).
√
(2)某校高三共有三個班，各班人數如表.
男生人數 女生人數 總人數
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
①從三個班中選1名學生擔任學生會主席，不同的選法有　　　種；
165
從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有3類不同的方案：
第1類，從高三(1)班中選出1名學生，有50種不同的選法；
第2類，從高三(2)班中選出1名學生，有60種不同的選法；
第3類，從高三(3)班中選出1名學生，有55種不同的選法.
根據分類加法計數原理知，從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有50+60+55=165(種)不同的選法.
男生人數 女生人數 總人數
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
②從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，不同的選法有—______種.
80
從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有3類不同的方案：
第1類，從高三(1)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第2類，從高三(2)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第3類，從高三(3)班女生中選出1名學生，有20種不同的選法.
根據分類加法計數原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有30+30+20=80(種)不同的選法.
本例(1)條件不變，結論變為“則方程-=1表示焦點位于x軸上的雙曲線”有
A.6個 B.8個 C.12個 D.16個
因為雙曲線的焦點在x軸上，所以m>0，n>0，當m=1時，n=1，2，3，4；當m=2時，n=1，2，3，4；當m=3時，n=1，2，3，4；當m=4時，n=1，2，3，4，即所求的雙曲線共有4+4+4+4=16(個).
延伸探究
√
(1)分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”.
(2)利用分類加法計數原理計數時的解題流程.
反
思
感
悟
　(1)算盤是中國古代的一項重要發明.現有一種算盤(如圖1)共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1(如圖2中算盤表示整數51).如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數的個數為
跟蹤訓練 1
A.8 B.10 C.15 D.16
√
撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類方法，
由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種
方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，
由分類加法計數原理得共有8種方法，
所以表示不同整數的個數為8.
(2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x+y<7，則滿足條件的不同的有序自然數對有
A.4個 B.5個
C.12個 D.15個
√
當x=1時，y=0，1，2，3，4，5，共有6種可能；當x=2時，y=0，1，2，3，4，共有5種可能；
當x=3時，y=0，1，2，3，共有4種可能，利用分類加法計數原理，得共有6+5+4=15(種)可能，故滿足條件的不同的有序自然數對有15個.
二
分步乘法計數原理
提示　編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字，由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數字中的任意一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9=54(個)不同的號碼.
用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯數字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？
問題2
分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法.
N=m×n
(1)完成一件事有多個步驟，缺一不可.
(2)每一步都有若干種不同的方法.
(3)推廣：如果完成一件事情需要n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.
注 意 點
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　(1)某大學食堂備有6種素菜、5種葷菜、3種湯，現要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數為
A.30 B.14 C.33 D.90
例 2
√
因為備有6種素菜，5種葷菜，3種湯，
第1步，素菜有6種選法；
第2步，葷菜有5種選法；
第3步，湯有3種選法，
所以要配成一葷一素一湯的套餐，可以配成不同套餐的種數為6×5×
3=90.
(2)4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，則不同的報名方法有
A.43種 B.34種 C.7種 D.12種
√
要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3=34(種)報名方法.
本例(2)改為4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍，共有多少種可能結果？
依題意，應該以“三個冠軍”為主體考慮，只有三個冠軍都確定了得主，這件事情才算完成，而每項冠軍的得主都有4種情況，由分步乘法計數原理，可得共有4×4×4=43=64(種)結果.
延伸探究
反
思
感
悟
(1)應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
(2)利用分步乘法計數原理解題的解題流程.
利用分步乘法計數原理解題的注意點及解題思路
　(1)甲、乙、丙三人分別從A，B，C三個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲只能從B，C兩個景點中選一個，則不同的選法種數為
A.12 B.16 C.18 D.24
跟蹤訓練 2
√
根據題意，甲有2種選擇，乙、丙都有3種選擇，故所有的選法有2×
3×3=18(種).
(2)從-1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax2+bx+c的系數，可組成的不同的二次函數共　　　個，其中不同的偶函數共_____個.
(用數字作答)
一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有不同的二次函數3×3×2=18(個).
若二次函數為偶函數，則b=0.a的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有不同的偶函數3×2=6(個).
18
6
三
兩個原理的簡單應用
　現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
例 3
分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據分類加法計數原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法.
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？
分為三步：第1步，從國畫中選1幅，有5種選法；第2步，從油畫中選1幅，有2種選法；第3步，從水彩畫中選1幅，有7種選法，根據分步乘法計數原理，共有5×2×7=70(種)不同的選法.
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，有5×2=10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，
有5×7=35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，
有2×7=14(種)不同的選法.
所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.
反
思
感
悟
(1)在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么.選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.
(2)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.
集合A=｛1，2，-3｝，B=｛-1，-2，3，4｝，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點？
跟蹤訓練 3
可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.
(2)這些點中，位于第一象限的有幾個？
第一象限內的點，即x，y均為正數，所以只能取A，B中的正數，共有2×2+2×2=8(個)不同的點.
1.知識清單：
(1)分類加法計數原理.
(2)分步乘法計數原理.
2.方法歸納：分類討論.
3.常見誤區：“分類”與“分步”不清，導致計數錯誤.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為
A.3 B.9
C.24 D.以上都不對
√
根據分類加法計數原理可得，一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為3+4+2=9.
2.現有3名老師、6名男同學和4名女同學共13人.若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數為
A.30 B.18
C.12 D.13
1
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4
√
先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從10名學生中任選1名，有10種選法.由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為3×10=30.
3.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有
A.3種 B.6種
C.7種 D.9種
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4
√
分3類：買1本書、買2本書和買3本書.各類的購買方式依次有3種、3種和1種，故購買方式共有3+3+1=7(種).
4.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的1個講座，不同選法的種數是
A.56 B.65 C.30 D.11
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3
4
第一名同學有5種選擇方法，第二名有5種選擇方法……第六名同學有5種選擇方法，綜上，根據分步乘法計數原理，6名同學共有56種不同的選法.
√
課時對點練
五
1.某同學從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選1本閱讀，則不同的選法共有
A.24種 B.9種
C.3種 D.26種
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基礎鞏固
√
不同的雜志本數為4+3+2=9，從其中任選1本閱讀，共有9種選法.
2.從集合｛0，1，2，3，4，5，6｝中任取兩個不同的數a，b組成復數a+bi，其中虛數有
A.30個 B.42個
C.36個 D.35個
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√
要完成這件事可分兩步，第一步確定b(b≠0)，有6種方法，第二步確定a，有6種方法，故由分步乘法計數原理知，共有6×6=36(個)虛數.
3.如圖所示，在A，B間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，那么電路不通時焊接點脫落的不同情況有
A.9種 B.11種
C.13種 D.15種
√
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按照可能脫落的個數分類討論.
若脫落1個，則有(1)，(4)，共2種情況；
若脫落2個，則有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種情況；
若脫落3個，則有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4種情況；
若脫落4個，則有(1，2，3，4)，共1種情況；
綜上，共有2+6+4+1=13(種)情況.
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4.(多選)已知x∈｛2，3｝，y∈｛-4，8｝，則xy的值可以為
A.-8 B.-12
C.11 D.24
√
√
√
問題分為兩步：第一步在集合｛2，3｝中任取一個值，有2種不同取法，第二步在集合｛-4，8｝中任取一個值，有2種不同取法，故xy可表示2×2=4(個)不同的值.即2×(-4)=-8，2×8=16，3×(-4)=-12，3×
8=24.
5.某同學有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的半裙，另有2套不同樣式的連衣裙.參加學校活動需選擇一套服裝參加歌舞演出，則該同學不同的穿衣服的方式有
A.24種 B.14種 C.10種 D.9種
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√
其穿衣方式分兩類，
第一類，不選連衣裙有4×3=12(種)方式，
第二類，選連衣裙有2種方式，
由分類加法計數原理知，共有12+2=14(種)不同的穿衣服的方式.
6.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有
A.6種 B.12種 C.24種 D.30種
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√
可分三步完成：
第一步，甲、乙選相同的1門共有4種選法；
第二步，甲再選1門有3種選法；
第三步，乙再選1門有2種選法，
由分步乘法計數原理知，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有4×3×2=24(種).
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7.用1，2，3這3個數字組成的沒有重復數字的整數有　　　個.
分三類：
第一類為一位整數，有3個；
第二類為兩位整數，有12，13，21，23，31，32，共6個；
第三類為三位整數，有123，132，213，231，312，321，共6個.
∴組成的沒有重復數字的整數有3+6+6=15(個).
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8.若在圖1所示的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有　　種不同的方法；在圖2所示的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有____
種不同的方法.
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對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個開關或B中的三個開關中合上一個即可，故有2+3=5(種)不同的方法.對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進行：第一步，合上A中的一個開關；第二步，合上B中的一個開關，故有2×3=6(種)不同的方法.
9.有一項活動，需從3位教師、8名男同學和5名女同學中選人參加.
(1)若只需1人參加，則有多少種不同的選法？
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選1人，可分3類：
第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；
第2類，從男同學中選1人，有8種不同的選法；
第3類，從女同學中選1人，有5種不同的選法.
共有3+8+5=16(種)不同的選法.
(2)若需教師、男同學、女同學各1人參加，則有多少種不同的選法？
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選教師、男同學、女同學各1人，分3步進行：
第1步，選教師，有3種不同的選法；
第2步，選男同學，有8種不同的選法；
第3步，選女同學，有5種不同的選法.
共有3×8×5=120(種)不同的選法.
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10.用0，1，2，3，4，5這6個數字組成無重復數字的四位數，若把每位數字比其左鄰的數字小的數叫做“漸降數”，求上述四位數中“漸降數”的個數.
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分三類：
第一類，千位數字為3時，“漸降數”只有3 210，共1個；
第二類，千位數字為4時，“漸降數”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4個；
第三類，千位數字為5時，“漸降數”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10個.
由分類加法計數原理，共有1+4+10=15(個)“漸降數”.
11.小張與其3位同學報名參加A，B，C三個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，且小張不能報A小組，則不同的報名方法有
A.27種 B.36種
C.54種 D.81種
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√
綜合運用
小張的報名方法有2種，其他3位同學各有3種，根據分步乘法計數原理，共有2×3×3×3=54(種)不同的報名方法.
12.從標號分別為1，2，3，4的四個紅球和標號分別為1，2，3的三個黑球及標號分別為1，2的兩個白球中取出不同顏色的兩個小球，不同的取法共有
A.24種 B.9種 C.10種 D.26種
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從三種不同顏色的球中取出不同顏色的兩個小球，共有三類情況：
第一類，紅球+黑球，共有4×3=12(種)；
第二類，紅球+白球，共有4×2=8(種)；
第三類，黑球+白球，共有3×2=6(種)，故取出不同顏色的兩個小球共有12+8+6=26(種)不同的取法.
13.計劃在4個體育館舉辦排球、籃球、足球3個項目的比賽，每個項目的比賽只能安排在一個體育館進行，則在同一個體育館比賽的項目不超過2項的安排方案共有
A.24種 B.36種
C.42種 D.60種
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把3個項目分配到4個體育館，所有方案共有4×4×4=64(種)，其中，3個項目被分配到同一體育館進行有4種方法，故滿足條件的分配方案有64-4=60(種).
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14.已知甲的車牌尾數為9，他的四位同事的車牌尾數分別為0，2，1，5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規定(奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數為　　　.
80
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從5日至9日，有3天奇數日，2天偶數日.第一步，安排偶數日出行，每天都有2種選擇，共有2×2=4(種)不同的選擇；第二步，安排奇數日出行，分兩類，第一類選1天安排甲的車，共有3×2×2=12(種)不同的選擇，第二類不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2×2×2=8(種)不同的選擇.故不同的用車方案種數為4×(12+8)=80.
15.為提升市民的藝術修養，豐富精神文化生活，市圖書館開設了工藝、繪畫、雕塑等公益講座，講座海報如圖所示.某人計劃用三天時間參加三場不同類型講座，則共有　　種選擇方案.(用數字作答)
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拓廣探究
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由講座海報可知，先選擇參加繪畫講座的方案有2種，再選擇一天參加雕塑講座，有2種方案，最后再在剩下的2天里選擇一天參見工藝講座，有2種方案，所以一共有2×2×2=8(種)選擇方案.
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16.用1，2，3，4四個數字(可重復)排成三位數，并把這些三位數由小到大排成一個數列｛an｝.
(1)寫出這個數列的前11項；
111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
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(2)這個數列共有多少項？
這個數列的項數就是用1，2，3，4排成的三位數的個數，每個數位上都有4種排法，則共有4×4×4=64(項).
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(3)若an=341，求n.
比an=341小的數有兩類：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4+1×3×4=44(項).所以n=44+1=45.第1課時　計數原理及其簡單應用
［學習目標］　1.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題.　　　　　　　　　　　　　　　　
一、分類加法計數原理
問題1　某人要從濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機，二是乘高鐵，假如這天飛機有3個航班可乘，高鐵有4個班次可乘.那么此人從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選呢？
知識梳理
分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有　　　　　　種不同的方法.
例1　(1)設集合A=｛1，2，3，4｝，m，n∈A，則方程+=1表示焦點位于x軸上的橢圓有 (　　)
A.6個 B.8個 C.12個 D.16個
(2)某校高三共有三個班，各班人數如表.
男生人數 女生人數 總人數
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
①從三個班中選1名學生擔任學生會主席，不同的選法有　　　　種；
②從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，不同的選法有　　　　種.
延伸探究　本例(1)條件不變，結論變為“則方程-=1表示焦點位于x軸上的雙曲線”有 (　　)
A.6個 B.8個 C.12個 D.16個
反思感悟　(1)分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”.
(2)利用分類加法計數原理計數時的解題流程.
跟蹤訓練1　(1)算盤是中國古代的一項重要發明.現有一種算盤(如圖1)共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數字5，梁下五珠，上撥一珠記作數字1(如圖2中算盤表示整數51).如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數的個數為 (　　)
A.8 B.10 C.15 D.16
(2)如果x，y∈N，且1≤x≤3，x+y<7，則滿足條件的不同的有序自然數對有 (　　)
A.4個 B.5個 C.12個 D.15個
二、分步乘法計數原理
問題2　用前6個大寫英文字母和1~9這9個阿拉伯數字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式給教室里的一個座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？
知識梳理
分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有　　　　　　種不同的方法.
例2　(1)某大學食堂備有6種素菜、5種葷菜、3種湯，現要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數為 (　　)
A.30 B.14 C.33 D.90
(2)4名同學報名參加跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，則不同的報名方法有 (　　)
A.43種 B.34種 C.7種 D.12種
延伸探究　本例(2)改為4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三個項目的冠軍，共有多少種可能結果？
反思感悟　利用分步乘法計數原理解題的注意點及解題思路
(1)應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可.
(2)利用分步乘法計數原理解題的解題流程.
跟蹤訓練2　(1)甲、乙、丙三人分別從A，B，C三個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲只能從B，C兩個景點中選一個，則不同的選法種數為 (　　)
A.12 B.16 C.18 D.24
(2)從-1，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)=ax2+bx+c的系數，可組成的不同的二次函數共　　　個，其中不同的偶函數共　　　個.(用數字作答)
三、兩個原理的簡單應用
例3　現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫.
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
反思感悟　(1)在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么.選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏.
(2)對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰.
跟蹤訓練3　集合A=｛1，2，-3｝，B=｛-1，-2，3，4｝，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標.
(1)可以得到多少個不同的點？
(2)這些點中，位于第一象限的有幾個？
1.知識清單：
(1)分類加法計數原理.
(2)分步乘法計數原理.
2.方法歸納：分類討論.
3.常見誤區：“分類”與“分步”不清，導致計數錯誤.
1.從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發3次，火車發4次，輪船發2次，那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為 (　　)
A.3 B.9
C.24 D.以上都不對
2.現有3名老師、6名男同學和4名女同學共13人.若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數為 (　　)
A.30 B.18
C.12 D.13
3.某學生去書店，發現3本好書，決定至少買其中1本，則購買方式共有 (　　)
A.3種 B.6種
C.7種 D.9種
4.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的1個講座，不同選法的種數是 (　　)
A.56 B.65
C.30 D.11
答案精析
問題1　此人共有3+4=7(種)快捷途徑可選.
知識梳理
N=m+n
例1　(1)A　［因為橢圓的焦點位于x軸上，所以m>n.
當m=4時，n=1，2，3；
當m=3時，n=1，2；
當m=2時，n=1，
即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).］
(2)①165　②80
解析　①從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有3類不同的方案：
第1類，從高三(1)班中選出1名學生，有50種不同的選法；
第2類，從高三(2)班中選出1名學生，有60種不同的選法；
第3類，從高三(3)班中選出1名學生，有55種不同的選法.
根據分類加法計數原理知，從三個班中選1名學生擔任學生會主席，共有50+60+55=165(種)不同的選法.
②從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有3類不同的方案：
第1類，從高三(1)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第2類，從高三(2)班男生中選出1名學生，有30種不同的選法；
第3類，從高三(3)班女生中選出1名學生，有20種不同的選法.
根據分類加法計數原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長，共有30+30+20=80(種)不同的選法.
延伸探究　D　因為雙曲線的焦點在x軸上，
所以m>0，n>0，
當m=1時，n=1，2，3，4；
當m=2時，n=1，2，3，4；
當m=3時，n=1，2，3，4；
當m=4時，n=1，2，3，4，
即所求的雙曲線共有4+4+4+4=16(個).
跟蹤訓練1　(1)A　［撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類方法，
由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，
由分類加法計數原理得共有8種方法，
所以表示不同整數的個數為8.］
(2)D　［當x=1時，y=0，1，2，3，4，5，共有6種可能；
當x=2時，y=0，1，2，3，4，共有5種可能；
當x=3時，y=0，1，2，3，共有4種可能，利用分類加法計數原理，得共有6+5+4=15(種)可能，故滿足條件的不同的有序自然數對有15個.］
問題2　編寫一個號碼要先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字，由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數字中的任意一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6×9=54(個)不同的號碼.
知識梳理
N=m×n
例2　(1)D　［因為備有6種素菜，5種葷菜，3種湯，
第1步，素菜有6種選法；
第2步，葷菜有5種選法；
第3步，湯有3種選法，
所以要配成一葷一素一湯的套餐，可以配成不同套餐的種數為6×5×3=90.］
(2)B　［要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3=34(種)報名方法.］
延伸探究　解　依題意，應該以“三個冠軍”為主體考慮，只有三個冠軍都確定了得主，這件事情才算完成，而每項冠軍的得主都有4種情況，由分步乘法計數原理，可得共有4×4×4=43=64(種)結果.
跟蹤訓練2　(1)C　［根據題意，甲有2種選擇，乙、丙都有3種選擇，故所有的選法有2×3×3=18(種).］
(2)18　6
解析　一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，
共有不同的二次函數3×3×2=18(個).
若二次函數為偶函數，則b=0.a的取法有3種，
c的取法有2種，由分步乘法計數原理知，共有不同的偶函數3×2=6(個).
例3　解　(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法.根據分類加法計數原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法.
(2)分為三步：第1步，從國畫中選1幅，有5種選法；
第2步，從油畫中選1幅，有2種選法；
第3步，從水彩畫中選1幅，有7種選法，
根據分步乘法計數原理，共有5×2×7=70(種)不同的選法.
(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，有5×2=10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，
有5×7=35(種)不同的選法；
第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，
有2×7=14(種)不同的選法.
所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.
跟蹤訓練3　解　(1)可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到3×4+4×3=24(個)不同的點.
(2)第一象限內的點，即x，y均為正數，所以只能取A，B中的正數，共有2×2+2×2=8(個)不同的點.
隨堂演練
1.B　［根據分類加法計數原理可得，一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為3+4+2=9.］
2.A　［先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從10名學生中任選1名，有10種選法.由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為3×10=30.］
3.C　［分3類：買1本書、買2本書和買3本書.各類的購買方式依次有3種、3種和1種，
故購買方式共有3+3+1=7(種).］
4.A　［第一名同學有5種選擇方法，第二名有5種選擇方法……第六名同學有5種選擇方法，綜上，根據分步乘法計數原理，6名同學共有56種不同的選法.］

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